椭圆及其标准方程教案2(精)

第一篇：椭圆及其标准方程教案2(精)

椭圆及其标准方程教案2

教学目的

(1)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；

(2)通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

教学过程

一、椭圆概念的引入

第一组问题——复习提问：

1．什么叫做曲线的方程？

2．直线方程的一般形式是什么？简述直线与二元一次方程的关系．

3．圆的一般方程是什么？主要特征是什么？

对上述问题学生的回答基本正确，如一般同学均能初步了解曲线方程的意义，理解直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一对应关系，掌握圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是关于x、y的二元二次方

22程，且具有以下重要特征：(1)x与y的系数都是1；(2)缺xy这样的项；(3)D2＋E2－4F＞0．

[温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探求新知识．]

第二组问题——引导学生联想、归纳、分析、发现新问题：

1．如前所述，每一个二元一次方程都表示一条直线，那么每一个二元二次方程是否都表示圆，若不是，具备什么条件下它所表示的曲线就不是圆？

对此问题学生一般能回答：“当x2与y2系数不相等时或xy项的系数不为零[有的同学指出不满足上述条件(3)时]，这样的方程所表示的曲线都不是圆．”

2．圆的几何特征是什么？

一般学生能回答：“圆上任意一点到圆心(定点)的距离等于半径(定长)”．这时要进一步提问：“除上述特征外，你还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆？”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨迹命题．学生翻阅课本后能回答：

“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆．”

“到两定点距离之比为一常量的动点轨迹也是圆．”

(对此，经提示，有学生补充这一常量应不等于1，否则为线段的垂直平分线．)

“到两定点连线斜率乘积等于－1的动点轨迹也是圆．”(当然还应除去两定点．)

[启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好自然的铺垫．]

第三组问题——深入思考与探索：

1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？当系数A、B、C、D、E取各种不同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？能否找到一般性规律，得出这些曲线的大致形象？

这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学生强烈的探索欲望．

2．如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两定点距离之比为常量”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？

类比的能力大部分学生是具备的(尽管程度有差别)，经过教师启发引导，学生们会提出下列轨迹命题，如：

“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹．”

“到定点与定直线距离相等的动点轨迹．”

以上是学生受到已做习题的启发而提出的．

还有学生通过类比提出：

“到两定点距离的立方和(差)等于常量的动点轨迹”；“到定点与定直线距离的比为常量的动点轨迹”；“到定点与定直线的距离和(差)等于常量的动点轨迹”；等等．

对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神教师予以大力肯定，表示赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形．

[以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学生联想、分析、探索，这样，引出新曲线的概念已是水到渠成了．]

譬如说，同学们提出的“若动点到两定点距离之和等于常量，则此动点轨迹是什么？请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种 绘图方法，画出符合这种几何条件的轨迹．

(课前要求学生准备图钉若干，细线一根．)

学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；再让一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹是椭圆！

教师问：“椭圆，在哪些地方见过？”

有的学生说：“立体几何中圆的直观图．”

(立体几何中采取的也是近似画法，但教材中已提出椭圆名称．)

有的学生说：“人造卫星运行轨道．”

(这是学生从物理课本中了解的．)

有的学生说：“饼干罐头盒，洒水车，装油车等．”

教师指出：确切地说，应是它们的横截面的轮廓线．

[按学生认识规律与心理特征引导学生自己分析、探索、启发学生认识新的概念，至于新概念在实际中的形象也放手让学生自己对照、回顾，增强实践感受，这样更有利于学生学习能力的培养．]

在上述基础上，引导学生概括椭圆定义．学生开始只强调主要几何特征——到两定点距离之和等于常量．这时教师通过演示(将穿有粉笔的细线拉到黑板平面外)启发学生思考．学生认识到需加上限制条件：“在平面内．”教师则追问：“否则会形成什么几何图形？”学生想象到是椭球形．教师边演示边提示学生注意：这里的常量有什么限制吗？若这个常量等于两定点距离？小于呢？学生认识到，这时都不可能形成椭圆，前者变成了线段，后者轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离．”

这样，学生得出了完整的椭圆定义：平面内到两定点的距离之和等于常数(大于两定点距离)的点的轨迹叫做椭圆．

教师顺便指出：我们规定其中两定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距．

二、推导椭圆的标准方程

给出椭圆的定义后，教师即可提出：由椭圆定义，可以知道它的基本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程．

[让学生明确思维的目的，才能调动学生思维的积极性．]

如何建立曲线方程？首先应建立适当的坐标系．建立坐标系时，一般应符合简单和谐化的原则．如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性．

[让学生在思考议论中加强对这种优化原则的认识．]

这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的：

以两定点F1．F2的连线为x轴；以线段F1F2的垂直平分线为y轴，设|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任一点，则有F1(－c，0)，F2(c，0)．

下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆定义即可写出椭圆的方程

[正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，教学中应着重培养学生这方面的能力．]

教师指出：上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化．

(化简方程可让学生完成．)

多数学生利用初中简化无理方程的一般方法进行，移项后两边平方逐步化去根号，与教材中化简过程类似，教师在巡回观察指导中，启发几个反映较快的学生仔细观察两个根号下代数式的特征，设法先化去其中一个根号．即将等式

[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，两边分别除以方程两边，即得

与原方程联立易得

注意a＞c，则可得

为使方程更为对称和谐起见，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，则得方程

[坐标法即用代数方法研究几何问题，因此熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．缺乏一定的运算能力在解析几何中几乎是寸步难行，因此教学中必须注意不失时机加强运算技能的训练！]

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，教师可简要作些提示：

若点(x′，y′)适合方程

则此点应在椭圆上，事实上由

由上述变形逆推即可得

注意到a＞c，且|x′|≤a，则可知

即点(x′，y′)到两定点F1和F2距离之和为2a．

故点(x′，y′)必在椭圆上．

教师指出：由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的性质．这一简化的方程称为椭圆的标准方程(焦点在x轴上)．

三、供课后思考的参考题

1．推导椭圆方程时，若使焦点在y轴上[即为F1(0，－c)，F2(0，c)]，你能知道此时方程形式吗？它与焦点在x轴上的方程有何联系？

(1)椭圆的对称性；(2)椭圆的范围及常数a、b具有什么几何特征；(3)这一方程与圆x2＋y2＝a2作一比较，两者有何联系？由两方程分别得出

回顾三角函数图像y＝Asinx与y＝sinx的关系你能提出什么设想？

等式中发现椭圆的又一重要特征吗？

教案说明

(1)这份教案是针对重点中学班级设计的，也在笔者所在学校不止一次实施过．教案设计的基本指导思想是着眼于提高学生学习数学的自觉性与基本学习能力，增强课堂教学的启发性与培养性，因此教学安排与一般设想不同．目前教学中常受考试干扰，比较注重实用性与所谓“硬指标”．如本节课常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题．而这份教案却花一定气力引导学生回顾、探索、分析，然后引出椭圆的概念，随后只建立了焦点在x轴上的标准方程，并没有要求学生会使用；另外关于由方程研究椭圆性质常常安排在后面的课内，这里却又提前让学生思考，似乎都是“软指标”，在考试中也不一定用得上．不同的设想反映出不同的着眼点与数学教学目的的认识差别，把知识与方法作为结果给予学生，还是着重引导学生领悟获得这些结果的思想与方法，是把学生作为接受教师传授知识的客体，还是增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体．本教案如前所述，重点放在概念引入与方程建立的思维过程上，从圆锥曲线整体结构考虑，让学生获得比较完整的认识过程，初步建立起总体思维框架，至于结果的熟练与运用在以后的逐步强化训练中是不难达到的．教学的实践也证明，这样是有利于学生基本数学素质的提高，在以后的双曲线、抛物线的教学中可见其成效．

(2)这份教案设计的另一思想是探索在基础知识教学过程中如何加强学生能力的培养．数学上每一个重要概念的引入与定义，每一个重要定理(法则、公式)的发现与推证，几乎都历经前人长期观察、比较、分析、抽象、概括、创造的漫长过程．这样长期的探索过程中往往蕴含着数学中一些重要的思想方法，对思维有着重要的启迪作用，教学中若不充分认识甚至放弃这些绝好的培养机会，将是教学上的重大失策．当然，作为教学不必要(也不可能)完全重复前人漫长的探索过程，但若细心体会、抓住方法的精神实质，精心组织设计，创造良好情景，就可使多数学生处于亢奋状态，增强探索者的自信心理，学习前人的探究精神，逐步领会其中的主要思想方法．在教学中长期坚持这样做，必可大大提高学生的思维素质与学习能力，使教学获得良好的效果．

第二篇：椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程教案

教学目标:

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；

(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。

教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。教学难点:椭圆标准方程的推导。

教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）

教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。

教学过程:(一)启发诱导，推陈出新

1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；

2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？ 尝试作图；

3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。(二)小组合作，形成概念

下面请同学们思考下面的问题：

1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？

3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。

归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(三)椭圆标准方程的推导

1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。

2、标准方程推导过程如下：

①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

立如图所示的坐标系；

②确定点的坐标：设F1F22c，则F1c，0，F2c，0，设Px，y是椭圆上的任意一点；

③设定长为2a，由条件PF1PF22a得

xc2y2xc2y22a；

x2y2④化简：得到椭圆方程为221。

ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）

3、归纳方程特点，巩固上述知识。

4、延伸：①焦点在y轴上：F10，c，F20，c

y2x2②方程：221

ab③a，b，c的关系：b2a2c2，ab0，ac0

(四)例题讲解

例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示。

取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。2a10，2c8

a5，c4，b2a2c252429，即b3

x2y2x2y2这个椭圆的标准方程是221，即1

25953（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）

x2y2x2y21与椭圆c2:1的焦点。

例2：分别求椭圆c1:433解：43

椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上

a24，b23，ca2b21

1，椭圆c1的两个焦点分别是0和1，0 0，是1和0，1。

椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）

(五)课堂练习

课本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)课堂小结

1、椭圆定义

2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）

3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考

4、布置作业：课本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)

第三篇：椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程教案

湖北郧阳中学

梁学文

教学目标:

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程

培养学生运用坐标解决集合问题的能力

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律和用规律解决问题的能力 教学重点：

椭圆的定义及标准方程的推导 教学难点：

椭圆定义的理解 教学方法;探索法 教具准备：

细绳一根 教学过程：

课前引入部分：

一、明确教学目标：告诉大家开始新的章节：圆锥曲线，思考：为什么这三类曲线叫做圆锥曲线？

二、教具演示：在黑板用细绳演示到定点距离和等于定长的点的轨迹，请同学帮忙。分三类：绳长小于两点距；等于；大于。

三、探索总结：师生共同归纳得到：绳长等于点距，得到线段；绳长大于点距，得到椭圆；绳长小于点距，不能得到图形。

定义及方程推导：

一、定义引导：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有粉笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．即两定点的距离。

二、方程推导 1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程

(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到． 教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题

平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[

]

由学生口答，答案为D．(四)小结 1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-

15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

课后习题

第四篇：《椭圆及其标准方程》说课教案2

高中数学第二册第八章第一节《椭圆及其标准方程》说课教案

今天我说课的题目是是《椭圆及其标准方程》，下面我对本课题进行分析。

一、教材分析：

《椭圆及其标准方程》是选自人教版高中数学第二册第八章第一节。本节共分两个课时。我说课的内容是第一课时。椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。是后继学习的基础和范示。同时，也是求曲线方程的深化和巩固。二．教学目标分析

1、知识与技能目标：

理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：

(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。

三、说教学的重难点

本着《椭圆及其标准方程》新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点。

教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。

教学难点 是：标准方程的推导。

为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法我学法上谈谈。

四、学情分析：

高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。

基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。

引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。

我具体来谈谈这一堂课的教学过程

2、教学分析：

椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。

五．教学过程

1、新课导入

：以影音文件“海尔波谱彗星的运行轨道示意图”导入，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣；画板画图，增强动手操作意识，直观形象从而引入椭圆定义，进而研究椭圆标准方程。

2、讲授新课：

学生通过观看文件、动手操作，然后自己总结椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力。然后，进行推导椭圆的标准方程，培养运算能力，进而探讨标准方程的特点。教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，培养严谨的逻辑思维，抽象概括的能力，渗透数学美学教育，掌握数形结合的重要数学思想，最后的几个探究性问题鼓励学生积极探索，敢于探究，转变学习方式。

3、巩固应用

根据定义及其标准方程，设计两道例题，引导学生联系、思考、讨论、反馈、矫正，增强运用能力。

4、继续探究：

（1）观察椭圆形状，不同原因在哪里；

（2）改变绳长或变换焦点位置再画椭圆，发现关系；

（3）用几何画板交流画图，观察形状变化；

（4）如何描述形状变化？

引导学生探究欲望，开展研究性学习。

四、评价说明：

本节课的学生评价坚持形成性评价和阶段性评价相结合的原则。

（一）形成性评价：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做的精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。

（二）阶段性评价：从单元测试、期中测试等方面对学生的阶段性学习成果进行测试。评价结果以每次测试成绩和学生平时的综合表现为依据。同时要进行学生的自我评价以及教师对行动的综合性评价。

（三）教师自我反思评价：本课充分体现了“一个为本，四个调整”的新课程理念。

五、说课总结：

这节课使用计算机网络技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。

第五篇：椭圆及其标准方程 教案.doc

学习资 料

教学目标

1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．

教学建议 教材分析 1． 知识结构

2．重点难点分析

重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．

（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．

另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 现两种特殊情况，即：“当常数等于

．这样规定是为了避免出

时无轨

时轨迹是一条线段；当常数小于

以上资料均从网络收集而来

学习资 料

迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．

（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．

②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．

③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．

④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程

“而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．

（3）两种标准方程的椭圆异同点

中心在原点、焦点分别在 轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大．

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另外，形如 中，只要，同号，就是椭圆方程，它可以化为

．

（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆． 教法建议

（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣．

为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的．

（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识．

（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在以上资料均从网络收集而来

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黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质

在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系

在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）．虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法．

（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法．

推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识．通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（为了避免二次平方运算）

（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识．

（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识

椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念．对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没

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有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析．

（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。

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