椭圆的定义及其标准方程教案

第一篇：椭圆的定义及其标准方程教案

§14.2椭圆的定义与标准方程

一、教材分析

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。

二、教学目标

（一）知识目标

1、理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；

2、掌握椭圆的标准方程；

（二）能力目标

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

（三）德育目标

1、使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的；

2、使学生通过运动规律，认清事物运动的本质。

三、教学重、难点及关键

1、重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

2、难点：椭圆标准方程的推导。

3、关键：突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。

四、教学方法

主要采用探究实践、启发与讲练相结合

五、教具

主要采用多媒体课件

六、教学过程

1、创设情景、引入概念

（多媒体演示）展示相应的图片，让学生在感受美的同时也了解到本节课所要研究的图形——椭圆。

提问：这些图片中的实物的形状是什么的图形？ 学生回答：椭圆

请同学再列举一些椭圆形的例子，教师指出椭圆在生活中很常见，今天我们就一起学习----椭圆（给出课题）。

教师指出：通过前面的学习知道，圆是平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹，那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢？我们一起来探究。

2、新知探究、形成概念

利用多媒体演示椭圆的画法。

依据多媒体演示的画法，请学生思考：图中哪些量是不变的，哪些量是可变化的，试着用自己的语言说一说怎样形成椭圆？

让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，根据自己得出的椭圆画法，试着用手中的工具画出椭圆。让学生动手，使其尝试到成功的喜悦，同时提醒学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。

教师启发、提问，并由学生归纳出椭圆的定义。定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。

提问：若令M为椭圆上任意一点，可否把定义用数学表达式写出？

学生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a 教师指出：此式称为定义式，其应用非常广泛。

3、标准方程的猜测与推导

依据多媒体的动态数据来猜测椭圆的方程

问：请你猜测一下椭圆的方程？

x2y2学生:（221，a>b>0）

ab

根据一般的求轨迹方程步骤推导椭圆的方程。

(1)建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系。

(2)设点: 设M（x，y）是椭圆上任意一点，因|F1F2|=2c，则F1(-c,0)，F2(c,0)（学生回答）

(3)列式: 让学生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a，并将其坐标化后得：xc2y2xc2y22a

(4)化简：(过程可以简略，不作要求)

x2y2教师指出：方程221ab0叫做椭圆的标准方程，其焦点

ab在x轴上，焦点坐标为F1(-c,0)，F2(c,0)且a2b2c2 启发：若把坐标系中的x轴、y轴的位置互换，椭圆的焦点位置如何？方程形式又如何？

y2x2让学生合理猜想，得出：221

ab教师指出此方程同样可用上述方法进行推导。思考：如何依据标准方程判断焦点的位置？

学生观察后可得出：含x2，y2的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。

五秒快速练习：判断下列椭圆的焦点位置？

x2y2y2x21、

12、1

152053y2x2x2y23、

14、1

111825244、知识应用

例1:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求椭圆的标准方程.先给学生提示，再让学生自己动手做，并抽取两位同学所做的进行讲评,最后课件给出标准答案。例2:求下列椭圆的焦点和焦距

x2y2(1)1；

（2）2x2y216

54分析：解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上。学生先做，然后课件给出正解。

分组练习：求椭圆的焦距与焦点坐标？

x2y2①1 156x2y21 ②251693,0，焦距2c6焦点坐标为0,12，焦距2c24焦点坐标为请学生给出结果，体会成功的喜悦。同时给出练习③9x225y2225让学生独立完成，并对学生所做的进行讲评。

5、归纳小结

（1）知识小结：引导学生归纳，最后教师给出知识结构图。（2）方法小结：（教师小结）

①用坐标法研究曲线；

②用运动、变化的观点分析问题；

6、作业：练习册相应的练习。

第二篇：椭圆及其标准方程 教案.doc

学习资 料

教学目标

1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．

教学建议 教材分析 1． 知识结构

2．重点难点分析

重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．

（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．

另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 现两种特殊情况，即：“当常数等于

．这样规定是为了避免出

时无轨

时轨迹是一条线段；当常数小于

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学习资 料

迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．

（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．

②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．

③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．

④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程

“而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．

（3）两种标准方程的椭圆异同点

中心在原点、焦点分别在 轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大．

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学习资 料

另外，形如 中，只要，同号，就是椭圆方程，它可以化为

．

（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆． 教法建议

（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣．

为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的．

（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识．

（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在以上资料均从网络收集而来

学习资 料

黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质

在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系

在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）．虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法．

（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法．

推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识．通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（为了避免二次平方运算）

（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识．

（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识

椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念．对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没

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有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析．

（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。

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第三篇：椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程教案

教学目标:

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；

(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。

教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。教学难点:椭圆标准方程的推导。

教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）

教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。

教学过程:(一)启发诱导，推陈出新

1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；

2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？ 尝试作图；

3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。(二)小组合作，形成概念

下面请同学们思考下面的问题：

1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？

3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。

归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(三)椭圆标准方程的推导

1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。

2、标准方程推导过程如下：

①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

立如图所示的坐标系；

②确定点的坐标：设F1F22c，则F1c，0，F2c，0，设Px，y是椭圆上的任意一点；

③设定长为2a，由条件PF1PF22a得

xc2y2xc2y22a；

x2y2④化简：得到椭圆方程为221。

ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）

3、归纳方程特点，巩固上述知识。

4、延伸：①焦点在y轴上：F10，c，F20，c

y2x2②方程：221

ab③a，b，c的关系：b2a2c2，ab0，ac0

(四)例题讲解

例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示。

取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。2a10，2c8

a5，c4，b2a2c252429，即b3

x2y2x2y2这个椭圆的标准方程是221，即1

25953（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）

x2y2x2y21与椭圆c2:1的焦点。

例2：分别求椭圆c1:433解：43

椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上

a24，b23，ca2b21

1，椭圆c1的两个焦点分别是0和1，0 0，是1和0，1。

椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）

(五)课堂练习

课本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)课堂小结

1、椭圆定义

2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）

3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考

4、布置作业：课本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)

第四篇：椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程教案

湖北郧阳中学

梁学文

教学目标:

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程

培养学生运用坐标解决集合问题的能力

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律和用规律解决问题的能力 教学重点：

椭圆的定义及标准方程的推导 教学难点：

椭圆定义的理解 教学方法;探索法 教具准备：

细绳一根 教学过程：

课前引入部分：

一、明确教学目标：告诉大家开始新的章节：圆锥曲线，思考：为什么这三类曲线叫做圆锥曲线？

二、教具演示：在黑板用细绳演示到定点距离和等于定长的点的轨迹，请同学帮忙。分三类：绳长小于两点距；等于；大于。

三、探索总结：师生共同归纳得到：绳长等于点距，得到线段；绳长大于点距，得到椭圆；绳长小于点距，不能得到图形。

定义及方程推导：

一、定义引导：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有粉笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．即两定点的距离。

二、方程推导 1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程

(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到． 教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题

平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[

]

由学生口答，答案为D．(四)小结 1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-

15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

课后习题

第五篇：椭圆及其标准方程(905)（范文模版）

椭圆及其标准方程

★教学目标

1、知识目标：掌握椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导，进一步熟悉求曲线方程的方法。

2、能力目标：通过椭圆的定义和椭圆方程的推导，培养学生实际动手、合作学习能力，抽象概括能力和逻辑思维能力。

3、情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际的辩证唯物主义思想。

★教学重点难点

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆标准方程的推导。★教学方法：探究式与讲授式 ★教学过程：

一、新课引入

同学们，我们来共同欣赏一段动画：[神舟六号] 2005年10月12日至17日，神舟六号载人航天飞行圆满成功，实现了几代航天人飞天的梦想，中华儿女为此感到无比的骄傲和自豪。

同学们，你知道神舟六号运行的轨道是什么吗？

它有什么特性呢？在直角坐标系中方程如何求？

这些就是我们这节课要研究的内容——椭圆及其标准方程（板书课题）。［用神舟六号的精彩动画激起同学们的学习兴趣，从而导入本节课的主题］

二、讲授新课

（一）实践操作

大家知道“平面内到一个定点的距离等于常数的点的轨迹是圆”，那么，平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹又是什么？ 我们先做一个实验： ［实践操作］

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在作业本上的F1和F2两点，当绳长大于 F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在作业上慢慢移动，就可以画出一条曲线。

铅笔尖形成的曲线是什么？--------是椭圆。

我们再用多媒体演示一下画椭圆的过程，请同学们仔细观察：在动点运动的过程中，什么是不变的？ [演示动画] 演示结束后，请同学回答上面提出的问题： 同学回答：第一，两个定点不变，第二，动点与两定点距离的和不变，始终等于绳长。

同学们能不能给椭圆下一个定义？[让学生思考1分钟] 同学的回答是：“与两定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹”。这位同学回答的对吗？

在刚才的实验中，有绳长大于两定点F1和F2的距离这一条件，当绳长等于两定点F1和F2的距离时，满足条件的动点轨迹是什么？ ［动画演示］

动点的轨迹是这两个定点F1和F2所确定的线段。

当绳长小于两定点F1和F2 距离时，动点的轨迹又是什么？ 很明显满足条件的点不存在。

请同学们重新给椭圆下一个定义，然后与课本对照，看哪一个更准确？

（二）椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

强调：

1、平面内——这是大前提

2、动点M到两个定点F1、F2的距离的和等于常数

3、常数要大于焦距

以上是椭圆的定义及有关概念，下面来求一下椭圆的方程。

（三）椭圆的标准方程

1、椭圆标准方程的推导。如何求曲线的方程呢？

一般求曲线方程的方法与步骤如下：[幻灯片] 建系设点——写出点集——列出方程——化简方程——检验 下面我们按照这五个基本步骤来推导椭圆的方程：（1）建系设点

建立坐标系是求曲线方程重要而关键的一步，一般应符合简单和谐化原则，注意充分利用图形的对称性。请学生讨论建系的方案。（稍停）

以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设，F2（c，0）。F1F22c(c0)，M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-c，0）又设M到F1、F2距离的和等于2a。

（2）写出点集

由定义不难得出椭圆集合为：

PMMF1MF22a（3）代数方程

MF1xc2y2,MF2xc2y2，2a 得方程xc2y2xc2y2［到此为止完成了由形到数的转换］

这一方程直接反映了椭圆的本质属性，但需要尽量化简方程形式，使数量关系更加清晰。

（4）化简方程

[教师指导，学生自己完成] 如何化简呢？请同学们讨论一下。

化简此式的关键是去掉根号，而去根号就要两边平方，是直接平方呢？还是移项后再平方呢？（1）原方程要移项后平方，否则化简相当复杂：

xc2y22axc2y2

xc2y2平方后整理，得a2cxa再平方化简得，(a2c2)x2a2y2a2a2c2

（2）为使方程简单、对称、和谐，引入b，由a2c20令a2c2b2，其中b＞0则

b2x2a2y2a2b2

两边同除以a2b2得，x2y21（a＞b＞0）a2b2（5）证明，因教材不要求，可从略

这一简化的方程称为椭圆的标准方程。它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0）、F2（c,0）.这里c2=a2-b2.注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同方程。

若椭圆的焦点在y轴上，a、b的意义同上时，椭圆方程如下：

y2x221(ab0)2ab这也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标是F1（0,－c）、F2(0,c)，（课下由学生自己推导）

2、两种标准方程的比较（引导学生归纳）

x2y2y2x221（ab0）221（ab0）2abab思考一：椭圆的标准方程中三个参数a、b、c的关系如何？

ab0,a2b2c2。

思考二：如何由椭圆的标准方程判定焦点的位置？

x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。

三、例题讲解

例1 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

x2y2x2y21（2）

1（1）3442

答案：（1）y轴（0,1）（0，-1）（2）x轴（2，0）（-2, 0）

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 已知两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

x2y21 答案是：259点评：求标准方程时，先确定焦点的位置，设出标准方程（若不能确定焦点的位置，应分类讨论），再用待定系数法确定a、b的值。

四、随堂练习：

x2y21上一点P到焦点F1的距离等于6，1、如果椭圆则点P到另一个焦点10036F2的距离是。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=1,焦点在x轴上；

（2）a=4,c=15.五、尝试回忆

1）椭圆的定义：MF1MF22a2c。2）椭圆的标准方程

x2y2当焦点在X轴上时221(ab0)

aby2x2当焦点在Y轴上时221(ab0)

ab这里c2a2b2

3）求椭圆标准方程的方法：待定系数法

六、布置作业

1、推导焦点在Y轴上的椭圆的标准方程

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

（1）焦点在X轴上，焦距为4，并且经过点P(3,26)

（2）a+c=10

a-c=4

七、思考题：

1.椭圆标准方程与圆心在原点的圆的标准方程有何联系？结合图形谈谈你的看法.2.在椭圆标准方程推导过程中，经过两次平方后才能将根号消去，这一过程是否有其他途径可实现？