【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.5抛物线及其标准方程

第一篇：【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.5抛物线及其标准方程

8．5 抛物线及其标准方程

我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？

把一根直尺固定在图板上直线l的位置(图8－19)．把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．

从图8－19中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等．把图板绕点F旋转90°，曲线就是初中见过的抛物线．

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．

如图8－20，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．

设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d． 由抛物线的定义，抛物线就是集合

P={M||MF|=d}．

将上式两边平方并化简，得

y2＝2px(p＞0)．

方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的

①

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=－2px，x2=2py，x2=－2py．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：

例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．

线的标准方程是

x2=－8y．

小结：

求标准方程：

先定焦点的位置；再定一次项系数。

练习

1，已知抛物线方程x=1/6y2 求焦点坐标，准线方程。

2，已知抛物线的准线方程 y=-2, 求抛物线的标准方程。3，若抛物线的焦点在直线4x+3y+12=0上，求抛物线标准方程。

作业：

课本

P119：

第二篇：圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

教学目标

1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．

2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．

3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点

抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程

师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线．

(计算机演示动画——图2-45)

(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p．

(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础．

师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．)师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46)

我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹．

师：你见过这种曲线吗？(抛物线)这就是我们这节课主要的研究对象．(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程)师：能否给抛物线下个定义？

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线． 师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．

如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

在方程中都仅有x、y的二次项．

当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？

生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式．

师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？ 生：建立直角坐标系． 师：如何建立？

学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)．

师：点M满足什么条件？

生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1． 师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？

请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1)师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程． 在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？ 生：二次函数的表达式．

师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致．

师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48)

师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．

观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点．

生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一． 不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号．

开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．

师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影)例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

(2)分析 要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．

例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49)

师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？

(师板书)

故y1·y2=-p2．

师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？

生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？(计算机演示动画——图2-51)

师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了． 怎样求交点坐标？

生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解． 师：如何建立直线方程？ 生：利用点斜式．

(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．)

与抛物线方程联立，消去x可得：

引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？(计算机演示动画——图2-52)

学生乙：以AB为直径的圆和准线相切．

师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成． 师：请同学小结这节课的内容．

(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．)作业：

课本第98页习题八：1，2． 设计说明 1．关于教学过程

(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一．(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2．(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．

2．关于教学重点

为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．

3．关于教学方法

按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．

4．关于教学手段

利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．

(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系．

(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．

(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果． 5．关于教学过程

(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．

(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明．即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．

(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯．(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．

第三篇：§8.5抛物线及其标准方程教案三：第二课时

2.3.1抛物线及其标准方程学案(课时2)●教学目标

（一）教学知识点

1.利用抛物线的标准方程和定义来解决问题. 2.抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.

（二）能力训练要求

1.熟练掌握利用抛物线的标准方程和定义来解决问题. 2.掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.

（三）德育渗透目标

1.训练学生分析问题与解决问题的能力，训练学生方程同解变形、解方程和方程组的运算能力.

2.培养学生数形结合、分类讨论的思想方法，培养学生利用圆锥曲线定义的解题思想及方法.

●教学重点

1.抛物线定义的应用. 2.抛物线的焦点弦长求法. 3.抛物线综合知识的应用. ●教学难点

抛物线各个知识点的综合应用. ●教学方法 讲练结合法. ●教具准备 投影片三张

第一张：例1与例2（记作§8.5.2 A） 第二张：例3与例4（记作§8.5.2 B） 第三张：练习题（记作§8.5.2 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入

［师］通过上一节课的学习，现在请大家回答下面两个问题： 1.抛物线的定义是什么？

2.抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么，并说出对应的焦点坐标和准线方程？ ［生］1.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.2.抛物线的标准方程共四种形式：

pp,0),l:x=-22pp2开口向左，y=-2px(p＞1),F(-,0),l:x=

22开口向右，y=2px(p＞0),F(2 1

pp),l:x=-22pp2开口向下，x=-2py(p＞0),F(0,-),l：y=

22开口向上，x=2py(p＞0),F(0, 2［师］回答得很好，下面我们看几个例题.

（打出投影片§8.5.2 A) Ⅱ.讲授新课

［例1］点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.［师］想想怎样求点M的轨迹方程？

［生］先设M的坐标为（x,y)，接着用两点间距离公式及点到直线距离公式表示出上面的关系及条件，则得到有关x与y的一个关系，再化简即得出结论.

［师］此同学按的是求轨迹方程的一般做法，这种方法在化简时过程比较繁琐，大家应结合我们今天学的“抛物线及其方程”，看能否用一种比较简便的方法做出来.

［生］由题可知，点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离为它到直线x+4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线.

解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.

∵p=4 2∴p=8

2因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y=16x.

2［例2］斜率为1的直线经过抛物线y=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.

先请两名学生在黑板上做，最后老师与全体同学一起订正并归纳，可得以下三种解法.如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=-1. 由题可知，直线AB的方程为y=x-1

2代入抛物线方程y=4x，整理得 x2-6x+1=0

解法一：解上述方程得

x1=3+22,x2=3-22

分别代入直线方程得

y1=2+22,y2=2-22

即A、B的坐标分别为（3+22，2+22），（3-22，2-22） ∴|AB|=(322322)2(222222)解法二：设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=6,x1·x2=1 ∴|AB|=2|x1-x2| 22648

2(x1x2)24x1x226482

解法三：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA′|

即|AF|=|AA′|=x1+1 同理|BF|=|BB′|=x2+1

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8(打出投影片§8.5.2 B)

［例3］已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.

分析：焦点在x轴上的抛物线有两种形式，一种开口向右，另一种开口向左，因为M的横坐标是-3，所以开口向左.先设出抛物线标准方程，根据M在抛物线上与M到焦点的距离等于5可得出两个方程.从而得出方程组，解方程组即可.另外也可根据抛物线定义，M到焦点的距离等于M到准线的距离.因准线方程为x=

解法一：设抛物线方程y=-2px(p＞0)，则焦点F（-

2pp，则有+3=5，即可求得p，从而得出抛物线方程.22p,0)，由题设可得： 2m26p 2p2m(3)52解得p4p4或

m26m262故抛物线的方程为y=-8x,m的值为±26. 解法二：设抛物线方程为y=-2px(p＞0)，则焦点F（-2

pp,0），准线方程为x=.22根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则

p+3=5 2∴p=4

2因此抛物线方程为y=-8x

又点M（-3，m)在抛物线上，于是 m2=24 ∴m=±26

评述：比较两种解法，可看出运用定义的方法简捷.

2［例4］在抛物线y=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.分析：P是抛物线上任一点，如按一般思路设出坐标，再用两点间距离表示出P到焦点F的距离及P到点A的距离，接着得出一关系，从而求最值的话，计算上太繁；此题可用抛物线的定义，用P到焦点F的距离等于P到准线l的距离即可作出.

解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ| 由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|

显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.

2∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y=2x得x0=2 故点P的坐标为（2，2）. Ⅲ.课堂练习

（打出投影片§8.5.2 C)

1.焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截得的弦长为15，求这抛物线的标准方程.分析：焦点是在y轴正半轴上还是在y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，可

2以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x=ay(a≠0).

2解：设抛物线方程为:x=ay(a≠0)

x2ay由方程组

x2y10消去y得：2x-ax+a=0

∵直线与抛物线有两个交点.

2∴Δ=(-a)-4×2×a＞0 即a＜0或a＞8

设两交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2),则 2x1+x2=aa,x1·x2= 224 22∴|AB|=(1k)(x1x2)

1aa(1)()24422 15(a28a)4∵|AB|=15 ∴15(a28a)=15 42即a-8a-48=0 解得a=-4或a=12

∴所求抛物线标准方程为 x2=-4y或x2=12y

22.已知抛物线y=x，动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值. 分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1+y2最小值.从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABC′D′的两底，这样就使中点纵坐标y成为梯形的中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解.

2解法一：设抛物线y=x的弦AB的端点A（x1,y1）、B(x2,y2)，中点（Mx,y），抛物线y=x的焦点F（0，211），准线y=-.设A、B、M到准线距离分别为441 4AD、BC、MN.∴2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+根据抛物线定义，有 |AD|=|AF|,|BC|=|BF| ∴2（y+1)=|AF|+|BF| 4∵在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=2

1)≥2 43∴y≥

4∴2(y+即M点纵坐标的最小值为3.4分析二：要求AB中点纵坐标的最小值，可列出纵坐标y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值.

222解法二：设抛物线y=x上点A（a,a)、B(b,b),AB中点M（x,y). aba2b2,y∴x= 22∵|AB|=2 2222∴(a-b)+(a-b)=4

222222则(a+b)-4ab+(a+b)-4ab=4

222由2x=a+b,2y =a+b,得ab=2x-y

22222∴4x-4(2x-y)+4y-4(2x-y)=4 整理得

y=x2+14x211112∴y=(4x+1)+ 2-

44x14≥2

11-4413= 441112当且仅当(4x+1)= 2即x=±时等号成立.

44x123∴AB中点纵坐标的最小值为.

4=1-Ⅳ.课时小结

抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活利用定义往往可以化繁为简，化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙的解法常常来源于对定义的恰当运用，要很好地体会.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P119习题8.5 3、7

（二）预习内容：抛物线的简单几何性质.

第四篇：抛物线及其标准方程教案

2.3.1抛物线的定义和标准方程 教学目标：

根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下： 知识目标：理解抛物线的定义；明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

2、能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；

3情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。

关键：创设具体的抛物线的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。教学方法 启发、探索 教学手段

运用多媒体和实物辅助教学 教学过程：

一、新课引入：

1、实例引入：观察生活中的几个实例（1）截面图；（2）卫星接收天线（观察其轴截面）；（3）太阳灶（观察其轴截面）；（4）探照灯（观察其轴截面）；（5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）

2、复习引入：在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹，当0〈e < 1时是什么图形？（椭圆）当e > 1时是什么图形？（双曲线）

当e = 1时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）教师指出：画出的曲线叫抛物线。（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）

二、新课讲授：

（一）定义：（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）

平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。概念理解：

平面内有——(1)一定点F——焦点

(2)一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线

探究：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？

（是过F点与直线l 垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线）

(3)动点到定点的距离 |MF|

(4)动点到定直线的距离 d

(5)| MF| = d

满足以上条件的动点M的轨迹——抛物线

（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：

１、要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？ ［教师引导］建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］

过焦点F作准线l 的垂线交l 于点K，启发学生思考回答问题：（1）如何确定x轴（或y轴）？

（以对称轴为坐标轴）

由抛物线的几何特征知KF是抛物线的对称轴。（2）如何确定坐标原点？

（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）

因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l 的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。

（3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？

［教师引导］通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何建系。让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学生）

取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

２、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）步骤:（投影展示）

过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜= p（p>0）那么，焦点Ｆ的坐标为（p / 2,0）,准线l的方程为x =p/2 顶 点：坐标原点（０，０）开口方向：向右

4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程

5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同： 相同点：

１、原点在抛物线上； ２、对称轴为坐标轴； ３、p值的意义：（重点）

（１）表示焦点到准线的距离；（２）p>0为常数;（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；

４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.不同点： 方程

对称轴

开口方向

焦点位置

X2=2py(p>0)x轴

向右

X轴正半轴上

X2=-2py(p>0)

x轴

向左

X轴负半轴上

Y2=2px(p>0)y轴

向上

Y轴正半轴上

Y2=-2px(p>0)y轴

向下

Y轴负半轴上

三、例题讲解：

例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2 =6x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程

（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2，0），准线方程是 x＝－3/2．（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且，所以抛物线的标准方程是

例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）（2）经过点A（2，－3）解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，所以所求抛物线 的标准议程是．

（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝

点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝ ∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y。

四、课堂练习：

1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示）（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x = ；

（3）焦点到准线的距离是2。

2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示）（1）y 2=20x

(2)x 2=1/2y

(3)2y 2+5x=0

(4)x 2+8y=0 向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴 总结：要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p 值及抛物线开口方向；反之亦然。

五、课堂小结：（提学生归纳总结）

1．椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别；

2．会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程； 3．注重类比及数形结合的思想。

六、作业布置： 课本

P69 1、2 结束时采用抛物线形拱桥为背景，对学生再一次进行数学美育教育，在轻松优美的背景中玩成教学任务。总之，抛物线及其标准方程这一节的教学设计，引导学生从感性认识进一步上升到理性认识，对比椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，最重要的是引导学生类比开口向右、向左、向上、向下四种抛物线的标准方程、图形焦点坐标，准线方程，引导学生运用类比和数形结合的思想解决数学问题，对学生进行辩证唯物主义教育和数学美育教育。

第五篇：抛物线及其标准方程

“抛物线及其标准方程”教学设计案例

课程分析：抛物线是解析几何的重要组成部分，是今后学习解析几何的基础。本节对抛物线的教学，是在学生对于抛物线基本知识和研究方法已经熟悉的基础上进行的，所以学习时采用了类比的方法，让学生通过自主研究、合作交流等方式自己构建新知识。

学情分析：《抛物线及其标准方程》高中数学（选修2-1）中的内容，适用对象是高二年级的学生。学生在初中阶段所学的二次函数中，已经初步接触过抛物线。通过本节课的学习，可以让学生进一步了解抛物线所形成的几何本质。在研究椭圆和双曲线的基础上，通过类比来研究抛物线的定义和标准方程，让学生进一步掌握研究曲线的基本方法，并为他们今后学习解析几何奠定良好的基础。类比学习时，要注意知识上的相似点和不同点，要注意加以区别，以防混淆。设计理念：本节课主要采用了诱思探究教学，改变了传统教学中满堂灌的教学方法，让学生自己动手探索新知识新问题。通过日常生活中存在的数学问题创设情境引出新知，充分调动了学生探讨问题的积极性；考虑到学生发现数学问题的能力较弱，设置了一系列探究问题，帮学生铺设好台阶，引导学生讨论、主动探索，自己构建新知识，鼓励提出不同见解，发表个人看法，真正成为课堂的主人。要让学生在整个教学过程体会到发现的乐趣，从而提高学生学习的热情，充分发挥情意因素的作用。自制多媒体课件，用几何画板制作。通过多媒体，增强了教学的直观性，激发学生的学生兴趣，同时又可提高课堂效率；使用了投影仪，迅速快捷地展示学生的解题方案，便于课堂讨论和点评，不断优化学生思维，规范学生解题过程。建立了一种多媒体、大容量、高效率的教学模式，并通过这种教学示范培养学生的创新意识。学习目标：

1、理解抛物线的定义，并能根据抛物线的定义恰当的选择坐标系，建立及推导抛物线的标准方程。

2、了解抛物线的标准方程，培养分析、归纳、推理等能力。

3、掌握用待定系数法求抛物线方程的方法，并能根据条件确定抛物线的标准方程。

教学流程：

1、创设情境

复习：（1）出示课件中的椭圆图像，让学生说出椭圆的第二种定义（屏幕显示椭圆的定义 ：到定点与到定直线的距离的比是小于1的常数的点的轨迹是椭圆。）

（2）出示课件中的双曲线图像，让学生说出双曲线的第二种定义。（屏幕显示双曲线的定义：到定点与到定直线的距离的比是大于1的常数的点的轨迹是双曲线。）

2、概念形成： 探究问题1：通过比较椭圆和双曲线的定义思考：到定点的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹是什么？ 动画演示抛物线的形成

（实录：学生观察曲线，更好的从图象上了解抛物线）（点评：通过类比更好的凸现了抛物线的独特之处）

屏幕显示抛物线定义：到定点与到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹，即抛物线。

3、概念深化

问题：建立曲线方程一般有哪几个步骤？

（学生回忆 建系--设点--列式--化简--证明）探究问题2：如何选择合适的坐标系建立方程？

（实录：学生结合刚才在几何画板上所做的抛物线，思考、讨论该如何建立适当的坐标系，教师巡视、倾听，然后让学生发言。学生共同探讨出多种方案，其中有3种最为常见。

生1：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。

生2：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。

生3：过焦点F作直线FN垂直于直线l，垂足为N。以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系）

探究问题3：请在这三种建系方案下推导出抛物线的方程。提示以定义为依据求抛物线的方程。

（实录：学生自己动手求解，纷纷发言，说出三种方案所求的结果。教师巡视、指导）

（点评：学生自己动手在不同的方案下推导方程，可以进一步激发学习的热情，有助于增强学习效果，加深对知识的理解。让学生分组动手，在三个建系方案下进行推导，然后通过对比得出标准方程，使学生更能体会不同坐标系下方程的差异，进一步认识抛物线标准方程的结构及对应参数的意义。）

探究问题4：通过以上过程的比较，哪种方案的结果具有较简单的形式？

（实录：学生对比发现第3种方案的结果不仅具有较简单的形式，而且方程中的一次项系数是焦点到准线的距离的两倍。教师就势引导： 这个方程就叫做抛物线的标准方程。焦点在x轴的正半轴上，参数p的几何意义：焦点到准线的距离；焦点坐标为：(xp2p2,0)，准线方程为：）

（点评：一题多解并选择最优解。给学生自己探索的空间，让学生共同体验数学发现和创造的历程，提高分析问题的能力。学生在合作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人）

探究问题5：抛物线其他三种形式的标准方程。开口向右的抛物线的标准方程是y22px(p0)，那么，对于开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程又是什么呢？类比开口向右的抛物线，把表格一一完善。

（实录：投影学生答案，引导学生把图形的位置特征和方程的形式结合起来记忆。）

探究问题6：通过四种标准方程的对比，从方程的形式上看，可以得出标准方程与图像有何联系？

（实录：学生先各自独立思考，然后四人一组，互相讨论，小组之间互相交流意见，不能达成共识的请教老师。最后，得出：①方程的一次项决定焦点位置；②一次项系数的符号决定开口方向）

（点评：通过表格的形式，让学生自主探求其中的关系，使学生从整体上理解和掌握四个标准方程及其图形）

、迁移运用

例1根据下列抛物线的方程分别求出它们的焦点坐标和准线方程。

①y2=4x ②x2=-8y ③y=2x2

（实录：学生分组讨论，各抒己见，互相补充。及时对学生进行鼓励，并将学生的解法投影，展示学生的成果，学生感觉比较有成就感）

（点评：激发学生的学习热情，挖掘学生的潜能，鼓励学生大胆创新与实践。要让学生在自主探索和合作交流过程中获得基本数学知识和技能，进一步深化方程与焦点、准线的关系）

例2 根据下列条件，求抛物线的标准方程。

①经过点P(-2,-4)

②抛物线焦点到准线的距离为2

③以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点

（实录：学生分组讨论，互相补充。将学生的解法投影，展示学生的成果，及时对学生进行鼓励）

（点评：题目层次清晰，由浅入深，借助几何画板分析题目，增强直观性）

5、归纳总结，升华提高 学生分组讨论本节内容，师生共同整理完善：（1）抛物线定义及标准方程的形式（2）抛物线的标准方程与图像的关系

（3）数学思想方法：（数形结合思想、函数与方程思想、转化思想）

（点评:总结知识难度较大，因此设计学生讨论且教师要适时点拨。学生通过反思总结提高了自己获取知识的能力以及归纳概括能力，同时使自己的认知结构更完整，知识更系统化）

6、反馈检测，巩固落实

（1）根据下列抛物线的方程分别求出它们的焦点坐标和准线方程。

①y2=-14x

②x2=18y ③y=-12x2

（2）根据下列条件，求抛物线的标准方程。

①经过点P(2,-4)②抛物线焦点到准线的距离为8

（点评：通过设计与本节知识平行的题目，检测学生对本节课所学知识的掌握程度，落实知识情况，达到反馈矫正的目的。学生动手解答，展示出部分学生的解题过程，学生互相点评，可以进一步加深学生对知识的理解程度）

（通过检测，发现学生掌握得比较好）

7、布置作业

必作题：根据下列条件，求抛物线的标准方程。

1、经过点P(8,16)

2、以直线4x-3y+12=0与坐标轴的交点为焦点

选作题：已知抛物线y2=6x和点A(4,0).求抛物线上一点M与A距离的最小值，并指出M的坐标。

（点评：分层次布置作业，让有能力的学生能更好的发挥自己的能力）课后反思：本节课根据学生的实际情况进行设计，并且让学生真正成 为了课堂的主人。通过实物观察和课件展示，学生积极思考，互相合 作，共同探究得到抛物线的标准方程，他们的创造性思维得到了发 展；通过一系列思考和练习，学生加深了对知识和方法的理解。课堂 气氛非常活跃。

优点：本节课的教学达到了预定的教学目标，通过“类比－ 猜想－验证－归纳”得出抛物线的定义，使学生体会到定义产生的全 过程，符合学生的认知规律。利用计算机辅助教学，将信息技术和课 堂教学有机地结合起来，有利于学生对知识的认知和理解，有效地突 出了数形结合的思想。

不足：有时引导相对过细，没能给学生创造更大的自主探索空间。