抛物线的定义、性质及标准方程

第一篇：抛物线的定义、性质及标准方程

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质

【知识掌握】 【知识点精析】 1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。

2.抛物线的标准方程有四种形式，参数式方程的几何性质（如下表）： 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形

其中为抛物线上任一点。

3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。的焦点的直线与抛物线交于，则有4.抛物线的焦点弦：设过抛物线，直线

与的斜率分别为，直线的倾斜角为。，，，说明：

1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】

例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为设交点则∴点在，∴

上，（y1>0），代入

在得上

或

相交的公共弦长等∴或，∴或

。，经过的直线交抛物线于

两点，点故所求抛物线方程为例2.设抛物线在抛物线的准线上，且的焦点为

∥轴，证明直线经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由，消去得 设，则

∵∥轴，且在准线上

∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明注意到经过原点，只需证明，即证

经过原点。

知上式成立，故直线证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是过原点。

证法三：如图，知三点共线，从而直线经

设轴与抛物线准线交于点则∥∥，连结，过交

作于点，则

是垂足

又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即

与原点

重合，∴直线

经过原点。

评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。

【考点突破】 【考点指要】

抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。考查通常分为四个层次：

层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用；

层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

【典型例题分析】 例3.（2006江西）设，则点A.C.答案：Ｂ

解析：解法一：设点坐标为，则，解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。

为坐标原点，的坐标为（）B.D.为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若解法二：由题意设，则，即，求得，∴点的坐标为。

评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。例4.（2006安徽）若抛物线为（）

A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D 的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。

评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。【达标测试】 一.选择题： 1.抛物线的准线方程为，则实数的值是（）

A.B.C.D.轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离2.设抛物线的顶点在原点，其焦点在为4，则等于（）

A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦点在直线A.C.B.D.或或

上的抛物线的标准方程为（）

4.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（）

A.B.C.D.5.正方体上的动点，且点的轨迹是（）的棱长为１，点到直线的距离与点

在棱到点

上，且，点是平面的距离的平方差为１，则点

A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.以上都不对 6.已知点是抛物线的距离为

上一点，设点，则

到此抛物线准线的距离为，到直线的最小值是（）

A.5 B.4 C.7.已知点D.是抛物线

上的动点，点

在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（）

A.B.4 C.D.5 的焦点的直线交抛物线于

两点，为坐标原点，则的值8.过抛物线是（）

A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空题： 9.已知圆10.已知物线的焦点分别是抛物线，则直线

和抛物线的准线相切，则的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此抛

上两点，为坐标原点，若的方程为＿＿＿＿＿。

11.过点（0，1）的直线与＿＿＿。12.已知直线＿＿＿。三.解答题： 与抛物线

交于两点，若的中点的横坐标为，则

交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿13.已知抛物线顶点在原点，对称轴为抛物线的方程。14.过点（4，1）作抛物线

轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求的弦点在，恰被所平分，求所在直线方程。

。15.设点F（1，0），M点在轴上，⑴当点⑵设在轴上运动时，求

轴上，且

点的轨迹是曲线的方程； 上的三点，且的坐标。

成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E（3，0）时，求点【综合测试】 一.选择题：

1.（2005上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 2.（2005江苏）抛物线

上的一点

到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（）

A.B.C.D.0，若它的一条准线与抛物线3.（2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为的准线重合，则该双曲线与抛物线A.B.C.D.21 的交点与原点的距离是（）

4.（2005全国Ⅰ）已知双曲线合，则该双曲线的离心率为（）的一条准线与抛物线的准线重A.B.C.D.的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有5.（2004全国）设抛物线公共点，则直线的斜率的取值范围是（）

A.B.C.D.6.（2006山东）动点取得最小值，则

是抛物线的最小值为（）

上的点，为原点，当时A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积取值范围是（）A.B.C.D.的准线为，直线

与该抛物线相交于的8.（2005北京）设抛物线点，则点及点

两到准线的距离之和为（）

A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空题： 9.（2004全国Ⅳ）设到

是曲线

上的一个动点，则点

到点的距离与点轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10.（2005北京）过抛物线为，则圆的焦点

且垂直于轴的弦为，以

为直径的圆与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。的一条弦，所在11.（2005辽宁）已知抛物线直线与轴交点坐标为（0，2），则＿＿＿＿＿。的焦点在直线

移到点

上，现将抛物线沿处，则平移后所12.（2004黄冈）已知抛物线向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线得抛物线被轴截得的弦长

＿＿＿＿＿。三.解答题：

13.（2004山东）已知抛物线C：与抛物线交于⑴若以弦两点。，求的值； 的轨迹方程。的焦点为，直线过定点

且为直径的圆恒过原点⑵在⑴的条件下，若，求动点

14.（2005四川）如图，点，是抛物线的焦点，点

为抛物线内一定点，点

为抛物线上一动的最小值为8。

⑴求抛物线方程； ⑵若为坐标原点，问是否存在点，若存在，求动点，使过点的动直线与抛物线交于

两点，且的坐标；若不存在，请说明理由。

15.（2005河南）已知抛物线抛物线交于⑴求⑵求满足 ； 的点的轨迹方程。，为顶点，使得

为焦点，动直线。

与两点。若总存在一个实数

第二篇：2017抛物线的定义及其标准方程教案.doc

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圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

教学目标

1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．

2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．

3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点

抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程

师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线．

(计算机演示动画——图2-45)

(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p．

(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础．

师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！

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(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．)师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46)

我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹．

师：你见过这种曲线吗？(抛物线)这就是我们这节课主要的研究对象．

(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程)师：能否给抛物线下个定义？

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线． 师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．

如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

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如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

在方程中都仅有x、y的二次项．

当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？

生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式．

师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？ 生：建立直角坐标系． 师：如何建立？

学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)．

师：点M满足什么条件？

生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1． 师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？

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请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1)师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程． 在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？ 生：二次函数的表达式．

师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致．

师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48)

师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．

观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点．

生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一．

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不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号．

开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．

师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影)例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

(2)分析

要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．

例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49)

师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？

(师板书)

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故y1·y2=-p2．

师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？

生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？(计算机演示动画——图2-51)

师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了． 怎样求交点坐标？

生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解． 师：如何建立直线方程？ 生：利用点斜式．

(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．)

与抛物线方程联立，消去x可得：

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引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？(计算机演示动画——图2-52)

学生乙：以AB为直径的圆和准线相切．

师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成． 师：请同学小结这节课的内容．

(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．)作业：

课本第98页习题八：1，2． 设计说明 1．关于教学过程

(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一．(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2．

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(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．

2．关于教学重点

为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．

3．关于教学方法

按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．

4．关于教学手段

利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．

(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系．

(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．

(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果． 5．关于教学过程

(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．

(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明．即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．

(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯．(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．

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第三篇：抛物线及其标准方程

公开课教案

课题：2.4.1抛物线及其标准方程

授课班级：高二18班（实验楼四楼）授课时间：10.11早上第二节 执教：魏金宝 教学目标：

1.学生理解并掌握抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。

2.明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题。教学难点：抛物线概念的形成

教学重点：抛物线的标准方程的理解和运用 教学环节：

环节一，回顾椭圆、双曲线的定义，回顾椭圆和双曲线的第二定义，引入抛物线。环节二，观察和分析抛物线的形成过程，得出抛物线的定义并建系求解抛物线的标准方程。

环节三：讲解例题，学生课堂练习。环节四：介绍圆锥曲线名称的来历。环节五：小结，布置作业。附：教学设计PPT

第四篇：抛物线及其标准方程

“抛物线及其标准方程”教学设计案例

课程分析：抛物线是解析几何的重要组成部分，是今后学习解析几何的基础。本节对抛物线的教学，是在学生对于抛物线基本知识和研究方法已经熟悉的基础上进行的，所以学习时采用了类比的方法，让学生通过自主研究、合作交流等方式自己构建新知识。

学情分析：《抛物线及其标准方程》高中数学（选修2-1）中的内容，适用对象是高二年级的学生。学生在初中阶段所学的二次函数中，已经初步接触过抛物线。通过本节课的学习，可以让学生进一步了解抛物线所形成的几何本质。在研究椭圆和双曲线的基础上，通过类比来研究抛物线的定义和标准方程，让学生进一步掌握研究曲线的基本方法，并为他们今后学习解析几何奠定良好的基础。类比学习时，要注意知识上的相似点和不同点，要注意加以区别，以防混淆。设计理念：本节课主要采用了诱思探究教学，改变了传统教学中满堂灌的教学方法，让学生自己动手探索新知识新问题。通过日常生活中存在的数学问题创设情境引出新知，充分调动了学生探讨问题的积极性；考虑到学生发现数学问题的能力较弱，设置了一系列探究问题，帮学生铺设好台阶，引导学生讨论、主动探索，自己构建新知识，鼓励提出不同见解，发表个人看法，真正成为课堂的主人。要让学生在整个教学过程体会到发现的乐趣，从而提高学生学习的热情，充分发挥情意因素的作用。自制多媒体课件，用几何画板制作。通过多媒体，增强了教学的直观性，激发学生的学生兴趣，同时又可提高课堂效率；使用了投影仪，迅速快捷地展示学生的解题方案，便于课堂讨论和点评，不断优化学生思维，规范学生解题过程。建立了一种多媒体、大容量、高效率的教学模式，并通过这种教学示范培养学生的创新意识。学习目标：

1、理解抛物线的定义，并能根据抛物线的定义恰当的选择坐标系，建立及推导抛物线的标准方程。

2、了解抛物线的标准方程，培养分析、归纳、推理等能力。

3、掌握用待定系数法求抛物线方程的方法，并能根据条件确定抛物线的标准方程。

教学流程：

1、创设情境

复习：（1）出示课件中的椭圆图像，让学生说出椭圆的第二种定义（屏幕显示椭圆的定义 ：到定点与到定直线的距离的比是小于1的常数的点的轨迹是椭圆。）

（2）出示课件中的双曲线图像，让学生说出双曲线的第二种定义。（屏幕显示双曲线的定义：到定点与到定直线的距离的比是大于1的常数的点的轨迹是双曲线。）

2、概念形成： 探究问题1：通过比较椭圆和双曲线的定义思考：到定点的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹是什么？ 动画演示抛物线的形成

（实录：学生观察曲线，更好的从图象上了解抛物线）（点评：通过类比更好的凸现了抛物线的独特之处）

屏幕显示抛物线定义：到定点与到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹，即抛物线。

3、概念深化

问题：建立曲线方程一般有哪几个步骤？

（学生回忆 建系--设点--列式--化简--证明）探究问题2：如何选择合适的坐标系建立方程？

（实录：学生结合刚才在几何画板上所做的抛物线，思考、讨论该如何建立适当的坐标系，教师巡视、倾听，然后让学生发言。学生共同探讨出多种方案，其中有3种最为常见。

生1：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。

生2：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。

生3：过焦点F作直线FN垂直于直线l，垂足为N。以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系）

探究问题3：请在这三种建系方案下推导出抛物线的方程。提示以定义为依据求抛物线的方程。

（实录：学生自己动手求解，纷纷发言，说出三种方案所求的结果。教师巡视、指导）

（点评：学生自己动手在不同的方案下推导方程，可以进一步激发学习的热情，有助于增强学习效果，加深对知识的理解。让学生分组动手，在三个建系方案下进行推导，然后通过对比得出标准方程，使学生更能体会不同坐标系下方程的差异，进一步认识抛物线标准方程的结构及对应参数的意义。）

探究问题4：通过以上过程的比较，哪种方案的结果具有较简单的形式？

（实录：学生对比发现第3种方案的结果不仅具有较简单的形式，而且方程中的一次项系数是焦点到准线的距离的两倍。教师就势引导： 这个方程就叫做抛物线的标准方程。焦点在x轴的正半轴上，参数p的几何意义：焦点到准线的距离；焦点坐标为：(xp2p2,0)，准线方程为：）

（点评：一题多解并选择最优解。给学生自己探索的空间，让学生共同体验数学发现和创造的历程，提高分析问题的能力。学生在合作交流、与人分享、探讨的氛围中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人）

探究问题5：抛物线其他三种形式的标准方程。开口向右的抛物线的标准方程是y22px(p0)，那么，对于开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程又是什么呢？类比开口向右的抛物线，把表格一一完善。

（实录：投影学生答案，引导学生把图形的位置特征和方程的形式结合起来记忆。）

探究问题6：通过四种标准方程的对比，从方程的形式上看，可以得出标准方程与图像有何联系？

（实录：学生先各自独立思考，然后四人一组，互相讨论，小组之间互相交流意见，不能达成共识的请教老师。最后，得出：①方程的一次项决定焦点位置；②一次项系数的符号决定开口方向）

（点评：通过表格的形式，让学生自主探求其中的关系，使学生从整体上理解和掌握四个标准方程及其图形）

、迁移运用

例1根据下列抛物线的方程分别求出它们的焦点坐标和准线方程。

①y2=4x ②x2=-8y ③y=2x2

（实录：学生分组讨论，各抒己见，互相补充。及时对学生进行鼓励，并将学生的解法投影，展示学生的成果，学生感觉比较有成就感）

（点评：激发学生的学习热情，挖掘学生的潜能，鼓励学生大胆创新与实践。要让学生在自主探索和合作交流过程中获得基本数学知识和技能，进一步深化方程与焦点、准线的关系）

例2 根据下列条件，求抛物线的标准方程。

①经过点P(-2,-4)

②抛物线焦点到准线的距离为2

③以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点

（实录：学生分组讨论，互相补充。将学生的解法投影，展示学生的成果，及时对学生进行鼓励）

（点评：题目层次清晰，由浅入深，借助几何画板分析题目，增强直观性）

5、归纳总结，升华提高 学生分组讨论本节内容，师生共同整理完善：（1）抛物线定义及标准方程的形式（2）抛物线的标准方程与图像的关系

（3）数学思想方法：（数形结合思想、函数与方程思想、转化思想）

（点评:总结知识难度较大，因此设计学生讨论且教师要适时点拨。学生通过反思总结提高了自己获取知识的能力以及归纳概括能力，同时使自己的认知结构更完整，知识更系统化）

6、反馈检测，巩固落实

（1）根据下列抛物线的方程分别求出它们的焦点坐标和准线方程。

①y2=-14x

②x2=18y ③y=-12x2

（2）根据下列条件，求抛物线的标准方程。

①经过点P(2,-4)②抛物线焦点到准线的距离为8

（点评：通过设计与本节知识平行的题目，检测学生对本节课所学知识的掌握程度，落实知识情况，达到反馈矫正的目的。学生动手解答，展示出部分学生的解题过程，学生互相点评，可以进一步加深学生对知识的理解程度）

（通过检测，发现学生掌握得比较好）

7、布置作业

必作题：根据下列条件，求抛物线的标准方程。

1、经过点P(8,16)

2、以直线4x-3y+12=0与坐标轴的交点为焦点

选作题：已知抛物线y2=6x和点A(4,0).求抛物线上一点M与A距离的最小值，并指出M的坐标。

（点评：分层次布置作业，让有能力的学生能更好的发挥自己的能力）课后反思：本节课根据学生的实际情况进行设计，并且让学生真正成 为了课堂的主人。通过实物观察和课件展示，学生积极思考，互相合 作，共同探究得到抛物线的标准方程，他们的创造性思维得到了发 展；通过一系列思考和练习，学生加深了对知识和方法的理解。课堂 气氛非常活跃。

优点：本节课的教学达到了预定的教学目标，通过“类比－ 猜想－验证－归纳”得出抛物线的定义，使学生体会到定义产生的全 过程，符合学生的认知规律。利用计算机辅助教学，将信息技术和课 堂教学有机地结合起来，有利于学生对知识的认知和理解，有效地突 出了数形结合的思想。

不足：有时引导相对过细，没能给学生创造更大的自主探索空间。

第五篇：圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

教学目标

1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．

2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．

3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点

抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程

师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线．

(计算机演示动画——图2-45)

(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p．

(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础．

师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．)师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46)

我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹．

师：你见过这种曲线吗？(抛物线)这就是我们这节课主要的研究对象．(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程)师：能否给抛物线下个定义？

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线． 师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．

如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

在方程中都仅有x、y的二次项．

当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？

生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式．

师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？ 生：建立直角坐标系． 师：如何建立？

学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)．

师：点M满足什么条件？

生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1． 师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？

请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1)师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程． 在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？ 生：二次函数的表达式．

师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致．

师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48)

师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．

观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点．

生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一． 不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号．

开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．

师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影)例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

(2)分析 要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．

例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49)

师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？

(师板书)

故y1·y2=-p2．

师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？

生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？(计算机演示动画——图2-51)

师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了． 怎样求交点坐标？

生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解． 师：如何建立直线方程？ 生：利用点斜式．

(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．)

与抛物线方程联立，消去x可得：

引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？(计算机演示动画——图2-52)

学生乙：以AB为直径的圆和准线相切．

师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成． 师：请同学小结这节课的内容．

(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．)作业：

课本第98页习题八：1，2． 设计说明 1．关于教学过程

(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一．(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2．(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．

2．关于教学重点

为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．

3．关于教学方法

按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．

4．关于教学手段

利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．

(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系．

(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．

(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果． 5．关于教学过程

(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．

(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明．即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．

(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯．(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．