抛物线的定义

第一篇：抛物线的定义

抛物线的定义

温宿二中

王蕊

一、教学目标

1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程； 2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；

3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；

4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美.教学重点: 1.掌握抛物线的定义与相关概念； 2.掌握抛物线的标准方程；

教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.四、教学问题诊断

本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难点的突破我采取的策略是：

1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线.2.鉴于抛物线的画法比较复杂，用教具难以操作，因此我运用多媒体来演示画抛物线的过程.另外，画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显，对学生的抽象能力要求比较高，为此，我设置了两个问题，为学生发现抛物线的几何特征作铺垫.3.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点不在直线上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略：

1.坐标系的建立——教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳.2.求抛物线的方程——全班学生分工，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题4，先让学生独立思考，再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.五、教学过程 教学过程 设计说明

一、课堂导入

1.生活中的抛物线：

（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；

2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；（3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的.2.数学中的抛物线：

一元二次函数的图像是一条抛物线.提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？ 通过生活中的抛物线使学生认识到学习抛物线的必要性.通过问题引入引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望.二、抛物线的定义 1.抛物线的画法（1）介绍作图规则.（2）动画展示作图过程.提出问题：笔尖所对应的点满足的几何关系是什么？（3）分析作图过程

提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？ 提出问题：在作图过程中，绳长，，中，哪些量没有变？哪些量变了？（4）结论

点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等于它到直尺的距离.2.抛物线的定义

问题1：你能给抛物线下个定义吗？ 抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线.问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线.3.抛物线的相关概念：

定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线.设，焦点到准线的距离.抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点

抛物线的画法比较复杂，让学生自己画抛物线，操作起来很困难，学生很难完成.因此我运用多媒体信息技术来演示画抛物线的过程.通过两个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础.加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解.这是教材的第一个思考交流，目的是对抛物线定义的应用，同时也给出了课堂导入时所给问题的一种解决方法.三、抛物线的方程.方程推导 1）建

请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系.（2）推导

问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由

提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程.三种建系方式下的抛物线方程分别为：，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好.：焦点到准线的距离.3.思考交流

问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？

具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流.教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，并用投影仪展示.通过问题3，让学生分工求出三种建系下的方程，为标准方程的理解奠定基础.部学生在推导方程时存在困难，故给出提示.这是教材的第二个思考交流，目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共有四种形式，加深学生对抛物线标准方程的理解.大部分学生解决问题4所用的方法都是图像变换法.图像

抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式.4.例题分析

例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.（1）；（2）；

2.根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）焦点：；（2）准线：.课本中的例题只涉及了抛物线标准方程的一种形式，无法达到巩固知识的目的.因此，我更换了教材的例题，例1是由方程求图像，例2是由图像求方程.并且两个例题中的4个小题正好包含了抛物线标准方程的四种形式.四、课堂小结

问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.1.知识内容：（1）抛物线的定义：（2）抛物线的标准方程： ①焦点在轴正半轴：； ②焦点在轴负半轴：； ③焦点在轴正半轴：； ④焦点在轴负半轴：.2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.培养学生梳理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力.五、课后延伸 1.课后作业

书，P76，A组，2题，3题，4题.2.课后思考

请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数的图像是一条抛物线？ 3.课后延展

（1）抛物线型桥梁

通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长江大桥，宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁.提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点？有哪些优点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征？

（2）卫星.提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质？

对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨.是对这节课所学方法的巩固和对初中所学相关内容的同化，也是为下节课作好铺垫.感受抛物线的广泛应用和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情.

第二篇：抛物线的定义、性质及标准方程

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质

【知识掌握】 【知识点精析】 1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。

2.抛物线的标准方程有四种形式，参数式方程的几何性质（如下表）： 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形

其中为抛物线上任一点。

3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。的焦点的直线与抛物线交于，则有4.抛物线的焦点弦：设过抛物线，直线

与的斜率分别为，直线的倾斜角为。，，，说明：

1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】

例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为设交点则∴点在，∴

上，（y1>0），代入

在得上

或

相交的公共弦长等∴或，∴或

。，经过的直线交抛物线于

两点，点故所求抛物线方程为例2.设抛物线在抛物线的准线上，且的焦点为

∥轴，证明直线经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由，消去得 设，则

∵∥轴，且在准线上

∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明注意到经过原点，只需证明，即证

经过原点。

知上式成立，故直线证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是过原点。

证法三：如图，知三点共线，从而直线经

设轴与抛物线准线交于点则∥∥，连结，过交

作于点，则

是垂足

又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即

与原点

重合，∴直线

经过原点。

评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。

【考点突破】 【考点指要】

抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。考查通常分为四个层次：

层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用；

层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

【典型例题分析】 例3.（2006江西）设，则点A.C.答案：Ｂ

解析：解法一：设点坐标为，则，解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。

为坐标原点，的坐标为（）B.D.为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若解法二：由题意设，则，即，求得，∴点的坐标为。

评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。例4.（2006安徽）若抛物线为（）

A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D 的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。

评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。【达标测试】 一.选择题： 1.抛物线的准线方程为，则实数的值是（）

A.B.C.D.轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离2.设抛物线的顶点在原点，其焦点在为4，则等于（）

A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦点在直线A.C.B.D.或或

上的抛物线的标准方程为（）

4.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（）

A.B.C.D.5.正方体上的动点，且点的轨迹是（）的棱长为１，点到直线的距离与点

在棱到点

上，且，点是平面的距离的平方差为１，则点

A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.以上都不对 6.已知点是抛物线的距离为

上一点，设点，则

到此抛物线准线的距离为，到直线的最小值是（）

A.5 B.4 C.7.已知点D.是抛物线

上的动点，点

在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（）

A.B.4 C.D.5 的焦点的直线交抛物线于

两点，为坐标原点，则的值8.过抛物线是（）

A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空题： 9.已知圆10.已知物线的焦点分别是抛物线，则直线

和抛物线的准线相切，则的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此抛

上两点，为坐标原点，若的方程为＿＿＿＿＿。

11.过点（0，1）的直线与＿＿＿。12.已知直线＿＿＿。三.解答题： 与抛物线

交于两点，若的中点的横坐标为，则

交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿13.已知抛物线顶点在原点，对称轴为抛物线的方程。14.过点（4，1）作抛物线

轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求的弦点在，恰被所平分，求所在直线方程。

。15.设点F（1，0），M点在轴上，⑴当点⑵设在轴上运动时，求

轴上，且

点的轨迹是曲线的方程； 上的三点，且的坐标。

成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E（3，0）时，求点【综合测试】 一.选择题：

1.（2005上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 2.（2005江苏）抛物线

上的一点

到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（）

A.B.C.D.0，若它的一条准线与抛物线3.（2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为的准线重合，则该双曲线与抛物线A.B.C.D.21 的交点与原点的距离是（）

4.（2005全国Ⅰ）已知双曲线合，则该双曲线的离心率为（）的一条准线与抛物线的准线重A.B.C.D.的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有5.（2004全国）设抛物线公共点，则直线的斜率的取值范围是（）

A.B.C.D.6.（2006山东）动点取得最小值，则

是抛物线的最小值为（）

上的点，为原点，当时A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积取值范围是（）A.B.C.D.的准线为，直线

与该抛物线相交于的8.（2005北京）设抛物线点，则点及点

两到准线的距离之和为（）

A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空题： 9.（2004全国Ⅳ）设到

是曲线

上的一个动点，则点

到点的距离与点轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10.（2005北京）过抛物线为，则圆的焦点

且垂直于轴的弦为，以

为直径的圆与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。的一条弦，所在11.（2005辽宁）已知抛物线直线与轴交点坐标为（0，2），则＿＿＿＿＿。的焦点在直线

移到点

上，现将抛物线沿处，则平移后所12.（2004黄冈）已知抛物线向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线得抛物线被轴截得的弦长

＿＿＿＿＿。三.解答题：

13.（2004山东）已知抛物线C：与抛物线交于⑴若以弦两点。，求的值； 的轨迹方程。的焦点为，直线过定点

且为直径的圆恒过原点⑵在⑴的条件下，若，求动点

14.（2005四川）如图，点，是抛物线的焦点，点

为抛物线内一定点，点

为抛物线上一动的最小值为8。

⑴求抛物线方程； ⑵若为坐标原点，问是否存在点，若存在，求动点，使过点的动直线与抛物线交于

两点，且的坐标；若不存在，请说明理由。

15.（2005河南）已知抛物线抛物线交于⑴求⑵求满足 ； 的点的轨迹方程。，为顶点，使得

为焦点，动直线。

与两点。若总存在一个实数

第三篇：《抛物线的定义及方程》教学反思

《抛物线的定义及方程》教学反思

仪征市工业学校数学组2003年谢晶晶

抛物线的定义及方程是圆锥曲线中的重要内容，在这之前，学生对抛物线有了一定的认识和理解，知道平抛运动的轨迹是抛物线。那时主要从函数图象的角度进行分析，目的还是为能有效直观理解二次函数的性质。抛物线作为理解的工具而出现的，对抛物线本身的科学的定义和方程（包括四种标准形式）未作深入的探索和研究，这节课的目的就是从解析几何的角度学习抛物线。另外，学生已经学习了直线、圆、椭圆、双曲线，对解析几何的基本方法也有深入的认识。所以这节课无论从内容和方法上是前面知识的延伸。

建构主义认为人的认识不是对于客观实在的被动的反映，而是主体以已有的知识经验为依托所进行的主动建构的过程。因而学习不是学习者被动地接受书本或教师所传授的现成的结论，而是学习者在一定的社会环境下，借助他人的帮助而实现的意义建构的过程。在教学中设计中要求学生能主动探索抛物线定义和掌握四种标准方程，充分展示定义形成和证明的思维过程，在这当中暴露学生观察、比较、分析、演绎、归纳、判断、综合等思维链。

本节课的教学过程设计主要有两个阶段：抛物线定义的形成和归纳四种方程。第一阶段经历了“问题的产生—探求曲线的形状—论证猜想—发现定义”的过程，第二阶段也经历“类比推导—观察比较—讨论归纳—图表展示”的过程，让学生经历科学的探求过程，享受数学学习的乐趣。另外，我一贯注重精心设计细节的小问题，启发、点拨、诱导学生，使学生思维活动真实的暴露出来，通过学生的答疑和讨论，师生、学生之间的协作和会话，在“学习共同体”中，每个人都展示了自己的真实想法，并在交流活动中使意见趋于统一，从中得到提高。教学按预定的设计执行下来，总体感到课堂思路清晰、节奏明快，课堂气氛活跃，基本完成了课前预设的目标，说明课前在学生层面所做的分析是准确的。感到最成功之处是：学生的数学思维能力得到了培养，学生的学力得到了训练提高。教育家奥苏贝尔指出，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。因而，在教学中，教师了解学生的真实的思维活动是一切教学工作的实际出发点。教师应当“接受”和“理解”学生的真实思想，尽管它可能是错误的或幼稚的，但却具有一定的“内在的”合理性，教师不应简单否定，而应努力去理解这些思想的产生与性质等等，只有真正理解了学生思维的发生发展过程，才能有的放矢地采取适当的教学措施以便帮助学生不断改进并最终实现自己的目标。感到遗憾的这节课时间上比较紧，后面练习讲评显得很急促，深入反思教学过程，教学理念还不先进，总认为一节课内容含量多比较好，注重讲授的量，而没有更多的照顾到每一个个体的有学习情况。所以我重新设想：本节课分成两节课来学习，第一节学习抛物线的定义及推导，然后巩固求轨迹的方法。让每一个学生有充分的时间参与交流讨论，有充分让学生表现的机会。更要关注一些“困难生”学习情况的了解，在尊重他们的意见和思考成果的同时，启发他们反思自身的思维漏洞，纠正错误，还给他一个正确的认识。

第四篇：圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

教学目标

1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．

2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．

3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点

抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程

师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线．

(计算机演示动画——图2-45)

(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p．

(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础．

师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．)师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46)

我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹．

师：你见过这种曲线吗？(抛物线)这就是我们这节课主要的研究对象．(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程)师：能否给抛物线下个定义？

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线． 师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．

如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：

在方程中都仅有x、y的二次项．

当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？

生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式．

师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？ 生：建立直角坐标系． 师：如何建立？

学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)．

师：点M满足什么条件？

生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1． 师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？

请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1)师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程． 在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？ 生：二次函数的表达式．

师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致．

师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48)

师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．

观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点．

生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一． 不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号．

开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．

师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影)例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

(2)分析 要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．

例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49)

师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？

(师板书)

故y1·y2=-p2．

师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？

生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？(计算机演示动画——图2-51)

师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了． 怎样求交点坐标？

生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解． 师：如何建立直线方程？ 生：利用点斜式．

(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．)

与抛物线方程联立，消去x可得：

引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？(计算机演示动画——图2-52)

学生乙：以AB为直径的圆和准线相切．

师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成． 师：请同学小结这节课的内容．

(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．)作业：

课本第98页习题八：1，2． 设计说明 1．关于教学过程

(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一．(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2．(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．

2．关于教学重点

为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．

3．关于教学方法

按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．

4．关于教学手段

利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．

(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系．

(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．

(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果． 5．关于教学过程

(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．

(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明．即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．

(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯．(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．

第五篇：抛物线的定义及其标准方程教学设计案例

抛物线的定义及其标准方程教学设计

1、目标和目标解析

（1）知识目标：

理解并掌握抛物线的定义及其标准方程；会求抛物线的标准方程。

（2）能力目标：

通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

2、教学问题诊断

坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。通过合作交流，探究不同的建系方案，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性，进一步感受坐标法的思想。在推导抛物线四种形式的标准方程的过程中，理解焦参数的几何意义；能根据条件求出抛物线的标准方程；会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程。根据以上教学内容及要求，拟定教学重、难点如下

（1）教学重点：抛物线的定义及其标准方程。

（2）教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导

3、教学支持条件分析

新课程大力倡导积极主动、勇于探索的学习方式，为的是使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展学生的创新意识。在本节课中，将通过适当的问题情景，在“实验”、“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动中，引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题。课堂上真正以学生发展为本，鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与；鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途经，使他们经历知识形成的过程。最大限度地让学生在活动中学习，在主动中发展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中创新，并达成教与学的互促互动、相得益彰的良性循环的最优局面。

教学方法：启导探究式

教学用具：多媒体课件

4、教学过程设计

（1）设置情景，引发探究

①课件演示：用几何画板设置一个直观性问题情景，已知F是平面上一个定点，是平面上不过点F的一条定直线，点M到定点F的距离和到定直线的距离的比是一个常数e，改变这两个距离大小的关系（即常数e的大小），观察动点M的轨迹。

②学生观察：两个距离大小的变化；并追踪：动点M得到的轨迹形状。然后记下实验追踪结果。

③学生交流：当o＜e＜1时动点M得到的轨迹是椭圆；当e＞1时是双曲线。

④引发探究：进而引发探究欲望：当e=1时，它又是什么曲线呢？

设计意图：数学教学需要一定问题情景的支撑，恰当的问题情景能

激起学生的情感体验，有利于学生学习兴趣的激发，也有利于学生良好数学观的形成。因此，在教学中，应力求通过恰当问题情景的创设，让学生产生积极的学习心态，在具体的情景中实现知识的学习。上述教学设计通过信息技术设置一个直观性问题情景，激发了学生探究的欲望，这时学生自然地产生了探究当动点到一定点距离与定直线距离相等（即）时点的轨迹到底是什么的强烈愿望。让学生在“观察”、“思考”、“探究”等活动中，自己发现问题、提出问题。

（2）观察归纳，形成定义

①观察：当e=1时，曲线上的动点满足怎样几何特征？让学生通过独立思考和互相讨论，并交流看法。针对学生的回答进行引导，把学生的思维一步步引入发现规律的最近区域，最终使得学生发现：曲线上的点到定点的距离和到一条定直线的距离相等。

②归纳：抛物线的定义

要求学生用自己的语言描述什么样的曲线是抛物线。规范学生的语言描述，提出抛物线定义的书面文字。

定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。强调定义的中心句和关键词（让学生自己找出）。并与椭圆、双曲线的定义进行比较。

③反思：在抛物线定义中，要注意定点F不在定直线上。若定点F在定直线上，则动点的轨迹又是什么图形呢？（此时退化为过F点且与直线垂直的一条直线）。

④欣赏：让同学们说一说生活中有哪些图形是抛物线。然后教师用幻灯片播放一些典型的抛物线型标志性建筑，如中国的赵州桥，世界第一大拱桥——卢浦大桥、北京奥运会主场馆的拱顶、夜色下喷水池喷出的彩色水流等，让学生欣赏审美，陶冶情操，激发兴趣。

设计意图：由上述直观性问题情景引出了抛物线定义，顺理成章。教学中处处注重师生之间的互动，注重学生观察、比较、分析、概括能力的培养，注重反思环节的落实。通过学生亲身实践、主动思维，让学生在实践中得到体验，在反思中产生感悟，使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。通过让学生动口参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

（3）合作交流，导出方程

①类比：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程（用屏幕显示图形），让学生认真捉摸坐标系的位置特点，感悟求抛物线的方程应建立怎样的直角坐标系最好（力求使其方程形式最简单）。也可以帮助学生回顾初中二次函数图象的平移变化，从而感悟到要得到抛物线的最简方程，必须使图象过坐标原点（可使常数项为零）；使图象的对称轴为x轴（或y轴）（可使方程中不含y（或x）的一次项）。

②合作：师生合作共同推导抛物线的标准方程

请学生将自己的感悟画在纸板上。学生分两人一组互相讨论，老师展示几组学生的建系方案，一一作出评价。

选择正确的一个建系方案师生一起探究抛物线方程的建立。

如推导焦点F在x轴正半轴上的抛物线标准方程。

设焦点F在x轴的正半轴上，焦点F到准线L的垂线段FN的垂直平分线为y轴，设|FN|=p。

请学生口头叙述焦点F的坐标和准线L的方程。

师生共同推导出抛物线方程：y2=2px（p>0）

指出这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示焦点F在x轴正半

轴上，顶点在原点的抛物线，其准线为

③反思：建系方案的合理性。

在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系。这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

④探究：抛物线的标准方程的其它形式

在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么抛物线的标准方程还有哪些不同形式？

让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格

再反思：抛物线四种形式的标准方程与图形间的对应关系及它们之间的内在联系。从前面求椭圆、双曲线、抛物线标准方程的过程中，你是否深刻感悟到：求轨迹方程时，如何才能建立适当的坐标系？

设计意图：教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流，才能得以深入发展，数学思想才能变得更加清晰；通过多边合作，又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。

（4）练习反馈，巩固提高

①会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程

例1已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程（教材例1之（1））。

变式：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

⑴；⑵；

感悟：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？如何才能正确地求出它的焦点坐标、准线方程？

②能根据条件求出抛物线的标准方程

例2已知抛物线的焦点是F，求它的标准方程（教材例1之（2））。

变式：已知抛物线的焦点F到准线L的距离为4。根据下列条件求此抛物线的标准方程。

（1）若焦点F在y轴正半轴上；

（2）若焦点F在y轴上；

（3）若焦点F在x轴上；

（4）若焦点F在坐标轴上。

（5）焦点在直线上（均由学生口答）

感悟：

①求给定抛物线的标准方程的基本方法是：待定系数法。关键是

定轴向——求p值——写方程。（若开口方向不定，则要注意分类讨论的思想。）

②在认识事物的过程中，我们不仅要善于从一些不同的事物中去发现它们的共同点，还要善于从一些相似的事物中去发现它们的不同点。

设计意图：以课本例题为本，通过变式训练这一环节，既让学生巩固和加深对抛物线及其标准方程的理解，又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟，不断调整自己的认识结构和经验结构，完成人的经验自主建构的过程。

（5）自我总结，提炼升华

让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：

①抛物线的定义（其本质属性）；

②抛物线的标准方程（注意四种形式的异同）；

③求抛物线标准方程的基本方法：待定系数法。关键是：定轴向——求p值——写方程。

设计意图：引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。

5、目标检测设计

（1）书面作业：A组1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）

补充：求经过点p（4，—2）的抛物线的标准方程。（选做）

（2）课后探究：

①的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件。你能说出焦参数对抛物线的开口大小有什么影响吗？

②同学们在初中学习过二次函数，为什么二次函数的图象是抛物线？

设计意图：为体现以学生发展为本的理念，使不同学生在数学上获得不同的发展，本作业依一定梯度进行设计，并抛出两个课后探究性问题，既是对本节课有关内容的延伸、拓展，回应了本节课内容，又是为下继内容作些铺垫、畜势，让学生有“意尤未尽”之感。同时形成开放性学习环境，满足了不同学生的需要，体现了个性化的学习，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验。