高中数学 (4.1.2 圆的一般方程)示范教案 新人教A版必修2

第一篇：高中数学 (4.1.2 圆的一般方程)示范教案 新人教A版必修2

4.1.2 圆的一般方程

整体设计

教学分析

教材通过将二元二次方程

x+y+Dx+Ey+F=0

2配方后化为D2F2D2E24F222222(x+)+(y+)=后只需讨论D+E-4F＞0、D+E-4F=0、D+E-4F＜0.与圆的224DE122标准方程比较可知D+E-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,D2E24F为半径的222DDEE22圆；当D+E-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);当

2222D+E-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.22 从而得出圆的一般方程的特点：(1)x和y的系数相同,不等于0；(2)没有x·y这样的2222二次项；(3)D+E-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.222 同圆的标准方程(x－a)＋(y－b)=r含有三个待定系数a、b、r一样,圆的一般方程22x+y+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.三维目标

1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定

2222圆的圆心、半径.掌握方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件,通过对方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.重点难点 教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.课时安排 1课时

教学过程 22导入新课

思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得22222x+y-2ax-2by+a+b-r=0.22222③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a+b-r,得到方程x+y+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.22④能不能说方程x+y+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.思路2.问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.推进新课 新知探究 提出问题

①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法? ②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢? 22③给出式子x+y+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.2222222④把式子(x－a)＋(y－b)=r与x+y+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点? 讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.D2E2D2E24F③把式子x+y+Dx+Ey+F=0配方得(x+)+(y+)=.22422④(x－a)＋(y－b)=r中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.222D2E2D2E24F因此式子(x+)+(y+)=.224DE1,-)为圆心,D2E24F为半径的圆； 222DDEE22(ⅱ)当D+E-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);

2222(ⅰ)当D+E-4F＞0时,表示以(-22(ⅲ)当D+E-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.22 综上所述,方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成222222x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D+E-4F＞

22220时,它表示的曲线才是圆.因此x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D+E-4F＞0.22 我们把形如x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.⑤圆的一般方程形式上的特点: 22 x和y的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定22了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用示例

思路1

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.22(1)4x+4y-4x+12y+9=0;22(2)4x+4y-4x+12y+11=0.解:(1)由4x+4y-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=而D+E-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x+4y-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为((2)由4x+4y-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=22222222

29, 4131,-),半径为； 2221122,D+E-4F=1+9-11=-1＜0, 42所以方程4x+4y-4x+12y+11=0不表示圆的方程.2222点评:对于形如Ax+By+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x+y+Dx+Ey+F=022的形式,再利用条件D+E-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练

求下列圆的半径和圆心坐标：

2222(1)x+y-8x+6y=0;(2)x+y+2by=0.22222解:(1)把x+y-8x+6y=0配方,得(x－4)＋(y+3)=5,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；

22222(2)x+y+2by=0配方,得x＋(y+b)=b,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2 求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.22解:方法一：设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有

F0. DEF20,4D2EF200.解得D=-8,E=6,F=0, 22222故所求圆的方程为x+y-8x+6y=0,即(x－4)＋(y+3)=5.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM1的中点E（1153,),M1M2的中点F(,), 222211再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-), ①

2235AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-)，22②

xy1,x4,联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.3xy9,y3.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|, 222222即x+y=(x-1)+(y-1)=(x-4)+(y-2),解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)=r,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即

222(1a)2(1b)2r2,222 abr,(4a)2(2b)2r2.a4,222解此方程组得b3,所以所求圆的方程为(x－4)＋(y+3)=5,圆心坐标为(4,-3),半径为r5.5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.22例3 已知点P(10,0),Q为圆x+y=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.图1 解法一:如图1,作MN∥OQ交x轴于N, 则N为OP的中点,即N(5,0).因为|MN|=1|OQ|=2(定长).2

22所以所求点M的轨迹方程为(x-5)+y=4.点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).10x0x,x02x10.2因为M是PQ的中点,所以(*)即y0y0,y02y.2又因为Q(x0,y0)在圆x+y=16上,所以x0+y0=16.将(*)代入得

22(2x-10)+(2y)=16.22故所求的轨迹方程为(x-5)+y=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).2

2②求出点M与点Q坐标间的关系xf1(x0,y0),(Ⅰ)

yf2(x0,y0).)

中

解

出③从(Ⅰ

x0g1(x,y), y0g2(x,y).(Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.变式训练 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)+y=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.解:设点M的坐标是(x,y), 点A的坐标是(x0,y0).由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=

x04y3,y=0.于是有22x0=2x-4,y0=2y-3.①

222222因为点A在圆(x+1)+y=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)+y=4,即(x0+1)+y0=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理,得(x-所以点M的轨迹是以（2

3232)+(y-)=1.2233,)为圆心,半径长为1的圆.22思路2

2222例1 求圆心在直线l：x+y=0上,且过两圆C1:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.22xy2x10y240,解:解两圆方程组成的方程组2得两圆交点为(0,2),(-4,0).2xy2x2y80.设所求圆的方程为(x-a)+(y-b)=r,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上,所以得方程组

222(4a)2b2r2,222a(2b)r, ab0.解得a=-3,b=3,r=10.故所求圆的方程为(x+3)+(y-3)=10.2

2点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.例2 已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.解法一:利用圆的一般方程.22设所求的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有1DF0,22233DF0，解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x+y-4x+4y+3=0.(1)2EF0.解法二:利用圆的标准方程.由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 222设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上,故a=2.22因为|PC|=|RC|,所以(a1)ba2(b1)2.将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).22而r=|PC|=5,故所求圆的方程为(x-2)+(y+2)=5.例3 试求圆C:x+y-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.22由题意可得

xx0yy010,22yy011,xx0解得

x0y1, y0x1.(*)

22因为P(x0,y0)在圆C上,所以x0+y0-x0+2y0=0.将(*)代入

22得(y-1)+(x+1)-(y-1)+2(x+1)=0, 22化简得x+y+4x-3y+5=0,即为C′的方程.解法二:(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即13,-1)关于直线l:x-y+1=0的对称点C′(-2,),因此所求圆C′的方程为223252(x+2)+(y-)=.24求(点评：比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.知能训练

课本练习1、2、3.拓展提升

22问题：已知圆x+y-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.解:设P(x1,y1)、Q(x2,y2), 22xyx8ym0,2由消去y得5x+4m-60=0.① x2y60.由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m＞0,m＜15.x1x20,由韦达定理 4x1x2m12.5因为PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以即② 因为y1=3-

y11y21=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, x11x21x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.x1xxxxxxx3,y2=32,所以y1y2=(3-1)(32)=9-(x1+x2)+12=9+12，2224422554x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.445y1+y2=6,代入②得所以m=10,适合m＜15.所以实数m的值为10.课堂小结

22221.任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D+E-4F＞0时,方程表示圆心为(-r=

2DE,-),半径为

2212D2E24F的圆.2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.作业

习题4.1 A组1、6,B组1、2、3.设计感想

这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过

22类比进行条件的探求——“D+E－4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.

第二篇：高中数学 (4.3.1 空间直角坐标系)示范教案 新人教A版必修2

4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系

整体设计

教学分析

学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的.但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑.本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.三维目标

1.掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力.2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.重点难点

教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课 新知探究 提出问题

①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示? 1

②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? ③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？

④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？ 讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).2

图2 反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例

思路1

例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3 活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给 3

我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、111，0);中层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是,所以这四22211111111个钠原子所在位置的坐标分别为(,0,)、(1，)、(,1,)、(0，);上层的22222222(钠原子全部在与xOy平行的平面上,与z轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、（11，1).22思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy平面,结果会怎样呢？

解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy平面上,因此其竖坐标全

1111,0,0)、(1，0)、(,1,0)、(0，0);22221上层的钠原子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是,所以这五个钠原子所在21111111位置的坐标分别为(0,0,)、(0,1,)、(1,0,)、(1,1,)、(，);下层的22222221钠原子全部在与xOy平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-,所以这五个钠原子所在位置的21111111坐标分别为(0,0,-)、(1,0,-)、(1,1,-)、(0,1,-)、(，-).2222222部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2

例1 如图4,已知点P′在x轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz平面上,且垂直于x轴,|PP′|=1,求点P′和P的坐标.图4 解:显然,P′在x轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P在xOy平面上方,则点P的坐标为(2,0,1).若点P在xOy平面下方,则点P的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1的中点,棱长为1,求E,F点的坐标.4

图5 解:方法一:从图中可以看出E点在xOy平面上的射影为B,而B点的坐标为(1,1,0),E点的竖11,所以E点的坐标为(1,1,);F点在xOy平面上的射影为G,而G点的坐标为221111(，0),F点的竖坐标为1,所以F点的坐标为(，1).2222坐标为方法二:从图中条件可以得到B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0).E为BB1的中点,F为D1B1的中点,由中点坐标公式得E点的坐标为(（1111101)=(1,1,),F点的坐标为，222210101111)=(，1).，22222x1x2y1y2z1z2，);

222点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的中点P((2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练

1.在上题中求B1(1,1,1)点关于平面xoy对称的点的坐标.1x0,12x01,1y0,解之,得y01,.解:设所求的点为B0(x0,y0,z0),由于B为B0B1的中点,所以12z011z002所以B0(1,1,-1).2.在上题中求B1(1,1,1)点关于z轴对称的点的坐标.1x00,21y0解:设所求的点为P(x0,y0,z0),由于D1为PB1的中点,因为D1(0,0,1),所以0,解之,21z0.12x01,得y01,所以P(-1,-1,1).z01.3.在上题中求B1(1,1,1)点关于原点D对称的点的坐标.5

1x00,21y0解:设所求的点为M(x0,y0,z0),由于D为MB1的中点,因为D(0,0,0),所以0,.解之,21z002x01,得y01,所以M(-1,-1,-1).z01.知能训练

课本本节练习1、2、3.拓展提升

1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x轴);③纵轴(y轴);④竖轴(z轴);⑤xOy坐标平面;⑥yOz坐标平面;⑦zOx坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知: 点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练

在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述: ①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0 分析：①②③错,④对.答案：C 课堂小结

1.空间直角坐标系的建立.2.空间直角坐标系中点的坐标的确定.3.空间直角坐标系中点的位置的确定.4.中点公式：

P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2中点M的坐标为（x1x2y1y2z1z2，).222 6

5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.作业

习题4.3 A组1、2.设计感想

通过复习相关内容,为新课的引入和讲解做好铺垫.设置问题,创设情境,引导学生用类比的方法探索新知.由于学生的空间观念还比较薄弱,教学中宜多采用教具演示,尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容.本课时可自制空间直角坐标系模型演示,帮助学生理解空间直角坐标系的概念.如果学生先前的学习不是主动的、不是入脑的,那么老师的血汗与成绩就不成比例,更谈不上学生的创新意识.鉴于此,在教学中积极挖掘教学资源,努力创设出一定的教学情景,设计例题思路,与高考联系,吸引学生,引起学生学习的意向,即激发学生的学习动机,达到学生“想学”的目的.为能增强学生学习的目的性,在教学中指明学生所要达到的目标和所学的内容,即让学生知道学到什么程度以及学什么.同时调整教学语言,使之简明、清楚、易听明白,注重一些技巧,如重复、深入浅出、抑扬顿挫等.

第三篇：高中数学《指数函数》教案1 新人教A版必修1

3.1.2指数函数

（二）教学目标：巩固指数函数的概念和性质 教学重点：指数函数的概念和性质 教学过程：

本节课为习题课,可分以下几个方面加以练习: 备选题如下:

1、关于定义域

x（1）求函数f(x)=11的定义域

9（2）求函数y=1x的定义域

51x1（3）函数f(x)=3－x－1的定义域、值域是……()

A.定义域是R，值域是R

B.定义域是R，值域是(0，+∞) C.定义域是R，值域是(－1，+∞) D.以上都不对（4）函数y=1x的定义域是______ 5x11(5)求函数y=ax1的定义域(其中a＞0且a≠1)

2、关于值域

（1）当x∈［－2,0］时，函数y=3x+1－2的值域是______（2）求函数y=4x+2x+1+1的值域.（3）已知函数y=4x－3·2x+3的值域为［7,43］，试确定x的取值范围.(4).函数y=3x3x1的值域是() A.(0，+∞)

B.(－∞,1) C.(0,1)

D.(1,+∞)

(5)函数y=0.25x22x12的值域是______,单调递增区间是______.3、关于图像

用心 爱心 专心 1

（1）要得到函数y=8·2－x的图象，只需将函数y=(12)x的图象()

A.向右平移3个单位

B.向左平移3个单位 C.向右平移8个单位

D.向左平移8个单位

（2）函数y=|2x－2|的图象是()

（3）当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是()

（4）当0

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

（5）若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b=______.（6）已知函数y=(12)|x+2|.

①画出函数的图象；

②由图象指出函数的单调区间并利用定义证明.(7)设a、b均为大于零且不等于1的常数，下列命题不是真命题的是()

用心 爱心 专心

A.y=a的图象与y=a的图象关于y轴对称

B.若y=a的图象和y=b的图象关于y轴对称，则ab=1 C.若a2x－xxx>a22－1,则a>1 ,则a>b D.若a>b

24、关于单调性

（1）若－1

A.5－x<5x<0.5x C.5<5<0.5x－xx

B.5x<0.5x<5－x D.0.5<5<5

x－xx（2）下列各不等式中正确的是() A.()3()3()3

252C.()3()3()3 52212121211

B.()3()3()3

225

D.()3()3()3

***

1211(x+1)(3－x)（3）.函数y=(2－1)的单调递增区间是()

A.(1，+∞)C.(1，3)

B.(－∞，1)

D.(－1，1)

(4).函数y=()2xxx2为增函数的区间是()

(5)函数f(x)=a－3a+2(a>0且a≠1)的最值为______.(6)已知y=(数.(7)比较52x12x12)xx22+1，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函与5x22的大小

5、关于奇偶性

（1）已知函数f(x)= m21x2x为奇函数，则m的值等于_____ 11（1）如果82 x2x=4，则x=____

用心 爱心 专心 3

6阶段检测题: 可以作为课后作业: 1.如果函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与函数y=bx(b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有 A.a>b B.a

3(3x－1)(2x+1)

≥1}，则集合M、N的关系是

B.MN D.MN

3.下列说法中，正确的是

①任取x∈R都有3x>2x ②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x ③y=(3)－x是增函数 ④y=2|x|的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴

A.①②④ C.②③④

B.④⑤ D.①⑤

4.下列函数中，值域是(0,+∞)的共有 ①y=31 ②y=(A.1个 x1)③y=1()④y=3x

B.2个 x11xC.3个

D.4个

5.已知函数f(x)=a1－x(a>0,a≠1)，当x>1时恒有f(x)<1,则f(x)在R上是 A.增函数 B.减函数

C.非单调函数 D.以上答案均不对

二、填空题(每小题2分，共10分)6.在同一坐标系下，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如下图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是__________.用心 爱心 专心 4

7.函数y=ax1的定义域是(－∞,0］，则a的取值范围是__________.8.函数y=2x+k－1(a>0,a≠1)的图象不经过第四象限的充要条件是__________.9.若点(2，14)既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，a=________,b=________.10.已知集合M={x|2x2+x≤(14)

x－

2,x∈R}，则函数y=2x的值域是__________.三、解答题(共30分)11.(9分)设A=am+a－m，B=an+a－n(m＞n＞0，a＞0且a≠1)，判断A，B的大小.12.(10分)已知函数f(x)=a－

22x1(a∈R)，求证：对任何a∈R,f(x)为增函数.x1213.(11分)设0≤x≤2，求函数y=42a2xa21的最大值和最小值.课堂练习：（略）小结： 课后作业：（略）

用心 爱心 专心 则

第四篇：高中数学《直线的方程》教案8 新人教A版必修2

直线的一般式方程

教学目标

（1）掌握直线方程的一般式AxByC0（A,B不同时为0）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程；

②关于x,y的二元一次方程的图形是直线．

（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 教学重点

各种形式之间的互相转化． 教学难点

理解直线方程的一般式的含义． 教学过程

一、问题情境

1．复习：直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程． 2．问题：

（1）点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x,y的什么方程（二元一次方程）？（2）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于x,y的二元一次方程表示吗？（3）关于x,y的二元一次方程是否一定表示一条直线？

二、建构数学 1．一般式

（1）直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程：

在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在90和90两种情况下，直线方程可分别写成ykxb及xx1这两种形式，它们又都可变形为AxByC0的形式，且A,B不同时为0，即直线的方程都是关于x,y的二元一次方程．（2）关于x,y的二元一次方程的图形是直线：

因为关于x,y的二元一次方程的一般形式为AxByC0，其中A,B不同时为0．在B0和B0两种情况下，一次方程可分别化成yACCx和x，它们分别是直BBA线的斜截式方程和与y轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线．

这样我们就建立了直线与关于x,y二元一次方程之间的对应关系．我们把AxByC0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式．

一般地，需将所求的直线方程化为一般式．

三、数学运用 1．例题：

例1．已知直线过点A(6,4)，斜率为解：经过点A(6,4)且斜率4，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程． 344的直线方程的点斜式y4(x6)，33用心

爱心

专心

化成一般式，得：4x3y120，化成截距式，得：

xy1． 34例2．求直线l:3x5y150的斜率及x轴，y轴上的截距，并作图． 解：直线l:3x5y150的方程可写成y∴直线l的斜率k3x3，533；y轴上的截距为3； 525当y0时，x5，∴ x轴上的截距为5．

例3．设直线l:(m2m3)x(2mm1)y2m60(m1)，根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在 x轴上的截距为3；（2）直线l的斜率为1．

解：（1）令y0得 x22m62m65，由题知，解得． 3mm22m3m22m33m22m3m22m341（2）∵直线l的斜率为k，∴，解得． m222mm12mm133，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 434解：设直线方程为yxb，令y0，得xb，4314b∴|b()|6，∴b3，23例4．求斜率为所以，所求直线方程为3x4y120或3x4y120．

例5．直线l过点P(6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距相等，求直线l的方程．

分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解． 解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线l的方程为∵直线l过点P(6,3)，∴

xy1，bb631，∴b3，bb∴直线l的方程为xy30．

（2）当截距为零时，则直线l过原点，设其方程为ykx，1将x6,y3代入上式，得36k，所以k，21∴直线l的方程为yx，即x2y0，2用心

爱心

专心

综合（1）（2）得，所求直线l的方程为xy30或x2y0．

2．练习：课本第79页练习第1、2、4题．

四、回顾小结：

1．什么是直线的一般式？直线方程的各种形式之间的如何互相转化？

五、课外作业：

课本第79练习页第3题、第80页第10题、第117页第3、4、5、6题．

用心爱心

专心 3

第五篇：新人教必修4 示范教案(1.窦娥冤)

窦娥冤

从容说课

《窦娥冤》是我国十大古典悲剧之一，是元杂剧中悲剧的典范，具有极高的艺术成就。本文教学要在整体把握全剧的基础上，把重点放在高潮部分第三折，要扣住情节发展的顺序，弄清作者是如何刻画窦娥这个人物形象及其性格特征的。对【滚绣球】及三桩誓愿要仔细体味，认真研究，学会辩证分析，全面准确地把握形象的社会意义及其人物性格中所体现出来的矛盾性，从而深刻认识当时社会的黑暗和法制的腐朽性。对【滚绣球】一段，要反复吟诵，力争会背会默写，并从深层含义上去理解、把握。

本文将采取活动式、探讨式、鉴赏式相结合的教学方法。拟定三课时。

第一课时：简介作者、背景及元杂剧的相关知识，整体感知全剧，把握故事情节，了解

主要矛盾冲突，分析悲剧产生的根源。

第二课时：重点欣赏高潮部分第三折的一、二场戏，通过表演带动气氛，鉴赏曲词，分

析人物。

第三课时：分析第三折的第三场戏，解读戏剧主题，品味关汉卿的“本色化”戏剧语言。教学重点 理清戏剧冲突的主要方面，分析人物形象。

教学难点 窦娥对天地既斥骂又依赖的矛盾中透露出作者思想的复杂性。教具准备 多媒体课件。课时安排 3课时。

三维目标

知识与能力

1.了解元杂剧的特点及相关知识。

2.把握全剧的故事情节并分析窦娥的形象，理解窦娥形象的社会意义，掌握戏剧的主题。3.品味“本色化”戏剧语言。过程与方法

1.合作探究，透过戏剧冲突分析人物形象。2.实践活动，通过表演激发兴趣。3.鉴赏品味，领略戏剧语言艺术。情感态度与价值观

感受窦娥身上的人性美，认识恶劣社会秩序对人性的摧残，培养学生向善的心灵。

教学过程 第一课时

导入新课

师 同学们喜欢看连续剧吗？ 生（齐声）喜欢。

师 当你看的连续剧中的主人公以悲剧告终，你们会有什么感受呢？（学生七嘴八舌地小声议论）

生 老师，当我看到心爱的主人公死去时会很痛苦，仿佛世界一夜之间变得灰暗了，心情一下子低落到了极点，甚至会痛哭流涕。

生 老师，我倒不会那么投入，因为我会提醒自己那仅仅是一部戏，但我会思考悲剧后面的原因。

师 看来前一位同学比较感性，感情丰富；后一位同学比较理性，善于思考。悲剧在众多的艺术品中是最具震撼力的艺术形式之一，它能使欣赏者在感情激荡中得到净化，并更加深刻地认识现实生活，因此，很受艺术家的欢迎，从而创作出了许多脍炙人口的经典作品，比如英国莎士比亚的四大悲剧，中国的十大悲剧。今天我们就来欣赏一部由元代戏剧大师关

汉卿创作的经典名剧《窦娥冤》。这是一部元代杂剧，课前让大家上网查找元杂剧和关汉卿的相关资料，现在就请同学来展示自己的成果。

推进新课

生 老师，我来介绍元杂剧。

多媒体课件展示：

元杂剧是我国元代兴起的一种戏剧形式，它有一套较严格的体制。

1.结构：元杂剧一般是一本四折演一完整的故事，个别的有五折、六折或多本连演。折是音乐组织的单元，也是故事情节发展的自然段落，它不受时间、地点的限制，每一折大都包括较多的场次，类似于现代戏剧的“幕”。有的杂剧还有“楔子”，通常在第一折之前起交代作用，相当于现代剧的序幕，用来说明情节，介绍人物。杂剧每折限用同一宫调的曲牌组成的一套曲子。演出时一本四折都由正末或正旦独唱（其他角色只有说白），分别称为“末本”或“旦本”。

2.角色：扮演的角色有末、旦、净、丑等。元杂剧每本戏只有一个主角，男主角称正末，女主角称正旦。此外，男配角有副末（次主角）、外末（老年男子）、小末（少年）等；女配角有副旦、外旦、小旦等。

净：俗称“大花脸”，大都扮演性格、相貌上有特异之处的人物。如张飞、李逵。丑：俗称“小花脸”，大抵扮演男次要人物。

此外，还有孛（bó）老（老头儿）、卜儿（老妇人）、孤（官员）、徕儿（小厮）。3.剧本的构成：剧本由唱、科、白三部分构成。唱词是按一定的宫调（乐调）、曲牌（曲谱）写成的韵文。元杂剧规定，每一折戏，唱同一宫调的一套曲子，其宫调和每套曲子的先后顺序都有惯例规定。科是戏剧动作的总称。包括舞台的程式、武打和舞蹈。白是“宾白”，是剧中人的说白部分。宾白又分以下四种：对白：人物对话；独白：人物自叙；旁白：背过别的人物自叙心里话；带白：唱词中的插话。宾白是元杂剧中重要的有机组成部分。所谓“曲白相生，方尽剧情之妙”，正说明这一点。

师 非常感谢这位同学为我们提供了这么详细的资料，在众多的元杂剧作家中，关汉卿堪称一绝。哪位同学来介绍一下。

生 关汉卿，号己斋叟，金末元初大都人，著名的戏曲作家。他精通音律，会吟诗，会吹箫、弹琴、歌唱、舞蹈，也会下棋射猎，具有多种多样的才艺。当时由于元朝阶级矛盾和民族矛盾尖锐，关汉卿不满当时的社会现实，他不愿做官而进入社会底层。他一生主要从事戏剧活动，不仅写剧本，而且登台演唱，借助元杂剧艺术来揭露现实黑暗，寄托自己的情感和愿望。

关汉卿比英国戏剧大师莎士比亚早三个多世纪，共创作杂剧六十多种，现仅存十八种。流传较广的有《窦娥冤》《救风尘》《望江亭》《单刀会》《鲁斋郎》等。关汉卿剧作具有深刻的社会内容。他同情弱小，憎恶强权。在他笔下，被压迫的人民总是那样勇敢、正直而又充满着智慧；而上层统治阶级总是如此卑劣、低下和贪婪。他的剧作既深刻地反映了现实，又放射着理想的光辉，深受人民喜爱。关汉卿剧作之所以有生命力，还在于它的巨大的艺术魅力。他善于塑造典型人物形象，刻画出人物深邃复杂的内心世界。他的戏剧语言不事雕琢镂饰，呈其朴实自然的本色，又有艺术韵味，也被历代评论家称为本色派之首。

师 好，掌声感谢这位同学。下面我们就来欣赏《窦娥冤》。这部剧共有四折，课文节选了前三折，请大家简要概括每一折的故事情节，五分钟时间。

（学生浏览课文并动笔概括）

师 时间到，请同学们展示自己的成果。生 楔子部分的情节是，书生窦天章因连本带利欠蔡婆四十两银子被迫把七岁的女儿抵

给她做童养媳，然后进京赶考去了。

生 第一折的情节是，庸医赛卢医欠蔡婆十两银子，心生歹意要勒死蔡婆却被张驴儿父子俩撞破，张驴儿乘机逼蔡婆婆媳俩分别嫁给他们父子俩，蔡婆无奈之下答应了，回家后遭到生性刚烈的窦娥的责骂与反对，只好先让张驴儿父子在家中住下。

生 第二折的情节是，张驴儿为达目的心生恶意，找赛卢医讨了毒药欲毒死蔡婆，阴差阳错被他父亲喝了，张驴儿顺势栽赃窦娥，逼她私了，嫁与自己为妻，被刚烈的窦娥断然拒绝，于是，两人对簿公堂，却不料碰上桃杌这个昏官，偏听张驴儿一面之词，窦娥为保蔡婆被屈打成招判了死刑。

生 第三折的情节是，在被押往法场的路上，窦娥激愤之下指天骂地，并在行刑前许下三桩誓愿——血飞白练、六月飞雪、亢旱三年，以示冤屈，窦娥死后誓愿一一应验。

师 这几位同学概括得很精练，课前预习效果很好。那么，在剧本中这位受了冤屈的窦娥到底是一个什么样的人呢？大家用两分钟分析讨论一下。

（学生热烈讨论）

师 好，现在就请同学们踊跃发表自己的看法，注意，要言之有据哟！生 她很坚贞刚烈，当蔡婆劝她将就嫁给张驴儿时，她不但断然拒绝，“我一马难将两鞍鞴，想男儿在日曾两年匹配，却教我改嫁别人，其实做不得”，而且当面指出婆婆不是，“多淫奔，少志气，亏杀前人在那里，更休说百步相随”。

生 窦娥还是一个善良孝顺的女子，她宁愿自己屈死也要保得婆婆不受伤害，“住住住，休打我婆婆。情愿我招了罢，是我药死公公来”“婆婆也，我若是不死呵，如何救得你”，而在去往刑场的路上，她要求走后街则是怕婆婆伤心，“俺婆婆若见我披枷带锁赴法场餐刀去呵，枉将他气杀也么哥”。

生 她还具有很强的反抗性，在去法场的路上，她指天骂地，行刑前则许下三桩誓愿以示冤屈。

师 总之，窦娥是一位善良、孝顺、坚强的女性形象，但这么美好的人却最终落了个身首异处的悲惨结局，是谁之过错呢？

（学生议论纷纷）

生 老师，这都是那个无赖张驴儿造的孽。

生 不对，我觉得那个昏官桃杌应该负更大的责任，要不是他昏庸无能，草菅人命，窦娥才不会落得屈打成招，身首两处的下场。

生 我觉得蔡婆也有很大责任，正是他的软弱不贞、引狼入室埋下了祸根。

生 窦娥她父亲也该算上一个，他为了自己的前程，撇下年幼的女儿，也是窦娥悲惨命运的促成者之一。

师 看来是“人人有责”了，（笑）同学们说的都很有道理，但还没抓住本质，不够全面，再想想„„

（学生沉默做思考状）

生 老师，可能是当时的社会环境吧！

师 有点不够自信哟！非常正确，既然“人人有责”，这“人人”不就构成了一个社会嘛！正是他们形成的合力一步步把善良的窦娥逼入死地。大家再想想看，窦娥所处的社会是什么样的状况？

（学生热烈讨论）生 恶劣。生 荒谬。师 何以见得？

生 首先，窦天章是一介书生，却落魄到卖女还债的地步；其次，一个“死的医不活，活的医死了”的江湖庸医却成了“人道我一手好医，都叫做赛卢医”，欠人十两银子就想着勒死债主；再者，张驴儿凑巧救了蔡婆，就恃恩耍赖，涎着脸皮硬逼要双双入赘；更荒唐的是，“明镜高悬”的衙门里坐的竟是念叨着“我做官人胜别人，告状来的要金银。若是上司当刷卷，在家推病不出门”“你不知道，但来告状的，就是我衣食父母”这一类话的贪官。所以，窦娥很不幸地生活在一个暗无天日、是非颠倒的社会。

师 很好，戏剧一般是通过矛盾冲突来塑造人物形象表达主题的，而戏剧冲突一般有三类：人物之间的冲突，人与环境的冲突，人物内心的冲突。那么，本剧的主要矛盾属于什么类型？

生（齐声）人与社会环境的冲突。师 对，正是无赖张驴儿和昏官桃杌所代表的社会黑暗势力无情地毁灭了一位具有美好灵魂的女子。随着剧情发展，眼见着善良美丽的窦娥一步一步被推向死地，你们有什么感受呢？

生 既痛苦又无奈，特别是看到窦娥指天骂地那一段，让人有撕心裂肺的感觉。师 真情流露，鲁迅先生说：“所谓悲剧就是把美好的事物撕碎给人看。”《窦娥冤》活生生地展示了黑暗社会吞噬人的过程，使观众的情感得到涤荡，激起人们对黑暗社会的痛恨。课堂小结

师 本节课我们从整体上把握了戏剧情节，并分析了戏剧的矛盾冲突，初步领略了《窦娥冤》的悲剧美，希望同学们课后继续欣赏关汉卿笔下的悲剧世界。

布置作业

师 同学们，欣赏戏剧光阅读剧本是不过瘾的，我们应该向关汉卿学习，“躬践排场，面敷粉墨”亲自登台演出，今天的课后作业就是，以学习小组为单位排演第三折戏。下课。

第二课时

导入新课

师（微笑）上节课，我们从整体上欣赏了《窦娥冤》，今天我们来重点品味第三折，在这一折中，剧情走向高潮，窦娥的形象在剧烈的戏剧冲突中被塑造得感人至深，催人泪下。同学们先思考一下：本折可以分为几个场景？

推进新课

生 可分为三个场景。)赴法场 怨天(窦娥指斥天地鬼神)情节结构见蔡婆 遗嘱(窦娥告别婆婆

在型场 誓愿(窦娥发下三桩誓愿)师 很准确，我们先朗读第一个场景的两段曲子，读的时候要充分体现窦娥当时的激愤情感。

（学生有感情地朗读）

师 好，读得很不错，说明同学们已能体会窦娥当时的心情了。那么这两段曲子写了什么内容呢？

生 写了窦娥的愤怒控诉。师 控诉什么？ 生 控诉天地不公。师 天地，在古代人的意识里，是被看作能够主宰世间万物包括人的命运的最神圣的东西，是不容侵犯的。现在怎么却成了斥骂的对象呢？

生 善良美丽的窦娥蒙受如此深重的冤情，而天地面对人间的邪恶残暴竟无动于衷，难道不该骂？所以当窦娥痛快淋漓地唱出“„„怎不将天地也生埋怨”的唱词时，我心里痛快

极了。

师 说得好，窦娥是真的要骂天地吗？

生 老师，我觉得这里的“天”指的是封建统治者，而“地”则指的是昏庸的官吏，实际上，这是对整个社会秩序的怀疑，是对当时社会黑暗的激烈控诉。

师 深刻，那么，你从中读出了主人公怎样的情感呢？ 生 有一股怨气，“没来由犯王法，不提防遭刑宪”平白无故地被送上断头台，当然怨了。

生 还有恨，“地也，你不分好歹何为地？天也，你错勘贤愚枉做天！” 生 很无奈悲哀，“哎，只落得两泪涟涟”，有屈无处伸，这种痛苦是无法言喻的。师 看来同学们是用心去读了，这两首曲子感情是如此的激昂，作者用了什么艺术手法去营造这种效果的？大家不妨讨论讨论。

师 哪位同学先来发表高见啊？ 生 这里用了对偶，“地也，你不分好歹何为地？天也，你错勘贤愚枉做天”，句式整齐，语气连贯，使感情犹如水银泻地酣畅淋漓。

生 还用了对比，“为善的受贫穷更命短，造恶的享富贵有寿延”对比强烈，具有鲜明的感情色彩。

生 呼告，“天地也！只合把清浊分辨，可怎生糊突了盗跖、颜渊”，强烈的情感喷薄而出，有极强的感染力。

师 看来讨论很有成效啊，正所谓思想的碰撞会产生火花嘛，几位同学分析得都很有见地，这正反映了关汉卿语言大师的英雄本色。（学生笑）这两个曲牌，十分准确而深刻地概括了阶级社会中，统治阶级草菅人命、残酷压迫人民的反动本质。又由于这两个曲牌的唱腔高亢激越，音乐的艺术形式和思想内容和谐统一，有一种强烈的感人力量。因此，这两个曲牌，就已把剧情推向了高潮。接下来我们来看第二个场景，先请几位同学来表演“诀别婆婆”这幕戏好不好？

生（齐声）好。

【创设氛围，合作学习】（学生表演，气氛热烈）

师 从掌声中听出，这几位同学的即兴表演还是很成功的，哪位同学来点评一下。生 我来说说吧，首先很难为这几位能在这么短的时间就流畅地演完这一幕戏，基本还是能表现出人物的身份情感特点，特别是那个刽子手就演得出神入化，（学生大笑）美中不足的是，窦娥的那种悲彻动人的情感没有表现出来，演员表演有点造作，不是发自内心的。

师 很中肯，那么你认为这一场景写窦娥与婆婆诀别的感情基调是什么呢？ 生 悲彻痛楚，哀婉凄恻。

师 非常准确，这一场景汇总表现了窦娥的什么性格特点呢？ 生（齐声）善良、孝顺。师 很好，作者实际上有意通过这一场景着力刻画窦娥的善良，这对表达主题有什么帮助？

生 我认为，作者在这里是通过善良被毁灭来揭露社会的黑暗，窦娥越是善良孝顺，揭露的意义就越深刻。

师 真是一语中的。

课堂小结

师 今天，我们重点欣赏了第三折戏的前两个场景，领略了窦娥身上散发出的人性美，更进一步体会到黑暗社会吞噬善良的悲剧性。

布置作业

师 关汉卿是以“本色化”著称于世，他所写的人物的唱词，在抒情中蕴涵着鲜明的动作性，切合特定的戏剧情境，请同学们课后仔细阅读剧本找出例句加以鉴赏点评。

第三课时

导入新课

师（微笑）上节课，我们就开始进入《窦娥冤》高潮部分，这节课呢，我们将进入高潮中的高潮了，（学生大笑），第三个场景写了什么？

推进新课

生 写窦娥在临刑前发下三桩誓愿。师 哪三桩？分别说明了她的什么愿望？ 生 第一个誓愿是血溅白练：她希望刑场上的人们能立刻了解她的冤屈；第二个誓愿是六月飞雪：她希望自己的冤屈会在上天得到反应；第三个誓愿是亢旱三年：她不仅希望个人的冤屈得到伸张，而且希望上天能够惩治邪恶。

师 三桩誓愿在程度上„„ 生（抢答）逐步加深。

师 情感也逐步达到高潮，非常好，这三桩誓愿是向谁发下的？ 生（齐声）向天地。师 这就奇怪了，在第一个场景中，窦娥不是刚刚把天地骂了个狗血淋头吗？干吗现在又去求人家？这不是自相矛盾吗？

（学生议论纷纷）

生 我认为并不矛盾，在封建社会，人民不仅在人身权利及政治经济上受压迫，而且在思想上受毒害。按当时观念，天地鬼神明察世上是非，主持人间公道。封建官吏为了愚民，也每每以青天自况。窦娥开始也受神权思想影响，相信“青天大老爷”能主持正义，赏善罚恶。在残酷的现实面前，她觉醒过来，看清了“衙门自古向南开，就中无个不冤哉”的社会真相。在【滚绣球】一曲中，她猛烈地指责天地鬼神不分清浊，混淆是非，致使恶人横行，良善衔冤。窦娥对神权的大胆谴责，实质上是对封建统治的强烈控诉和否定。她那似岩浆迸射如山洪决堤般的愤激之词，反映了女主人公的觉醒意识和反抗精神，也折射出当时广大人民的反抗精神，而临刑前的三桩誓愿则希望上天来主持公道。

生 我不同意，窦娥对天地鬼神的严厉指斥和要感动天地，显然是矛盾的。这说明窦娥诉冤过程中对天的怀疑和依赖是始终交织在一起的。这正反映了作家的历史和阶级的局限，一方面，他通过窦娥指天斥地从根本上批判封建统治阶级，表达自己变革现实的愿望；另一方面，又不能从根本上提出救民于水火的办法，只能靠天地动容来昭雪窦娥的冤案。

师 不错嘛，能够联系作家背景去分析，还会透过作品去分析作家思想，见解深刻。这誓愿在现实世界里能实现吗？

生 不能，是幻想。

师 那为什么它们在剧中还能一一兑现？（学生热烈讨论，老师巡视答疑）

生 这里作者运用了浪漫主义手法，通过奇特的构思，借助想象，让天地震惊，人神共怒，虽然违背常理，却又合乎人情，有力地表现了广大人民要求伸张正义、洗雪天下冤屈的心愿。

师 分析得很好啊，在第四折里，作者又用了同样的手法安排窦娥的鬼魂出现向已任“两淮提刑肃政廉访使”的父亲窦天章伸冤，最后终于真相大白、沉冤得雪，张驴儿和赛卢医得到应有的惩处，张驴儿被砍头，赛卢医被流放。

（学生鼓掌）

师（笑）真是大快人心！关汉卿的戏剧语言不事雕琢镂饰，呈其自然朴实的本色，既富有生活气息，又具有强烈的艺术韵味，被称道为“字字本色”，尊为“本色派”之首。请同学们从文中找出例子来证明。

(学生仔细阅读文章，将找出的语段画出来，时间2~3分钟)师 下面，请同学们结合例子评点一下。生 我要评的是窦娥对婆婆的一段说白，那些话出自这个封建社会小媳妇的口里是那样的贴切，表现得是那么自然、生动，可见窦娥对婆婆的孝顺，也使窦娥的性格更加完美。

生 张驴儿俗不可耐，面目可憎，连言语也令人作呕，他对蔡婆说：“你教窦娥随顺了我，叫我三声嫡嫡亲亲的丈夫，我便饶了他。”这虽是三言两语，却活现出一副恶棍无赖的口吻。

师 评得不错啊，戏剧大师关汉卿既立足于戏剧语言性格化，又博采现实生活中的种种语言素材，包括谚语、俚语、成语、口头禅等，融合于作品之中，形成了一个自然真切、色彩斑斓的语言世界，希望同学们课后继续欣赏。

课堂小结

师 在本课中，我们结识了一个善良而美丽的灵魂，也感同身受地体会了遭受丑恶社会势力吞噬的孤独无助的痛苦，这就是悲剧的力量，它让我们憎恶邪恶，向往善良，希望我们在戏剧的艺术世界中沐浴，洗去心灵的尘埃。

布置作业

师 在文学世界里，我们阅读一个人物应该深入他的内心，用自己的心去触摸他的心，然后，我们就能成就一颗善感的心灵，请课后继续揣摩窦娥这个人物，以“窦娥，我对你说”为题写一篇短文。

板书设计 第二课时)赴法场 怨天(窦娥指斥天地鬼神)情节结构见蔡婆 遗嘱(窦娥告别婆婆

在型场 誓愿(窦娥发下三桩誓愿)第三课时

血飞白练三桩誓愿六月飞雪

亢旱三年活动与探究

一、阅读剧本第四折，思考问题：作者为什么要安排窦娥的父亲为她平冤昭雪？

二、剧本里窦娥三桩誓愿一一实现，这是关汉卿采用了浪漫主义手法。假设，把这部分情节还原为现实主义，情节应该怎么发展？会有什么样的结局？