第一篇:直线的参数方程教学设计
《直线的参数方程》教学设计
教学目标:
1.联系数轴、向量等知识,推导出直线的参数方程,并进行简单应用,体会直线参数方程在解决问题中的作用.
2.通过直线参数方程的推导与应用,培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想.
3.通过建立直线参数方程的过程,激发求知欲,培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度.
教学重点:联系数轴、向量等知识,写出直线的参数方程.
教学难点:通过向量法,建立参数(数轴上的点坐标)与点在直角坐标系中的坐标 之间的联系.
教学方式:启发、探究、交流与讨论.教学手段:多媒体课件. 教学过程:
一、回忆旧知,做好铺垫 教师提出问题:
1.在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么? 2.根据直线的几何条件,你认为应当怎样选择参数,如何建立直线的参数方程?
这些问题先由学生思考,回答,教师补充完善。【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择,为学生推导直线的参数方程做好准备.
二、直线参数方程探究
1.问题:数轴是怎样建立的?数轴上点的坐标的几何意义是什么? 教师提问后,让学生思考并回答问题. 【设计意图】回顾数轴概念,通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义,为选择参数做准备.
2.问题:(1)类比数轴概念,平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴?
(2)把直线当成数轴后,直线上任意一点就有两种坐标.怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系?
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴,为建立直线参数方程作准备.
3.问题(1):当点M在直线L上运动时,点M满足怎样的几何条件? 【设计意图】明确参数.
问题(2):如何确定直线L的单位方向向量 ? 教师启发学生:如果所有单位向量起点相同,那么终点的集合就是一个圆.为了研究问题方便,可以把起点放在原点,这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆.因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量.
【设计意图】综合运用所学知识,获取直线的方向向量,培养学生探索精神,体会数形结合思想.
4.问题:如何建立直线的参数方程?(得出直线的参数方程)
【设计意图】把向量转化为坐标,获得了直线的参数方程,在此基础上分析直线参数方程的特点,体会参数的几何意义.
三、例题讲解 例1.(题略)
先由学生思考并动手解决,教师适时点拨、引导,鼓励一题多解。
在学生解决完后,教师投影展示学生的解答过程,予以纠正、完善.然后进行比较:在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法.
【设计意图】通过本题训练,使学生进一步体会直线的参数方程,并能利用参数解决有关线段长度问题,培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力.
探究:先由学生思考,讨论,最后师生共同得到:
【设计意图】通过特殊到一般,及时让学生总结有关结论,为进一步应用打下基础,培养归纳、概括能力.
四、布置作业,巩固提高 1.教材P41—1;
第二篇:直线的参数方程教案[推荐]
直线的参数方程
(一)三动式学案 黄建伟
教学目标:
1.联系向量等知识,推导出直线的参数方程,并进行简单应用,体会直线参数方程在解决问题中的作用.
2.通过直线参数方程的推导与应用,培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,进一步体会运动与变化、数形结合、转化、从特殊到一般的推理等数学思想.
3.通过建立直线参数方程的过程,激发求知欲,培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度、合作学习的习惯. 教学重点:联系向量等知识,写出直线的参数方程.
教学难点:通过向量法,建立参数t与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系.
教学方式:启发、探究、交流与讨论.教学手段:多媒体课件. 教学过程:
一、课前任务驱动
1.已知直线l:y3x1的倾斜角为,则tan______ sin______;cos_______ 2.已知直线经过点 M0(x0,y0),斜率为k,则直线的方程为__________
3.已知向量a(2,3),则a=______向量a的单位向量e=________,设ate,则t=_______.4已知点M0(x0,y0),M(x,y),单位向量e(cos,sin),向量M0Mte,则 x_______________
y___________
5.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点,求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积.
二、课堂师生互动
一、探究直线参数方程
问题一:经过点 M0(x0,y0),倾斜角为2的直线l的普通方程是?请写出来。问题二:已知直线l上一点M0(x0,y0),直线l的倾斜角为,直线上的的动点M(x,y),设e为直线l的单位方向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同),那么我们能利用表示出直线l单位方向向量e吗?请表示出来。
问题三:根据向量的共线定理,则存在实数t使得你能根据这个式子将有关x,y的等式表M0Mte,示出来吗?请写出来。
思考以下问题:
直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量?
x2tcos10练习1:直线(t为参数)的倾斜角是()y1tsin10A.80 B.170 C.10 D.100
x3tsin20练习2:直线(t为参数)的倾斜角是()y1tcos20A.20 B.70 C.110 D.160
练习3:直线l:xy10的一个参数方程(过点M(1,2))是___________
二、探究直线参数方程参数的几何意义
xx0tcos问题一:由M0Mte,你能得到直线l的参数方程(t为参数)
yy0tsin中参数t的几何意义吗?t的取值范围是多少?
三、探究直线参数方程参数的运用
(一)探究过程
直线l:xy10的一个参数方程(过点M(1,2))是___________(1)当y0时,对应的参数t1=_______;对应的点A为_________.(2)当x2时,对应的参数t2=______;对应的点B为________.(3)AB=___________;t2t1=____________(4)MAMB=_________;t2t1=__________ 结论1:
结论2:
xx0tcos探究:直线 (t为参数)与曲线yf(x)交于M1,M2两点,yytsin0 对应的参数分别为t1,t2,设点M(x0,y0)。(1)曲线的弦M1M2的长是多少?(2)MM1MM2是多少?
(二)例题讲练
例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点,求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积.
课堂练习:
41、已知过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线y22x相交于A,B两点,求
3PAPB的值。
课堂小结:
1、知识小结
2.思想方法小结
三、课后培育自动
1.经过点M(1,5)且倾斜角为参数方程是()1111x1tx1tx1tx1t2222A. B.C. D.
3333y5y5y5y5tttt2222x22tt为参数上与点P2,2、直线3距离等于2的点的坐标是.y32t的直线,以定点M到动 点P的位移t为参数的3xtcosx42cos
3、直线与圆相切,则______ ytsiny2sin
4、经过点P(−1,2),倾斜角为 4 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A,B两点,求PAPBPA +PB和PAPB的值。
第三篇:《2-3 直线的参数方程》教案
选修4-4 2-3直线的参数方程(第二课时)
一、教学目标:
知识与技能:掌握直线的参数方程。
过程与方法:.通过直线参数方程的应用,培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,进一步体会数形结合、转化等数学思想。
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。二重难点:教学重点:对直线的参数方程的考查。
教学难点:直线的参数方程中参数t的几何意义。
三、教学方法:自主学习与合作交流.四、教学过程
(一)复习引入:
(1)经过定点M(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程为
xx0tcos (t为参数)。
yy0tsin【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识: ①直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量?
②参数t的取值范围是什么? ③参数t的几何意义是什么? 总结如下:①x0,y0,是常量,x,y,t是变量; ②tR;
③由于|e|1,且M0Mte,得到M0Mt,因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离.当M0M的方向与数轴(直线)正方向相同时,t0;当M0M的方向与数轴(直线)正方向相反时,t0;当t0时,点M与点M0重合.
xx0tcos(2)直线 (t为参数)与曲线yf(x)交于M1,M2两点,yy0tsin对应的参数分别为t1,t2。(1)曲线的弦M1M2的长是多少?
(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少?
()1M1M2t1t2,(2)tt1t2 2【设计意图】复习直线的参数方程,体会参数的几何意义。
(二)基础练习
x3tsin20(t为参数)1.直线 的倾斜角为________________。ytcos20x=1+3t,2.已知直线l1:(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,求By=2-4t点坐标 ________。
【师生活动】教师投影展示问题,学生单独解答,师生共同予以纠正、完善。【设计意图】通过本题训练,使学生进一步体会直线的参数方程。
(三)直线的参数方程应用,强化理解
1、例题:已知直线l过P(-1,2),且倾斜角A,B两点,(1)求直线l的参数方程;(2)求点P到A,B两点的距离的积;(2)求线段AB的长;(3)求AB的中点M的点的坐标;
【师生活动】先由学生思考并动手解决,教师适时点拨、引导。
【设计意图】通过本题训练,使学生进一步体会直线的参数方程,并能利用参数解决有关线段长度问题,培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力。
(四)高考在线——直线参数的应用技巧
34,与抛物线yx2交于
x12t,1.(2009广东理)(坐标系与参数方程选做题)若直线l1:(t为参数)与
y2kt.2 xs,直线l2:(s为参数)垂直,则k。
y12s.【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条直线垂直问题,基础题。2.(2010.福建高考)
2x3t2在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为,在极坐标(t为参数)y52t2系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点o为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆的方程为25sin
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点A,B若点P的坐标为
3,5,求PAPB。
【考点定位】本小题考查极坐标化为普通方程、直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用,中等题。
【师生活动】先由学生独立思考并动手解决,教师指导自查,互查。【设计意图】通过本题训练,会使学生有一定的提升,一:高考题很有针对性,二:高考题难易得当,三:高考题起导向作用。要找出高考的考点和考试题型,再针对学生的不足加以强化。
(五)归纳总结,提升认识
【师生活动】先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结.教师在学生总结的基础上再进行概括。1.知识小结
本节课继续学习直线的参数方程,并进行了简单应用,体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用。2.思想方法小结
在研究直线参数方程过程中渗透了数形结合、转化等数学思想。
(六)布置作业 39页,第1题
第四篇:回归直线方程教学设计
直线的回归方程教学设计
一、课题引入
引言:我们知道,通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”,但这只是一个定性的判断,更多的时候,我们需要的是定量的刻画.
问题1:下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系?理由呢?是正相关还是负相关?
设计意图:回顾上节课所学内容,使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态.
师生活动:学生回答,图1没有线性相关关系,图2有线性相关关系,因为图1中的所有点都落在某一直线的附近.通过问题,使学生回忆前2节课核心概念:线性相关关系、正相关、负相关等,为后续学习打基础.
二、本节课的新知识
问题2:通过上一节课的学习,我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当,那你能用代数式来刻画“从整体上看,各点与此直线的偏差最小”吗?
设计意图:几何问题代数化,为下一步探究作好准备,经历“几何直观”转化为“代数表达”过程,为引出“最小二乘法”作准备.
师生活动:先展示上一节课的讨论结果:学生提出的如下四种可能性:图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短,图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短,图3(3)表示经过点最多的直线,图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线.通过上一节课的分析,我们认为选择偏差之和最短比较恰当,即图3(2).
设回归直线方程为为型:,(xi,yi)表示第i个样本点,将样本数据记,学生思考,教师启发学生比较下列几个用于评价的模
模型3:
.
师生一起分析后,得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线
222较为方便. Q=(y1-bx1-a)+(y2-bx2-a)+„+(yn-bxn-a)=
问题3:通过对问题2的分析,我们知道了用Q=最小来表示偏差最小,那么在这个式子中,当样本点的坐标(xi,yi)确定时,a,b等于多少,Q能取到最小值呢?
设计意图:体会最小二乘法思想,不经历公式化简无法真正理解其意义,而直接从n个点的公式化简,教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度.因而由具体到抽象,由特殊到一般,将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则.通过这个问题,让学生了解这个式子的结构,为后续的学习打下基础,同时渗透最小值的思想
师生活动:偏差最小从本质上来说是
2最小,为了处理方便,我们采用n个偏差的平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)+…+(yn-bxn-a)2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度:记Q=(向学生说明的意义).通过化简,得到的其实是关于a、b的二元二次函数求最值的问题,一定存在这样的a、b,使Q取到最小值.(1)在此基础上,视
为的二次函数时,可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式:
(2)教师指出,称为样本点的中心,可以证明回归直线一定过样本点
上述方法求回归直线的方法,的中心,所以可得是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,由于平方又叫二乘方,所以这种使距离平方最小的方法,叫做最小二乘法.
问题4:这个公式不要求记忆,但要会运用这个公式进行运算,那么,要求,的值,你会按怎样的顺序求呢?
设计意图:公式不要求推导,又不要求记忆,学生对这个公式缺少感性的认识,通过这个问题,使学生从感性的层次上对公式有所了解.
师生活动:由于这个公式比较复杂,因此在运用这个公式求,时,必须要有条理,先求什么,再求什么,比如,我们可以按照、n、、、、顺序来求,再代入公式.我们一般可以列如下表格进行分布计算:
三、知识深化:
问题5:你能根据表一所提供的样本数据,求出线性回归方程吗?
表一:人体的脂肪百分比和年龄
设计意图:公式形式化程度高、表达复杂,通过分解计算,可加深对公式结构的理解.同时,通过例题,反映数据处理的繁杂性,体现计算器处理的优越性.
师生活动:步骤一,可让学生观察公式,充分讨论,通过计算:n、、、、五个数据带入回归方程公式得到线性回归方程,体会求线性回归方程的原理与方法.
由此可以得到回归直线方程为:
步骤二,教师分析求线性回归方程的基本步骤,然后带领学生用卡西欧FX-991 ES计算器求出线性回归方程并画出回归直线,教师可协同学生,对计算器操作方式提供示范,师生共同完成.
问题6:利用计算器,根据以下表中的数据,请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程:
设计意图:让学生独立体验运用计算器求回归直线方程,在重复求解回归直线的过程中,使学生掌握用计算器求回归直线的操作方法。回归直线为:=0.6541x-4.5659
回归直线为:=0.4767x+4.9476 回归直线为:= 0.5765x-0.4478 问题7:同样问题背景,为什么回归直线不止一条?回归方程求出后,变量间的相关关系是否就转变成确定关系?
设计意图:明确样本的选择影响回归直线方程,体现统计的随机思想.同时,明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系,而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法,使学生更全面的理解回归直线这一核心概念. 案例:卖出热茶的杯数与当天气温的关系
下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表(用计算器直接求回归直线):
(1)求回归方程;(2)按照回归方程,计算温度为10度时销售杯数.为什么与表中不同?如果某天的气温是-5℃时,预测这天小卖部卖出热茶的杯数.
让学生完整经历求回归直线的过程.其中第2问,让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线,也存在着一定的误差,从中体会无论方法的优劣,统计学中随机性无法避免.而在预测值的计算中,体现了回归直线的应用价值.
通过对案例的分析,说明事件、样本数据、回归直线方程三者关系: 1.数据采样本身就具有随机性,同样23岁的人,脂肪含量可能9.5%,也有可能30%,这种误差我们称之为随机误差,随机误差是不可避免的.
2.回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性,虽然一个数据具有随机误差,但总体还是具有某种确定的关系.
3.在数据采样都符合统计要求的情况下,取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的,不存在哪条最合适的问题,但一般情况下,选择数据多一些的比较合理.
四、小结:
问题8:请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程?事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系? 师生活动:
1.求样本数据的线性回归方程的方法(1)直接运用公式
(2)借助计算器或计算机(使用方法见学案)2.样本数据与回归直线的关系
第五篇:《直线与方程》单元教学设计
《直线与方程》单元教学设计
摘 要: 单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计。单元教学设计要有整体性、相关性、、阶梯性和综合性。本文以人教A版高中数学必修2《直线与方程》一章为例,从单元教学目标、要素分析、教学流程设计等方面进行了整体设计,旨在更好地实现教与学。
关键词: 直线与方程 单元教学设计 教学要素
单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计,这里的单元可是一章,也可是以某个知识内容为主的知识模块。单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性和综合性。本文以人教A版高中数学必修2《直线与方程》一章为例进行了单元教学设计,设计内容包括单元教学目标、要素分析(其中包含数学分析、标准分析、学生分析、重点分析、教材比较分析、教学方式分析等)、教学流程设计、典型案例设计和反思与改进等。
一、单元教学目标
(1)理解并体会用代数方法研究直线问题的基本思路:先在平面直角坐标系中建立直线的代数方程,再通过方程,用代数方法解决几何问题。(2)初步形成用代数方法解决几何问题的能力,体会数形结合的思想。
二、要素分析
1.数学分析:直线与方程为人教A版教材必修2第三章内容,必修2包括立体几何初步、解析几何初步,其中立体几何初步分为空间几何体,点、直线、平面之间的位置关系。直线与方程是继立体几何的学习之后从代数的观点认识、描述、刻画直线,是在平面直角坐标系中建立直线的方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系。它在高中数学中的地位非常重要,可以说是高中数学体系中的“交通枢纽”。它与代数中的一次函数、二元一次方程、几何中的直线和不等式及线性规划等内容都有关联。
在本章教学中,学生应该经历如下的过程:首先将直线的倾斜角代数化,探索确定直线位置的几何要素,建立直线的方程,把直线问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。这种数形结合的思想贯穿教学的始终,并且在后续课程中不断体现。
2.标准分析:①坐标法的渗透与掌握:解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法。②作为后续学习的基础,要灵活地根据条件确定或者待定直线的方程,如将直线方程预设成点斜式、斜截式或一般式,等等。③认识到直线方程中的系数唯一确定直线的几何特性,可类比学习后续课程椭圆方程中的系数a,b,c,双曲线标准方程的系数,抛物线的系数,也可以延伸至两条直线的位置关系取决于直线方程中的系数,即取决于两个重要的量――斜率和截距。④本单元内容属于解析几何的范畴,是用代数方法研究图形的几何性质,体现数形结合的重要思想。所以在本单元学习中,学生要初步形成用代数方法解决几何问题的能力,体会数形结合的思想,其核心可以由以下知识结构图显现出来:
3.学习者特征分析:已有一次函数知识作为基础;刚刚结束了立体几何初步的学习,现在学习直线与方程可以说是对点、直线的再认识、再深化;该课程是高一课程,学生习惯于直觉思维,感性认识要多一点,或者说学生正在初步接触和进行逻辑思维,处在由直观到精确、由感性到理性的认知水平的转化和提高过程中。故从这种意义看来,本单元课程不失为一个思维提升训练非常恰当的载体。
4.重点难点分析:本单元目的是在解析几何视角下完成直线上的点与方程的解的联系,直线上所有点与方程的所有解之间的联系,从而建立直线的方程,把直线问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果得几何含义,最终解决几何问题。由此说本单元的重点是直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式,重点方法和思想是形成用代数方法解决几何问题的能力,体会数形结合的思想。
5.教材对比分析:现行教材都突出解析几何中坐标法的应用,强调数形结合思想在本章中的渗透,授课内容也都基本相同,但是有各自的特点,下面就人教A版和苏教版进行比较,如下图:
不管顺序怎么不同,各种教材都是根据学生的认知水平、遵循学生的认识规律的,我们不必过于拘泥于某种教材,而是根据自己学生的特点、认知水平,选择合适的教学手段和方法。
6.教学方式分析:可以灵活采用各种教学方法,我们学校主要采用五环节教学法,即师生共同探究、学生独立思考、小组合作交流、学生精彩展示和老师精彩点评五个环节。
三、教学流程设计
四、典型案例设计(略)
五、反思与改进
1.重视解析几何在高中数学中的指导性地位,要不失时机地渗透、巩固,加深学生对其重要性的认识。2.把握教学中的“度”,最好不要在细枝末叶处“折腾”。3.进行单元教学设计可大可小,要用整体把握的观点指导教学。