近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
九、计数原理
一、单选题
1．（2021·全国（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A．0.3
B．0.5
C．0.6
D．0.8
3．（2021·全国（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A．60种
B．120种
C．240种
D．480种
4．（2020·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）
A．2种
B．3种
C．6种
D．8种
5．（2020·北京）在的展开式中，的系数为（）．
A．
B．5
C．
D．10
6．（2020·海南）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
A．120种
B．90种
C．60种
D．30种
7．（2020·全国（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i A．5 B．8 C．10 D．15 8．（2020·全国（理））的展开式中x3y3的系数为（） A．5 B．10 C．15 D．20 9．（2019·全国（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A． B． C． D． 10．（2019·全国（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24 11．（2019·全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． B． C． D． 12．（2018·全国（理））的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 13．（2017·全国（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为 A．-80 B．-40 C．40 D．80 14．（2017·全国（理））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 15．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 16．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 17．（2021·浙江）已知多项式，则___________，___________.18．（2020·浙江）设，则________；________． 19．（2019·浙江）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.20．（2017·浙江）已知多项式2=，则=________________，=________.二、填空题 21．（2020·天津）在的展开式中，的系数是_________． 22．（2020·全国（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 23．（2020·全国（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.24．（2019·天津（理））展开式中的常数项为________.25．（2019·上海）在的二项展开式中，常数项的值为__________ 26．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示） 27．（2018·上海）在的二项展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）． 28．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 29．（2018·浙江）二项式的展开式的常数项是___________． 30．（2018·天津（理））在二项式的展开式中，的系数为__________． 31．（2018·全国（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 32．（2017·天津（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 33．（2017·山东（理））已知的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.34．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 四、解答题 35．（2019·江苏）设.已知.（1）求n的值； （2）设，其中，求的值.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 九、计数原理（答案解析） 1．C 【分析】 采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【解析】 将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.2．C 【解析】 解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.3．C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【解析】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.4．C 【分析】 首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【解析】 第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 5．C 【分析】 首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【解析】 展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【小结】 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 6．C 【分析】 分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【解析】 首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C 【小结】 本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.7．C 【分析】 根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足 从开始，利用列举法即可解出． 【解析】 根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． 【小结】 本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 8．C 【分析】 求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【解析】 展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 【小结】 本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9．D 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【解析】 两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D． 【小结】 本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 10．A 【分析】 本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【解析】 由题意得x3的系数为，故选A． 【小结】 本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 11．A 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【解析】 由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 【小结】 对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 12．C 【解析】 分析：写出，然后可得结果 解析：由题可得 令,则 所以 故选C.小结：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 13．C 【解析】，由展开式的通项公式可得： 当时，展开式中的系数为； 当时，展开式中的系数为，则的系数为.故选C.14．C 【解析】 因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.小结:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.15．D 【解析】 4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种． 故选D.16．D 【解析】 4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种． 故选D.17．; .【分析】 根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【解析】，所以，所以.故答案为：.18． 【分析】 利用二项式展开式的通项公式计算即可.【解析】的通项为，令，则，故； .故答案为：；.【点晴】 本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.19． 【分析】 本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【解析】的通项为 可得常数项为，因系数为有理数，有共5个项 【小结】 此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.20．16 【解析】 由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得． 【小结】 本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 21．10 【分析】 写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出． 【解析】 因为的展开式的通项公式为，令，解得． 所以的系数为． 故答案为：． 【小结】 本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 22．【分析】 写出二项式展开通项，即可求得常数项.【解析】 其二项式展开通项： 当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【小结】 本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.23． 【分析】 根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 先取2名同学看作一组，选法有： 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种 故答案为：.【小结】 本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.24． 【分析】 根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项． 【解析】，由，得，所以的常数项为.【小结】 本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的． 25．15 【分析】 写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【解析】 二项展开式通项为： 当时，常数项为： 本题正确结果： 【小结】 本题考查二项式定理的应用，属于基础题.26．24 【分析】 首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【解析】 在天里，连续天的情况，一共有种 剩下的人全排列： 故一共有：种 【小结】 本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.27．21.【分析】 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解析】 二项式（1+x）7展开式的通项公式为 Tr+1=•xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21． 故答案为21． 【小结】 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.28．1260.【解析】 分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.解析：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数.小结：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.29．7 【解析】 分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.解析：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为 小结：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.30．.【分析】 由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【解析】 结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【小结】 （1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 31．【分析】 首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【解析】 根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.【小结】 该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.32．1080 【解析】 33．【解析】（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr． ∵含有x2的系数是54，∴r＝2． ∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案为4． 34．660 【解析】 第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.35．（1）；（2）-32.【解析】 （1）因为，所以，． 因为，所以，解得． （2）由（1）知，． ． 解法一： 因为，所以，从而． 解法二： ． 因为，所以． 因此．
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