理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之06函数综合及其应用

专题二

函数概念与基本初等函数Ⅰ

第六讲

函数的综合及其应用

一､选择题

1.(2017天津)已知函数设,若关于的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是

A.B.C.D.2.(2015北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

3.(2014北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足函数关系(､､是常数),下图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为（）

A.分钟

B.分钟

C.分钟

D.分钟

4.(2014湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为

A.B.C.D.二､填空题

5.(2017山东)若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质,下列函数中具有性质的是

.①

②

③

④

6.(2017江苏)设是定义在且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是

.7.(2017新课标Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为,半径为5

cm,该纸片上的等边三角形的中心为.､､为圆上的点，,分别是以，为底边的等腰三角形｡沿虚线剪开后,分别以，为折痕折起，,使得､､重合,得到三棱锥｡当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为_______.8.(2016年北京)

设函数.①若,则的最大值为____________________;

②若无最大值,则实数的取值范围是_________________.9.(2015四川)某食品的保鲜时间(单位:小时)与储存温度(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数).若该食品在0的保鲜时间设计192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是

小时.10.(2014山东)已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为函数,满足:对任意,两个点

关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是____.11.(2014福建)要制作一个容器为4,高为的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元)

12.(2014四川)以表示值域为的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间

.例如,当,时，.现有如下命题:

①设函数的定义域为,则“”的充要条件是“，”;

②函数的充要条件是有最大值和最小值;

③若函数,的定义域相同,且，则;

④若函数(,)有最大值,则.其中的真命题有

.(写出所有真命题的序号)

三､解答题

13.(2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当中的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为

(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.14.(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.15.(2016年上海高考)已知,函数.(1)当时,解不等式;

(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;

(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.16.(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为,如图所示，为的两个端点,测得点到的距离分别为5千米和40千米,点到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系,假设曲线符合函数(其中为常数)模型.(I)求的值;

(II)设公路与曲线相切于点,的横坐标为.①请写出公路长度的函数解析式,并写出其定义域;

②当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度.17.(2013重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).(Ⅰ)将表示成的函数,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.18.(2012陕西)设函数

(1)设，证明:在区间内存在唯一的零点;

(2)设n为偶数，,求的最小值和最大值;

(3)设,若对任意,有,求的取值范围;

19.(2011江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,､在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设cm

(1)某广告商要求包装盒侧面积(cm)最大,试问应取何值?

(2)某广告商要求包装盒容积(cm)最大,试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.答案部分

1.A【解析】解法一

根据题意,作出的大致图象,如图所示

当时,若要恒成立,结合图象,只需,即,故对于方程，解得;当时,若要恒成立,结合图象,只需,即,又,当且仅当,即时等号成立,所以,综上,的取值范围是.选A.解法二

由题意的最小值为,此时.不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立.当时,令，不符合,排除C､D;

当时,令，不符合,排除B.选A.2.D【解析】

“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A错误;B中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B错误,C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油,C错误,D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,选D.3.B【解析】由题意可知过点(3,0.7),(4,0.8)(5,0.5),代入

中可解得,∴,∴当分钟时,可食用率最大.4.D【解析】设年平均增长率为,原生产总值为,则,解得,故选D.5.①④【解析】①在上单调递增,故具有性质;

②在上单调递减,故不具有性质;

③,令,则,当时，当时，在上单调递减,在上单调递增,故不具有性质;

④,令,则,在上单调递增,故具有性质.6.8【解析】由于,则需考虑的情况,在此范围内,且时,设,且互质,若,则由,可设,且互质,因此,则,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此,因此不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个周期的部分的交点,画出函数图象,图中交点除外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,因此方程的解的个数为8.7.【解析】如图连接交于,由题意,设等边三角形的边长为(),则,.由题意可知三棱锥的高

底面,三棱锥的体积为,设,则(),令,解得,当时，单调递增;

当时，单调递减,所以是取得最大值

所以.8.,.【解析】①若,则,当时,;

当时，所以函数在上单调递

增,在上单调递减,所以函数在上的最大值为.综上函数的最大值为2.②函数与的大致图象如图所示

若无最大值,由图象可知,即.9.24【解析】由题意得,即,所以该食品在℃的保鲜时间是

.10.【解析】函数的定义域为,根据已知得,所以,恒成立,即,令，则只要直线在半圆上方即可,由,解得(舍去负值),故实数的取值范围是.11.160【解析】设该容器的总造价为元,长方体的底面矩形的长,因为无盖长方体的容积为,高为,所以长方体的底面矩形的宽为,依题意,得

12.①③④【解析】对于①,根据题中定义,函数,的值域为,由函数值域的概念知,函数,的值域为,所以①正确;对于②,例如函数的值域包含于区间,所以,但有最大值l,没有最小值,所以②错误;对于③,若,则存在一个正数,使得函数的值域包含于区间,所以,由知,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间,所以,亦有,两式相加得≤≤,于是,与已知“.”矛盾,故,即③正确;对于④,如果,那么,如果,那么,所以有最大值,必须,此时在区间上,有,所以,即④正确,故填①③④.13.【解析】(1)当时,恒成立,公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间;

当时,若,即,解得(舍)或;

∴当时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;

(2)设该地上班族总人数为,则自驾人数为,乘公交人数为.因此人均通勤时间,整理得:,则当,即时,单调递减;

当时,单调递增.实际意义:当有的上班族采用自驾方式时,上班族整体的人均通勤时间最短.适当的增加自驾比例,可以充分的利用道路交通,实现整体效率提升;但自驾人数过多,则容易导致交通拥堵,使得整体效率下降.14.【解析】(1)连结并延长交于,则⊥,所以=10.过作⊥于,则∥,所以,故，则矩形的面积为,的面积为.过作⊥,分别交圆弧和的延长线于和,则.令,则,.当时,才能作出满足条件的矩形,所以的取值范围是.答:矩形的面积为平方米,的面积为,的取值范围是.(2)因为甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为,则年总产值为,.设，则.令,得,当时，所以为增函数;

当时，所以为减函数,因此,当时,取到最大值.答:当时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.15.【解析】(1)由,得,解得.(2)，当时，经检验,满足题意.当时，经检验,满足题意.当且时，,.是原方程的解当且仅当,即;

是原方程的解当且仅当,即.于是满足题意的.综上,的取值范围为.(3)当时，,所以在上单调递减.函数在区间上的最大值与最小值分别为,.即,对任意成立.因为,所以函数在区间上单调递增,时,有最小值,由,得.故的取值范围为.16.【解析】(1)由题意知,点,的坐标分别为,.将其分别代入,得,解得.(2)①由(1)知,(),则点的坐标为,设在点处的切线交,轴分别于,点，则的方程为,由此得,.故,.②设,则.令,解得.当时，是减函数;

当时，是增函数.从而,当时,函数有极小值,也是最小值,所以,此时.答:当时,公路的长度最短,最短长度为千米.17.【解析】(Ⅰ)因为蓄水池侧面积的总成本为元,底面的总成本为元,所以蓄水池的总成本为()元.又题意据,所以,从而.因,又由可得,故函数的定义域为.(Ⅱ)因,故.令,解得(因不在定义域内,舍去).当时，故在上为增函数;

当时，故在上为减函数.由此可知,在处取得最大值,此时.即当,时,该蓄水池的体积最大.18.【解析】(1)当时,.∵,∴在内存在零点.又当时，∴在上是单调递增的,∴在区间内存在唯一的零点;

(2)解法一

由题意知即由图像知,在点取得最小值,在点取得最大值.解法二

由题意知,即.…①,即.…②

①+②得

当时,;当时,所以的最小值,最大值.解法三

由题意知,解得

.又∵,∴

当时,;当时,所以的最小值,最大值.(3)当时,.对任意都有有等价于在[-1,1]上的最大值与最小值之差.据此分类讨论如下:

(ⅰ)当,即时，与题设矛盾.(ⅱ)当,即时,恒成立.(ⅲ)

当,即时,恒成立.综上可知,.19.【解析】设包装盒的高为(cm),底面边长为(cm),由已知得

(1)

所以当时,取得最大值.(2)

由(舍)或=20.当时,.所以当=20时,V取得极大值,也是最小值.此时装盒的高与底面边长的比值为.