专题六数列
第十七讲
递推数列与数列求和
2019年
1.(2019天津理19)设是等差数列,是等比数列.已知.(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足其中.(i)求数列的通项公式;
(ii)求.2010-2018年
一､选择题
1.(2013大纲)已知数列满足,则的前10项和等于
A.B.C.D.2.(2012上海)设，在中,正数的个数是
A.25
B.50
C.75
D.100
二､填空题
3.(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和,若,则_____.4.(2017新课标Ⅱ)等差数列的前项和为，,则
.5.(2015新课标Ⅱ)设是数列的前项和,且,则=__.6.(2015江苏)数列满足,且(),则数列前10项的和为
.7.(2013新课标Ⅰ)若数列{}的前n项和为=,则数列{}的通项公式是=______.8.(2013湖南)设为数列的前n项和,则
(1)_____;
(2)___________.9.(2012新课标)数列满足,则的前60项和为
.10.(2012福建)数列的通项公式,前项和为,则
=___________.三､解答题
11.(2018浙江)已知等比数列的公比,且,是,的等差中项.数列满足,数列的前项和为.(1)求的值;
(2)求数列的通项公式.12.(2018天津)设是等比数列,公比大于0,其前项和为,是等差数列.已知，,.(1)求和的通项公式;
(2)设数列的前项和为,(i)求;
(ii)证明.13.(2017江苏)对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.14.(2016年全国II)为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过x的最大整数,如,.(Ⅰ)求，;
(Ⅱ)求数列的前项和.15.(2015新课标Ⅰ)为数列的前项和,已知,(Ⅰ)求的通项公式:
(Ⅱ)设,求数列的前项和.16.(2015广东)数列满足:,.(1)求的值;
(2)求数列的前项和;
(3)令,证明:数列的前项和满足.17.(2014广东)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足
.(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有
18.(2013湖南)设为数列{}的前项和,已知,2,N
(Ⅰ)求，并求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{}的前项和.19.(2011广东)设,数列满足,.(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数,专题六数列
第十七讲
递推数列与数列求和
答案部分
2019年
1.解析
(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,依题意得解得
故.所以,的通项公式为的通项公式为.(Ⅱ)(i).所以,数列的通项公式为.(ii)
.2010-2018年
1.【解析】∵,∴是等比数列
又,∴,∴,故选C.2.D
【解析】由数列通项可知,当,时，当,时，因为,∴都是
正数;当,同理也都是正数,所以正数的个
数是100.3.【解析】通解
因为,所以当时，解得;
当时，解得;
当时，解得;
当时，解得;
当时，解得;
当时，解得.所以.优解
因为,所以当时，解得,当时，所以,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以.4.【解析】设等差数列的首项为,公差为,则,解得，∴,所以,所以.5.【解析】当时，所以,因为,所以,即,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以,所以.6.【解析】由题意得:
所以.7.【解析】当=1时,==,解得=1,当≥2时,==-()=,即=,∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.8.(1),(2)
【解析】(1)∵.时,a1+a2+a3=-a3-
①
时,a1+a2+a3+a4=a4-,∴a1+a2+a3=-.②
由①②知a3=-.(2)时，∴
当n为奇数时,;
当n为偶数时,.故,∴
.9.【解析】可证明:
.10.3018【解析】因为的周期为4;由
∴，…
∴.11.【解析】(1)由是,的等差中项得,所以,解得.由得,因为,所以.(2)设,数列前项和为.由,解得.由(1)可知,所以,故，.设，所以,因此，又,所以.12.【解析】(1)设等比数列的公比为q.由可得.因为,可得,故.设等差数列的公差为d,由,可得由,可得
从而
故
所以数列的通项公式为,数列的通项公式为
(2)(i)由(1),有,故.(ii)证明:因为,所以,.13.【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则,从而,当时，所以,因此等差数列是“数列”.(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,当时，①
当时,.②
由①知，③,④
将③④代入②,得,其中,所以是等差数列,设其公差为.在①中,取,则,所以,在①中,取,则,所以,所以数列是等差数列.14.【解析】(Ⅰ)设的公差为，∴,∴,∴.∴，.(Ⅱ)记的前项和为,则
.当时,;
当时,;
当时,;
当时,.∴.15.【解析】(Ⅰ)当时，因为,所以=3,当时，即,因为,所以=2,所以数列{}是首项为3,公差为2的等差数列,所以=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,所以数列{}前n项和为
=
=.16.【解析】(1)由题意知:
当时,;
当时,;
(2)当时,;
当时,由知
两式相减得,此时.经检验知也满足.故数列是以1为首项,为公比的公比数列,故.(3)由(1)(2)知,.当时,.当时，成立;
当时,.构造函数,即,则,从而可得，，将以上个式子同向相加即得,故
综上可知,.17.【解析】(Ⅰ)
所以,(Ⅱ)
(Ⅲ)
.18.【解析】(Ⅰ)
(Ⅱ)
上式错位相减:
.19.【解析】(1)由
令,当
①当时,②当
(2)当时,(欲证),当
综上所述
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