复习课：
数列求和
一、【知识梳理】
1．等差、等比数列的求和公式，公比含字母时一定要讨论．
2．错位相减法求和：如：已知成等差，成等比，求．
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．
4．合并求和：如：求的和．
5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项．
常见拆项：，，（理科）．
6．倒序相加法求和：如等差数列求和公式的推导．
7．其它求和法：归纳猜想法，奇偶法等．
二、【经典考题】
【1.公式求和】例1．（浙江）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列．
（1）求；
（2）若，求．
【分析】第一问注意准确利用等差等比数列定义即可求解，第二问要注意去绝对值时项的正负讨论．
【解答】（1）由已知得到：
（2）由（1）知，当时，①当时，②当时，所以，综上所述：
．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．
变式训练：
（重庆文）设数列满足：，．
（1）求的通项公式及前项和；
（2）已知是等差数列，为前项和，且，求．
【解答】
（1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，．
（2），故．
【2.倒序相加法】例2．已知函数．
（1）证明：；
（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；
（3）设数列满足：，若（2）中的满足对任意不小于的任意正整数恒成立，试求的最大值．
【分析】第（1）问，先利用指数的相关性质对化简，后证明左边=右边即可；第（2）问，注意利用（1）中的结论，构造倒序求和；第（3）问，由已知条件求出的最小值，将不等式转化为最值问题求解．
【解答】（1）
．
（2）由（1）知，，即，又两式相加得，即．
（3）由，知对任意的，则，即，所以．，即数列是单调递增数列．
关于递增，时，．
．
由题意知，即，解得，的最大值为．
【点评】解题时，对于某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和．
变式训练：
已知函数．
（1）证明：；
（2）求的值．
【解答】（1）
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，令，两式相加得：
所以．
【3.错位相减法】例3．（山东理)设等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列前项和为，且
(为常数)．令，求数列的前项和．
【分析】第（1）问利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解及即可；第（2）问先利用与关系求出，进而用乘公比错位相减法求出．
【解答】（1）设等差数列的首项为，公差为，由得，解得，．
因此
．
（2）由题意知：，所以时，故，．
所以，则，两式相减得，整理得．
所以数列数列的前项和．
【点评】用错位相减法求和时，应注意：
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数时的情形；
（2）在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出的表达式；
（3）利用错位相减法转化为等比数列求和时，若公比是参数（字母），一般情况要先对参数加以讨论，主要分公比为和不等于两种情况分别求和．
变式训练：
(山东文)设等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
【解答】（1）同例3．（1）．
（2）由已知，当时，当时，结合知，．
又，两式相减得，．
【4.裂项相消法】例4．(广东)设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列．
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
【分析】本题主要考查利用与关系求出，进而用裂项相消法求出和，然后采用放缩的方法证明不等式．
【解答】
（1）当时，（2）当时，，当时，是公差的等差数列．
构成等比数列，，解得，由(1)可知，是首项，公差的等差数列．
数列的通项公式为．
（3）
．
【点评】
（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩第一项和最后一项，也有可能前后各剩两项或若干项；将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．
（2）一般情况下，若是等差数列，则；此外，根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和．
变式训练：
（大纲卷文）等差数列中，（1）求的通项公式；
（2）设．
【解答】（1）设等差数列的公差为，则
因为，所以．
解得，．
所以的通项公式为．
（2），所以．
【5.分组求和法】例5．（安徽）设数列满足，且对任意，函数
满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】，由可知数列为等差数列．
【解答】（1）由，得，所以，是等差数列．
而，．
（2），．
【点评】本题主要考查了分组求和法，具体求解过程中一定要注意观察数列通项的构成特点，将其分成等差、等比或其它可求和的式子，分组求出即可．
变式训练：
（2012山东）在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．
【解答】（1）由可得，则，于是，即
．
（2）对任意，则，即，，．
于是，即．
【6.奇偶项求和】例6．（2011山东）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和．
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
【分析】根据等比数列定义先判断出，求出通项；求和时要对分奇偶讨论．
【解答】（1）由题意知，因为是等比数列，所以公比为，所以数列的通项公式．
（2）解法一：
当时，．
当时，故.解法二：令，即
则
．
故
.【点评】解法一分为奇数和偶数对进行化简求和，而解法二直接采用乘公比错位相减法进行求和，只不过此时的公比
．本题主要意图还是考查数列概念和性质，求通项公式和数列求和的基本方法．
变式训练：
已知数列，求．
【解答】，若，则
若
．
三、【解法小结】
1．数列求和的关键在于分析数列的通项公式的结构特征，在具体解决求和问题中，要善于从数列的通项入手观察数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形式准确、迅速地选择方法，从而形成“抓通项、寻规律、定方法”的数列求和思路是解决这类试题的诀窍．
2．一般地，非等差（比）数列求和题的通常解题思路是：如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律一般可用错位相减法、倒序相加法来解决；如果每项可写成两项之差一般可用裂项法；如果能求出通项，可用拆项分组法；如果通项公式中含有可用并项或分奇偶项求和法．
四、【小试牛刀】
1．数列前项的和为（）
A．
B．
C．
D．
2．数列的前项和为，若，则等于（）
A．
B．
C．
D．
3．数列中，若前项的和为，则项数为（）
A．
B．
C．
D．
4．（2013大纲）已知数列满足则的前项和等于（）
A．
B．
C．
D．
5．设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（）
A．
B．
C．
D．
6．（2013新课标）设等差数列的前项和为，则（）
A．
B．
C．
D．
7．．
8．已知数列，则其前项和为
．
9.（2013江西）某住宅小区计划植树不少于棵,若第一天植棵,以后每天植树的棵树是前一天的倍,则需要的最少天数等于
．
10.．
11．(2013江苏）在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为
．
12．正项数列的前项和满足:
.（1）求数列的通项公式；
（2）令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有.参考答案：
1．B
2．B
3．C
4．C
5．D
6．C
7．8．
9．10.11．，.，..，所以的最大值为.12．（1）由,得.由于是正项数列,所以.于是时,.综上,数列的通项.（2）证明:由于.则..
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