第一篇：高二数学不等式的证明
高二数学不等式的证明(二)
[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：
1.换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。
2.放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。
3.反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式
[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得 到假设不正确，原命题正确。
4.数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。
证明格式：
(1)当n=n0时，命题成立；
(2)假设当n=k时命题成立；
则当n=k+1时，证明出命题也成立。
由(1)(2)知：原命题都成立。
[本周教学例题]
一、换元法：
1.三角换元：
例1.求证：
证一：(综合法)
即：
证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]
则
∵-1≤sin2≤1
例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：
分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。
证一：
证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设
则
例3.若x2+y2≤1，求证：
证：设
则
例4.若x>1，y>1，求证：
证：设
则
例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：
证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设
则
小结：若0≤x≤1，则可令
若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)
若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)
若x≥1，则可令
2.代数换元：，若xR，则可令
例6：证明：若a>0，则
证：设
则
即
∴原式成立
小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。
二、放缩法：
例7.若a,b,c,dR+，求证：
证：记
∵a,b,c,dR+
∴1 例8.当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1 证：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0 ∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1 例9.求证： 证： 三.反证法 例10.设0 证：设 则三式相乘： ① 又∵0 同理： 以上三式相乘： ∴原式成立 与①矛盾 例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0 证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0 又由a+b+c>0，则b+c=-a>0 ∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与题设矛盾 又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0 同理可证：b>0，c>0 四.构造法： 1.构造函数法 例12.已知x>0，求证： 证：构造函数 由 显然 ∴上式>0 ∴f(x)在 上单调递增，∴左边 例13.求证： 证：设 用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3≤t1 例14.已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。 证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0 则有两个实根。 例15.求证： 证：设 当y=1时，命题显然成立，当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0 综上所述，原式成立。(此法也称判别式法) 例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd 证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数 ∴要证：(xy)≥ac+bd 只需证 即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd 展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd 即：a2d2+b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy≥ac+bd 证二：(综合法) 证三：(三角代换法) ∵x2=a2+b2，∴不妨设 y2=c2+d 2五.数学归纳法： 例17.求证：设nN，n≥2，求证： 分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。 证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。 当n=k时，命题成立，即：成立。 当n=k+1时，左边 又 ；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)； 于是可得： 即当n=k+1时，命题也成立； 综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。 [本周参考练习] 证明下列不等式： 1.提示：令，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。 2.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，对任意实数x恒成立，求证： 提示：分 3.若x>0，y>0，x+y=1，则 提示：左边 令t=xy，则 在 上单调递减 4.已知|a|≤1，|b|≤1，求证：，提示：用三角换元。 5.设x>0，y>0，求证：a 放缩法 6.若a>b>c，则 10.左边 11.求证：高二数学不等式的应用 三.关于不等式的应用： 不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行： 1.会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。 (求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。 2.会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。 3.通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。 四、不等式的应用问题举例： 例10.已知a、b为正数，且a+b=1，求 最大值。 分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。 解：由可得； 小结：如果本题采用 两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。 ；则出现了错误：“=” 例11.求函数的最小值。 分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。 解： 即f(x)最小值为-1 此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。 例12.若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一个 分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。 解： 当且仅当：4a2+2=3b2+6，即 时取等号，y的最大值为8。 小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号) 例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。 分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。 解：∵x>y>0 ∴x-y>0 又∵x·y=1，也即：；当且仅当时取等号。 也即；时，取等号。 例14.设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：的最小值。 分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。 2.另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。 解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1 当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。 小结：本题如果采用三式类加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得： 。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。 例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较 a，b，c的大小。 分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。 解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac 又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0 又由b>a可得：2ab>2a2，综上所述，可得：b>c>a 小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。 例16.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。 解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800 蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以 当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，=648(m2) 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.例17.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为 (Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式； (Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。 解：(Ⅰ)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2； (Ⅱ) 因为函数上为增函数，当1≤n≤3时，当n≥4时，∴仅当n≥4时，Bn>An。 答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。 小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。 五、本周参考练习 1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，证明： 2.如果△ABC的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证： 3.已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证： 4.已知x，y是正数，a，b是正常数，且满足：，求证： 5.已知a，b，c∈R+，求证： 6.已知a>0，求的最值。(答最小值为) 7.证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 8.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？ (答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。)高二数学练习三 1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一个充分不必要条件是() A.|x|<1 B.x<1 C.|x|>1 D.x<-1或|x|<1 2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=0，abc>0，则：的值() A.一定是正数 B.一定是负数 C.可能是0 D.无法确定 3.已知a,b,c是△ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（） A.有两个不相等的实根 B.有两个相等的实根 C.没有实数根 D.要依a，b，c的具体取值确定 4.设0 A.C.5.设a,bR+，则A，B的大小关系是（） B.D.A.A≥B B.A≤B C.A>B D.A 6.若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是（） A.B.C.D.7.设a，b，cR+，则三个数 A.都大于2 B.都小于2 （） C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 8.若a，bR+，满足a+b+3=ab，则 9.设a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，则的取值范围是_____ 的最大值为_____ 10.使不等式 答案： 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1 都成立的a与b的关系是_____ 6.3 不等式的证明 （六）教学要求：更进一步掌握不等式的性质，能熟练运用不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法，还掌握其他方法：放缩法、判别式法、换元法等。 教学重点：熟练运用。 教学过程： 一、复习准备： 1.已知x≥4，求证：x1－ x2 解法：分析法，先移项再平方。推广：求x1－x2的单调性、值域。2.a、b∈R且a＋b＝1，求证：2a3＋2b3≤4（四种解法：估值配项；柯西不等式；均值不等式；分析法） 二、讲授新课： 1.教学典型习题： ①出示典型习题：（先不给出方法） 22 Ⅰ.放缩法证明：x、y、z∈R，求证：xxyy＋y2yzz2>x＋y＋z 1x2x1 Ⅱ.用判别式法证明：已知x∈R，求证 ≤2≤3（另解：拆分法） 3xx1 Ⅲ.用换元法证明： 已知a＋b＝4,求证：2≤a±ab＋b≤6 ②先讨论用什么方法证明，再引导老师分析总结解题思路，学生试按思路练习： Ⅰ.放缩法，左边>(x2222y2y)＋(z)2＝… 22x2x1 Ⅱ.判别式法，设2＝k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范围。 xx1 Ⅲ.三角换元法，设a＝2sinθ，b＝2cosθ，再代入利用三角函数值域求证。③再讨论其它解法： Ⅲ小题，可由已知得到|ab|的范围，再得到待证式。2.练习：①已知x、y∈R，3x＋4y＝12，求xy的最大值； ②求函数y＝x＋21的值域；（解法：分x－1>0、x－1<0两种情况；凑配法）x1③求函数y＝4x＋1622的最小值。（解法：y＝2(x＋1)+2(x＋1)＋…(x21)2 三、巩固练习：1.设n>1且n∈N，求证：log(n1)(n＋2)>log(n2)(n＋3)2.课堂作业：书P31 2、5题。 （作商比） 高二数学不等式同步辅导讲义 第1讲 不等式的证明 一、辅导内容 不等式证明的方法与技巧 二、学习指导 不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。不等式的性质是不等式证明的基础。 不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。 根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。 三、典型例题 【例1】 设a，b∈R，求证：a+b≥ab+a+b-1。 解题思路分析： 思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。 作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a =(ab123)(b1)2≥0 2 422222 222 b123233)bb 2424思路二：注意到不等式两边式子a+b与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。 因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次项系数为正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0 根据已知条件：a+b+c+abc>0，首先将题目结论改造为1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。这样的化简或变形（变形的目的也是化简）在绝大多数解题中都是需要的），而且是必要的。在变形过程中通常注意前后问题的等价性。 其次在对欲证不等式左边的化简时，应从已知条件中寻找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在对1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解时，应向1-a，1-b，1-c这三个因式靠拢，这样才便于判断整个因式的符号。由轮换式的特点，找准1-a，1-b，1-c中的一个因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较A与B的大小。 解题思路分析： 因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。 由ad=bc得：dbcbcbcac A-B=a+d-(b+c)=a bcabaaa1abbcca≥1。 abcabc 22222222222 =abc(ab)(ab)(ac)0 aabc d(bd)(cd)bcbccd A-B=adbc dbc(bd)=ddd下面是判断b-d与c-d的符号，即比较a、c与d的大小：应从条件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出发才挖掘隐藏条件。又：若不慎消去了a，该怎么办呢？ 由ad=bc得：aac bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求证：a+b+c≥(a+b+c)。 解题思路分析： 不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。 11左=(2a42b42c4)[(a4b4)(b4c4)(c4a4)] 21≥(2a2b22b2c22c2a2)a2b2b2c2c2a2 2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。a2b2b2c2c2a21(2a2b22b2c22c2a2)24 441[(a2b2b2c2)(b2c2c2a2)(c2a2a2b2)]21≥(2ab2c2abc22a2bc)ab(abc)2 【例5】（1）a，b，c为正实数，求证： 111111； ≥ abcabbcaca2b2c2abc（2）a，b，c为正实数，求证：≥。bcacab2解题思路分析： （1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。 （2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？ a2 【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥。 2解题思路分析： 思路一；根据x+y和x+y的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。x2y2xy∵ ≤ 22(xy)2a2∴ xy≥ 222222思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径： 途径1：用均值换元法消元： 令 xaam，ym 22 a2aaa2222则 xy(m)(m)2m≥ 2222途径2：代入消元法： 22y=a-x，0 222222222途径3：三角换元法消元： 22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，] 222244222222则 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ] a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥ 222 注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想2是高中数学常用的重要方法。 (ab)2ab(ab)2ab 【例7】 已知a>b>0，求证：。8a28b解题思路分析： 所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，1次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即2执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。 abab2ab(ab)2ab 222ab(ab)(ab)(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2所证不等式可化为 8a28b∵ a>b>0 ∴ ab ∴ ab0 (ab)2(ab)21∴ 不等式可化为： 4a4b2(ab)4aab2a即要证 只需证 24b(ab)2bab在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=解题思路分析： 不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。 22x34x8，求证：对任意实数a，b，恒有f(a) 211.2112f(a)2a3482a82a(2)8a282a82a≤ 822a82a8422 令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥ 22232 ∴ g(b)>f(a)2注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。 【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证： （1）|c|≤1，|b|≤1； （2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。 解题思路分析： 这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„±an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。 从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b[f(1)f(1)] 2111∴ |b||f(1)f(1)|≤[|f(1)||f(1)|]≤(11)≤1 222（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。 2当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)] ≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。思路二：直接利用绝对值不等式 为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时 |ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论 ① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。 评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。 同步练习 （一）选择题 1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是（）1111111≤ B、≤≤ ab44ab211111C、≤≤1 D、≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c 3、设m不等于n, x=m-mn y=nm-n，则x , y的大小关系为（） A、x>y B、x=y C、y>x D、与m ,n的取植有关 43344、已知a，b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数：x1，x2，„，xn和y1，y2，„，yn，b成等比数列，并给出下列不等式： ① ② 1ab2(x1x2xn)ab()n21nn(x1x2xn)ab2 ③ y1y2ynab ④ y1y2ynnabab2()22那么，其中为真命题的是（） A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设M= abc，N=，则MN的大小关系是 4abc4cA、M>N B、M=N C、M 6、已知函数f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（） A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能 111117、若a>0，b>0，x()，y，z，则（） 2abababA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x 8、设a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空题 9、设a>0，b>0，a≠b，则ab与ab的大小关系是__________。 10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。 11、设n个正数x1，x2，„，xn的算术平均数是x，若a是不等于x的任意实数，并记ab ba22 3aa12D、a+b≥2(a-b-1)bb1p(x1x1)2(x2x)2(xnx)2，q(x1a)2(x2a)2(xna)2，则p与q大小关系是__________。 1t112、当0 22nnn13、若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，则a+b与c（其中n∈N，n>2）的大小关系是________________。 （三）解答题 14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：ababba。 15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1abc2。bcacab1116、已知a≥0，b≥0，求证：(ab)2(ab)≥aaba。 243317、已知a，b为正数，a+b=2，求证：a+b≤2。 111a8b8c818、若a，b，c为正数，求证：≤。 abca3b3c3112519、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a)(b)≥。 ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。 第2讲 含有绝对值的不等式 一、辅导内容 含有绝对值的不等式证明 二、学习指导 1、绝对值的性质 （1）基本性质：①x∈R时，|x|≥x，|x|≥-x；②|x| （2）运算性质：|ab|=|a||b|，|a|a||，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„+an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。b|b| 222（3）几何意义：|x-a|表示数轴上数x，a对应的两点之间的距离。 2、与绝对值有关的不等式的证明 其方法仍是证明一般不等式的方法，如比较法、综合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性质外，还经常用到刚才所介绍的绝对值的性质，特别是||a|-|b||≤|a|±|b|这一条性质。 在利用绝对值的性质时，应根据不等号的方向进行合理的选择。 3、含绝对值不等式的证明与解法有较大的差异，在解不等式中，主要是考虑如何去掉绝对值符号；而在证明中，一般不提倡去掉绝对值符号，当然，少数题目例外。 三、典型例题 【例1】 设|a|<ε,|a-b|<2ε，求证：|b|<3ε。 解题思路分析： 根据解题的“结论向条件靠拢”的原则，本题主要思考如何用a，a-b表示b，从而利用|a|及|a-b|的条件得到|b|的范围。 ∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε 注：本题还涉及到了化简变形中的整体思想，即将a-b看作一个整体。 实际上根据|a-b|的结构特点，也可用绝对值的基本不等式对其缩小：||a|-|b||≤|a-b|，关键是不等式的左端是选择|a|-|b|，还是|b|-|a|，尽管两个不等式都成立，但由本题的消元要求，应消去a，保留b，故选|b|-|a|≤|a-b|。 ∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε ∴ 两不等式同向相加得|b|<3ε 【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。 求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解题思路分析： 因f的对应法则已知，故首先对不等式左边化简：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下来的变形向条件|x-a|<1靠拢，即凑出因式x-a： |f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化简有两种途径：从结论向条件凑，或从条件向结论凑。 途径一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途径二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途径二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||时，涉及到是选择|x-a|≥|x|-|a|，还是|x-a|≥|a|-|x|，应根据与|x|有关的不等号方向选择。本题是要将|a|放大，故选择|x-a|≥|x|-|a|。 |ab||a||b| 【例3】 求证≤。 1|ab|1|a|1|b|解题思路分析： 思路一：三个分式的结构特点完全一致，可构造函数f(x)=2 222 x，利用f(x)的单调性放缩。1xx(x≥0)1x易证f(x)在[0，+∞）上递增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|) ∴ |ab||a||b||a||b|≤ 1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b||a||a||b||b|，1|a||b|1|a|1|a||b|1|b||a||b||a||b| 1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|根据结论要求，采用缩小分母增大分式的放缩技巧 ∵ ∴ ∴ 由不等式传递性，原不等式成立 思路二：用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩。但不等式左边分式的分子、分母均含有|a+b|，必须转化为只有一项含|a+b|的分式。 ∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥ |ab||a||b| 111|ab|111|ab|≤111|a||b||a||b| 1|a||b|下同思路一。 【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求证|ax解题思路分析： 本题考虑去绝对值符号后进行证明。 b|≥2ab。xb思路一：不等号两边均为非负，原不等式(ax)2≥(2ab)2 xb2即 ax22ab≥4ab x22b2∵ ax2≥2a2b22ab x22b2∴ ax2≥4ab x2ab22b|≥0，|ax|≥0，显然成立 ab当a≠0且b≠0时，由a、b>0知，(ax)()>0 x思路二：当a=0，或b=0时，原不等式为|∴ |axbbb||ax|||≥2|ax|||2|ab|2ab xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）证明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于解思路分析： （1）f(1)-f(2)+f(3)=2；问题（2）的求解想办法利用（1）的结论。 这是一个存在性的命题，因正面情形较多，难以确定有几个，故采用反证法。 假设|f(x)|< 1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 22211122 222 则 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。 【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求证：| 解题思路分析： 本题用分析法较为方便。 1ab|>1。ab1ab1ab2|1()1(1ab)2(ab)21a2b2a2b20 ab ab(1a2)(1b2)0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立 【例7】 设x，y∈R，x+y≤1，求证：|x+2xy-y|≤2。 解题思路分析： 也许有同学会这样解： |x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放缩过度，不能满足本题要求。 根据条件“平方和”的特征，考虑用三角换元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 则 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222 222 222 22222222)|≤2r≤2 4同步练习 （一）选择题 1、已知函数f(x)=-2x+1对任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一个充分但不必要条件是 C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是实数，则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2| 3、设a，b C、|a-b|<||a|-|b|| D、|a-b|<|a|+|b| 4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，则 a0a0A、 B、ab0 C、 D、ab0 b0b011且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命题甲；两个实数a,b满足|a-b|<2h；命题乙：两个实数a，b满足|a-1| C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 |ab| 6、不等式≤1成立的充要条件是 |a||b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0 7、设a，b∈R，则|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 8、已知函数f(x)=-2x+1，对于任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|< （二）填空题 9、若|x+y|=4，则xy最大值是________。 |a||b| 10、若a≠b，a≠0，b≠0，则______|a||b|（填>、≥、<、≤）。|b||a| 11、a，b∈R，则|a+b|-|a-b|与2|b|的大小关系是______________。 12、关于x的不等式|x+2|+|x-1| 22 C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23 3（三）解答题 2 13、已知|a+b|<，|a-b|<，求证|a|<。 233cbcb|x1|，|x2|。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意义，且f(0)=f(1)，对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的两个实根x1，x2，求证：2求证：|f(x1)-f(x2)<1。2a2b2|a||b| 16、求证：≥（a，b∈R）。 2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求证：|1+ab|<|a+b|。 18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证： （1）|abc|1； |1abc|（2）a+b+c 19、求证 220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求证方程x+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1。 21、在一条笔直的街道上住着7位小朋友，他们各家的门牌分别为3号，6号，15号，19号，20号，30号，39号，这7位小朋友准备凑在一起玩游戏，问地点选在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定数字相连的两个门牌号码的房子间的距离相等）。 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b是任意实数,且a＞b,则 （）（A）a2＞b 2（B）b11＜1 （C）lg(a-b)＞0 （D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是 （） 1+a≥2(a0)at111（C）＜(a＞b) （D）a2≥at(t＞0,a＞0,a1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 则(21)(21)的最小值为 （） ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1) （B） (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 4、已给下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正确的个数为 （） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 5、f(n)= n21－n , (n)=(A)f(n) (B)f(n)<(n) (D)g(n) （）2n 6、设x2+y2 = 1, 则x +y （） (A)有最小值1 (B)有最小值(C)有最小值－1 (D)有最小值－2 7、不等式|x＋5|＞3的解集是 （）(A){x|－8＜x＜8} (B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝ (D){x|x＜－8或x＞－2＝ 8、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是 （）(A)ac＞bc (B)|a＋c|＞|b＋c| (C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x31x22x329、设集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},则有 （）x12（A）MN=P （B）MNP （C）M=PN （D）M=N=P 10、设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是 （）（A）6 （B） 42（C）22 （D）26 11、若关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是,11,，则ab等于（）23(A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14 12、如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a 的取值范围是 （）(A)(,2] (B)(,2) (C)(2,2] (D)(－2,2) 13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集为，则不等式 f(x)0的解集是 （）g(x)(A) (B)(,1)(2,) (C)[1，2] (D)R 14、xx的解集是 （）x2x(A)(－2,0) (B)(－2,0) (C)R (D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞) 15、不等式31x3的解集是 （） 3(A)(－∞,1) (B)(33,1) (C)(,1) (D)R 4 4二、填空题 1、若x与实数列a1,a2,…,an中各数差的平方和最小,则x=________.2、不等式xlog1x21的解集是________.x3、某工厂产量第二年增长率是p1,第三年增长率是p2,第四年增长率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,则a1b的最大值是________.225、若实数x、y满足xy＞0且x2y=2,则xy＋x2的最小值是________.6、x＞1时，f(x)=x＋116x的最小值是________，此时x=________.2xx1 7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.xx412 329、命题①：关于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0对xR恒成立;命题②：f(x)=－(12x－3a－a)是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.10、设A={x|x≥ 三、解答题 1,xR},B={x|2x1＜3,xR＝,则D=A∩B=________.xx29x111、解不等式：2≥7.x2x 12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x5≥－2.x25x624、解不等式：9x26xx2＞3.5、解不等式：x3x2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。 7、若x,y＞0，求xyxy的最大值。 8、已知关于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一个根比－1小，另一个根比1大，求参数m的取值范围。 9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8xx3.不等式练习答案 一、DADCB DDDAB BCBAB 二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3 4n315)8、0＜x＜log23 9、-3＜x≤2 6、8,2＋ 37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4 三、1、[－12,1]∪(1,43) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0 9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：x1a0，x1aa.解得x>2a-1.(II)当0 当0 或(2)8x08x(x3)2x30 由(1)得3x5212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集为x|x5212 4、(0,3) 人教版选修4—5不等式选讲 课题：用数学归纳法证明不等式 教学目标： 1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。 2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。 3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。 重点、难点： 1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。 2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。 教学过程： 一、复习导入： 1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？ （1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。 （2）步骤：1）归纳奠基; 2）归纳递推。 2、作业讲评：（出示小黑板） 习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1) 如采用下面的证法，对吗？ 证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。 ②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k(k+1) 当n=k+1时，2+4+6+8+……+2k+2(k+1) ∴ n=k+1时，等式成立。 由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。 （1）学生思考讨论。 （2）师生总结： 1）不正确 2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。 二、新知探究 明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。(出示小黑板) 例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……（1）学生观察思考（2）师生分析 （3）解：从第5项起，an ＜ bn，即 n²＜2,n∈N+（n≥5） 证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立 即k＜ 2当n=k+1时，因为 （k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1时，命题成立。 由（1）（2）可知n²＜2n（n∈N+，n≥5） 学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k 2②归纳假设：2k<2×2 例2 证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+) k n n2 2k 分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。 证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│ 当n=k+1时，│Sin（k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =（k+1）│Sinθ│ 所以当n=k+1时，不等式也成立。 由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。 学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│ ②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1 ③三角函数的两角和公式。 （板书）例3 证明贝努力（Bernoulli）不等式: 如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n） ②哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数) （板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x＞0，则原不等式成立． （在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫） （2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 师：现在要证的目标是（1+x）＞1+（k+1）x，请同学考虑． 生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当 k+1k n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因为x＞ k -1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）． 师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 显然，上式中“=”不成立． k+ 1k 2n 故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提问：证明不等式的基本方法有哪些？ 生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法． （提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用） 生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x =kx＞0（因x≠0，则x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用综合法的放缩技巧． （1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx． 因为kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立． 生：…… （学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结） 师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写． （板书）将例3的格式完整规范． 证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。 （2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）＞1+kx 当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx） k k =1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立 由①②可知，贝努力不等式成立。 （通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的） 三、课堂小结 1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变． 2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标． 四、课后作业 1．课本P53：1，3，5 2．证明不等式：第二篇：高二数学不等式的证明6
第三篇：高二_不等式的证明讲义
第四篇：高二数学不等式练习题及答案(经典)
第五篇：用数学归纳法证明不等式
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