第一篇：高二不等式复习
高二不等式复习
本周重点：复习不等式一章的整体知识结构
本周难点：进一步深化不等式应用的思想和方法
本周内容：
1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：
(1)对称性或反身性：若a>b，则b (2)传递性：若a>b，b>c，则a>c； (3)可加性：，此法则又称为移项法则： (4)可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc：当c<0时，ac 不等式运算性质： (1)同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d： (2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。 特例： (3)乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则an>bn； (4)开方法则：若a>b>0，n∈N+，则 ： (5)倒数法则：若ab>0，a>b，则 掌握不等式的性质，应注意： (1)条件与结论间的对应关系，如是 符号还是符号 ： (2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。 2、均值不等式：利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab(a，b∈R)，该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为 ； 当a,b≥0时，在具体条件下选择适当的形式。 3、不等式的证明： (1)不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法： (2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用： (3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。 4、不等式的解法： 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元二次不等式(组)是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。 含参数的不等式应适当分类讨论。 5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。 研究不等式结合函数，数形结合思想，等价变换思想等。 本周例题 例 1、已知f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。 分析： 从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。 设f(3)=mf(1)+nf(2) ∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c ∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5 ∴-1≤f(3)≤20 说明： 1.本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即代入f(3)，达到用f(1),f(2)表示f(3)的目的。，然后 2.本题典型错误是-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。 3.本题还可用线性规划知识求解。 例2.设a>0,b>0，求证： 分析： 法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。 ∴左≥右 法二：基本不等式 根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 ∴两式相加得： 例3.设实数x，y满足y+x2=0，0 分析： 说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。 例4.已知a，b为正常数，x，y为正实数，且 分析：，求x+y的最小值。 法一：直接利用基本不等式：当且仅当 时等号成立 说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。 法二：消元为一元函数 途径一：由 ∵x>0,y>0,a>0 当且仅当时，等号成立 途径二：令 当且仅当时，等号成立 说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。 例5.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b (1)解关于a的不等式f(1)>0； (2)当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时，求实数a，b的值。 分析： (1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3 ∵f(1)>0 ∴a2-6a+3-b<0 △=24+4b 当b≤-6时，△≤0 ∴f(1)>0的解集为φ 当b>-6时，∴f(1)>0的解集为 (2)∵不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为(-1,3) ∴f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解 ∵3x2-a(6-a)x-b<0解集为(-1,3) 例6.设a,b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1。 分析： 在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。 法一：令f(x)=x2+ax+b 则f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0 又∵0<|a|≤|a|+|b|<1 ∴-1 ∴f(x)=0的两根在(-1,1)内，即|α|<1，|β|<1 法二： 同理： 说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。 例7.某人乘坐出租车从A地到B地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？ 分析： 设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm 显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适 当m>a时，设m=a+x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x ∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) ∴当x>0时，P(x) 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适 当x=10时，此时两种出租车任选 本周练习： (一)选择题 1.“a>0且b>0”是的() A 充分而非必要条件 B.必要而非充要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为 A.B.C.D.3.若0 A.B.b C.2ab D.a2+b2 4.已知x>0，则 A.f(x)≤2 B.f(x)≥10 C.f(x)≥6 D.f(x)≤3 5.已知，则 A.p>q B.q C.p≥q D.p≤q 6.若|a-c| A.|a-b|<2h B.|a-b|>2h C.|a-b D.|a-b>h 7.关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是 A.B.C.8.若a>0，b>0，且2a+b=1，则的最大值是 D.A.B.C.D.(二)填空题 9.设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数的最小值是____ 10.周长为的直角三角形面积的最大值为_________ 11.记，则S与1的大小关系是_______ 12.不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________ (三)解答题 13.要使不等式对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？ 14.解关于x的不等式 15.已知a≠0，求证： 16.已知不等式都成立，试求实数a的取值范围。 对n∈N+ 17.若a是正实数，2a2+3b2=10，求的最值。 18.商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为进货量Q为多大时，整个费用最省？ 件，问每批 练习答案： (一)选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A (二)填空题 9.10.11.S<1 12.(1,4) (三)解答题 13.14.当a≤-1时，x∈(-∞,a)∪(-1,2) 当-1 当a=2时，x∈(-∞,-1) 当a>2时，x∈(-∞,-1)∪(2,a) 15.当|a|≤|b|时，不等式显然成立 当|a|>|b|时 左 16.17.18.高二数学周末练习六 1.已知直线ax+by+c=0不经过第一象限，且ab>0，则有() (A)c≤0 (B)c≥0 (C)ac≥0 (D)ac≤0 2.直线l的倾斜角是连结A(3，-5)，B(0，-9)两点直线倾斜角的两倍，则l的斜率为() (A) (B) (C) (D) 3.下列方程中表示的图形为一条直线的是 (D)(A)lgx-lgy=1 (B) (C) 4.设直线3x+4y-5=0的倾斜角为θ，则它关于直线x=3对称直线的倾斜角为() (A)θ (B) (C) (D) 5.三点A(-2，a)，B(3,1)，C(8,11)在同一条直线上，则a=（） (A)-1 (B)-9 (C)3 (D)23 6.若直线L沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线L的斜率是（） (A) (B)-3 (C) (D)3 7.已知A(3,3)，B(-1,5)，直线y=ax+1与线段AB有公共点，则实数a应满足的条件为_____ 8.已知直线，下列命题：(1)直线的倾斜角是 ；(2)不论如何变化，直线不过原点；(3)直线和两轴都相交时，可围成的三角形面积小于1。其中不正确的命题序号是_____ 9.过点A(-3,4)且在两坐标轴上截距之和为12的直线方程是____ 10.直线l过A(3,2)点且与直线x+3y-9=0及x轴围成等腰三角形，求直线l的方程。 答案： C D D C B A 7.9.x+3y-9=0或4x-y+16=0 10.x-3y+3=0或 或3x+4y-17=0或 8.(1)(3) 高三数学复习学案第六章 不等式、推理与证明姓名：班级：主备人：赵锁恩 第四节 A.1B.3C.5D.7 基本不等式 三.基本不等式的应用 10.（2011.日照质检）已知正数a,b,c满足a2bc1，则 一.基本不等式成立的条件 1.（2011.茂名期末）下列结论中，正确的序号有：（1）x 的最小值为_____ abc 11111.（2012.白山一摸）函数yloga(x3)1(a0,且a1)的图象恒过定点A，若定点A2 ；（2）当x0x（3）当x0且x1时，lgx2；2xx lgx（4）当x(0,)时，sinx4sinx4；（5）x25x242 ；（6）2x 12x2 二.利用基本不等式求最值 2.（2009.湖南）若x0，则x2 x的最小值为________ 3.（2011.重庆）函数f(x)x x2 (x2)在xa处取最小值，则a_______ 4.（2012.九江模拟）函数f(x)x2 2x1x2 2x1,x(0,3)，则（）A.f(x)有最大值7 4B.f(x)有最小值1 C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1 5.（2009.重庆）已知a0,b0，则 1a1 b 2ab的最小值是（）A.2B.22C.4D.5 6.（2013.福建）若2x 2y 1，则xy的取值范围是（） A.[0,2]B.[2,0]C.[2,)D.(,2] 7.（2011.天津）已知log2aloga b 2b1，则39的最小值是______ 8.（2011.浙江）若正实数x,y满足x,y满足x2y2 xy1，则xy的最大值是______ 9.（2012.韶关一摸）当点(x,y)在直线x3y20上移动时，表达式3x 27y 1的最小值为（） 十年磨剑为一搏，六月试锋现真我。在直线mxny10，其中mn0，则1m2 n的最小值为______ 12.(2010山东)若对任意x0,xx23x1 a恒成立，则a的取值范围是__________________ 13.（2012.大连二模）已知x0,y0，且 2x1 y 1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是（）A.m4或m2B.m2或m4C.2m4D.4m2 14.（2012长春模拟）已知M是ABC内的一点，且2,BAC30,若MBC,MCA,MAB的面积分别为 114 2，x，y，则xy的最小值为______ 15.（2012.烟台二模）设a,bR，则“ab1”是“4ab1”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 16.（2008.浙江）已知a0,b0，且ab2，则（） A.ab 1B.ab12222 C.ab3 D.a b22 17.（2010.安徽）若a0,b0，且ab2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是__________________（写出所有正确命题的序号）（1）ab1（2）ab（3）a b22（4）a3b33（5）1a 1b 2 把奋斗留在今天，把结果留给命运。 《一次不等式与一次不等式组》复习教学设计 审核：九年级数学组 目标确定的依据： 课标要求： ⑴结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。 ⑵能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 ⑶能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。中招考点分析： ⑴不等式的性质。 ⑵一元一次不等式（组）的解法及解集表示。⑶一元一次不等式的实际应用。学情分析： 本节复习不等式，学生基本熟悉却欠缺灵活，没有真正用数学符号表示实际问题，培养解决问题的能力。复习目标： （1）了解不等式的性质,会进行一元一次不等式（组）的解法及解集的运算。(2）解与一元一次不等式（组）有关的实际应用问题。评价任务;通过基础知识回顾达成目标一； 通过练习反馈和直击中考达成目标二。复习过程： 一、基础知识回顾： 1．有关概念： ①一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 ②能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.③ 求不等式解集的过程叫解不等式.④由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 ⑤不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。2．不等式的基本的性质： 性质1.性质2： 性质3： 不等式的其他性质：传递性:若a>b,且b>c,则a>c 3.解不等式的步骤: 1、去分母; 2、去括号; 3、移项合并同类项; 4、系数化为1。4.解不等式组的步骤: 1、解出不等式的解集 2、在同一数轴表示不等式的解集。5.列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤： （1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)（4）解不等式组；检验并作答。 二、常考题型： 命题点1 解不等式(组)及其解集表示 1.(南昌)将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，2．(怀化)不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(天津8分)解不等式组x＋2≤6 ①3x－2≥2x ②.请结合题意填空，完成本题的解答． (Ⅰ)解不等式①，得____________；(Ⅱ)解不等式②，得____________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为____________． 命题点2 一次不等式的实际应用 1.(东营)东营市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米计)．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是()命题点3 方程与不等式的实际应用 1.(衢州6分)光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度．已知某月(按30天计)共发电550度．(1)求这个月晴天的天数； (2)已知该家庭每月平均用电量为150度．若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本(不计其他费用，结果取整数)． 三、练习反馈： 1.不等式组2x＋2＞x3x＜x＋2的解集是()A.x＞－2 B.x＜1 C.－1＜x＜2 D.－2＜x＜1 2.(2016聊城)不等式组x＋5＜5x＋1x－m＞1的解集是x＞1，则m的取值范围是()A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≤0 3.(西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有()A.103块 B.104块 C.105块 D.106块 四、直击中考 河南近8年考题《试题研究》。1.做《试题研究》练习2.错题矫正 五、板书设计： 一次不等式与一次不等式组复习 1.基础知识回顾概念;2.不等式的基本的性质： 3.练习运算: 4.演板： 课后反思： 高二数学不等式同步辅导讲义 第1讲 不等式的证明 一、辅导内容 不等式证明的方法与技巧 二、学习指导 不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。不等式的性质是不等式证明的基础。 不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。 根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。 三、典型例题 【例1】 设a，b∈R，求证：a+b≥ab+a+b-1。 解题思路分析： 思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。 作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a =(ab123)(b1)2≥0 2 422222 222 b123233)bb 2424思路二：注意到不等式两边式子a+b与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。 因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次项系数为正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0 根据已知条件：a+b+c+abc>0，首先将题目结论改造为1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。这样的化简或变形（变形的目的也是化简）在绝大多数解题中都是需要的），而且是必要的。在变形过程中通常注意前后问题的等价性。 其次在对欲证不等式左边的化简时，应从已知条件中寻找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在对1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解时，应向1-a，1-b，1-c这三个因式靠拢，这样才便于判断整个因式的符号。由轮换式的特点，找准1-a，1-b，1-c中的一个因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较A与B的大小。 解题思路分析： 因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。 由ad=bc得：dbcbcbcac A-B=a+d-(b+c)=a bcabaaa1abbcca≥1。 abcabc 22222222222 =abc(ab)(ab)(ac)0 aabc d(bd)(cd)bcbccd A-B=adbc dbc(bd)=ddd下面是判断b-d与c-d的符号，即比较a、c与d的大小：应从条件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出发才挖掘隐藏条件。又：若不慎消去了a，该怎么办呢？ 由ad=bc得：aac bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求证：a+b+c≥(a+b+c)。 解题思路分析： 不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。 11左=(2a42b42c4)[(a4b4)(b4c4)(c4a4)] 21≥(2a2b22b2c22c2a2)a2b2b2c2c2a2 2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。a2b2b2c2c2a21(2a2b22b2c22c2a2)24 441[(a2b2b2c2)(b2c2c2a2)(c2a2a2b2)]21≥(2ab2c2abc22a2bc)ab(abc)2 【例5】（1）a，b，c为正实数，求证： 111111； ≥ abcabbcaca2b2c2abc（2）a，b，c为正实数，求证：≥。bcacab2解题思路分析： （1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。 （2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？ a2 【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥。 2解题思路分析： 思路一；根据x+y和x+y的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。x2y2xy∵ ≤ 22(xy)2a2∴ xy≥ 222222思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径： 途径1：用均值换元法消元： 令 xaam，ym 22 a2aaa2222则 xy(m)(m)2m≥ 2222途径2：代入消元法： 22y=a-x，0 222222222途径3：三角换元法消元： 22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，] 222244222222则 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ] a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥ 222 注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想2是高中数学常用的重要方法。 (ab)2ab(ab)2ab 【例7】 已知a>b>0，求证：。8a28b解题思路分析： 所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，1次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即2执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。 abab2ab(ab)2ab 222ab(ab)(ab)(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2所证不等式可化为 8a28b∵ a>b>0 ∴ ab ∴ ab0 (ab)2(ab)21∴ 不等式可化为： 4a4b2(ab)4aab2a即要证 只需证 24b(ab)2bab在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=解题思路分析： 不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。 22x34x8，求证：对任意实数a，b，恒有f(a) 211.2112f(a)2a3482a82a(2)8a282a82a≤ 822a82a8422 令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥ 22232 ∴ g(b)>f(a)2注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。 【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证： （1）|c|≤1，|b|≤1； （2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。 解题思路分析： 这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„±an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。 从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b[f(1)f(1)] 2111∴ |b||f(1)f(1)|≤[|f(1)||f(1)|]≤(11)≤1 222（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。 2当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)] ≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。思路二：直接利用绝对值不等式 为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时 |ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论 ① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。 评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。 同步练习 （一）选择题 1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是（）1111111≤ B、≤≤ ab44ab211111C、≤≤1 D、≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c 3、设m不等于n, x=m-mn y=nm-n，则x , y的大小关系为（） A、x>y B、x=y C、y>x D、与m ,n的取植有关 43344、已知a，b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数：x1，x2，„，xn和y1，y2，„，yn，b成等比数列，并给出下列不等式： ① ② 1ab2(x1x2xn)ab()n21nn(x1x2xn)ab2 ③ y1y2ynab ④ y1y2ynnabab2()22那么，其中为真命题的是（） A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设M= abc，N=，则MN的大小关系是 4abc4cA、M>N B、M=N C、M 6、已知函数f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（） A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能 111117、若a>0，b>0，x()，y，z，则（） 2abababA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x 8、设a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空题 9、设a>0，b>0，a≠b，则ab与ab的大小关系是__________。 10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。 11、设n个正数x1，x2，„，xn的算术平均数是x，若a是不等于x的任意实数，并记ab ba22 3aa12D、a+b≥2(a-b-1)bb1p(x1x1)2(x2x)2(xnx)2，q(x1a)2(x2a)2(xna)2，则p与q大小关系是__________。 1t112、当0 22nnn13、若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，则a+b与c（其中n∈N，n>2）的大小关系是________________。 （三）解答题 14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：ababba。 15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1abc2。bcacab1116、已知a≥0，b≥0，求证：(ab)2(ab)≥aaba。 243317、已知a，b为正数，a+b=2，求证：a+b≤2。 111a8b8c818、若a，b，c为正数，求证：≤。 abca3b3c3112519、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a)(b)≥。 ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。 第2讲 含有绝对值的不等式 一、辅导内容 含有绝对值的不等式证明 二、学习指导 1、绝对值的性质 （1）基本性质：①x∈R时，|x|≥x，|x|≥-x；②|x| （2）运算性质：|ab|=|a||b|，|a|a||，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„+an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。b|b| 222（3）几何意义：|x-a|表示数轴上数x，a对应的两点之间的距离。 2、与绝对值有关的不等式的证明 其方法仍是证明一般不等式的方法，如比较法、综合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性质外，还经常用到刚才所介绍的绝对值的性质，特别是||a|-|b||≤|a|±|b|这一条性质。 在利用绝对值的性质时，应根据不等号的方向进行合理的选择。 3、含绝对值不等式的证明与解法有较大的差异，在解不等式中，主要是考虑如何去掉绝对值符号；而在证明中，一般不提倡去掉绝对值符号，当然，少数题目例外。 三、典型例题 【例1】 设|a|<ε,|a-b|<2ε，求证：|b|<3ε。 解题思路分析： 根据解题的“结论向条件靠拢”的原则，本题主要思考如何用a，a-b表示b，从而利用|a|及|a-b|的条件得到|b|的范围。 ∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε 注：本题还涉及到了化简变形中的整体思想，即将a-b看作一个整体。 实际上根据|a-b|的结构特点，也可用绝对值的基本不等式对其缩小：||a|-|b||≤|a-b|，关键是不等式的左端是选择|a|-|b|，还是|b|-|a|，尽管两个不等式都成立，但由本题的消元要求，应消去a，保留b，故选|b|-|a|≤|a-b|。 ∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε ∴ 两不等式同向相加得|b|<3ε 【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。 求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解题思路分析： 因f的对应法则已知，故首先对不等式左边化简：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下来的变形向条件|x-a|<1靠拢，即凑出因式x-a： |f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化简有两种途径：从结论向条件凑，或从条件向结论凑。 途径一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途径二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途径二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||时，涉及到是选择|x-a|≥|x|-|a|，还是|x-a|≥|a|-|x|，应根据与|x|有关的不等号方向选择。本题是要将|a|放大，故选择|x-a|≥|x|-|a|。 |ab||a||b| 【例3】 求证≤。 1|ab|1|a|1|b|解题思路分析： 思路一：三个分式的结构特点完全一致，可构造函数f(x)=2 222 x，利用f(x)的单调性放缩。1xx(x≥0)1x易证f(x)在[0，+∞）上递增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|) ∴ |ab||a||b||a||b|≤ 1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b||a||a||b||b|，1|a||b|1|a|1|a||b|1|b||a||b||a||b| 1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|根据结论要求，采用缩小分母增大分式的放缩技巧 ∵ ∴ ∴ 由不等式传递性，原不等式成立 思路二：用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩。但不等式左边分式的分子、分母均含有|a+b|，必须转化为只有一项含|a+b|的分式。 ∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥ |ab||a||b| 111|ab|111|ab|≤111|a||b||a||b| 1|a||b|下同思路一。 【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求证|ax解题思路分析： 本题考虑去绝对值符号后进行证明。 b|≥2ab。xb思路一：不等号两边均为非负，原不等式(ax)2≥(2ab)2 xb2即 ax22ab≥4ab x22b2∵ ax2≥2a2b22ab x22b2∴ ax2≥4ab x2ab22b|≥0，|ax|≥0，显然成立 ab当a≠0且b≠0时，由a、b>0知，(ax)()>0 x思路二：当a=0，或b=0时，原不等式为|∴ |axbbb||ax|||≥2|ax|||2|ab|2ab xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）证明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于解思路分析： （1）f(1)-f(2)+f(3)=2；问题（2）的求解想办法利用（1）的结论。 这是一个存在性的命题，因正面情形较多，难以确定有几个，故采用反证法。 假设|f(x)|< 1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 22211122 222 则 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。 【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求证：| 解题思路分析： 本题用分析法较为方便。 1ab|>1。ab1ab1ab2|1()1(1ab)2(ab)21a2b2a2b20 ab ab(1a2)(1b2)0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立 【例7】 设x，y∈R，x+y≤1，求证：|x+2xy-y|≤2。 解题思路分析： 也许有同学会这样解： |x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放缩过度，不能满足本题要求。 根据条件“平方和”的特征，考虑用三角换元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 则 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222 222 222 22222222)|≤2r≤2 4同步练习 （一）选择题 1、已知函数f(x)=-2x+1对任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一个充分但不必要条件是 C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是实数，则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2| 3、设a，b C、|a-b|<||a|-|b|| D、|a-b|<|a|+|b| 4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，则 a0a0A、 B、ab0 C、 D、ab0 b0b011且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命题甲；两个实数a,b满足|a-b|<2h；命题乙：两个实数a，b满足|a-1| C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 |ab| 6、不等式≤1成立的充要条件是 |a||b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0 7、设a，b∈R，则|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 8、已知函数f(x)=-2x+1，对于任意正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|< （二）填空题 9、若|x+y|=4，则xy最大值是________。 |a||b| 10、若a≠b，a≠0，b≠0，则______|a||b|（填>、≥、<、≤）。|b||a| 11、a，b∈R，则|a+b|-|a-b|与2|b|的大小关系是______________。 12、关于x的不等式|x+2|+|x-1| 22 C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23 3（三）解答题 2 13、已知|a+b|<，|a-b|<，求证|a|<。 233cbcb|x1|，|x2|。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意义，且f(0)=f(1)，对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的两个实根x1，x2，求证：2求证：|f(x1)-f(x2)<1。2a2b2|a||b| 16、求证：≥（a，b∈R）。 2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求证：|1+ab|<|a+b|。 18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证： （1）|abc|1； |1abc|（2）a+b+c 19、求证 220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求证方程x+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1。 21、在一条笔直的街道上住着7位小朋友，他们各家的门牌分别为3号，6号，15号，19号，20号，30号，39号，这7位小朋友准备凑在一起玩游戏，问地点选在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定数字相连的两个门牌号码的房子间的距离相等）。 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b是任意实数,且a＞b,则 （）（A）a2＞b 2（B）b11＜1 （C）lg(a-b)＞0 （D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是 （） 1+a≥2(a0)at111（C）＜(a＞b) （D）a2≥at(t＞0,a＞0,a1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 则(21)(21)的最小值为 （） ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1) （B） (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 4、已给下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正确的个数为 （） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 5、f(n)= n21－n , (n)=(A)f(n) (B)f(n)<(n) (D)g(n) （）2n 6、设x2+y2 = 1, 则x +y （） (A)有最小值1 (B)有最小值(C)有最小值－1 (D)有最小值－2 7、不等式|x＋5|＞3的解集是 （）(A){x|－8＜x＜8} (B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝ (D){x|x＜－8或x＞－2＝ 8、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是 （）(A)ac＞bc (B)|a＋c|＞|b＋c| (C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x31x22x329、设集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},则有 （）x12（A）MN=P （B）MNP （C）M=PN （D）M=N=P 10、设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是 （）（A）6 （B） 42（C）22 （D）26 11、若关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是,11,，则ab等于（）23(A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14 12、如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a 的取值范围是 （）(A)(,2] (B)(,2) (C)(2,2] (D)(－2,2) 13、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集为，则不等式 f(x)0的解集是 （）g(x)(A) (B)(,1)(2,) (C)[1，2] (D)R 14、xx的解集是 （）x2x(A)(－2,0) (B)(－2,0) (C)R (D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞) 15、不等式31x3的解集是 （） 3(A)(－∞,1) (B)(33,1) (C)(,1) (D)R 4 4二、填空题 1、若x与实数列a1,a2,…,an中各数差的平方和最小,则x=________.2、不等式xlog1x21的解集是________.x3、某工厂产量第二年增长率是p1,第三年增长率是p2,第四年增长率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么这三年平均增长率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,则a1b的最大值是________.225、若实数x、y满足xy＞0且x2y=2,则xy＋x2的最小值是________.6、x＞1时，f(x)=x＋116x的最小值是________，此时x=________.2xx1 7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.xx412 329、命题①：关于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0对xR恒成立;命题②：f(x)=－(12x－3a－a)是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.10、设A={x|x≥ 三、解答题 1,xR},B={x|2x1＜3,xR＝,则D=A∩B=________.xx29x111、解不等式：2≥7.x2x 12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x5≥－2.x25x624、解不等式：9x26xx2＞3.5、解不等式：x3x2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。 7、若x,y＞0，求xyxy的最大值。 8、已知关于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一个根比－1小，另一个根比1大，求参数m的取值范围。 9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8xx3.不等式练习答案 一、DADCB DDDAB BCBAB 二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3 4n315)8、0＜x＜log23 9、-3＜x≤2 6、8,2＋ 37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4 三、1、[－12,1]∪(1,43) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0 9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：x1a0，x1aa.解得x>2a-1.(II)当0 当0 或(2)8x08x(x3)2x30 由(1)得3x5212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集为x|x5212 4、(0,3)第二篇：基本不等式复习学案
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第四篇：高二_不等式的证明讲义
第五篇：高二数学不等式练习题及答案(经典)
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