不等式专题复习1（共5篇）

第一篇：不等式专题复习1

不等式问题的题型与方法（1）

课型：复习课

教学方法：讲练结合知识目标：

在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；

能力目标：

通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 情感目标：

通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

教学重点：

1．理解不等式的性质及其证明。

2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

教学难点：

不等式的性质及其证明。

[教学过程]

（Ⅰ）基础知识详析

1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．

2．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．

3．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成。．

4．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。

（Ⅱ）范例分析

b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．

分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？

解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)当1≤y≤3时，所以当y=1时，xmin=4．

说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示

其数学实质．即求集合M中的元素满足关系

式

2a2a0 例2．解关于x的不等式： xxa9

分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

xaxaxa时，不等式可转化为即解：当 2229xxa2a9x9ax2a0

ax3a b

xaxa当xa时不等式可化为即 222ax(ax)2a9x9ax2a0

a2ax或xa3

32a3a故不等式的解集为(,,a。363

例3． 己知三个不等式：①2x45x②x2212xmx10③2x3x

2(1)若同时满足①、②的x值也满足③，求m的取值范围；

(2)若满足的③x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。

分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在,0和3,)内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。

解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。

解①得A=（-1，3）；解②得B=0,1)(2,4,AB0,1)(2,3)

（1）因同时满足①、②的x值也满足③，ABC

设f(x)2x2mx1，由f(x)的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，f(0)01017即m 3f(3)03m170

（2）因满足③的x值至少满足①和②中的一个，CAB,而AB(1,4因 此C(1,4方程2x2mx10小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而 即可满足ABf(1)1m031f(4)4m310,解之得m1 4m144

说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．

例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．

分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax+bx+c(a≠0)．①

顶点式．f(x)=a(x-x0)+f(x0)(a≠0)．这里(x0，f(x0))是二次函数的顶点，x0=))、(x2，f(x2))、(x3，f(x3))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由

2证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N．

依题意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有

f(0)＞0，f(1)＞0．

又f(x)=ax-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式，所以f(0)=ax1x2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．

从而f(0)·f(1)≥1．① 另一方面，且由x1≠x2知等号不同时成立，所以

2由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．

说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．

例5.设等差数列{an}的首项a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．问：它的前多少项的和最大？ 分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列．

解:设等差数列{an}的公差为d，由Sm=Sn得

ak≥0，且ak+1＜0．

(k∈N)．

说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键．

（Ⅲ）、强化训练

1．已知非负实数x，y满足2x3y80且3x2y70，则xy的最大值是（）

A．78B．C．2D． 3 3

3x2．已知命题p：函数ylog0.5(x22xa)的值域为R，命题q：函数y(52a)

是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（）

A．a≤1 B．a<2 C．1

23． 解关于x的不等式ax＞0 x22x3

4．求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：

(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．

5． 解关于x的不等式a2xaax(a0且a1)

（Ⅳ）归纳小结

⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解。

⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。

⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

[作业布置]

试卷（半份）

[教学反馈]

不等式的应用贯穿于高中数学各个知识点，学生会常犯一些基本的逻辑错误，应加强性、质教学，基本不等式这块一直是学生的薄弱环节，应加强复习、讲练结合和纠错。综合复习时特别要重视不等式与数列，不等式与三角，不等式与函数的结合应用。

第二篇：高二不等式复习

高二不等式复习

本周重点：复习不等式一章的整体知识结构

本周难点：进一步深化不等式应用的思想和方法

本周内容：

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：

(1)对称性或反身性：若a>b，则b

(2)传递性：若a>b，b>c，则a>c；

(3)可加性：，此法则又称为移项法则：

(4)可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc：当c<0时，ac

不等式运算性质：

(1)同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d：

(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

特例：

(3)乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则an>bn；

(4)开方法则：若a>b>0，n∈N+，则

：

(5)倒数法则：若ab>0，a>b，则

掌握不等式的性质，应注意：

(1)条件与结论间的对应关系，如是

符号还是符号

：

(2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。

2、均值不等式：利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab(a，b∈R)，该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为

；

当a,b≥0时，在具体条件下选择适当的形式。

3、不等式的证明：

(1)不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法：

(2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用：

(3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式(组)是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。

研究不等式结合函数，数形结合思想，等价变换思想等。

本周例题

例

1、已知f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。

分析：

从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。

设f(3)=mf(1)+nf(2)

∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)

∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c

∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5

∴-1≤f(3)≤20

说明：

1.本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即代入f(3)，达到用f(1),f(2)表示f(3)的目的。，然后

2.本题典型错误是-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。

3.本题还可用线性规划知识求解。

例2.设a>0,b>0，求证：

分析：

法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。

∴左≥右

法二：基本不等式

根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。

∴两式相加得：

例3.设实数x，y满足y+x2=0，0

分析：

说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。

例4.已知a，b为正常数，x，y为正实数，且

分析：，求x+y的最小值。

法一：直接利用基本不等式：当且仅当

时等号成立

说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。

法二：消元为一元函数

途径一：由

∵x>0,y>0,a>0

当且仅当时，等号成立

途径二：令

当且仅当时，等号成立

说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。

例5.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b

(1)解关于a的不等式f(1)>0；

(2)当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时，求实数a，b的值。

分析：

(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3

∵f(1)>0

∴a2-6a+3-b<0

△=24+4b

当b≤-6时，△≤0

∴f(1)>0的解集为φ

当b>-6时，∴f(1)>0的解集为

(2)∵不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为(-1,3)

∴f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解

∵3x2-a(6-a)x-b<0解集为(-1,3)

例6.设a,b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1。

分析：

在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。

法一：令f(x)=x2+ax+b

则f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0

f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0

又∵0<|a|≤|a|+|b|<1

∴-1

∴f(x)=0的两根在(-1,1)内，即|α|<1，|β|<1

法二：

同理：

说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。

例7.某人乘坐出租车从A地到B地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？

分析：

设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm

显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适

当m>a时，设m=a+x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x

∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)

∴当x>0时，P(x)

当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适

当x=10时，此时两种出租车任选

本周练习：

(一)选择题

1.“a>0且b>0”是的()

A 充分而非必要条件

B.必要而非充要条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2.设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为

A.B.C.D.3.若0

A.B.b

C.2ab

D.a2+b2

4.已知x>0，则

A.f(x)≤2

B.f(x)≥10

C.f(x)≥6

D.f(x)≤3

5.已知，则

A.p>q

B.q

C.p≥q

D.p≤q

6.若|a-c|

A.|a-b|<2h

B.|a-b|>2h

C.|a-b

D.|a-b>h

7.关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是

A.B.C.8.若a>0，b>0，且2a+b=1，则的最大值是

D.A.B.C.D.(二)填空题

9.设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数的最小值是____

10.周长为的直角三角形面积的最大值为_________

11.记，则S与1的大小关系是_______

12.不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________

(三)解答题

13.要使不等式对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？

14.解关于x的不等式

15.已知a≠0，求证：

16.已知不等式都成立，试求实数a的取值范围。

对n∈N+

17.若a是正实数，2a2+3b2=10，求的最值。

18.商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为进货量Q为多大时，整个费用最省？

件，问每批

练习答案：

(一)选择题

1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A

(二)填空题

9.10.11.S<1 12.(1,4)

(三)解答题

13.14.当a≤-1时，x∈(-∞,a)∪(-1,2)

当-1

当a=2时，x∈(-∞,-1)

当a>2时，x∈(-∞,-1)∪(2,a)

15.当|a|≤|b|时，不等式显然成立

当|a|>|b|时

左

16.17.18.高二数学周末练习六

1.已知直线ax+by+c=0不经过第一象限，且ab>0，则有()

(A)c≤0

(B)c≥0

(C)ac≥0

(D)ac≤0

2.直线l的倾斜角是连结A(3，-5)，B(0，-9)两点直线倾斜角的两倍，则l的斜率为()

(A)

(B)

(C)

(D)

3.下列方程中表示的图形为一条直线的是

(D)(A)lgx-lgy=1

(B)

(C)

4.设直线3x+4y-5=0的倾斜角为θ，则它关于直线x=3对称直线的倾斜角为()

(A)θ

(B)

(C)

(D)

5.三点A(-2，a)，B(3,1)，C(8,11)在同一条直线上，则a=（）

(A)-1

(B)-9

(C)3

(D)23

6.若直线L沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线L的斜率是（）

(A)

(B)-3

(C)

(D)3

7.已知A(3,3)，B(-1,5)，直线y=ax+1与线段AB有公共点，则实数a应满足的条件为_____

8.已知直线，下列命题：(1)直线的倾斜角是

；(2)不论如何变化，直线不过原点；(3)直线和两轴都相交时，可围成的三角形面积小于1。其中不正确的命题序号是_____

9.过点A(-3,4)且在两坐标轴上截距之和为12的直线方程是____

10.直线l过A(3,2)点且与直线x+3y-9=0及x轴围成等腰三角形，求直线l的方程。

答案：

C D D C B A

7.9.x+3y-9=0或4x-y+16=0

10.x-3y+3=0或

或3x+4y-17=0或

8.(1)(3)

第三篇：基本不等式复习学案

高三数学复习学案第六章 不等式、推理与证明姓名：班级：主备人：赵锁恩

第四节

A.1B.3C.5D.7

基本不等式

三.基本不等式的应用

10.（2011.日照质检）已知正数a,b,c满足a2bc1，则

一.基本不等式成立的条件

1.（2011.茂名期末）下列结论中，正确的序号有：（1）x

的最小值为_____ abc

11111.（2012.白山一摸）函数yloga(x3)1(a0,且a1)的图象恒过定点A，若定点A2 ；（2）当x0x（3）当x0且x1时，lgx2；2xx

lgx（4）当x(0,)时，sinx4sinx4；（5）x25x242 ；（6）2x

12x2 二.利用基本不等式求最值

2.（2009.湖南）若x0，则x2

x的最小值为________

3.（2011.重庆）函数f(x)x

x2

(x2)在xa处取最小值，则a_______ 4.（2012.九江模拟）函数f(x)x2

2x1x2

2x1,x(0,3)，则（）A.f(x)有最大值7

4B.f(x)有最小值1

C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1

5.（2009.重庆）已知a0,b0，则

1a1

b

2ab的最小值是（）A.2B.22C.4D.5

6.（2013.福建）若2x

2y

1，则xy的取值范围是（）

A.[0,2]B.[2,0]C.[2,)D.(,2]

7.（2011.天津）已知log2aloga

b

2b1，则39的最小值是______

8.（2011.浙江）若正实数x,y满足x,y满足x2y2

xy1，则xy的最大值是______

9.（2012.韶关一摸）当点(x,y)在直线x3y20上移动时，表达式3x

27y

1的最小值为（）

十年磨剑为一搏，六月试锋现真我。在直线mxny10，其中mn0，则1m2

n的最小值为______

12.(2010山东)若对任意x0,xx23x1

a恒成立，则a的取值范围是__________________ 13.（2012.大连二模）已知x0,y0，且

2x1

y

1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是（）A.m4或m2B.m2或m4C.2m4D.4m2

14.（2012长春模拟）已知M是ABC内的一点，且2,BAC30,若MBC,MCA,MAB的面积分别为

114

2，x，y，则xy的最小值为______

15.（2012.烟台二模）设a,bR，则“ab1”是“4ab1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

16.（2008.浙江）已知a0,b0，且ab2，则（）

A.ab

1B.ab12222

C.ab3

D.a

b22

17.（2010.安徽）若a0,b0，且ab2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是__________________（写出所有正确命题的序号）（1）ab1（2）ab（3）a

b22（4）a3b33（5）1a

1b

2

把奋斗留在今天，把结果留给命运。

第四篇：一次不等式复习教案

《一次不等式与一次不等式组》复习教学设计

审核：九年级数学组

目标确定的依据： 课标要求：

⑴结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。

⑵能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。

⑶能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。中招考点分析：

⑴不等式的性质。

⑵一元一次不等式（组）的解法及解集表示。⑶一元一次不等式的实际应用。学情分析：

本节复习不等式，学生基本熟悉却欠缺灵活，没有真正用数学符号表示实际问题，培养解决问题的能力。复习目标：

（1）了解不等式的性质,会进行一元一次不等式（组）的解法及解集的运算。(2）解与一元一次不等式（组）有关的实际应用问题。评价任务;通过基础知识回顾达成目标一； 通过练习反馈和直击中考达成目标二。复习过程：

一、基础知识回顾： 1．有关概念：

①一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

②能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.③ 求不等式解集的过程叫解不等式.④由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组

⑤不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。2．不等式的基本的性质： 性质1.性质2： 性质3：

不等式的其他性质：传递性:若a>b,且b>c,则a>c 3.解不等式的步骤:

1、去分母;

2、去括号;

3、移项合并同类项;

4、系数化为1。4.解不等式组的步骤:

1、解出不等式的解集

2、在同一数轴表示不等式的解集。5.列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：

（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)（4）解不等式组；检验并作答。

二、常考题型：

命题点1 解不等式(组)及其解集表示

1.(南昌)将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，2．(怀化)不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.(天津8分)解不等式组x＋2≤6 ①3x－2≥2x ②.请结合题意填空，完成本题的解答．

(Ⅰ)解不等式①，得____________；(Ⅱ)解不等式②，得____________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为____________．

命题点2 一次不等式的实际应用

1.(东营)东营市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米计)．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是()命题点3 方程与不等式的实际应用

1.(衢州6分)光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度．已知某月(按30天计)共发电550度．(1)求这个月晴天的天数；

(2)已知该家庭每月平均用电量为150度．若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本(不计其他费用，结果取整数)．

三、练习反馈：

1.不等式组2x＋2＞x3x＜x＋2的解集是()A.x＞－2 B.x＜1 C.－1＜x＜2 D.－2＜x＜1 2.(2016聊城)不等式组x＋5＜5x＋1x－m＞1的解集是x＞1，则m的取值范围是()A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≤0 3.(西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有()A.103块 B.104块 C.105块 D.106块

四、直击中考 河南近8年考题《试题研究》。1.做《试题研究》练习2.错题矫正

五、板书设计：

一次不等式与一次不等式组复习

1.基础知识回顾概念;2.不等式的基本的性质： 3.练习运算: 4.演板：

课后反思：

第五篇：不等式·解不等式复习课·教案

不等式·解不等式复习课·教案

教学目标

1．通过复习小结，学生系统地掌握不等式的解法及其内在联系，提高学生的解题技能．

2．通过对各类不等式内在联系的揭示，加深学生对等价转化的认识，为今后进一步学习数学打好基础．

教学重点和难点

解不等式变形过程中等价变换思想的理解和进一步应用． 教学过程

师：我们已对哪些不等式的解法做了研究？

生：一元一次不等式；一元二次不等式；简单的一元高次不等式；简单的分式不等式；简单的无理不等式；简单的指数不等式；简单的对数不等式；含有绝对值的不等式．

师：好．请先看几道题目．

（教师板书，请三位学生到黑板上做，其余学生在笔记本上做题）解下列不等式：

3．log2（x+1）＋log0.25（x-1）＞log4（2x-1）．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，3］． 2．解：原不等式

3．解：原不等式

所以原不等式的解集为（1，5）．（待三位学生写完后，教师开始讲评）

师：好，这三个题解得都很正确．请问做第3题的同学，原题中的底数有2，0.25，4这三个，换底时你为什么选择以4为底呢？ 生：都用大于1的底其单调性看起来比较方便，所以不选0.25；如果用2为底，那么以0.25，4为底的对数换底时真数中都要出现根号，而最后还要把根式变成整式，太麻烦．

师：那为什么又要把左边减的一项挪到右边去呢？

生：如果不移过去而直接运算的话，不等号左边的真数将是个分式，最后也得变成整式，同样麻烦．

师：好．还有，左移项之后不等号右边对数运算时，为什么又多出两个条件x-1＞0和2x-1＞0呢？在不等式中不是有log4（x-1）（2x-1）一项在，它已包含了（x-1）（2x-1）＞0吗？

生：是因为x-1＞0且2x-1＞0和（x-1）（2x-1）＞0这两个条件是不等价的．如果略去x-1＞0和2x-1＞0这两个条件将会扩大解的范围．

师：很好．这些问题都是我们在解不等式的过程中应该注意的．刚才我们分别回顾了简单的分式不等式、无理不等式和对数不等式．在我们学习过的八类不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最简单、最基本的不等式，而像我们刚才做的这些其他类型的不等式，我们是如何解决的呢？

生：把它们转化为一元一次或一元二次不等式． 师：具体来说这个转化的目标是实现的呢？ 生：逐级转化：超越不等式代数化；无理不等式有理化；分式不等式整式化；高次不等式低次化．

师：实现这些转化的理论依据是什么？

生：第一个是利用函数的单调性，后三者是根据不等式的性质． 师：在这个转化的过程中，最应该注意的是什么？ 生：每一次变换必须是等价变换． 师：为什么要求这样？

生：为了保证得到的解集与原不等式的解集相同． 师：我们在处理方程求解的问题时也遇到过这个问题．那时并不要求等价变换，只要验一下根就可以了．这里不行吗？

生：不行．因为一般方程的根只有有限的几个，增根可以通过检验的方式找出来．而不等式的解集一般都是无限集，因此非等价变换产生的增根无法由检验来剔除．

师：说得好．我们来通过几个例题来看看如何用等价变换解不等式．

师：这道题中的x参与了分式运算，还参与了无理运算．也就是说，我们要做两次变换．应该先进行哪个变换呢？

生：无所谓． 师：那就请两位同学来说说这两种做法．（学生口述，教师板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪［2，＋∞）．

所以原不等式的解集为［2，＋∞）． 师：为什么这两种解法得到的解集不一样呢？

变换就缩小了解的范围．故第一种解法是正确的．

师：对．我们在刚才的练习第三题中也遇到过这个问题，两式均大于0与它们的积（或商）式大于0是不等价的，这是我们在处理等价变换时应该注意的．对于这道题，我们就只能把它看作无理不等式．对复杂不等式的题型选择离不开不等式的等价性．请再看这道题．

师：这道题看上去和例1很像，如何处理？

生甲：当然是先把绝对值号去掉，变成一个分式不等式，剩下的就和例1差不多了．

师：好，把你的方法写到黑板上．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

师：正确．这个解法是把题目看成了绝对值不等式，它和例1的解法类似，都是把根号或绝对值号中的式子先看成一个整体来考虑它的范围，这样做比较容易保证等价性．这道题是否还有别的解法呢？

生乙：有．这道题可以把它看作一个分式不等式，将不等式左边变

师：在例1中这样做不对，这里会对吗？

以保证等价．

师：好，写出你的解法．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，＋∞）． 的，因此这个不等式可以当作分式不等式来解．那么这两种解法哪个更好呢？

生：第二种更好算一些． 师：因此我们解决不等式问题时应先观察题目，在等价转化的前提下尽量选择简捷的途径．请再看一道题．

师：这道题中的x也参加了对数运算和分式运算．应把它看作哪类不等式？ 生：x参与的对数运算只有logax，把这个整体看成一个未知数，就可以转化成分式不等式了．

师：好，说说你的解法．（学生口述，教师板书）

又0＜a＜1，则原不等式

师：对．在解集的端点中含有字母系数时，要特别注意它们大小的比较．下面大家自己做几个题目．

（教师板书，学生在笔记本上做题）练习：解下列不等式：

（教师观察学生完成情况，视学生解题状况做出点评）

师：那如果把题目中的“≥”号改成“＞”号就可以直接去掉了吗？ 生：是．这样不会漏掉解．

师：试想，即使不影响结论，也是因为忽略的情况凑巧不在解集内．虽然我们要求等价变换的目的是为了保证同解，但不能因为凑巧同解就忽视等价变换．

师：有的同学对于第2题无从下手．对于题中的字母a我们如何处理呢？ 生：如果像例3那样给定了0＜a＜1，那么不等式就可以转化为

师：那如果a＞1呢？

师：因此对于这种题目我们就要对字母系数和范围进行分类讨论．试着说说刚才提到的两种情况下的解法．

（学生口述，教师板书）

解：1°当a＞1时，2°当0＜a＜1时，师：很好．对于含有字母系数的不等式，我们需要在必要时对字母系数的范围进行讨论；并且在最后确定解集时，要注意对含有字母系数的区间端点的大小比较．

师：我看到有的同学处理第3题时下手就把两边平方，这样做可以吗？ 生：可以，但不好．如果一平方，不等号右侧就成了四次式，那样过于麻烦了．

师：那又如何处理呢？

生：观察不等式，根号内、外的x的二次项、一次项的系数对应成比例，由这可以想到使用换元法．

师：很好．这个方法我们在处理方程问题时就用过．把你的解法写出来．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-3，-2）∪［1，2）．

师：很好．当我们处理一些复杂的不等式时，有时可借助换元法使问题简化． 师：解不等式要立足基本题型，通过等价变换，把它们最终归结为一元一次不等式或一元二次不等式的求解．

作业：

解下列不等式：

作业答案或提示：

3．｛x|0≤x＜1｝．可用换元法将根式当作一个整体．

课堂教学设计说明

1．作为不等式解法的复习课，我们把等价变换放在突出位置．也就是说，要求每一次变形所得到的不等式和变形前的不等式是等价的．这与课本中有所不同，课本原意是用同解不等式的观点作统帅．这样做有这样做的道理，但操作上有困难．因为两个不等式是否同解，要等解出来以后，从结果才能看清楚，用作为指导性的东西显得有些困难．我们强调等价变换是从过程看，这样做既好操作，也符合逻辑，还容易看清楚，可以引导学生从逻辑上把解不等式理论认识清楚．

2．在本节课中，没有给出不等式的这种分类（见分类表）．因为我们认为应该淡化形式，注重实质，而且表中的不等式也并没有全部涉及到．我们对于各类不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分类表： 的解法是最基本的，它是解各类不等式的基础．而解其他类型的不等式，关键在于利用不等式的性质或相关函数的单调性，将其等价变换成一元一次或一元二次不等式（组）再求解．

对于已分类学习研究过的不等式解法，复习并不是简单地罗列各种解法，堆砌各类题型，这只是形式上的表面文章，冲淡了学生对其本质——等价变换的认识．像3道例题，它们并不纯属于哪一类不等式，对于这类问题的讲解，就要引导学生在立足基本题型、基本方法的基础上，抓住内在联系，把握基本思想，有的要通过换元、分类讨论等手段，问题得以解决．