不等式的简单变形（共5则范文）

第一篇：不等式的简单变形（共）

8.2 解一元一次不等式

第2课时不等式的简单变形

设计理念：生活中存在很多的不等关系，一、学生起点分析：在本节学习之前，学生已经掌握不等式的概念、不等式的解、不等式的解集等基本概念。

二、教学任务分析：《解一元一次不等式》是义务教育课程标准华师大版七年级（下）第八章《一元一次不等式》第二节，本节内容为第二个课时，在学习不等式概念、不等式的解、不等式的解集等知识后，本节学习不等式的三条性质。

三、教学目标分析：

教学目标

本节通过介绍不等式的变形，对解不等式作了理论上的准备，并引导学生体会不等式与方程的区别。

教学重、难点及教学突破

重点1．掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性

质3。

2．对简单的不等式进行求解。

难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。教学过程：

一、新课导入：

由等式的性质类比导出不等式的性质。

二、新课探究：

将不等式7>4两边同加或同减同一个数，比较所得的数的大小,用“>”或 “<”填空:

7+54+57+（-2）4+（-2）7-24-27-（-1）4-（-1）

观察不等号的方向从中你发现了什么？

教师概括：不等式性质1

不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变。

①如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

知识运用:设a

（1）a+1b+1;(2)a-3b-3;(3)a-15b-15

提问：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？

将不等式7>4两边同乘以或同除以同一个数,比较所得的数的大小,用不等号或等号填空:

7ⅹ34ⅹ37ⅹ（-1）4ⅹ（-1）7ⅹ04ⅹ0 7÷14÷17÷（-1）4÷（-1）

观察思考：

1、当在7>4的两边同乘以或同除以同一个正数时不等号有什么变化？

2、当在7>4的两边同乘或同除以同一个负数时不等号又有什么变化呢？

3、当在7>4的两边同乘零呢？可不可以同除以零呢？

教师概括：

也就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

ab

cc

ab③不等式性质3 如果a>b,并且c<0,那么acb,并且c>0,那么ac>bc，。

知识运用：设a

三、例题讲解：（利用不等式的三条基本性质，求下列不等式的解集。）

例1、4x-15≥-3例2、2x<3x-3

四、课内练习：

(1)-2x>4(2)4+2x≤3x-1;

五、课内检测：

1、选择已知不等式（m-2).x>1的解集为x<则（）

A、m<2B、m>2C、m>3D、m<32、求下列不等式的解集：

4x≥-283、求下列不等式的解集，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：

（1）3y-11>-2(2)、x-3≤4x+27

六、小结：谈一谈本节课有什么收获和大家交流一下。

七、作业：课后练习第二题。

第二篇：均值不等式的变形和应用

均值不等式的变形和应用

一、变形

1.设a,b是正实数，则

a2ab+b 2a或+ 2（当且仅当a=b时，等号成立）bba

2.设a,b,c是正实数，则

a2+b2+c2?abbc+ca（当且仅当a=b时，等号成立）

3.设a,b是正实数，则

a+b22ab（当且仅当a=b时，等号a+b

成立）

4.设a1,a2,b1,b2是实数，则

(2222a1+a2b1+b2?a1b1a2b2（当且仅当a1:a2=b1:b2)()()时，等号成立）

二、应用

（一).在求最值中的应用

在求最值时，要利用凑项、凑系数、分离和换元等方法，使两个整数的和或积或平方和为定值，以利用均值不等式;还要注意“一正二定三取等”，特别在多次利用均值不等式时注意取等条件.骣1x1.若x,y是正数，则琪琪

2骣1+琪y琪2的最小值是多少？

桫2y桫2x

解：骣琪x1+骣琪桫2y

琪琪桫y12x

=x2+xy+1y14y2+y2+x+4x

=骣琪琪x2+1+骣桫4x2xy+骣桫yx1+y2

桫

4y2

?12+1=

4ìï2ïx=

12ï

4x当且仅当ïíxï=y，即x=y=时等号成立

ï

yx

2ïï1î

=y24

y2.设0

(3-2x)的最大值.解：因为0

3，所以3-2x>0

故y=4x(3-2x)

=2 2x(3-2x)

£2骣2x+3-2x

桫2

=92

当且仅当2x=3-2x，即x=3

骣4

Î

琪琪0,3桫2

时，等号成立.3.已知a,b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最

小值.解：法一：由2b+ab+a=30得

a=30-2b

b+1

所以ab=30-2b-2b2+30b+1b

b

b+1

由a,b为正实数得0

ab=

-2t2+34t-32

t=-2骣琪琪t16+34 桫t

?2 34

=18

故y³118，当且仅当t=4，即b=3，法二：30-ab=a+2b

所以30-ab

令u

u2--300

a=6时，等号成立ab

.解得-

uab£18 1

故y³，当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立.18

（二).不等式与方程的转化

4.111

设x,y均为正实数，且+=，求xy的最小值.2+x2+y3

4+x+y1

解：通分得=

4+2(x+y)+xy3

(x+y)=8

所以xy=8+x+y?8（）

整理得xy-

即

故xy³

-0

4?2（舍）

16，当且仅当x=y=4时，等号成立.（三).不等式与恒成立问题

x

5.若对任意x>0，£a恒成立，求实数a的取值

x+3x+1

范围.骣x

解：由题意得 a³x+3x+1桫

又x>0

max

x111

=?

所以

5x+3x+1x+3+13x骣x

即x+3x+1桫

=

max

.轾11

故a³，a的取值范围为,+

5犏5臌

（四).证明不等式

在证明不等式时，要利用比较法、分析法、放缩法、等项匹配法和反证法等方法.6.a2b2c2

已知a,b,c均为正数，求证++?ab+c.bca

a2

证明：+b 2a

ba2

所以?2ab

bb2

同理?2bc

c

c2

?2ca a

a2b2c2

以上三式相加得++?2ab+2b-c+2c-a

bca

()()()

=a+b+c

（亦可直接用变形4）

（五).实际应用

将实际问题转化为数学模型，再用解以上题目的方法解决问题，但要注意实际问题下函数的定义域.

第三篇：《不等式的简单变形(一)》教学设计

《不等式的简单变形(一)》教学设计

素质教学目标

1．使学生了解不等式的概念。

2．使学生通过自主探究，理解和掌握不等式的基本性质1，并会用不等式基本性质1将不等式变形。

重点：运用不等式基本性质1对不等式进行变形。

难点：不等式基本性质1的应用。

教具准备

多媒体课件或投影仪、三角板、圆规、天平。

教学过程全解

一、回顾

1．回顾一元一次方程的解法，特别对“移项”法则进行复习。

2．复习不等式解集，解不等式概念。

二、创设情境，导入新课

1．问题提出：一个倾斜的天平两边分别放有重物砝码，其质量分别为a和b，从天平实验看a>b，请同学们猜一猜，如果在两边盘内分别放人等量的砝码c，那么天平会发生什么变化?如果再把砝码c拿出来呢?

教师活动：操作实验，提出问题。学生活动：观察与思考，回答自己的判断。教学方式：投影显示问题情境，实物操作。

三、联系实际，学习新知

1．理解不等式的性质l：如果a>b，那么

d+c>b+c，a一c>b—c。

学生活动：自主探索，小组学习，得出结论：不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变。

2．举例分析:

例1解不等式：

(1)x一7<8，(2)3x<2x一3

教师活动：提出例1的问题。学生活动：小组学习，寻求规律，新旧知识联系，迁移“移项”含义。教学方法，合作学习。

点评：解上述不等式首先依据不等式性质1进行变形，得到解集，而后通过过程教学，寻找规律，可以得到：采用解方程中的“移项”思想来解不等式较为简便。但是要使学生明确其根据是不等性的性质1。

四、随堂练习，巩固新知，课本P60练习1、2。

五、全课小结，提高认识

1．应用不等式性质1进行不等式的简单变形，提炼出采用的方程

中的移项方法解不等式的简便做法。、2．继续对不等式的解集用数轴来表示时的画法予以关注，进行类

比。特别是“≥、>、≤、<”的不同表示应予以注意。数轴表示能直观 体现不等式解集的含义。

教师活动：提问、引导。学生活动:回答、发表各自的看法，教学方 法：个别提问与共同参与相结合，师生共同反馈，达到小结目标。

六、作业布置，课本习题8.21．(1)(2)2，3(3)

第四篇：8.2.2不等式的简单变形教案及教学反思

备课时间：3月15日 授课时间：3月21日

教学内容：8.2.2不等式的简单变形 教学目标：

知识与能力：理解并掌握不等式的基本性质，会运用它进行简单的不等式的变形。

过程与方法：经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

情感、态度与价值观：通过小组活动增强学生的合作意识，体验数学活动充满着探索与创造。

教学重点：不等式的基本性质。教学难点：不等式基本性质的应用。教学准备：

教师准备：三角板、学案 学生准备：三角板、学案、练习本

教学过程：

依照学案进行，学习目标、温故互查、教材导学、巩固练习。

课堂总结：

1.引导学生回顾本节课的主要内容，强调不等式的性质。

2.让学生回顾解不等式的步骤。

板书设计：

不等式的简单变形

不等式的性质1.若a>b,则a+c>b+c, a-c>b-c 不等式的性质2.若a>b,且c>0,则ac>bc 不等式的性质3.若a>b,且c<0,则ac

建立知识结构，进行新课的引入和知识的迁移．上课伊始，我书写了等式（方程）一章的部分知识结构，并且由等式的有关概念到不等式的有关概念的类比线路图，从而引入课题，开始检查前置学习的情况．这样处理，学生对这个知识内容的整体把握就能够高屋建瓴，数学学习的能力意识就能够形成，反映在这一课上，学生的小结就总结了以下内容，有学生说：学习了不等式的性质，就可以进行不等式的变形；还有同学说道：下面将要学习解一元一次不等式；解一元一次方程有五步七个注意点，解一元一次不等式可能有五步八个注意点．虽然学生小结的偏了点，但说明学生有类比迁移的意识，这为数学学习储备了很好的学习能力．

课堂设问、提问精心研究．在利用不等式的性质进行不等式的变形时（问题是以填空不等号的形式拟题的），提问：“各小题的结果是什么？怎样由已知的不等式变形得到的？理论依据是什么”，这样设问便于学生研究，便于学生回答；提升学习内容，问题有难度，思考有深度，在学生回答五道判断题对错后，连续追问，有问为什么的，有问反例是什么的，有问成立的条件是什么的，有问怎样改变结论使命题成立，怎样改变条件试命题成立．提问学生回答问题形式多样，多数情况，学生举手回答，还有依座次回答，点学号回答，同学推荐回答等等，全班学生整堂课处于积极的参与状态．

课堂内容的处理详略得当．利用性质进行不等式的变形是性质的理解和掌握，难度不大，学生口答一挥而就；分类讨论虽是难题，三种情况一经点破，旋即解决；提升判断实是难点，反复讨论，多角度思考，多方位研究，一题多变化，用足力气；用不等式的性质解不等式，变形后的形式要明白、怎样变形要清楚、变形依据要对号、书写格式要规范，同时这又是后面解一元一次不等式的预演，移项法则由此产生，所以，安排了例题老师示范、安排了学生上黑板板演、安排了学生在上面点评．本课全部完成了预设的教学任务，用了八分钟时间进行了很充分的小结．

在教学活动中，还有不少缺憾：

新知识的生成，总觉得不是很到位的．由于没有亲自组织学生对新知识的由特殊到一般的探究过程，学生对不等式的性质的归纳总结到底处于一个什么层次，心里总是没有个底，从前面的回答来看，学生直接拿结论的现象比较严重，我们都很重视学生新知识的学习方法，为此，我也一再要求学生自学，本课在学生学习方法的指导上，丢下了这方面的指导和检查．

要抓住学生稍纵即逝的教育会．每一课，无论是学生还是老师，都有收获，这就是教学相长．这一课，学生的表现使我回味，真是佩服我们不少同学在小结时能将不等式一章的知识结构勾画出来了，还有同学说出解一元一次方程有五步七个注意点，解一元一次不等式可能有五步八个注意点．在课的最后，老师没有给出最为精彩的和最为鼓励的总结，使本课更加值得回味，也没有结合黑板上的板书，当堂反思本课内容

整体而言在本节课教学过程中，我觉得基本上达到了教学目标，学生的参与积极性也还不错，暴露出的一个严重问题就是我发现自己的语言表达不是很好，表扬性语言很单一而且生涩，我在今后的教学中，一定要努力提高教学语言，提高自己的教学水平。

第五篇：变形计观后感

《变形计》观后感

变形计讲的是两个身世背景完全不同的孩子，通过交换家庭生活来体验不同的人生以此来进行自我变形的故事，通过这个故事，我体会到了富裕的生活并不能带来一切，而贫穷也有可能成为成功的资本，这其中的关键，都来自我们自己。

西安，这个用历史陈淀起来的文化古都，这无疑是个大城市，变形计中的主人公之一的高泽冶就生活在这里，优越的生活，并没有让他变成一个对社会有用的人，相反他因为家庭的教育问题变成一个颓废、叛逆的少年，家庭矛盾也因为孩子升级到无可收拾的地步，火辣倔强的妈妈，后悔赚钱而忽视孩子的爸爸造成了今天的他，似乎前景一片灰暗，父母在孩子的未来将扮演怎样的角色？

贵州，穷山僻壤，无论是经济还是交通都非常落后的地方，有一个孩子叫做罗先旺，他就是我们的另一个主人公，他和高泽冶有着完全相反的生活，但是不同的是他在这样落后的条件下却生出了一颗积极向上，勤奋努力的心。质朴男孩罗先旺每天辛苦的操持着繁重的农耕生活小小的孩子，稚嫩的肩膀上却挑起了一个家似的，父母常年在外打工，他就成为了家中的一个小小的男子汉，照顾年幼的妹妹，和高龄的奶奶以及家中繁重的农务，都不在话下，懂事的孩子无怨无悔的奋斗着，他，是快乐的。

两个孩子都为了改变而开始了互换的生活，在这之中，最让我感动的还是小小男子汉罗先旺。初到西安的他略显局促，但是让人意外的他很快就适应了大城市里的生活，他并没有因为环境的改变而灰心，他来到高泽冶以前就读过的小学，学校优渥的教学条件让他仿佛进入了乐园，同学们的友好相处也让他大胆了起来，在课堂上的他努力的吸收着在家乡完全无法吸收到的知识，面对老师的提问，他总是勇敢大声的回答，毫无惧色，在这里他就像是一只快乐的小鸟，来到了属于他的天堂。看到这里，我在想，罗先旺是因为条件的限制无法像城里孩子一样学习生活，而我们，却有着罗先旺想要的一切，我们有什么理由颓废，沉沦，不好好学习呢，我们有什么理由抱怨这一切呢，我觉得以前的高泽冶就是现在我们的象征，但是经过变形的他也让我们看到了他的改变，他变得不再只缩在自己小小的世界里怨天尤人了，他变得能看到身边的人的冷暖，学会体恤他人了，学会了接受，而不是一味的抵触，就像剪头发这件事，母亲曾多次劝他把过长的头发剪了，但他都没有听从，而就在变形结束的那天他剪了头发，就像是剪掉了不堪回首的过去，重新生活一样，他，改变了。

不同的家庭有时会带来不同人生，但是更多的还是取决于我们自己，就像变形计中的两个孩子，富裕的生活给高泽冶带来的并不是美好的人生，反观罗先旺，贫穷的家庭没有压垮他对生活的信心，相反让他更加努力的生活，改变这一切。

那坚强的花啊，即使是在悬崖峭壁的夹缝中，也能循着阳光努力的生长。