第二节 重要不等式（共五则）

第一篇：第二节 重要不等式

第二节 重要不等式

在自主招生与竞赛的考试中，经常会出现对一些重要不等式的考查，主要有：绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式、权方和不等式、琴生不等式及卡尔松不等式等.下面我们来认识这些不等式及这些不等式的应用.一．绝对值不等式

从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及距离的长短、面积的大小、重量的轻重等等，它们都要通过非负数来表示.因此，绝对值不等式具有非常重要的现实意义.定理1如果a、b都是实数，则|ab||a||b|，当且仅当ab0时等号成立.定理2如果a、b、c都是实数，则|ac||ab||bc|，当且仅当(ab)(bc)0时等号成立.例1.解不等式|x5||2x3|1.练习：（1）求证：对于任何实数a，b，三个数|ab|、|ab|、|1a|中至少有一个不小于.（2004年同济大学）

（2）若对一切实数x都有|x5||x7|a，则实数a的取值范围是（）

A.a12B.a7C.a5D.a2（2008年复旦大学）

（3）设实数a使得不等式|2xa||3x2a|a2对任意的实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A.[,]B.[,]C.[,]D.[3,3]（2007年一试T2）例2.求f(x)|x1||2x1|121***|2011x1|的最小值.（2011年北约）

二．平均值不等式

设ai0（i1,2,调和平均值Hn,n），记这n个数的 n

1i1ain

几何平均值Gn算术平均值Anai1ni

n

方幂平均值Xn则HnGnAnHn，当且仅当a1a2an时等号成立.例3.设有正数a，b满足ab，若有实数x1，x2，y1，y2使得x1y1是a，b的算术平

均值，x2y2是a，b的几何平均数，的取值范围.（2004年同济大学）

22例4.若正数a,b,c满足abc1，求证(a)(b)(c)例5.设

1a1b1c1000

.（2009年南京大学）27

x

5，证明不等式（2003年一试）

2例6.n个正数x1,x2，xn满足xi1.i

1n

x

12x2

求证：

x1x

2x2x322xnxn11.xn1xnx

nx12

练习：设x,y,z[0,1]，则M.（2012一试3）

三．柯西不等式

柯西（Cauchy）不等式：对于任意的两组实数a1,a2,n

n

2i

n,an和b1,b2，bn(n2)，有

(aibi)(a)(bi2)，等号当且仅当aibi(,为常数，i1,2，n)时成立.i1

i1

i1



当ai,biR时，等号成立的条件可以改写为

a1a2

b1b2



an

.bn

这就是著名的柯西不等式的一般情况.从运算的角度来看，就是“乘积和的平方不大于平方和的乘积”.对于柯西不等式，有以下几条需要说明：

1：由于“

a

i1n

n

2i

0,b0,aibi0”情况之一出现时，不等式显然成立，因此，2ii1

i1

nn

在讨论中不妨设

a

i1

2i

0,b0,aibi0都成立.2ii1

i1

nn

2：柯西不等式取等号的条件常常可以写成比例形式

aa1a2

＝＝n，并约定：分b1b2bn

母为0时，相应的分子也为0.“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分.3：使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立.这个不等式告诉我们，任意两组实数a1,a2，an和b1,b2,“求和”、再“平方”,bn(n2)其对应项“相乘”之后、三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和、最后相乘，运算的结果不会不变小.推论1：若ci0(i1,2,x12x

2,n,n1)，则

c1c2

2xn(x1x2xn)2，当且仅

cnc1c2cn

当

x1x2

c1c2



xn

时成立.cn

2xn(x1x2xn)2.当且仅ana1x1a2x2anxn

x12x2

推论2：当ai0,ci0(1in)时，

a1a2

当a1a

2an时成立.,n)时，(aibi.i

1i1

i1

n

n

n

推论3：当ai,bi0(i1,2,例7.设P为ABC内一点，它到三边BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3,S为ABC的面

abc(abc)2积，求证：.（2009年南京大学）

d1d2d32S

.求证：3a9b27c1.（2008年西安交通大学）2

121212

例9.设a,b,cR，且abc1，求证：(a)(b)(c)的最小值.abc

例8.设实数a,b,ca2b3c

（2008年南开）

例10.已知x,y,z0，xyz3，求证：

xyz

1.323232

xyzyzxzxy

（2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）

9222



xyz,例11.在实数范围内求满足方程组的实数x,y,z的值.（2008年同济）

48x6y

24z

39

例12.求函数y（2009一试11）

四．排序不等式

排序不等式：设a1a2

b1b2an，bn为两组实数，c1,c2，cn是b1,b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1当且仅当a1a2

anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，an或b1b2bn时，等号成立.例13.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i（i1,2，10）个人的水桶需要

ti分钟，假设这些ti各不相同.问只有一只水龙头时，应如何安排10个人的顺序，使他们等

候的总时间最少？这个最小的总时间等于多少？

例14．设a1，a2，„，an是n个互不相同的自然数，证明：

1

112

3

1aa122n2



an

.2n

abc

3.xyz

练习：已知x、y、z0，a、b、c是x、y、z的一个排列.求证：

（2009年清华大学）

五．琴生不等式

凸函数：一般地，设f(x)是定义在区间(a,b)上的函数，如果对于定义域内的任意两个数x1，x2都有f（x1x2f(x1)f(x2))，则称f(x)是(a,b)内的下凸函数.22xx2f(x1)f(x2))同理，如果有f(1，则称f(x)为(a,b)内的上凸函数.2

2我们一般说的凸函数，通常来言是指的下凸函数.性质1（琴生不等式）对于(a,b)内的下凸函数f(x)，有

f（x1x2

n

xn)

f(x1)f(x2)

n

f(xn)

.性质2（加权琴生不等式）对于(a,b)内的下凸函数f(x)，若a1a2an1，则

f(a1x1a2x2anxn)a1f(x1)a2f(x2)anf(xn).对于上述的两个关于琴生不等式的有关性质，我们将“”改为“”，即得上凸函数的琴生不等式.例15.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角，求tanAtanBtanC的最小值.（2010年北京科技大学）

222

例16.已知A、B、C(0,)，且sinAsinBsinC1.求ABC的最大值.π2

（2013年清华大学夏令营）

未完，待下周续……

第二篇：重要不等式汇总(例题答案)

其他不等式综合问题

例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证：

1.（1）

a3b3abcb3c3abcc3a3abcabc

分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y)(x、y∈R+)（*）

知（1）的左端

1.ab(ab)abcbc(bc)abcca(ca)abcabc

这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。

（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？

以下为行文方便，记（1）的左端为 似处理，不再赘述,为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手,11

。（2）

a3b3c3abcdabcd

4分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x+y+z≥xyz(x+y+z)（**），表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类

ab3abc

3推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：

（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。事实上，由高中数学课本上熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x+y+z≥xy+yz+zx≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样（**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：

n

44422222

2ik

i

1aai

i1

ni

n



1ai

i1n

。（3）

有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明

nn

a1na2an1a1a1an1(a1a2an1)（这是（**）的发展）

事实上，由切比雪夫不等式及算术——几何平均值不等式可知

aaa

n

n2

nn1

n1n1

a1n1a2an1(a1a2an1)a1a1an1(a1a2an1)

n1

有了上式，推广2便不难证明，略.很显然，对于推广2，若按（1）的最初的去分母去证明，当然是行不通的，这也表明，解决数学问题的关键一着就是要把握问题的实质，不要被一些较复杂的表面现象所迷惑，要善于观察，善于分析，善于总结，善于概括，善于发现，善于利用，尽力从表象的东西里抽象概括出本质性的实质性的规律，这才是学习数学的要旨。例2：设x、y、z∈R+，求证：

x2y2z

2221.（4）2222

yzyzzxzxxyxy

分析：这是一个并不复杂的分式不等式，但是若要通过去分母来证明，肯定会走弯路，甚至走到死胡同。

思考方向：（4）的左端较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从从左至右的进行。思考方法：（1）从左至右是一个逐步缩小的过程，所以，对于本题，一个简单的想法就是将个分母设法放大，但考虑到分母结构的相似性，故只要对其中之一进行恰倒好处的变形，并设法构造出（4）的右边即可大功告成。

实施步骤；联想到高中课本上熟知的的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R),刚好是（4）中分母里xy的成功放大，即有如下证明：

x3x2x22x

2证明：∵ 只要证明，（5）,22y2z2212y2z2yz3(yz)222

yz(yz)

给（5）的两边同时加3，得到

(x2y2z2)(

x2y2z2

y2z2



9，这等价于 2

19122)(yz)()9，2y2z2y2z2

这由Cauchy不等式便知，从而（4）得证。

（4）式刻画了3个变量的情形，其特点是；左端每一个分式的分母是从3个变量中取两个，为

两个的二次方与这两个变量之积之和，而分子则是剩下一个变量的二次方。现在，我们如果站在变量个数方面考虑，即再增加若干个变量，结论会怎样？证法还灵吗？经过再三考虑，得到 推广1：设ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求证：

n

ain

ki

n

akak

ki

i

11.（6）

联想（4）的证明过程，知关键是对分母中的乘积项利用二元均值不等式进行放大，然后运用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的证明也只要对每一个分式中分母乘积项逆用多元算术——几何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，详细的证明略。

y2x2z2

1.（7）另外，如果一不小心，将（4）错写为如下形式：2

yyzz2z2zxx2x2xyy2

那么，虽然（7）与（4）相比，实质性的东西并没有发生改变，但就其结构而言已经发生了相当大的改变，即（7）的每一个分母中连续3项依次成等比数列，而（4）的分母中就不具备这样的性质，继而，（7）是否从某一方面反映某一普遍意义下的一种特例呢？也就是（7）的一般情形是什么？站在等比数列的角度去审视（7），就可以探索从改变分母的指数出发去联想，从而得到一个很好的结论，（7）的分母多项式为3项，最高指数为2，分子与分母指数相同，左边为三个式子之和，右边为1，试想，当分母中的多项式指数增高时，（7）应该变成什么样子，准确点儿，当指数为n+1时，相应的结论如何？这就是

推广2：设xyz∈R+，求证：

xn1yn1zn13（8）n1nn1nn1nn12n1n12n1n12n1

n2yyzyzzzzxzxxxxyxyy

分析：联想与类比有时候是提出问题和解决问题的金钥匙，相似问题的解决方法在很多场合往往

都是十分相似的，在这一点上请同学们注意领会并掌握。

思考方向与思考方法基本同于（4），只是实施步骤中的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R)的右边的指数2改为n+1时，结论会变成什么相适应的样子？

类似于（*），由高中课本上知识知（当然可从指数为3，4，5，…,去探索，这里就省去探索的过程了，因为高中课本上已有指数为3、5时的结论）： nkknn+kn+k

xy+xy≤x+y,(x、y∈R+，n、k∈N+)

这是一个有意义的结论，于是xn+1+xny+xn-1y2+…+yn+1≤

yn1xn

1

yn1ynzyn1z2zn1zn1znxzn1x2xn1xn1xnyxn1y2yn1

n2n1

(xyn1),即 2n1z

2xn1yn1zn1

3(n1).(注意到（5）)到此，推广2获证。n1n1n1n1n1

n2yzn2zxxy

实际上，通过刚才对（7）的分析知道，（7）还有从变量个数方面的推广，例如变量个数为4，5，6，…，12或者小于等于23的奇数（结论成立）时，结论的证明就比较复杂了，况且，也不能推广到任意多个变量。关于这点，请读者参考有关资料。例3：设x、y∈（0，1），求证：

2。（9）1x21y21xy

分析：本题的结构看似简单，实际上，要向前面两个不等式那样去设法从左至右的证明在这里就不好进行，于是，需要进行等价分析变形，这是在当前一时找不到好的证法时常用的证题方法。

思考方向和思考方法：去分母，整理成恒不等式。

实施步骤：一般的程序应该是配方或者分解因式。

证明：由条件 x、y∈（0，1）知，xy∈（0，1）,所以，原不等式等价于[

1]（10）

21x21y21xy

2(1x2)(1y2)-(1xy)(2x2y2)0(x2y2-2xy)(1-xy)0（11）

结合题目条件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命题获证。

这一证明看起来比较简明，但是，真正实施起来也不是太简单，请同学们仔细领悟。到这里本题的证明已经结束，但是，如果仅停留在这个层次上就得到的甚少，应该及时进行反思、总结、提炼，看看本题有无推广演变的可能？即能否由此产生新的数学命题？

观察例3的结构可以看出，（10）的左端可以看成是函数f(x)

在两个变量x、y处的函数

21x

值的算术平均值，右边是两个变量x、y在其几何平均值处的函数值f(xy)，联想到Jensen不等式，可以很容易的将（10）推广到多个变量时的情形，即

推广1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：

1n

。（12）nn

i11xi1xi

n

i

1这由数学归纳法不难确认其正确，详细证明留给感兴趣的读者。

继续观察（11），不难看出，当x＞1，y＞1时，不等号应该反向，于是可得原命题的另一种演变的推广，即

推广2：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证： 

1n

（13）nn

i11xi1xi

n

i

1继续观察（10），容易想到，当变量个数再增加时会有怎样的结论？即对于三个变量 若x、y、z∈（0，1）,可得[

这三式相加得：

11111111111

1]]，[[ ]222

221x1xy21y1yz21z21x21y1z1zx111111

（14）1x21y21z21xy1yz1zx

这样我们又得到了一个新的命题。如此继续，便得

推广3：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：

n11（15）

2i11xi11xixi

1in

n11

（16）.（xn+1=x1）2

i11xi11xixi1

in

推广4：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：

（15）、（16）的证明可仿照（14）的证明进行，在此就略去其详细的证明了。

从这几个推广命题的由来我们可以看出，很多数学命题都是在认真分析已有命题的基础上，对原命题进行分析、归纳、总结、提炼，得到描述问题的本质，在原有问题及其求解思路的基础上，运用自己所掌握的数学知识通过思维的迁移加工就可得到一系列新的数学命题，这也是许多命题专家的研究心得，更是解题者应该多多注意的一个方面，也是我们辅导老师应该向学生介绍的重要一环——展示知识发生、发展的全过程。

研究某些不等式的推广是十分有意义的工作，有事实表明，近多年来的高层次竞赛就多次涉及到多个变量的复杂不等式证明问题，而且，有些问题本身就是一些固有问题的发展和演变，故应引起参加竞赛的同学的重视。

例4已知a,b,c,m为正数．求证：证明：不妨设ac,bc，则

abc3bcaabbca21bacab

abcambmcm

． 

bcabmcmam

bab

ab

acbc

ac

故

abcambmcm

． bcabmcmam

abacbc

ambmamcm

2ambmamcmbmcm

ambmamcmambmbmcmbm21bmamcmamamambmcm3.bmcmam

x2y2z2

例5设正数x,y,z,a,b,c满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=的最小值.

1x1y1z

222

c2a2b2a2b2c2bca解:由cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c容易解得:x,y,z,且

2ca2ab2bc

a+b>c,b+c>a,c+a>b.22222

[(b2c2a2)]2x1(bca)1由对称性不妨设a≥b≥c,从而f(x,y,z)= 1x2(abc)bc(bca)2(abc)bc(bca)

1(a2b2c2)2

12(abc)bc(bca)2

a4+b4+c4+2

bc

≥2

bc

+

bcbc

3a2bca4+b4+c4+

3abcbcbc



a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)≥0a(a-b)+a(b-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=a2(a-b)2+(a2-b2)(b-c)(a-b)+c2(c-a)(c-b)≥0,最后的不等式显然成立,22222222

11x21

,其中等号成立当且仅当a=b=c且x=y=z=,故函数f(x,y,z)的最小值为.所以221x2

例6设n是给定的正整数，且n≥3,对于n个实数x1,x2,…,xn，记|xi-xj|(1≤i

x12+x22+…+xn2=1,试求m的最大值。

解:不妨设x1≤x2≤…≤xn,则x2-x1≥m,x3-x2≥m,x4-x3≥m,…,xn-xn-1≥m.xj-xi≥(j-i)m(1≤i

k(k1)(2k1)m∴有(xixj)m(ji)m

661ijn1ijnk1

2n1

[2k(k1)(k2)3k(k1)]

k1

n1

m2

6

∵

(12C

k1

n1

3k2

6C

2k1)m(2C

k1

n1

3k2

Ck21)m2(2Cn2Cn1)=k1

n1

1222

mn(n1).12

1ijn

(x

i

xj)n12

1ijn

xx

i

j

n(xk)2≤n.∴m2n2(n2-1)≤12n,m≤

k1

n

12.仅当x1,x2,…,xn成等差数列,且xk2

n(n1)k1



n

0时等号成立∴mmax=

.n(n21)

例7设n是一个固定的整数，n≥2.(Ⅰ)确定最小的常数c，使得不等式对所有的非负实数x1，x2，…，xn都成立；

(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的常数c，确定等号成立的充要条件。解：将和式

1ijn

1ijn

xx(x

ij

2i

xj)c(xi)

4i1

n

f(x,x)简记为f(x,x).(Ⅰ)当x，x，…，x不全为0时，记

i

j

jj

12n

xxx

(x)

ini1

i

j2

xxx(xx,y

(x)

i

jk

in

i1

i

n

j

xk).∵

xx(x

i

j

2i

xj)xixj[(xk)2xixj

k1

k1(ki,j)

x

i

j

n

2k

](xk)2xixj

k1

n

2(xixj)2xixjxk(xixjxk)∴2x2xy∵2x2xy

1ijn

xx(x

2i

x)c(xi)4c

i1

2j

n

111,其中等号成立仅当x,y0∴cmin.848

n

11(Ⅱ)c中等号成立x,y0(xi)24

4i1

xx,xxx

ij

ij

k

(xixjxk)

0xixjxk0且xi2xixjx1，x2，…，xn中任意三项之积为0，最多有两项xi、i

1n

xj不为0，满足xi+xj=2xixj即xi=xj∴c余全为0

2中等号成立x1，x2，…，xn中有两项相等(可以为0)，其8

2n2006

例

8、（2007年CMO试题5）设有界数列{an}(n1)满足a

n



kn

ak1

,n1,2,3求证：k12n2007

an,n1,2,3, n

2n20061

则 bnbknknk1

证明：设bnan

n1

(1)

下证bnan，因为an有界，故存在常数M。使得bnM，n100000时，我们有 n

2n2006

2n2006

(3s)2

2n2006

bk111

bnMMM knk1knk1knk1knk1

n

2006

16MM2M

2712

由此可以看出，对任意的正整数m有bn()M于是有bn0,n100000 将其代入（1），得bn0,n10000 0

再次利用（1），可以得：如果当nN1时bn0，则bN0，这就推出bn0,n1,2,3,，即an

m,n1,2,3, n

第三篇：高中竞赛之重要不等式

高中竞赛之重要不等式

1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）

定理1 对任意实数组ai,bi(i1,2,,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当

时成立。本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1

n

左=ai2bi22aibiajbj ∴右-左= i1ij

当且仅当 时，等式成立。

柯西不等式的两个推论：

ⅰ．设 同号（），则

时取等号。，且，则

当且仅当

ⅱ．若

（分母作和）

由柯西不等式可以证下面的不等式。3次可以推广为4、5等n次。

(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3333333333证明:对(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)和(c13+c23+c33)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设，„，；，„，是两组正数，k0且k1，则

（）

当且仅当a1b1a2b2anbn（时等号成立。）

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：

若记，右图给出了对上式的一个直观理解。，则上式为

特例：(a1a2am)(b1b2bm)a1b122222

a2b222ambm222(a1a2am)(b1b2bm)(c1c2cm)a1b1c12222

a2b2c2222ambmcm222多个根式可转化为一个根式。赫尔德不等式

已知

上式中若令等式。

2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）

设a1a2an，b1b2bn，则有

nnin1initi（）是 个正实数，则，，则此赫尔德不等式即为柯西不abi1abi1ab．

iii1即“反序和”“乱序和”“同序和”．其中t1,t2,,tn1,2,,n．当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立． 〔切比雪夫不等式〕

实数ai，bi满足a1a2an，b1b2bn（i1，2，„，n）．则

1nni11aibinni11ainni11binnabii1n1i．

当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立． 下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。

如图，矩形OPAQ中，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有

，也即 琴生不等式 〔凸函数定义〕

1．设fx是定义在闭区间a,b上的函数，若对任意x，ya,b和任意0,1，有fx1yfx1fy

成立，则称fx是a,b上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．

2．设fx是定义在a,b上的函数，若对任意x，ya,b且xy和任意0,1，有fx1yfx1fy 成立，则称fx是a,b上的严格凸函数．

3．设fx是定义在a,b上的函数，若对任意x，ya,b和任意0,1，有fx1yfx1fy 成立，则称fx是a,b上的上凸函数．

凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不

小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1．

图1 注意到在定义中，凸函数的条件是对区间内的任意两点x1和x2都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性．即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方．并且由此形成的弓形是凸的区域．正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数．

在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断．例如，读者不难根据图象可以得出：

幂函数y=xa．当a＞1或a＜0时，是(0，∞)上的下凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的上凸函数．

指数函数y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函数．

对数函数y=logcx(a≠1)．当a ＞1时，是(0，∞)上的上凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的下凸函数．

三角函数y=sinx是[0，π]上的上凸函数，是[π，2π]上的下凸函

上述函数的凸性；也可以根据定义用初等方法来证明．学过微分学的读者还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性．即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有f' '(x)＜0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；如果恒有f(x)＞0，' '则f(x)是(a，b)上的下凸函数．

〔琴生〔Jensen）不等式〕（变量做和）

若fx是区间a,b上的凸函数，则对任意x1，x2，„，xna,b有

1fnni11xinfx．

ii1n当且仅当x1x2xn时等号成立．当fx为上凸函数时，不等式反向． 〔琴生〔Jensen）不等式推论，即加权琴生不等式〕

若fx是区间a,b上的凸函数，则对任意x1，x2，„，xna,b和对任n意满足pi1的正数p1，p2，„，pn，有

i1nfpixii1ni1pifxi．当且仅当x1x2xn时等号成立．

若令qi=pi／(p1＋„＋pn)，其中p1，„，pn是任意正数．则琴生不等式(2)变成：

在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函数，便得不同的不等式．

例1 令f(x)=xk，x≥0，k＞1，则f(x)是R+上的凸函数，因此有

例2 令f(x)=lgx，x＞0，则f(x)是R+上的凹函数，故有

取反对数，得

此即加权平均不等式．

1n1．设ai全是正数，且saiai（i1，2mi1，„，n），且nm，n2．求证：

n（1）i1nsaiaiaisainnmmnmnm；

（2）i1．

证明：不妨设a1a2an0，于是

sansan1sa1，1ann1an11a1．由切比雪夫不等式得

n1nni1saiai1nni11sainnni1n1nmsainn1ni11．（*）ai又由均值不等式知i11ai1nai1i．又aims，所以

i11nani11inninms，而nm，代入（*）后整理可得（1）成立．

ai1另一方面

1sa11sa21san，a1a2an．由切比雪夫不等式得

n1nni11nsaiaini11sain1i1ai．（**）由均值不等式：

nni1n1sai1nsaii1nnsmsn，故

1nn1saini1nms．

又aims，代入（**）整理后可得（2）成立．

i1 2．有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满 总花费的时间为：

Tmp1m1p2pm10mq19mq2q10m．

其中p1,p2,,pm,q1,q2,,q10mt1,t2,,t10，t1t2t10． 首先我们来证明m5．若不然，我们让在 3．在ABC中，求证下列各不等式：（1）sinAsinBsinC（2）tanAmtanBmtanCm332；

3m3tan，其中mN且m2．

证明：（1）考查正弦函数ysinx，在0,为上凸函数，故

sinAsinBsinC3ABC3sinsin332．

即sinAsinBsinC332xm．，在0,上是凸函数．

xy2（2）考查函数fxtan 6．设x0，y0，证明：xlnxylnyxyln．

1x0证明：考查函数fxxlnx（x0），其二阶导数fx凸函数．所以

fxfyxy，f22，故其为即

xy2lnxy212xlnxylny．

7．对正数a1，a2，„，an，若k1或k0，则

a1a2annkkkaa2an1；

nk若0k1，则

a1a2ann kkkaa2an1．

n

k证明：考查函数fxxk（x0）．其二阶导数fxkk1xk2． 当k0或k1时，fx0，故函数fxxk（x0）为凸函数； 当0k1时，fx0，故函数fxxk（x0）为上凸函数． 以下由琴生不等式立得．

n 8．已知正实数ai（i1，2，„，n）满足ai1．

i1n求证：i111ain． ain5x21fxlnx，x0,1．因fx22xx1xn证明：考查函数

220，故该函数为凸函数．

而0ai1（i1，2，„，n），所以

nai1i1lnaialnninn1lnn．（ai1）nni1aii11nni1去掉对数符号立得．

4．设x1x2xn0，实数p，q都不为零，且tpq．则（1）若p，q同号，则

1nnni11xntini1n1xinpnxi1nqi；

（2）若p，q异号，则

1ni11xntii11xinpi1qxi．

证明：当p，q同号时，两者都是正数，由不等式单调性得x1x2xn ppp，x1qx2qxnq，由切比雪夫不等式得（1）成立；

当p，q异号时，假设p0，q0，由不等式单调性得x1px2pxnp，xqqq1x2xn，由切比雪夫不等式得（2）成立；

5．设a、b、c为某一三角形三边长，求证：

a2bcab2cabc2abc3abc．

证明：不妨设abc，易证abcabcabcabc．由排序原理得

a2bcab2cabc2abc

abcabbcabccabca3abc．

6．设x1x2xn，y1y2yn．求证：

nx2niyixizi2．

i1i1其中z1，z2，„，zn是y1，y2，„，yn的任意一个排列．

nn证明：要证xiy2ixizi2，只要证

i1i1nnnnx22iy2i2xiyixiz2i2xizi．只要证

i1i1i1i1nnxiyixizi．

i1i1由题设及排序原理上式显然成立． 7．在ABC中求证：（1）1116；

sinA2sinB2sinC2（2）cotAcotBcotC22233；

证明：（1）考查函数y1sinxx2，其在0,2上为凸函数；

（2）考查函数fxlncot1，在0,2上是凸函数．证明如下：

即证fx1fx2f2x1x2． 2fx1fx2lncotx12lncotx22lncotx12cotx22

 x1x2x1x22cos2cos22ln1ln1xx2xx2xx2cos1cos11cos12222lncotx1x24xx22f1．证毕．

2 8．设0xi，i1，2，„，n．那么（1）1nnni11sinxisinnnix；

i1（2）i11sinxisinnni1xin．

证明：（1）考查函数fxsinx，其在0,上为凸函数．（2）考查函数fxlnsinx，其在0,上为凸函数．证明如下： 令x1，x20,，则

sinx1sinx21212cosx1x2cosx1x2

2 1cosx1x2xx2sin1．

2 将上述不等式两端取自然对数，得

lnsinxx1x21lnsinx22lnsin2，即

lnsinx1lnsinx21x22lnsinx2．

故函数fxlnsinx在0,上为凸函数．

由琴生不等式

1nnnlnsinxlnsin1ixi1ni． i1故

nnnsinxsin1ixi．

i1ni14．平均值不等式

设a1,a2,,anR，对于nN，则

a21a222an2annna1ana1a2ann1a11

1a2an其中等号当且仅当a1a2an时成立。以下为阅读材料 5．贝努利不等式

（1）设，且同号，则

（2）设，则

（ⅰ）当

（ⅱ）当等号成立。或 时，有 时，有

；

，上两式当且仅当

时

不等式（1）的一个重要特例是

（）

6．艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为

当且仅当 内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则

，为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。

这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。

7．幂平均不等式 8．权方和不等式

第四篇：重要不等式应用汇总9奥赛必备0

重要不等式应用汇总

数学竞赛常用

1． 排序不等式：

设a1a2...an, b1b2...bn j1,j2,...,jn是1,2,...,n的一个排列，则

2． 均值不等式：当aiR（in111a1a2anna1bna2bn1...anb1a1bj1a2bj2...anbjna1b1a2b2...anbn.1,2,n）时，有：

aa2ana1a2an1na1a2an

n2223． 柯西不等式：设ai,biR(i1,2,...n)则(a)(b2ii1i1nn2i)(aibi)2.i1n等号成立当且仅当存在R，使得biai(i1,2,...,n).从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设aiR,biR则

nabi1in2i(ai)2(bi)i1i1n.（2）设ai,bi同号，且ai,bi0,则aii1bin(ai)2(aibi)i1i1nn.4． 琴生（Jensen）不等式：若f(x)是(a,b)上的凸函数，则对任意x1,x2,...,xn(a,b)

x1x2...xn1)[f(x1)f(x2)...f(xn)].nn5．幂均值不等式： f(a1a2...ana1a2...an设0(aiR)则 M()()M.nn6.切比雪夫不等式：

11设两个实数组a1a2...an，b1b2...bn则

1(a1bna2bn1...anb1)nabii1nnini1nn1(a1b1a2b2...anbn).nnii（该不等式的证明只用排序不等式及7．一个基础不等式：

ab的表达式就可得证）

i1i1xy1x(1)y 其中x,y0,[0,1],若x,y中有一个为零，则结论成立 8．赫尔德（Holder）不等式：设 ak,bk0(k1,2,...n).p,q1且

111，则 pqabkk1nk(akp)(bkq)（等号成立当且仅当akptbkq）

k1k1n1pn1q*9.与对数函数有关的一个不等式：

x ln(1x)x，x0.（该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）1x*10．三角函数有关的不等式：sinxxtanx x(0,*11．绝对值不等式: 设a,b,a1,a2,an*12．舒尔（Schur）不等式：

设x,y,zR，则x(xy)(xz)y(yx)(yz)z(zx)(zy)0 *13.闵可夫斯基（Minkowski）不等式：

如果x1,x2,......,xn与y1,y2,......,yn都是非负实数p1，那么((xiyi))(x)(y)ppipii1i1i1n1pn1pn1p2)

C，则有：│|a|-|b|│≤│a+b│≤│a│+│b│；

│a1a2an│≤a1a2an

14.贝努利不等式

（1）设xi1,i1,2,n,n2且同号，则

(1x)1xii1i1nni

（2）设x1，则（ⅰ）当01 时，有(1x)1x；

（ⅱ）当1或0 时，有(1x)1x，上两式当且仅当x0时等号成立。不等式（1）的一个重要特例是(1x)n1nx(x1,x0,nN,n2)15.艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为△ABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则

PAPBPC2(PDPEPF)当且仅当△ABC为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式 16.外森比克不等式：

已知三角形的边长为a,b,c，其面积为S，求证abc43S，当且仅当a=b=c时取等号

222其他不等式综合问题 例1：（第26届美国奥数题）设a、b、c∈R+，求证：1111 333333ababcbcabccaabcabc11 3abcabcdabcd33推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：n1iki1aaii1nin1aii1n

例2：设x、y、z∈R+，求证：

x2y2z2221.2222yzyzzxzxxyxyn推广1：设ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求证：推广2：设xyz∈R+，求证：

ainkinakakki1.i1xn1yn1zn13 n1nn1nn1nn12n1n12n1n12n1n2yyzyzzzzxzxxxxyxyy例3：设x、y∈（0，1），求证：

112。（9）1x21y21xy1n nni11xi1xini1推广1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：推广2：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：n11.2i11xi11xixi1inn11.（xn+1=x1）推广3：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：2i11xi11xixi1in例4．已知a,b,c,m为正数．求证：

abcambmcm． bcabmcmam222例5．设正数x,y,z,a,b,c满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=xyz的最

1x1y1z小值.例6．设n是给定的正整数，且n≥3,对于n个实数x1,x2,…,xn，记|xi-xj|(1≤i

例7．设n是一个固定的整数，n≥2(Ⅰ)确定最小的常数c使得不等式

1ijnxxij(xixj)c(xi)4对所有的非负实数x1，x2，…，xn都成立；(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的22i1n常数c，确定等号成立的充要条件。

例8．（2007年CMO试题5）设有界数列{an}(n1)满足an2n2006knak1,n1,2,3 k12n2007求证：an1,n1,2,3, n

第五篇：不等式的证明规律及重要公式总结

不等式的证明及重要公式总结

几个常应用的不等式

221、ab2ab,ab(ab2)a2b2c2abbcca 2222、ababab2(a,bR)

1122ab3、a3b3c33abc(abc0）

4、abc33abc，abc(abc3)；(a,b,cR)

35、|a||b||ab||a||b|，(a,b,cR)

n226、aibiaibi（柯西不等式）

i1i1i1nn2

法一：作差：

证明方法

例一：abc1，求证：a2b2c21。

31的代换11222222

2证：左－右=(3a3b3c1)[3a3b3c(abc)]

331[(ab)2(bc)2(ca)2]0 32a2b2cbccaab法二：作商；设a、b、cR，且abc，求证：abcabc

左a2ab2bc2cabc

证：bccaabaabaacbbcbbaccaccb()ab()bc()ca

右abcbcaaa1,ab0()ab1 bbaaab1

当0

∴ 不论a>b还是a

当a>b>0时法三：公式法：例二：a>0,b>0，且a+b=1，求证：

①ab1121225

②(a)(b) 8ab2A2B2ABA2B2AB2

证①由公式：()得：

2222a4b4a2b22ab2211()[()]a4b4

222168A2B2AB2(AB)222()AB

证②由 2221111ab211[(a)(b)]2[ab](1)2

（*）2ab2ab2abab211)4

∵ ab(24ab1252

∴(*)(14)

∴ 左