高考数学专题复习 专题二 不等式教案 文

第一篇：高考数学专题复习 专题二 不等式教案 文

2013年高考数学（文）复习

专题二不等式

自查网络

核心背记

一，不等关系与不等式的证明 1-_________叫做不等式．

2．对于任意两个实数a和6，在a=6，a>b，a

(1)性质1：________，称为不等式的对称性，(2)性质2． 一，称为不等式的传递性．(3)性质3：________________ ①推论1:____，称为不等式的移项法则． ②推论2:____（同向不等式可以相加）．

(4)性质4；________（不等式两边同乘非零数值）． ①推论1．____ ②推论2:____ ③推论3:____ 二，基本不等式与不等式的证明

（一）实数大小比较与运算性质之间的关系

四、不等式的应用

1．应用基本不等式解决实际问题

用基本不等式知识解决实际问题是不等式应用的一个重要内容，常出现在选择与填空题中，属中档题．

(1)理解题意，确定量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等式关系，把实际问题抽象（或转化）为不等式问题；(3)回归到实际问题，得出满足实际要求的结论． 2．不等式与函数交汇的命题

用不等式知识解决函数问题是不等式应用的一个重要内容，也是高考的—个热点和难点，常以压轴题的形式出现

3．不等式与解析几何、数列等知识交汇的命题 不等式与解析几何、数列的综合问题在近年的高考中时有出现，近两年更是以压轴题形式出现，因此不等式与数列的综合问题是高考的重点，也是难点． 五、二元一次不等式组与简单线性规划问题

（一）二元一次不等式表示平面区域 1．-般地，二元一次不等式Ax+By+C>O在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O的某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）____边界直线，不等式Ax+By+C≥O所表示的平面区域（半平面）边界直线．

2．对于直线Ax+By+C=O同一侧的所有点o，y），使得Ax+By+C的值符号相同，也就是同一半平面的点，其坐标适合____；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合____3．可在直线Az-+B y+C—O的某一侧任取一点，一般取特殊点(x。，y。)，从Ax。+By。+C的____来判断Az-+By+C>O(或Ax+By+C

4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的____．

（二）基本概念

1．线性约束条件：由z，y的____（或方程）组成的不等式组，是对z与y的____． 2．目标函数：____，如z-2x十y，z=≯+，等 3．线性目标函数；关于x,y的____．．

4．可行解：满足____的解(x，y)叫做可行解． 5．可行域：____组成的集合叫可行域． 6．最优解：使目标函数达到____的可行解．

7．线性规划问题：求____在____的最大值或最小值的问题，统称线性规划问题． 参考答案

(二)1．一次不等式限制

2．求最大值或最小值的函数 3．一次函数 4．线性约束条件 5．所有可行解 6．最大值或最小值

7．线性目标函数线性约束条件 规律探究

1．不等式的性质是证明不等式、解不等式、求函数的定义域等问题的依据，必须牢固掌握并会进行推导．

2．应用基本不等式求最值时必须注意“一正、二定、三相等”，一正即必须各项均为正数；二定就是积定则和有最小值，和定则积有最大值；三相等就是必须验证等号成立的条件，这是最容易出错的地方．

4．要学会构造不等式求解或构造函数求函数最值的方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．

5．加强分类讨论思想的复习，加强函数与方程思想在不等式中的应用训练． 实际应用

参考答案 1．【答案lC 【命题立意】本题考查线性规划，利用线性规划的一般方法求目标函数的最值． 【解题思路】画出可行域如图所示，根据图形，显然兰 P一一z平移到点A(6，o)时，目标函数取得最大值，此时大值z-6．所以选择c 【易错点】解决本题需要注意三条直线斜率之间的关系，否则容易出现错误．

2．【答案】3 【命题立意】本题考查利用基本不等式求解最值

【举一反三】在利用基本不等式求解最值时，要注意其三个条件缺一不可，即一正（各项为正值）、二定（和或积为定值）、三相等（即取得等号时变量是否在定义域限制范围之内）． 3.【答案】27 【命题立意】本题考查了不等式之间的关系及代数式的最值探究问题，考查了整体思想的应用

第二篇：XX届高考数学第一轮不等式专项复习教案

XX届高考数学第一轮不等式专项复习教

案

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件www.xiexiebang.com 第六章不等式

●网络体系总览

●考点目标定位

.理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●复习方略指南

本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：

.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1不等式的性质

●知识梳理

.比较准则：a－b＞0a＞b；

a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.2.基本性质：（1）a＞bb＜a.（2）a＞b，b＞ca＞c.（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.（5）a＞b＞0

＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b，ab＞0

＜，不能弱化条件得a＞b

＜，也不能强化条件得a＞b＞0

＜.4.要正确处理带等号的情况.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.特别提示

不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.●点击双基

.若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是

A.＞

B.2a＞2b

c.|a|＞|b|

D.（）a＞（）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a•＜b•，即＞成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.答案：B

2.（XX年春季北京，7）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是

A.0

B.1

c.2

D.3

解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.bc－ad＞0，两端同除以ab，得－＞0.同样由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.ab＞0.答案：D

3.设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是

A.（0，）

B.（－，）

c.（0，π）

D.（－，π）

解析：由题设得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.答案：D

4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，的由大到小的顺序是____________.解析：特殊值法即可

答案：＞＞＞

5.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a

●典例剖析

【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.剖析：∵a+b，a－b的范围已知，∴要求2a+3b的取值范围，只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.解：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得

∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，①

2＜a－b＜4.②

①+②得1＜2a＜7.③

由②得－4＜b－a＜－2.④

①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.⑤

③+⑤得－＜2a+3b＜.思考讨论

.评述中解法错在何处?

2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：

已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20－1

【例2】（XX年福建，3）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则

A.“p或q”为假

B.“p且q”为真

c.p真q假

D.p假q真

剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.又函数y=的定义域为|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.∴x≤－1或x≥3.∴q为真.答案：D

【例3】比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+logx3）－2logx2=logx.当或即0＜x＜1或x＞时，有logx＞0，1+logx3＞2logx2.当①或②时，logx＜0.解①得无解，解②得1＜x＜，即当1＜x＜时，有logx＜0，1+logx3＜2logx2.当x=1，即x=时，有logx=0.∴1+logx3=2logx2.综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2；

当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2；

当x=时，1+logx3=2logx2.评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展

函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小.提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.把t2+bt+c与x1作差即可.答案：t2+bt+c＞x1.●闯关训练

夯实基础

.（XX年辽宁，2）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：

①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是

A.①③

B.①④

c.②③

D.②④

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.∴loga（1+a）＞loga（1+）.又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②与④成立.答案：D

2.若p=a+（a＞2），q=2，则

A.p＞q

B.p＜q

c.p≥q

D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.答案：A

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=则A、B、c、D按从小到大的顺序排列起来是____________.解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，c=，D=.∴D＜B＜A＜c.答案：D＜B＜A＜c

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3）

5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，求证：A≥B.证明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）

=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得

当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；

当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.培养能力

7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.解：∵0＜x＜1，∴①当3a＞1，即a＞时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|

=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］

=3log3a（1－x2）＞0.综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.8.设a1≈，令a2=1+.（1）证明介于a1、a2之间；

（2）求a1、a2中哪一个更接近于；

（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）•（－1－）=＜0.∴介于a1、a2之间.（2）解：|－a2|=|－1－|=||

=|－a1|＜|－a1|.∴a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，则a3比a2更接近于.由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.探究创新

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小.解：设f（x）=（1+x）n－（1+nx），则（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.由（x）=0得x=0.当x∈（－1，0）时，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上递减.当x∈（0，+∞）时，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增.∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0.∴（1+x）n≥1+nx.评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.●思悟小结

.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.●教师下载中心

教学点睛

.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd.3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.拓展题例

【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.（1）比较m+n与0的大小；

（2）比较f（）与f（）的大小.剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.∴log22（m+1）=log22（n+1）.∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，log2（m+1）（n+1）•log2=0.∵m＜n，∴≠1.∴log2（m+1）（n+1）=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.当m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）时，由函数y=f（x）的单调性知x∈（－1，0］时，f（x）为减函数，x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）.∴－1＜m＜0，n＞0.∴m•n＜0.∴m+n=－mn＞0.（2）f（）=|log2|=－log2=log2，f（）=|log2|=log2.－==－＞0.∴f（）＞f（）.【例2】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？

解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.∴当x＞1.25时，y1＜y2；

当x＜1.25时，y1＞y2.又因x为正整数，所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社；

当x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.课

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第三篇：高考第一轮复习数学：不等式的证明

不等式的证明

（一）●知识梳理

1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（ab2）2（a、b∈R+），当且仅当a=b时取等号.2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1a＞b.特别提示

1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件，若●点击双基

1.若a、b是正数，则

ab2ab＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.、ab、2abab、a2b22这四个数的大小顺序是

A.ab≤ab22≤2abab≤

a2b22

B.a2b2≤ab≤

ab2≤

2abab2

C.2abab≤ab≤ab22≤

a2b2

D.ab≤ab2≤

ab22≤

2abab

解析：可设a=1，b=2，则ab2=43232，ab=2，2ababa2=，14252b2===2.5.答案：C

2.设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=A.a

解析：∵0＜x＜1，B.b

11x中最大的一个是 C.c

D.不能确定

∴1+x＞2x=4x＞2x.∴只需比较1+x与∵1+x－∴1+x＜11x11x11x2的大小.=－

x2=.1x11x1x＜0，答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

必要条件 解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0.反之，ax+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b－4ac＜0.反例：a=b=0，c=2.故选A.答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上）解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.故④成立，⑤不成立.答案：①②④

（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+1a

222

552

2≥2.其中一定成立的是__________.解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；

②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；

③a+b－ab－ab=a（a－b）+b（b－a）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.∵（a－b）≥0，a+ab+b≥0，但a+b符号不确定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正确； ④a∈R时，a+答案：①② 1a22

255322

332

2≥2不正确.5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间

t=sv2v+sv2v=v2v22v2s2v22，平均速度v1=22st2=

vv2.∵v1－v2=∴v1＜v2.v2vv22－v2=－

v2v2＜0，答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 设a＞0，b＞0，求证：（a21b）2（b111a）2≥a2+b2.剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边－右边＝

（a）（b）ab（ab）（aabb）ab（ab）（a2abb）（aab（ab）33－（a＋b）

＝

＝＝

b）（abab）2≥0.ab∴原不等式成立.证法二：左边＞0，右边＞0，左边右边＝（ab）（aab（aabb）b）＝

aabbab≥

2ababab＝1.∴原不等式成立.评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.【例2】 已知a、b、x、y∈R且求证：xxa+

1a＞

1b，x＞y.＞yyb.剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.证法一：（作差比较法）

∵又xxa1a－1byyb（xa）（yb）=

bxay，＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴bxay（xa）（yb）＞0，即

xxa＞

yyb.证法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R，∴要证+

xxa＞

yyb，只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.而由1a＞1b＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.思考讨论

该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一：令f（x）=再令g（x）=∵1axxa，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而

xxa＞

yyb.mmx，易证g（x）在（0，+∞）上单调递减.+＞1b，a、b∈R.∴a＜b.mma∴g（a）＞g（b），即＞

mmb，命题得证.xy解法二：原不等式即为

axa1＞

byb1，为此构造函数f（x）=

xx1，x∈（0，+∞）.xa易证f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，而xy＞

yb，∴axa1＞byb1，即

xxa＞

yyb.【例3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6（x－1）+„+6×2+6×1］=9x（x+1）.设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1=900x1x［9x（x+1）+900］+6×1800 =+9x+10809≥

2900x9x+10809 =10989.当且仅当9x=900x，即x=10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2==1x［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 +9x+9729（x≥35）.100x900x令f（x）=x+（x≥35），x2＞x1≥35，则 f（x1）－f（x2）=（x1+=

100x1）－（x2+

100x2）

（x2x1）（100x1x2）x1x2

∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0.∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）=x+100x，当x≥35时为增函数.∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y2＜10989.∴该厂应该接受此优惠条件.●闯关训练 夯实基础

1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则 A.x+y≤22+2

B.x+y≥22+2 D.x+y≥（2+1）

2C.x+y≤（2+1）解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（由xy－（x+y）=1得（∴x+y≥2+22.答案：B

xy2xy2）.2）2－（x+y）≥1.2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是 A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能确定

解析：M－N=x+y+1－（x+y+xy）==121222［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0.答案：A 3.设a＞0，b＞0，a+解析：a+

22b22b2=1，则a1b2的最大值是____________.12b2b22=1a+

=

32.a2∴a1b2=2·a·答案：32412b2212332=2·2=.≤2·

ab24.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b=，则两边均含有运算符号“※”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是____________.解析：∵a※b=ab2ba2，b※a=，∴a※b+c=b※a+c.答案：a※b+c=b※a+c.思考：对于运算“※”分配律成立吗? 即a※（b+c）=a※b+a※c.答案：不成立

5.当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

证明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3，3又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）＞0，即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0.故m－mn－3mn＞2mn－6mn＋n．

6.已知a＞1，λ＞0，求证：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）.证明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）=lg（a）lga2322223－lg（a2）lg（a）

=lg（a）lgalg（a2）lgalg（a）

∵a＞1，λ＞0，∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.∴lga·lg（a+2λ）＜［（=［lg（a2lgalg（a2）2lg（a）22）］2a）2］＜［

2］=lg（a+λ）.∴lg（a）lgalg（a2）lgalg（a）2＞0.∴loga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）.培养能力

7.已知x＞0，y＞0，若不等式x+y≤mxy恒成立，求实数m的最小值.分析：∵x+y≤mxy恒成立，xxyxxyyy∴m≥恒成立.∴m的最小值就是的最大值.解：∵x+y≤mxy恒成立，xxyy∴m≥恒成立.∵x＞0，y＞0，∴xy≥（x2xx2yyy）2=

x2y.∴xxyy≤=2.∴m的最小值为2.评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.8.有点难度哟！

求证：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+ha＞b+hb.证明：设S表示△ABC的面积，则 S=12aha=12bhb=12absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）.∵C≠π2，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.探究创新

9.设二次函数f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜1a2.（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜证明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜1ax12.，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.综上，可知x＜f（x）＜x1.（2）由题意知x0=－

b2a.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－∴x0=－b2ab1a.=.ax1ax212a=a（x1x2）12aax12ax12.又∵ax2＜1，∴x0＜=●思悟小结

1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差（商）→变形→判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.●教师下载中心 教学点睛

1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.2.对于公式a+b≥2ab，ab≤（ab2）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a+b的转化关系.拓展题例

【例1】设a、b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的实根为α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.证法一：∵α＋β＝－a，αβ＝b，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a｜＋｜b｜＜1.∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0.∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.证法二：设f（x）=x＋ax＋b，则有

f（1）＝1＋a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞1－1＝0，f（－1）＝1－a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞0.∵0≤｜a｜＜1，∴－1＜a＜1.∴－122＜－a2＜12.∴方程f（x）＝0的两实根在（－1，1）内，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.评述：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布，证两根在（－1，1）内.【例2】 是否存在常数C，使得不等式数x、y恒成立?试证明你的结论.解：当x=y时，可由不等式得出C=下面分两个方面证明.先证≥2xy.再证xx2yx2xy23x2xy+

yx2y≤C≤

xx2y+

y2xy对任意正

.+yx2y≤

23，此不等式3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）x2+y2+y2xy≥

23，22此不等式3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）2xy≤x+y.综上，可知存在常数C=

23，使对任何正数x、y不等式恒成立.6.3 不等式的证明

（二）●知识梳理

1.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件 的方法叫分析法，概括为“执果索因”.3.放缩法证明不等式.4.利用单调性证明不等式.5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.6.数形结合法证明不等式.7.反证法、换元法等.特别提示

不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法.●点击双基

1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）a＜2+数a的取值范围是

A.［－2，C.［－3，3232n

（1）nn1对任意n∈N恒成立，则实

*））

B.（－2，D.（－3，3232））

解析：当n为正偶数时，a＜2－1n，2－121n为增函数，∴a＜2－=32.1n当n为正奇数时，－a＜2+而－2－1n，a＞－2－

1n1n.为增函数，－2－

32＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，答案：A）.2.（2003年南京市质检题）若＜

a11b＜0，则下列结论不正确的是 ．．．

B.ab＜b D.|a|+|b|＞|a+b|

2A.a＜b C.ba2

21b

+ab＞2

1a解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正确.答案：A 3.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的 A.充分条件

C.充要条件

答案：A

B.必要条件

D.既不充分又不必要条件

4.（理）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，则am与bm的大小关系是____________.解析：若d=0或q=1，则am=bm.若d≠0，画出an=a1+（n－1）d与bn=b1·q

y n－

1的图象，O1m n x 易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，„），则an+1与bn+1的大小关系是____________.解析：an+1=a1a2n121ab1ab≥a1a2n1=b1b2n1=bn+1.答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，则

+

1bc1bc_______

3ac.（填“＞”“=”“＜”）

1ab解析：a＞b＞c，（1+）（a－c）=（+

1bc）［（a－b）+（b－c）］

≥2（ab）（bc）1·2（ab）（bc）=4.3ac∴ab+1bc≥

4ac＞.答案：＞ ●典例剖析

【例1】 设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.求证：loga（ax＋ay）＜loga2＋

18.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y.xy证明：∵a＞0，a＞0，∴ax＋ay≥2axy＝2axx.∵x－x2＝xy

214－（x－112）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.1∴loga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋xy

18.1评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决

+

xy

问题.证明：∵a、b、c∈R且a+b+c=1，∴要证原不等式成立，即证［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是证［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2（ab）（bc）＞0，（b+c）+（c+a）≥2（bc）（ca）＞0，（c+a）+（a+b）≥2（ca）（ab）＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：na－1＜a1n+

.a1n证法一：要证na－1＜即证a＜（a1n，+1）.n令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证t+1＜（1+∵（1+tntntn）n.+„+Cnn（tn）n=1+C1na1nn）n＞1+t，即na－1＜成立.证法二：设a=xn，x＞1.于是只要证即证xnx1n＞x－1，n－11x1n－1＞n.联想到等比数列前n项和1+x+„+xn－

2=

xn1x1，① ② 倒序x+x+„+1=nxn1x1.①+②得2·x1x1=（1+xn－1）+（x+xn－2）+„+（xn－1+1）

＞2xn1+2xn1+„+2xn1＞2n.∴xn1x1＞n.思考讨论

本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.●闯关训练 夯实基础

1.已知a、b是不相等的正数，x=

a2b，y=ab，则x、y的关系是

A.x＞y 解析：∵x2=y2=a+b=12 B.y＞x

2C.x＞2y

D.不能确定

（a+b）2=

12（a+b+2ab），（a+b+a+b）＞

（a+b+2ab）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B 2.对实数a和x而言，不等式x+13ax＞5ax+9a成立的充要条件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.∵当x≠2a≠0时，有（x－2a）2+5a2＞0.由题意故只需x－a＞0即x＞a，以上过程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求证：b2ac＜3a.22证明：要证b2ac＜3a，只需证b－ac＜3a，22

3即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a－b）（2a+b）＞0，即证（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.证法一：（综合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）＝0.展开得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.证法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即证a+b+c+ab+bc+ca≥0，亦即证122222

a2b2c22，［（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）］≥0．

而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a－b－ab＝－［（a＋22

b2）＋

3b42］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培养能力

5.设a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求证：－＜c＜0.31证明：∵a+b+c=1，22∴（a+b）－2ab+c=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的两个根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，则

Δ011ccc032f（c）0.222222

6.已知2b2ca=1，求证：方程ax2+bx+c=0有实数根.a2c2证明：由2b2ca=1，∴b=.∴b=（2a2+2c）=

2a22+2ac+2c2=4ac+（a2－2c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有实数根.7.设a、b、c均为实数，求证：证明：∵a、b、c均为实数，∴12121212a+

12b+

12c≥

1bc+

1ca+

1ab.（12b12c12a＋12c12b）≥

12bc12ab≥≥≥

11ab，当a=b时等号成立；

（（＋＋）≥）≥

bc1ca，当b=c时等号成立； ． ≥

1bc12a12ca三个不等式相加即得探究创新

12a+

12b+

12c+

1ca+

1ab，当且仅当a=b=c时等号成立.8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.这与ac+bd＞1矛盾.所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数.●思悟小结

1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.●教师下载中心 教学点睛

1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.拓展题例

【例1】 已知a、b为正数，求证：

（1）若a+1＞b，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+

xx1xx1＞b成立；

＞b成立，则a+1＞b.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax+xx1=a（x－1）+

1x1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），22∴（a+1）＞b.（2）∵ax+而ax+xx1xx1＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+

1x1xx1］min＞b，=a（x－1）+

1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，1a当且仅当a（x－1）=故［ax+xx1x1，即x=1+＞1时取等号.］min=（a+1）2.则（a+1）2＞b，即a+1＞b.评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.【例2】 求证：|ab|1|ab|≤

|a|1|a|+

|b|1|b|.x剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=证明：令f（x）=

x1x1x（x≥0）的单调性.（x≥0），易证f（x）在［0，+∞）上单调递增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即|ab|1|ab|≤|a||b|1|a||b|=

|a|1|a||b||b|1|a||b|≤

|a|1|a||b|1|b|.思考讨论

1.本题用分析法直接去证可以吗? 2.本题当|a+b|=0时，不等式成立； 当|a+b|≠0时，原不等式即为

111|ab|≤

|a|1|a||b|1|b|.再利用|a+b|≤|a|+|b|放缩能证吗?读者可以尝试一下!

第四篇：高考数学专题复习专题七 立体几何教案 文

专题七 立体几何

自查网络

核心背记

一、空间几何体的结构特征

（一）多面体

1．棱柱可以看成是一个多边形（包含图形所围成的平面部分）上各点都沿同一个方向移动____所形成的几何体．

2．主要结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余 的交线都互相平行，其余的这些面都是四边形．

3．侧棱和底面____的棱柱叫做直棱柱，底面为 的直棱柱叫做正棱柱． 4．有一个面是多边形，而其余各面都 的三角形的多面体叫做棱锥．

5．如果棱锥的底面是 一，它的顶点又在过 且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥，正棱锥各侧面都是 一的等腰三角形，这些等腰三角形____都相等，叫做棱锥的斜高．

6.棱锥被 一的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．一—— 7.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些 一叫做棱台的斜高．正棱台中两底面中心连线，相应的边心距和 ．组成一个直角梯形；两底面中心连线，和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．

（二）旋转体

1．分别以

一、直角梯形中——、——____所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台．旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的 叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的 叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线，’ 2．-个半圆绕着____所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的几何体称为 1

球．球面也可以看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．

3．球的截面性质：球的截面是 ；球心和截面（不过球心）圆心的连线 于截面；设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离d就是球心0到截面圆心0i的距离，它们的关系是 一．

4．球的大圆、小圆：球面被 的平面截得的圆叫做球的大圆；球面被 的平面截得的圆叫做球的小圆．

（三）投影

1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有如下性质：①直线或线段的平行投影是____；②平行直线的平行投影是 ；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 ；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ；⑤在同一直线或平行线上，两条线段的平行投影的比等于____． 2.-个． 把一个图形照射在一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但是平行线可能变成____．

3．在物体的平行投影中，如果投射线与投射面____，则称这样的平行投影为正投影． 4．除了平行投影的性质正投影还具备如下性质：

直于投射面的直线或线段的正投影是 ．②于投射霹的平面图形的正投影是

（四）斜二测画法与三视图

1．斜二测画法的作图规则可以简记为：水平方向方向长度 竖直方向线，变为 方线，长度

2.投射面与视图：通常，总是选取三个____的平面作为投射面，来得到三个投影图．一个投射面水平放 置，叫做水平投射面，投射到水平投射面内的图形叫做，一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面．投射到直立投射面内的圆形叫做 和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射l面．投射到侧立投射面内的圆形叫做

3.三视图定义：将空间图形向水平投射面，直立投射 面、侧立投射面作正投影．然后把这个投影按一定的布局放 在一个平面内，这样构成的图形叫做空闷图形的三视图．

4．三视图的画法要求；三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的 看到的物体的正投影围成的平面图形．

5.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在 的下面，长度与 一样；左视图放在主视图的，高度与____一样，宽度与——的宽度—样为了便于记忆．通常说：“长对正 高平齐、宽相等”或“主左一样高、主俯—样长、左俯—样宽

6．画三视图时应注意：被挡住的轮廓要画成瘦线，尺寸线用细实线标出；φ表示直径，R表示半径；单位不注明按mm计，二、空间几何体的表面积与体积

（一）柱、锥、台的表面积公式

1．设直棱柱的高为b，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式为——．设圆柱的底面半径为r 周长为C，侧面母线长为l，则圆柱的侧面积是____． 2.设正棱锥的底面边长为a，底面周长为C，斜高为h，则正n梭锥的侧面积计算公式为一·如果圆锥底面半径为r，周长为C，侧面母线长为l，那么圆锥的侧面积是一．

3.如果设正棱台下底面边长为a、周长为C，上底面边长为a'、周长为C'斜高为h'，则正竹棱台的侧面积公式为____ ．如果圆台的上下底面半径分为r'，r，周长为C，C，侧面母线长为l，那么圆台的侧面积是

（二）柱、锥、台的体积公式

1.棱柱的底面面积为S，高为h，则体积为——’

底面半径为r，高是h的圆柱体的体积计算公式是—一．

2.若一个棱锥的底面面积为S．高为h，那么它的体积公式为____．若圆锥的底面圆的半径为r，高为h,则体积为____．

3.若台体（棱台、圆台）上、下底面面积分别为S，S，高为h，则台体的体积公式为一，若圆台的上、下底面半径分别为r，r，高为h．则圆台的体积公式为

（三）球的表面积与体积公式设球的半径为R．则球的表面积计算公式为-.即球面面积等于它的大圆面积的____．球的体积公 式为

三、平面的基本性质与推论

（一）平面的定义平面是一个不加定义，只需理解的最基本的原始概 念．在生活中平静的水面、镜面、书桌面都给我们平面的印 象，立体几何中的平面就是由此抽象出来的．平面是处处平直的面，它是向四面八方 一的．无大小、厚薄之 分，它是不可度量的．

（二）平面的基本性质及推论 1．平面的基本性质 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内，这 时我们说：直线在平面内或平面____直线．

2.平面的基本性质2：经过____的三点，有且只 有一个平面，即：____的三点确定一个平面．

3.推论1：经过一条直线和____一点，有且只 有一个平面． 4.推论2：经过两条 直线有且只有一个平面． 5.推论3：经过两条 直线有且只有一个平面．

6．面面相交：如果两个平面有一条公共直线，则称之 为两平面相交，这条公共直线也叫做两个平面的交线．平面口与p相交，交线是Z，符号表示为 ．

7．平面的基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 一条经过 一的公共直线．

（三）异面直线

1．_ ___的直线叫做异面直线．

2．异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与平面内一 的直线是异面直线，用符号表示为：若ABn口-B，B垂z，Zc口，则直线AB与直线z是异面直线．

四、空间中的平行关系

（一）平面的基本性质4与等角定理

1．平面的基本性质4：平行子同一直线的两条直线____．符号表示为：若直线矗∥6．c∥6，那么——．

2.等角定理：如果一个角的p边与另一个角的两边分别对应平行，并且一，那么这两个角相等．

（二）空间四边形顺次连接____ 的四点A．B，C．D所梅成的图形叫做空闻四边形．其中，四个点A，B，C．D，每个点都Ⅱq它的____ ．所连接的相邻顶点fa-的线段叫做它的____．连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的____．

（三）直线与平面平行

1.直线a和平面口只有一个公共点A，叫做 直线与平面____．这个公共点A叫做直线与平面的交点．记作____．

2．直线a与平面a没有公共点，叫做直线与平面平行．记作一 一．

3.判定定理：如果____的一条直线和——的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行． 4．性质定理：如果一条直线与一个平面平行，____ 的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

（四）平面与平面平行

1．两不重合平面有公共点就叫两平面相交，记作口n卢2 Z．若两个平面 一，则称这两个平面为平行平面，“平面口平行于平面p"可以记作“口∥∥．

2．平面与平面平行的判定定理；如果一个平面内有两条 一直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．推论：如果—个平面内有两条____直线分别平行于另—个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

4．性质定理：如果两个____平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表示为：口//p，a(l y=a，pffy=b净_，．。__．_一．

5．两个平面平行，其中一个平面内的 一直线平行于另一个平面． 五，空间中的垂直关系

（一）直线与平面垂直

1．如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 一，则称这两条直线互相垂直．

2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线Z和一个平面口相交于点O，并且Z和这个平面内过点0的直线都垂直，则该直线垂直于这个平面．这条直线叫做平面的——，这个平面叫做直线的____，交点叫做__-。_．。．-。-．．-．。_一．

3.点到平面的距离：垂线上任意一点到____间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

4．判定定理：如果一条直线与平面内的两条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 5．推论：如果在两条__— 直线中，有一条直线垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。‘

6.性质定理：如果两条直线垂直予同一个平面，那么这两条直线—__-7.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的—一直线．

（二）平面与平面垂直

1*如果两个相交平面的一与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相____．就称这p个平面互相垂直．

2.如果-个平面过另一个平面的一，则这两个平面互相垂直．

3．如果两个平面互相垂直，那么在—一垂直予它们____

二、的直线垂直于另一个平面． 4.如果p个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的 一点垂直于第二AI平面的直线在——平面内．

参考答案

一、（一）1．相同的距离 2．每相邻两个面 3.垂直正多边形 4．有一个公共顶点

5．正多边形底面中心全等底边上的高 6．平行于底面

7．等腰梯形的高斜高侧援

(=)1．矩形的一条边 直焦三角形的一条直角边垂直于底边的腰圆面曲面

(=)1．所有点经过

2．不在同一直线上不共线 3．直线外． ． 4．相交 5．平行 6．a 7．有且只有这个点 ’

（三）1．既不平行也不相交 2．不经过该点

四、（一）1．互相平行a//c2．方向相同

（二）不共面顶点边对角线

（三）1．相交ana=A 2.a//a3．不在一个平面内平面内4．经过这条直线

（四）1．没有公共点2．相交3．相交4．平行a//b 5．任意

五、（一）1-直角2．任何垂线垂面垂足3．垂足4．相交5．平行6．平行7．任意条

（二）1．交线垂直2．一条垂线3．_AI平面内交线4．第一个

规律探究

1．在正棱锥中，要利用四个直角三角形（高、斜高及底 面边心距组成一个直角三角形，高、侧棱与底面外接圆的 半径组成一个直角三角形，底面的边心距、外接圆半径及 底边一半组成一个直角三角形，侧棱、斜高与底边一半组 成一个直角三角形）进行有关计算． 2.在正棱台中，要充分利用三个直角梯形（高、斜高及上 下底面的边心距组成一个直角梯形，侧棱、斜高及上下底边 的一半组成—个直角梯形，侧梭、高及上下底面外接圆半径组成—个直角梯形）、两个直角三角形（上下底面的边心距，外接圆半径和边的一半）进行有关计算．

3．解与直观图有关的问题时，应熟练掌握斜二测画法的规则，关键是确定宣观图的顶点或其他关键点．因此，尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上．

4．学习三视图应会选取投射面，正确放置三视图中三个图的位置，掌握三视图之间的联系和规律：正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相同．

5．棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和．对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式，6．圆柱、圆锥、圆台侧面积就是其侧面展开图的面积，要熟记公式．

7．有关旋转体的问题或球与多面体的切、接问题，特别要注意应用轴截面． 8．有关体积的问题，要注意“等积变换”“分割求和” “拼补求差”等解题思路．

9．结合模型，在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台的表面积公式和体积公式．

10.球的体积公式和表面积公式是用无限分割的极限思想推导出来的．主要是记忆、掌握公式．

11.求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出；对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据条件求各个面的面积．

12.求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底 面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化勾平面几何知识求出高．

13．证明直线共面可通过先证明其中的两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在这个平面内；也可以利用共面向量定理来证明．证明空间几点共面，可先取不共线的三点确定—个平面，再证明其他的点都在这个平面内’ 14.理解“有且只有一个”的含义，它强调存在性和唯一性两个方面，也称为“确定”平面． 15．求证三点及三点以上的点共线，主要是依据平面的基本性质3，只要证明这些点都是两个平面的公共点' 那么它们都在这两个平面的交线上；求证三条直线或三条以上的直线共点的一般方法是：首先证明其中两条直线交于一点，再证明其余各直线都经过这点-16．平面的基本性质2及其推论是空间中确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法．

17．直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线 6

和平面平行的性质定理在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论．

18.以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求锵其他几何参量．19.线面平行和面面平行的判定和性质 20．转化思想方法：直线与平面平行的判定定理和性质定理的实质就是线线平行与线面平行的转化．

21.要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题．对 此需强调两点；第一，辅助线、辅助面不能随意作，要有理 论根据；第二，辅助线或辅助面有什么性质，一定要以某一 性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难免．

22.直线与平面垂直，只需这条直线垂直于这个平面 内的两条相交直线，至于这两条相交直线是否和已知直线 有公共点，这无关紧要．

23.三垂线定理及其逆定理是立体几何中的重要定 理，复习运用时要注意：

①弄清定理中所指明的三种垂线，②定理中的直线a-定在某直线的射影所在的平面a内，因此要熟练地掌握直线n在不同位置时的情况．

24.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线的平面 中寻找平面的垂线，若这样的直线图中没有明确给出，则 可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据，并 有利于证明，不能随意添加，如有平面垂直时，一般要用性 质定理，在一个面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 25．线面垂直的判定和性质：①依定义，所成角为90。，②判定定理；③性质定理；④其他结论，如，如果两条平行 线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

26.应用三垂线定理的难点主要是对非水平放置的图 形的辨认，在解证中可按照“一定平面，二定垂线，三找斜 线，射影可见，直线随便”的原则去认定图形．其关键是转化，即把已知的线线垂直转化为所需的线线垂直’也就是斜线和它在平面内的射影的转化，因此，寻找斜线、射影非常重要．

实际应用

3．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AClBD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(I)证明．平面PAC_1_平面PBD：，(Ⅱ)若AB-厢，/APB一/ADB= 60。，求四棱锥 P-ABCD的体积．

参考答案 1．【答案lD【命题立意】本题考查几何体的直观图和三视图的有关知识，考查学生的空间想象能力．【解题思路】由已知条件和直观图（斜二测）可知D正确． 2．【答案】D【命题立意】本题考查空间想象能力及平行与垂直关系的推理与论证．【解题思路】A错，平行直线的平行投影仍可平行；B错'平行于同～直线的两平面可平行或相交；c错，垂直于同一平面的两平面可平行或相交；D正确，空间想象易知垂直于同一平面的两直线平行，

第五篇：2012届高考数学一轮复习6.7 不等式的综合问题教案

6.7 不等式的综合问题

●知识梳理

1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题.2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解.●点击双基

1.（2004年湖北，5）若

11＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有 abba+＞2 ab①a+b＜ab ②|a|＞|b| ③a＜b ④A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

ab0，11解析：∵＜＜0，∴b＜a＜0.∴ab0，故①正确，②③错误.ab|b||a|.∵a、b同号且a≠b，∴

bababa=2.、均为正.∴+＞

2ababab故④正确.∴正确的不等式有2个.答案：B 2.（2004年福建，11）（理）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，则

A.f（sinππ）＜f（cos）662π2π）＜f（sin）33B.f（sin1）＞f（cos1）C.f（cosD.f（cos2）＞f（sin2）

解析：由f（x）=f（x+2），知T=2，又∵x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，可知当3≤x≤4时，f（x）=－2+x.当4＜x≤5时，f（x）=6－x.其图象如下图.故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|＜|sin2|，∴f（cos2）＞f（sin2）.答案：D（文）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，4］时，f（x）= x－2，则

A.f（sin11）＜f（cos）22B.f（sinππ）＞f（cos）3333）＞f（cos）22C.f（sin1）＜f（cos1）D.f（sin解析：仿理科分析.答案：C 3.设M=a+A.M＞N 112（2＜a＜3），N=log1（x+）（x∈R），那么M、N的大小关系是 a216

2B.M=N C.M＜N D.不能确定

解析：由2＜a＜3，M=a+

11=（a－2）++2＞2+2=4（注意a≠1，a≠3），a2a2N=log1（x2+211）≤log1=4＜M.16162答案：A

24.对于0≤m≤4的m，不等式x+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是____________.2解析：转化为m（x－1）+x－4x+3＞0在0≤m≤4时恒成立.2令f（m）=m（x－1）+x－4x+3.20，f（0）x4x30x1或x3，则 2f（4）0x1或x1.x10∴x＜－1或x＞3.答案：x＞3或x＜－1 ●典例剖析

【例1】 已知f（x）=loga1x（a＞0，a≠1）.x1（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）当x∈（r，a－2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；（3）若f（x）≥loga2x，求x的取值范围.剖析：单调性只要用定义证明，可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较，化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分a＞1与0＜a＜1求解，同时要注意定义域.解：（1）任取1＜x1＜x2，则

x1x1f（x2）－f（x1）=loga2－loga1

x21x11（x1）（x11）xxx1x21=loga2=loga12.（x21）（x11）x1x2x1x21又∵x2＞x1＞1，∴x1－x2＜x2－x1.∴0＜x1x2－x2+x1－1＜x1x2－x1+x2－1.xxx1x21∴0＜12＜1.x1x2x1x21当a＞1时，f（x2）－f（x1）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；

当0＜a＜1时，f（x2）－f（x1）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数.（2）由∵x1＞0得x∈（－∞，－1）∪（1，+∞）.x1x12=1+≠1，∴f（x）≠0.x1x1当a＞1时，∵x＞1f（x）＞0，x＜－1f（x）∈（0，1），∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1.－1又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴f（x）在（1，+∞）上也是减函数.r1，a1r1∴f（x）＞11＜x＜f（1）=.∴∴ a1a1a2.a2（负号不符合）3.a1当0＜a＜1时，∵x＞1f（x）＜0，x＜1f（x）＞0，∴要使值域是（1，+∞），只有x＜－1.－1又∵f（x）在（－∞，－1）上是增函数，∴f（x）＞1－1＞x＞f（1）=a1，r∴a1无解.a21，－

1a1.a1综上，得a=2+3，r=1.（3）由f（x）≥loga2x得

x1317317317当a＞1时，＜x＜且x＞1.∴1＜x＜.x12x（x1）444x1，317当0＜a＜1时，∴x＞.x12x（x－1），4【例2】 已知抛物线y=ax－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中

2yxb，点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有2yax1两组不同的实数解，即得方程ax－x－（1+b）=0.判别式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

由①得x0=

2①

x1x211=，y0=x0+b=+b.22a2a1113∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.2a2aa4解法二：设同解法一，由题意得

y1ax121，y2ax221，yy211，x1x2y1y2x1x20.22①②③ ④将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得 x1x2x12x221，a22.aa1⑤ ⑥由二元均值不等式易得

2222（x1+x2）＞（x1+x2）（x1≠x2）.12123将⑤⑥代入上式得2（－2+）＞（），解得a＞.aa4a解法三：同解法二，由①－②，得 y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=

xx21y1y2=1.∴x0=1=.∵M（x0，y0）∈l，x1x222a∴y0+x0=0，即y0=－x0=－

111，从而PQ的中点M的坐标为（，－）.2a2a2a11

2）－（－）－1＜0.2a2a∵M在抛物线内部，∴a（解得a＞3.（舍去a＜0，为什么?）4思考讨论

解法三中为何舍去a＜0? 这是因为a＜0，中点M（x0，y0），x0=

1＜0，2ay0=－1＞0.又∵a＜0，2ay=ax2－1＜0，矛盾.∴a＜0舍去.●闯关训练 夯实基础

1.已知y=loga（2－ax）在 ［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（0，2）

D.［2，+∞）a1，解析：∵y=loga（2－ax）在［0，1］上是关于x的减函数，∴∴1＜a＜2.2a0.答案：B 2.如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是____________.解析：画出y1=|x+1|，y2=kx的图象，由图可看出0≤k≤1.