高中数学-公式-不等式（共五则）

第一篇：高中数学-公式-不等式

不等式

一、基础知识

1、两个实数比较大小的法则：

如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b是负数，那么a

2、不等式的性质(1)abba

(2)ab,bcac(3)abacbc

(4)ab,cdacbd(5)ab,cdacbd(6)ab,c0acbc(7)ab,c0acbc(8)ab0,cd0acbd(9)ab0ab(n2,nN)nnab cd(11)ab0nanb(n2,nN)(10)ab0,dc03含有绝对值得不等式的性质

a(a0)(1)a0(a0)

a(a0)(2)abab，2aa(b0)bb2(3)xaxaaxa

xax2a2xa或xa(a0)

(4)ababab

aba-bab

abab 2abc3 三个正数的均值不等式是：abc

3aa2ann n个正数的均值不等式是：1a1a2an

n4、两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

3、两个正数的均值不等式是：aba2b2ab 1122ab4、三个正数a、b、C的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 23abc3abc1113abca2b2c2

35、双向不等式是：ababab

左边在ab0(0)时取得等号，右边在ab0(0)时取得等号。

二、不等式的基本解法

f(x)0(或<0)与不等式f(x)g(x)0(或<0)同解。g(x)f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x)不等式或同解。0(或≤0)与不等式组同解g(x)0g(x)0g(x)不等式不等式

g(x)0g(x)0f(x)g(x)的同解不等式组是：或。2f(x)0f(x)g(x)g(x)0不等式f(x)g(x)的同解不等式组是：f(x)0。

2f(x)g(x)f(x)ag(x)(a0且a1)的同解不等式是：当a>1时，f(x)g(x)； 不等式a当0

对数不等式皆需化为型如：logaf(x)logag(x)(a0且a1)的同解不等式，与该不等式同解的不等式组f(x)0f(x)0是：当a>1时，g(x)0； 当0

f(x)g(x)f(x)g(x)解含有绝对值不等式的关键是化原不等式为等价的不含绝对值得不等式或不等式组，一般有以下方法：

(a0)①f(x)af(x)a或f(x)a，f(x)aaf(x)a，②f(x)g(x)f(x)g(x)

③xaxbc可采用零点法讨论求解。

三、不等式的证明

第二篇：高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

解题技巧

技巧一：凑项

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：

技巧三： 分离

第三篇：高中数学公式

高中数学

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

第四篇：高中数学公式完全总结归纳(均值不等式) 2

均值不等式归纳总结

a2b

21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab2

ab**2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab 222（当且仅当a（当且仅当ab时取“=”）b时取“=”）

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*2

3.若x12(当且仅当x1时取“=”）x

1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x0，则x

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxx

4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b2

5.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正

所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

212x 21（2）y＝x＋x

解：(1)y＝3x＋ 21

2≥22x3x· 216∴值域为[6，+∞）2＝2x

1(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2x1x·＝2； x

1x·=－2 x11当x＜0时，y＝x＋－（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54，求函数y4x21的最大值。4x5

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)1不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x

5511x,54x0，y4x254x3231 44x554x

当且仅当

54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

5

4x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1.当解析：由

时，求知，yx(82x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但

其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y

x(8

2x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x，求函数y4x(32x)的最大值。

232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222

当且仅当2x

技巧三： 分离

32x,即x

33

0,时等号成立。42

x27x10

(x1)的值域。例3.求y

x

1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt

当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

A

B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。ymg(x)

例：求函数

y

2的值域。

2t(t2)，则y1

t(t2)

t

0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt15

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。

t2

因t

所以，所求函数的值域为

5

。,2

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0)（2）y2x（1）y

sinxx3x

2．已知0条件求最值 1.若实数满足a

x

1，求函数y.；3．0x，求函数y

3.b2，则3a3b的最小值是.a

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3解： 3当3

a

a

3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab6

3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．

11变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y

0，且1，求xy的最小值。

xy

错解：．．

1919x0,y0，且1，xyxy12故 xymin12。

xyxy

x错因：解法中两次连用均值不等式，在x

在19yxy，xy



9y

即

y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步

骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：x0,y

19y9x19

0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

19y9x

1，可得x4,y12时，xymin16。时，上式等号成立，又xyxy

变式：（1）若

x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

yR且ab

x

y 2

y

1，求x

y的最小值

已知x，y为正实数，且x＋

＝1，求1＋y的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

1＋y2·＝2 x·

同时还应化简1＋y中y前面的系数为，x1＋y＝x

21y ＋22

下面将x，1y

＋分别看成两个因式： 22

x＋（x·

1y

＋≤22

1yy12 2

＋)x＋ ＋ 22223＝ ＝即x1＋y＝2 ·x

2

1y3

＋≤ 2224

技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y1

ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b ＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t ＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2

ttt

t·＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。18

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥22 ab令u＝ab则u＋22 u－30≤0，－52 ≤u≤32

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥18点评：①本题考查不等式

ab

ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式

2的范围，关键是寻找到

aba2b30出发求得ab（a,bR）

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

ab（a,bR），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧

九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本题很简单

3x ＋2y≤2（3x）＋（2y）＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)·(2y)＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤20 ＝25变式:

求函数y

x)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y2244(2x1)(52x)8

又

y

0，所以0y32

时取等号。

故

当且仅当2x1=52x，即x

ymax

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

1。求证：1118

abc

11abc，1aaa1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、cR，且abc



分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又可由此变形入手。

解：a、b、cR，abc



1。



11abc1

aaa。同理

11

b1。上1

c述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当时取等号。81113abc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y

0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

xy

19xy9x9y10y9x1，1.1 xykxkykkxky

解：令xyk,x0,y0,1

32。k16，m,16 kk

1ab

(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是.2

2应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,Plgalgb,Q

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

（lgalgb)lgalgbp 2

Rlg（ab

1)lgablg

abQ∴R>Q>P。22

概念：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

5、均值定理： 如果 a，b属于 正实数 那么(a+b)/2≥√ab

且仅当 a=b 时 等号成立。这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

第五篇：高中文科数学公式汇总

高中数学公式汇总（文科）

一、复数

1、复数的除法运算

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.22cdi(cdi)(cdi)cd2、复数zabi的模|z|=|a

bi|

3、zabi的共轭复数Z=a-bi二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

4、同角三角函数的基本关系式sincos1，tan=22sin.cos

5、和角与差角公式

sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan()tantan.1tantan

6、二倍角公式

sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.2tantan2.1tan2

1cos2;2公式变形：1cos22sin21cos2,sin2;22cos21cos2,cos2

7、三角函数的周期

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T函数ytan(x)，xk2；

2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T

b a.

8、函数ysin(x)的周期、最值、单调区间、图象变换

9、辅助角公式yasinxbcosx

10、正弦定理a2b2sin(x)其中tanabc2R.sinAsinBsinC22222222211、余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;cab2abcosC.11112、三角形面积公式SabsinCbcsinAcasinB.22213、三角形内角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)

14、a与b的数量积(或内积)ab|a||b|cos

15、平面向量的坐标运算(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2.(3)设a=(x,y)，则a

16、两向量的夹角公式 x2y

2第1页（共4页）

设=(x1,y1),=(x2,y2)，且，则 cos

17、向量的平行与垂直ababx1x2y1y2x1y1x2y2222

2// x1y2x2y10;()0x1x2y1y20.三、函数、导数

18、函数的单调性

(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数；

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.19、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

20、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).21、几种常见函数的导数

'①C0；②(xn)'nxn1；③(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx；

11'；⑧(lnx) xlnax

u'u'vuv'

''''''(v0).22、导数的运算法则（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()2vvx'xx'x⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax)'

23、会用导数求单调区间、极值、最值

24、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：

(1)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

xyxy，当xy时等号成立。

2（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

12（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s.4五、数列

四、不等式

25、已知x,y都是正数，则有

26、数列的通项公式与前n项的和的关系

n1s1,(数列{an}的前n项的和为sna1a2anss,n2nn1an).*

27、等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN)；

n(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n.222

2ann1*29、等比数列的通项公式ana1q1q(nN)； q28、等差数列其前n项和公式为sn

30、等比数列前n项的和公式为

a1(1qn)a1anq,q1,q1sn1q 或 sn1q.na,q1na,q11

1六、解析几何

31、直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab

（4）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).(3)截距式

32、两条直线的平行和垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb

2①l1||l2k1k2,b1b2;

②l1l2k1k21.33、平面两点间的距离公式dA,B



34、点到直线的距离

A(x1,y1)，B(x2,y2)).d(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).22235、圆的三种方程（1）圆的标准方程(xa)(yb)r.22（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(DE4F＞0).36、直线与圆的位置关系 2

2222直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

dr相离0;

dr相切0;

dr相交0.弦长=2r2d2 AaBbC其中d.22AB37、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

cx2y

2222椭圆：221(ab0)，acb，离心率e1 aab

cx2y2b222双曲线：221(a>0,b>0)，cab，离心率e1，渐近线方程是yx.aaab

pp2抛物线：y2px，焦点(,0),准线x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.22

八、立体几何

38、证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线（2）平行四边形（一组对边平行且相等）

39、证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）

（2）先证面面平行

40、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）．．．．

41、证明直线与直线垂直的方法

转化为证明直线与平面垂直

42、证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）．．．．

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）

43、证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）

44、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算

45、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

九、概率统计

46、平均数、方差、标准差的计算

x1x2xn12222方差:s[(x1x)(x2x)(xnx)] nn

1标准差:s[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n平均数:x

47、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏）．．．．．．．．．