不等式 向量解三角形复习（推荐5篇）

第一篇：不等式 向量解三角形复习

一、不等式的解法：

1.一元一次不等式：Ⅰ、axb(a0)：⑴若a0，则；⑵若a0，则；

Ⅱ、axb(a0)：⑴若a0，则；⑵若a0，则；

2.一元二次不等式：a0时的解集与有关（数形结合:二次函数、方程、不等式联系）3.高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴f(x)g(x)0

；⑵f(x)g(x)0

⑶

f(x)g(x)

0；⑷

f(x)g(x)

0

5.解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为x1,x2x1x2、x1x2、x1x2讨论。

例：解关于x的不等式： ax

2(a1)x10

（aR)）

例：实系数方程

f(x)x2

ax2b0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则b2a

1；

(a1)2

(b2)

2ab3 

二、不等式的性质（几个重要不等式）（1）若aR,则|a|0,a20（2）若a、bR,则a

2b

22ab(或a

b

2|ab|2ab)（当仅当

a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

ab时取等号）

.（当仅当

a=b极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

○

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.常用的方法为：拆、凑、平方；

例1:设x,a(a

21a2)1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则b的取值范围是___。

1b2

例2:若abc，且

1ab



1kbc



ac

恒成立，k的最大值为。

14.函数y=log12a(x+3)-1(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则m



n的最小值为______________.例3:已知a0,b0且ab

4。

例4:已知a0,b0且a

2

b



1。

(5)若ab0,则

ba（当仅当a=b时取等号）

ab2

(6)a0时，|x|ax2

a2

xa或xa;|x|ax2a2

axa

(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|(4)几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

2b（当仅当a=b时取等号）即：

1

a

2

a1b平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，ab（ab2

2ab2

（当a = b时，a2b2

2)

（ab2

2)

ab）

二、不等式的证明不等式证明的常用方法

2比较法、综合法、已知a>0，b>0ba

ab

≥a＋b.平面向量

㈠向量

AB①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

|AB|)；②平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

注意:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平

行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（有0)； ④三点A、B、C共线AB、AC共线 ㈡向量的表示方法坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单



位向量i，j

为基底，则平面内的任一向量a可表示为

axiyjx,y，称

x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。



22

abaaaa,a①abab0； ②当a，b同向时，ab＝，特别地，；

㈢．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的当a与b反向时，ab



b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件； 当为锐角时，ab＞0，且a、任一向量a，有且只有一对实数

1、

2，使a=1e1＋2e2。如

（1）若

a(1,1),b(1,1),c(1,2)

，则c______（答：132a

2b）；

㈣．平面向量的数量积：



⒈平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos

叫做a与b

的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝abcos

。规定：零向量与任一向量的数量积是

0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。







（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________（答：－9）；

11a(1,),b(0,),

（2）已知22cakb,dab，c与d的夹角为4，则k等于____（答：1）；

（325,ab3等于____）； 



（4）已知

a,b

，则a与ab的夹角为____（答：30）

⒉．b在a

，它是一个实数，但不一定大于0。





已知

|a|3

，|b|

5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：

125）



⒊．ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|

与b在a上的投影的积。

⒋．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：



当为钝角时，ab＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件； 

③非零向量a，b夹角的计算公式：cos

；④

|ab||a||b|。





（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

（答：＞—

43或＞　0且

13）；

（2）已知OFQ面积为S，且OFFQ1，若

13

2＜s＜,则OF,FQ夹角的取值范围是_________

(五)坐标运算：





设

a(x1,y1),b(x2,y2)，则：向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)

实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。平面向量数量积：abx1x2y1y2

向量的模：|a|a2

|a|2x2y。



已知

a,b

均为单位向量，它们的夹角为60，那么

|a3b|

＝_____）；

Ax

两点间的距离：若

1,y1,Bx2,y2，则

|AB|(六)向量的运算律：

交换律：abba，



a

a，abba；

结合律：abcabc,abcabc，ababab

；

分配律：

aaa,ab

ab，

ab

cacbc。























如下列命题中：① a(bc)abac；② a(bc)(ab)c；③(ab)|a|









||a|b|||a|b|a||b|(这些和实数比较类似).2|a||b||b|；④ 若ab0，则a0或b0；⑤若





abcb,

a

则ac；⑥

2a

；⑦

Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3（3）在ABC中，①若，则其重心的坐标为



abb

a

2ab)a2b2ab)a22abb2

a；⑧(2；⑨(2

。其中正确的是______（答：①⑥⑨(七)重要结论

向量平行(共线)的充要条件：

a//bab(ab)2(|a||b|)2

x1y2y1x2＝0



(1)若向量a(x,1),b(4,x)

，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；





（2）已知a(1,1),b(4,x)

，ua2b，v2ab，且u//v，则x＝______（答：4）；



（3）设

PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）

向量垂直的充要条件：



abab0|ab||ab|x1x2y1y20

如：AB

ACAB

AC。



OA(1,2),OB(3,m)



(1)已知，若OAOB，则m答：(3）；

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））； 





（3）已知

n(a,b),向量nm，且nm，则m的坐标是________（答：(b,a)或(b,a)）

向量中其他常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； 

（2）

||a||b|||ab||a||b|



，特别地，当a、b同向或有0|ab||a||b| ||a||b|||ab|；当a、b反向或有0|ab||a||b|||a|b|||a|

b；当a、b不共线

3Gx1xx,y3

y21y23

133。如①PG3

(PAPBPC)

G为ABC的重心，特别地

PAPBPC0P为ABC的重心；②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

③向量AB

AC((0))所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；



④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；





MPMP

（3）若P分有向线段

P1P

2所成的比为，点

M为平面内的任一点，则

MP

1，特别地P为

P1P2



MP的中点MP

1MP

2；



（4）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1.



平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

解三角形

1.斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

asinA



bsinB



csinC

2R

。（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a

，b2，c

2。

cosAcosBcosC。

3．三角形的面积公式：（1）S1absinC==4R2

sinAsinBsinC=

abcABC2

4R

（2）Ss(sa)(sb)(sc)

ABC＝

；；

（3）SABC＝r·s其中s

abc

（4）射影定理：在△ABC 中，abcosCccosB，b，c。4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

主要方法：三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换

在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。sin

ABB

2cos

C2,cos

A2

sin

C2；

（2）边角转化，判定三角形形状时，利用正余弦定理实现边角转化，统成边的形式或角的形式 例1（正、余弦定理判断三角形形状）

在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等边三角形

例2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab，sinCB，则A=()

（A）300

（B）600

（C）1200（D）1500

例3：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c2

2b，且

sinAcosC3coAs

sCin 求b

c2

分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2b左侧是二次的右

侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sinAcosC3cosAsinC,过多关

注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法：在ABC中则

siAn

cCos

A3coC由正弦定理及余弦定理

有:a

abc

c2

a

角化边）化简并整理得：2(a2

c2)b

2ab

3c

b（.又由已知

2bc

a2c22b4bb2

.解得b4或b0(舍）.

第二篇：构造向量巧解不等式问题

构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：ab|a||b|cos（其中θ为向量a与b的夹角），则|，又，则易得到以1cos1ab|||a|||bcos|

下推论：

（1）ab|ab|||；

（2）|ab||a||b|；

（3）当a与b同向时，ab|ab|||；当a与b反向时，ab|a||b|；

（4）当a与b共线时，|ab||a||b|。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式

例1已知a。、bR，ab12证明：设m=（1，1），n，则 2a2b1)

ab

1||2||a12b1

2ab12由性质m n|m||n|，得yz1，求证：xyz例2已知x。

证明：设m=（1，1，1），n=（x，y，z），则 2221

3mnxyz1

||3，|n|xyz

222222 mnm|||||n，得xyz由性质|

22213a2b2c2abcR，求证：例3已知a，b，c。bccaab2

222abc)证明：设m，ab)bccaab

则m nabc

222abc||||2(abc)bcacab

第1页（共4页）

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a2b2c2abc由性质| mn||m||n|，得bccaab2222例4已知a,b为正数，求证：(。ab)(ab)(ab)

证明：设m (a，b)，n(a，b)，则

33mnab

224442233222||ab，|n|ab

由性质|mn||m||n|，得 222

44422332(ab)(ab)(ab)

dacd。,b,c,dR例5设a，求证：a

证明：设m=（a,b），n=（c,d），则

mnadbc

2222 ||ab||cd222

由性质ab|ab|||，得

222adacd

二、比较大小

Rda例6已知m,n,a,b,c,d

p，q的大小关系为（）

A.pqB.pqC.p

hkabcd

bd |h|manc，|k|mn

hk||hk|||得 由性质|

bcdman即pq，故选（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y，且m，那么mx+ny的最大值为na，xybR

（）A.2222abB.ab

2C.a2b2

2D.a2b2

解：设p=（m,n），q=（x,y），则

由数量积的坐标运算，得p qmxny

而|| mn||xy

从而有m xnmxy

当p与q同向时，mx+ny取最大值m，故选（A）。nxyb

例8求函数的最大值。x)

解：设，则 x2x)，n(1，1)***2

mn2x12x

|m|2，|n|2

由性质mn|m||n|，得

x2x2

当

四、求参数的取值范围 113 时时，y2max22x2x

yy例9设x,y为正数，不等式x恒成立，求a的取值范围。

yn)，（1，1）解：设，则

||xy||2

由性质mn|m||n|，得

xyxy yy又不等式x恒成立

故有a2

黑龙江省大庆市66中学（163000）

第三篇：不等式·解不等式复习课·教案

不等式·解不等式复习课·教案

教学目标

1．通过复习小结，学生系统地掌握不等式的解法及其内在联系，提高学生的解题技能．

2．通过对各类不等式内在联系的揭示，加深学生对等价转化的认识，为今后进一步学习数学打好基础．

教学重点和难点

解不等式变形过程中等价变换思想的理解和进一步应用． 教学过程

师：我们已对哪些不等式的解法做了研究？

生：一元一次不等式；一元二次不等式；简单的一元高次不等式；简单的分式不等式；简单的无理不等式；简单的指数不等式；简单的对数不等式；含有绝对值的不等式．

师：好．请先看几道题目．

（教师板书，请三位学生到黑板上做，其余学生在笔记本上做题）解下列不等式：

3．log2（x+1）＋log0.25（x-1）＞log4（2x-1）．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，3］． 2．解：原不等式

3．解：原不等式

所以原不等式的解集为（1，5）．（待三位学生写完后，教师开始讲评）

师：好，这三个题解得都很正确．请问做第3题的同学，原题中的底数有2，0.25，4这三个，换底时你为什么选择以4为底呢？ 生：都用大于1的底其单调性看起来比较方便，所以不选0.25；如果用2为底，那么以0.25，4为底的对数换底时真数中都要出现根号，而最后还要把根式变成整式，太麻烦．

师：那为什么又要把左边减的一项挪到右边去呢？

生：如果不移过去而直接运算的话，不等号左边的真数将是个分式，最后也得变成整式，同样麻烦．

师：好．还有，左移项之后不等号右边对数运算时，为什么又多出两个条件x-1＞0和2x-1＞0呢？在不等式中不是有log4（x-1）（2x-1）一项在，它已包含了（x-1）（2x-1）＞0吗？

生：是因为x-1＞0且2x-1＞0和（x-1）（2x-1）＞0这两个条件是不等价的．如果略去x-1＞0和2x-1＞0这两个条件将会扩大解的范围．

师：很好．这些问题都是我们在解不等式的过程中应该注意的．刚才我们分别回顾了简单的分式不等式、无理不等式和对数不等式．在我们学习过的八类不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最简单、最基本的不等式，而像我们刚才做的这些其他类型的不等式，我们是如何解决的呢？

生：把它们转化为一元一次或一元二次不等式． 师：具体来说这个转化的目标是实现的呢？ 生：逐级转化：超越不等式代数化；无理不等式有理化；分式不等式整式化；高次不等式低次化．

师：实现这些转化的理论依据是什么？

生：第一个是利用函数的单调性，后三者是根据不等式的性质． 师：在这个转化的过程中，最应该注意的是什么？ 生：每一次变换必须是等价变换． 师：为什么要求这样？

生：为了保证得到的解集与原不等式的解集相同． 师：我们在处理方程求解的问题时也遇到过这个问题．那时并不要求等价变换，只要验一下根就可以了．这里不行吗？

生：不行．因为一般方程的根只有有限的几个，增根可以通过检验的方式找出来．而不等式的解集一般都是无限集，因此非等价变换产生的增根无法由检验来剔除．

师：说得好．我们来通过几个例题来看看如何用等价变换解不等式．

师：这道题中的x参与了分式运算，还参与了无理运算．也就是说，我们要做两次变换．应该先进行哪个变换呢？

生：无所谓． 师：那就请两位同学来说说这两种做法．（学生口述，教师板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪［2，＋∞）．

所以原不等式的解集为［2，＋∞）． 师：为什么这两种解法得到的解集不一样呢？

变换就缩小了解的范围．故第一种解法是正确的．

师：对．我们在刚才的练习第三题中也遇到过这个问题，两式均大于0与它们的积（或商）式大于0是不等价的，这是我们在处理等价变换时应该注意的．对于这道题，我们就只能把它看作无理不等式．对复杂不等式的题型选择离不开不等式的等价性．请再看这道题．

师：这道题看上去和例1很像，如何处理？

生甲：当然是先把绝对值号去掉，变成一个分式不等式，剩下的就和例1差不多了．

师：好，把你的方法写到黑板上．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

师：正确．这个解法是把题目看成了绝对值不等式，它和例1的解法类似，都是把根号或绝对值号中的式子先看成一个整体来考虑它的范围，这样做比较容易保证等价性．这道题是否还有别的解法呢？

生乙：有．这道题可以把它看作一个分式不等式，将不等式左边变

师：在例1中这样做不对，这里会对吗？

以保证等价．

师：好，写出你的解法．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，＋∞）． 的，因此这个不等式可以当作分式不等式来解．那么这两种解法哪个更好呢？

生：第二种更好算一些． 师：因此我们解决不等式问题时应先观察题目，在等价转化的前提下尽量选择简捷的途径．请再看一道题．

师：这道题中的x也参加了对数运算和分式运算．应把它看作哪类不等式？ 生：x参与的对数运算只有logax，把这个整体看成一个未知数，就可以转化成分式不等式了．

师：好，说说你的解法．（学生口述，教师板书）

又0＜a＜1，则原不等式

师：对．在解集的端点中含有字母系数时，要特别注意它们大小的比较．下面大家自己做几个题目．

（教师板书，学生在笔记本上做题）练习：解下列不等式：

（教师观察学生完成情况，视学生解题状况做出点评）

师：那如果把题目中的“≥”号改成“＞”号就可以直接去掉了吗？ 生：是．这样不会漏掉解．

师：试想，即使不影响结论，也是因为忽略的情况凑巧不在解集内．虽然我们要求等价变换的目的是为了保证同解，但不能因为凑巧同解就忽视等价变换．

师：有的同学对于第2题无从下手．对于题中的字母a我们如何处理呢？ 生：如果像例3那样给定了0＜a＜1，那么不等式就可以转化为

师：那如果a＞1呢？

师：因此对于这种题目我们就要对字母系数和范围进行分类讨论．试着说说刚才提到的两种情况下的解法．

（学生口述，教师板书）

解：1°当a＞1时，2°当0＜a＜1时，师：很好．对于含有字母系数的不等式，我们需要在必要时对字母系数的范围进行讨论；并且在最后确定解集时，要注意对含有字母系数的区间端点的大小比较．

师：我看到有的同学处理第3题时下手就把两边平方，这样做可以吗？ 生：可以，但不好．如果一平方，不等号右侧就成了四次式，那样过于麻烦了．

师：那又如何处理呢？

生：观察不等式，根号内、外的x的二次项、一次项的系数对应成比例，由这可以想到使用换元法．

师：很好．这个方法我们在处理方程问题时就用过．把你的解法写出来．（学生板书）

所以原不等式的解集为（-3，-2）∪［1，2）．

师：很好．当我们处理一些复杂的不等式时，有时可借助换元法使问题简化． 师：解不等式要立足基本题型，通过等价变换，把它们最终归结为一元一次不等式或一元二次不等式的求解．

作业：

解下列不等式：

作业答案或提示：

3．｛x|0≤x＜1｝．可用换元法将根式当作一个整体．

课堂教学设计说明

1．作为不等式解法的复习课，我们把等价变换放在突出位置．也就是说，要求每一次变形所得到的不等式和变形前的不等式是等价的．这与课本中有所不同，课本原意是用同解不等式的观点作统帅．这样做有这样做的道理，但操作上有困难．因为两个不等式是否同解，要等解出来以后，从结果才能看清楚，用作为指导性的东西显得有些困难．我们强调等价变换是从过程看，这样做既好操作，也符合逻辑，还容易看清楚，可以引导学生从逻辑上把解不等式理论认识清楚．

2．在本节课中，没有给出不等式的这种分类（见分类表）．因为我们认为应该淡化形式，注重实质，而且表中的不等式也并没有全部涉及到．我们对于各类不等式的要求是不完全相同的，其中一元一次不等式、一元二次不等式分类表： 的解法是最基本的，它是解各类不等式的基础．而解其他类型的不等式，关键在于利用不等式的性质或相关函数的单调性，将其等价变换成一元一次或一元二次不等式（组）再求解．

对于已分类学习研究过的不等式解法，复习并不是简单地罗列各种解法，堆砌各类题型，这只是形式上的表面文章，冲淡了学生对其本质——等价变换的认识．像3道例题，它们并不纯属于哪一类不等式，对于这类问题的讲解，就要引导学生在立足基本题型、基本方法的基础上，抓住内在联系，把握基本思想，有的要通过换元、分类讨论等手段，问题得以解决．

第四篇：向量法证明不等式

向量法证明不等式

高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有

由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即

例1设a，b，c∈R+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由

综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余边同理

在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为BA+AC+CB=0恒成立，两边乘以i得i*BA+i*AC=0①根据向量内积定义，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

第五篇：第一章 解三角形

第一章 解三角形

章节总体设计

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色

1．数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”

3．重视加强意识和数学实践能力

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

（三）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）

1.2应用举例（约4课时）

1.3实习作业（约1课时）

（四）评价建议

1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。