§4.7 解三角形的综合应用
最新考纲
考情考向分析
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求
竖
直
高
度
底部
可达
∠ACB＝α，BC＝a
解直角三角形
AB＝atan
α
底部不可达
∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a
解两个直角三角形
AB＝
求
水
平
距
离
山两侧
∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a
用余弦定理
AB＝
河两岸
∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a
用正弦定理AB＝
河对岸
∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a
在△ADC中，AC＝；
在△BDC中，BC＝；
在△ABC中，应用
余弦定理求AB
知识拓展
实际问题中的常用术语
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
4．坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(√)
题组二 教材改编
2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________
m.答案 50
解析 由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．
3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．
答案 a
解析 由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin
γ＋asin
β
＝a×sin
60°＋asin
15°＝a.题组三 易错自纠
4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于()
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
答案 D
5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.答案 a
解析 由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20
km/h；水的流向是正东，流速是20
km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________
km/h.答案 60° 20
解析 如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos
120°＝1
200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一 求距离、高度问题
1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案 10
解析 如图，OM＝AOtan
45°＝30(m)，ON＝AOtan
30°＝×30
＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝
＝＝10
(m)．
2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________.答案
解析 由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin
β＝.故山高CD为.3．(2018·日照模拟)一船以每小时15
km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4
h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________
km.答案 30
解析 如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得＝，∴BC＝30(km)．
思维升华
求距离、高度问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
题型二 求角度问题
典例
如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos
θ的值为________．
答案
解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
120°＝2
800，得BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cos
θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos
30°－sin∠ACBsin
30°＝.思维升华
解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．
答案 北偏西10°
解析 由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．
题型三 三角形与三角函数的综合问题
典例
(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos
B－bcos
C＝0.(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin
xcos
xcos
B－cos
2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
解(1)因为(2a－c)cos
B－bcos
C＝0，所以2acos
B－ccos
B－bcos
C＝0，由正弦定理得2sin
Acos
B－sin
Ccos
B－cos
Csin
B＝0，即2sin
Acos
B－sin(C＋B)＝0，又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin
A.所以sin
A(2cos
B－1)＝0.在△ABC中，sin
A≠0，所以cos
B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为B＝，所以f(x)＝sin
2x－cos
2x＝sin，令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.思维升华
三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．
跟踪训练 设f(x)＝sin
xcos
x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解(1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin
2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f＝sin
A－＝0，得sin
A＝，由题意知A为锐角，所以cos
A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．
因此bcsin
A≤.所以△ABC面积的最大值为.函数思想在解三角形中的应用
典例
(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．
规范解答
解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]
S＝
＝＝.[3分]
故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]
(2)设小艇与轮船在B处相遇．
则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]
故v2＝900－＋.∵0 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分] 1．(2018·武汉调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为() A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 答案 D 解析 如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20× cos 120°＝700，∴AC＝10.2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的() A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 答案 D 解析 由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是() A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 答案 A 解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 ＝，解得BC＝10.4．(2018·广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于() A．240(＋1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 答案 C 解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝＝ ＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝ ＝60(2－)m，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为() A．30° B．45° C．60° D．75° 答案 B 解析 依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝ ＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于() A．5 B．15 C．5 D．15 答案 D 解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.7．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.答案 70 解析 设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d＝70，即两船相距70 n mile.8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案 100 解析 设坡底需加长x m，由正弦定理得＝，解得x＝100.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里． 答案 10 解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)． 10.如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米． 答案 1 000 解析 由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1 000，∴BC＝＝1 000.11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米． 答案 50 解析 如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14(海里/小时)． (2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝.13.(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________ m.答案 45 解析 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，∴tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.答案 15 解析 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15.15.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来； (2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)? 解(1)∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理，得 ＝＝，所以AN＝sin θ，AM＝sin(120°－θ)． (2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°) ＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4 ＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋ ＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米． 16．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小； (2)若b＝，求a＋c的取值范围． 解(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，由正弦定理，得cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0，即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A.∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－.∵0 b2＝3＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号． ∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.∴a＋c的取值范围是(，2]．
点击咨询