3-《解三角形应用》反思总结

第一篇：3-《解三角形应用》反思总结

《解三角形应用》教学反思

应用题教学是培养学生应用数学能力的一个良好途径。数学应用题的教学模式一般是直接给出实际问题的解决方案，再让学生用数学知识去求解.给出的实际问题有很多并不是学生所能感觉到、体会到的，往往是一些文字、符号、事实、事件等，解决方案的单一性也会使学生感到枯燥、被动.因此在大多数情况下，应用题仅是作为理论联系实际和巩固新知识的一种手段，正如谭良军在《浅谈数学应用意识及其培养》一文中指出的，传统的应用题教学中常存在这样的“假象”，即在学生学完某一知识后，就给出一个应用题，要求学生解答。这种所谓的“应用题”，有时是机械的辨别、模仿，强调的是学生解答数学问题的能力。它有助于加深学生对知识的巩固和理解，但对于培养学生的应用意识和应用能力效果甚微。

要说培养学生的应用意识，那本节得设计成一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，让学生清楚工具可以做哪些测量，再根据老师给出的问题自行设计解决方案.接着组织学生探讨方案的实效性.最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程.教师只负责引领学生促使问题的探讨层层深入。

问题一：如何测量距离。

1.两点间不可拉线测量，但测量者可以到达两端。比如计算隧道的长度

2.两点中有一点不可到达，比如测量小岛到岸边的距离 3.两点都不可到达。隔河可以看到两目标A、B，但不能到达.求A、B之间的距离。

进一步深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，通过对问题的解决，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性。问题二：如何测量高度。

1.底部可以到达。比如操场上旗杆的高度 2.底部不可以到达。比如测酒店的高度 问题三：如何测量角度。比如船的航向。

将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.让学生亲身经历和体验运用解三角形的知识可以变“不可测”为“可以算”.使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识。在学习过程中鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考。

如此设计改变了封闭的传统应用题解决模式，把学生的学习融入到丰富多彩的生活场景之中.通过对实际问题解决方案的设想与构造，既熟练了数学知识，又使学生发展了想象力和创造力，形成钻研精神和科学态度.另外通过对方案实效性的探讨与编题解题，加强了学生的数学表达和交流能力，同时增强了合作精神

培养学生的数学应用意识是一个循序渐进的长期过程，光靠解一些应用题是很难培养起学生的数学应用意识的。应用意识的培养途径应该有多方面。本文提到的设计实际问题的解决方案就是一种很好的培养手段。

第二篇：解三角形教学反思

解三角形教学反思

解三角形教学反思1

掌握直角三角形的边角关系并能灵活运用；会运用解直角三角形的知识，利用已知的边和角，求未知的边和角；能结合仰角、俯角、坡度等知识，综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。

《课程标准》中指出“教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”，注重对学生对知识间的沟通与联系进行讲解，将这些知识点灵活组合，通过综合性题目所提供的信息，搜寻解决问题的相关知识点，找出解决问题的方法。在平时教学中能讲到中考一模一样的题目的可能性微乎其微.那怎么办,教给学生思考方法和解题的策略往往更有用.这样可以举一反三,会一题可能就会掌握一类题,并在学生理解之后及时复习巩固,努力把新方法新技巧纳入到原有的知识体系中。在解题中应该尽量的让题目一题多解,或者多提一解,尽量在学生思维的的转折点处进行点拨,这样最有效。

解三角形教学反思2

新课标把三角形的内角和作为四年级下册中三角形的一个重要组成部分，它是学生学习三角形内角关系和其它多边形内角和的基础。即使在以前没有这部分内容，大部分教师在课后也会告诉学生三角形的内角和是180度，学生容易记住。因此让学生经历研究的过程成了本节课的重点。既让学生经历“再创造”----自己去发现、研究并创造出来。教师的任务不是把现成的东西灌输给学生，而是引导和帮助学生去进行这种“再创造”的工作，最大限度调动其积极性并发挥学生能动作用，从而完成对新知识的构建和创造。

本节课我基本达到了要求，具体表现在以下2个方面。

1、为学生营造了探究的情境。学习知识的最佳途径是由学生自己去发现，因为通过学生自己发现的知识，学生理解的最深刻，最容易掌握。因此，在数学教学中，教师应提供给学生一种自我探索、自我思考、自我创造、自我表现和自我实现的实践机会，使学生最大限度的投入到观察、思考、操作、探究的活动中。上述教学中，我在引出课题后，引导学生自己提出问题并理解内角与内角和的概念。在学生猜测的基础上，再引导学生通过探究活动来验证自己的观点是否正确。当学生有困难时，教师也参与学生的研究，适当进行点拨。并充分进行交流反馈。给学生创造了一个宽松和谐的探究氛围。

2、充分调动各种感官动手操作，享受数学学习的快乐。在验证三角形的内角和是180度的过程当中，大部份同学都是用度量的方法，此时，我引导学生：180度是什么角？我们能否把三个内角转化一下呢？经过这么一提示，出现了很多种方法，有的是把三个角剪下来拼成一个平角。有的用两个大小相等的直角三角形拼成一个正方形，还有的是用折纸的方法，极大地调动了大脑，就连平时对数学不感兴趣的学生也置身其中。

总之，充分让学生进行动手操作，享受数学学习的乐趣，是我这一节课的出发点，也是这一节课的最终归宿。

解三角形教学反思3

在解直角三角形中，我们习惯于利用三角函数根据题目中已知的边角元素来求另外的边角元素。其实，有时候利用方程来解决这样的问题甚至能起到更好的效果。

在《解直角三角形》中第四节船有触礁的危险中，其情境引入是这样的：

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行使20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？

对于本题，要判断船是否有触礁的危险，只需要判断该船行使的路线中，其到小岛A的最近距离是否在10海里范围内，过A作AD⊥BC于D，AD即为小船行驶过程中，其到小岛A的最近距离，因此需要求出AD的长.根据题意，∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=20，那么如何求AD的长呢？

教参中是这样给出思路的，过A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°,CD=ADtan25°,ADtan55°-ADtan25°=20.这样就可以求出AD的长.这里，需要学生把握三点：第一，两个直角三角形；第二，BD-CD=20；第三，用AD正确地表示BD和CD.用这种思路，多数学生也能够理解。

但教学过程中，我发现利用方程的思路来分析这道题目，学生更容易接受。题目中要求AD的长，我们可以设AD的长为x海里，其等量关系是：BD-CD=20，关键是如何用x来表示CD和BD的长。这样，学生就很容易想到需要在两个直角三角形利用三角函数来表示：Rt△ABD中，tan∠BAD=从而，BD=xtan55°;Rt△ACD中，tan∠CAD=,从而，CD=xtan25°，这样根据题意得：xtan55°-xtan25°=20，然后利用计算器算出tan55°和tan25°值，这样就可以利用方程来很容易的解决这样一个题目，并且是大家很熟悉很拿手的一元一次方程。

可见，教学有法，教无定法，同样一道题目，不同的方法，却能够让学生理解起来，减轻许多思维障碍，这不正是我们教学中所要达到效果吗？

解三角形教学反思4

几何知识对健听学生来说学得都是比较困难、也是不容易理解和掌握的，更何况是我们这些听障孩子。几何有很多概念用手语也是不容易与学生讲得很透彻的，而且，几何它又枯燥无味，所以，要学好，不容易。但我还是从学生的特点和认知能力出发，做好每一堂课的教学工作。

以《全等三角形》第一课时为例，这节课主要是学习全等形和全等三角形的概念，从中得出全等三角形的性质。我首先拿出两张一模一样的钞票，提问学生思考两张钞票是否一样，为什么一样？（学生还真的很感兴趣）再拿出两本学生数学课本，提问学生思考两本数学课本是否一样，又为什么一样？再拿出两个一模一样的用纸片自制的三角形图形，提问学生思考这两个三角形是否一样，又为什么一样？让学生自主发言，有说这的，有说那的，老师启发学生从形状和大小上去思考，是否一样。多数学生可以回答。老师再展示教材上的图案以及制作的一些三角形、四边形等图案，引导学生观察，激发学生兴趣，从图中去发现有形状与大小完全相同的图形。老师适时点拨，然后让学生自己动手做或随意去寻找两个形状与大小完全相同的图形，通过学生自己动手实践，直观感知全等形和全等三角形的概念。老师点拨帮助学生归纳出全等形和全等三角形的概念。形状、大小完全相同（能够完全重合）的两个图形叫做全等形；形状、大小完全相同（能够完全重合）的两个三角形叫做全等三角形。接着，老师随即在黑板上分别演示一个三角形经平移，翻折，旋转后，它所构成的两个三角形是全等的。

再通过教具演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念（强调对应），并以找朋友的形式进行练习，指出它们的对应顶点、对应边和对应角，以求得学生对对应元素的理解。此时给出全等三角形的表示方法；再提示学生对应顶点要写在对应的位置上，然后再给出用全等符号来表示全等三角形的练习，加强对所学知识的巩固，再出示练习，判断哪一种表示全等三角形的方法是正确的。

再次，老师引导学生通过对全等三角形纸板的观察，观察对应边、对应角有何关系，从而得出全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。并通过练习来理解全等三角形的性质。最后老师小结，这节课我们知道了什么是全等形、全等三角形，学会了用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题。

解三角形教学反思5

第一，通过本节课教学，我觉得教学目标定位准确恰当。结合课程标准，在对教材深入钻研的基础上，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观，制定了以“会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，同时让学生“通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选择算式进行简便计算，从而体会探索、发现科学的奥秘和意义；渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。”结合课堂教学，我个人认为教学目标达成度是比较高的。

第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。

第三，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者、帮助者。在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，而后选择了一种解法进行板演。

通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，应该让学生从理论上深刻地理解其中的数学原理；再如，在探索解直角三角形需要具备的条件与三角形全等的判定的内在联系时，问题的指向性太明确，过多地关注问题的预设而忽视了即时的生成，如果放手让学生自己去想，可能效果更好；又如，课堂总结时，总想把现成的规律性结论用学生喜欢的形式告知他们，但忽视了学生在没有亲身体验与感受的情况下，老师的努力将大打折扣。在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升。

总之，本节课教学力争体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是渗透德育的基地，是学生发现创造展示自我的舞台！

解三角形教学反思6

近期我参加学校的徒弟汇报课，讲课前经过好多遍的细心琢磨，并且还特意搜集了好多三角形的特征的教学设计仔细研读、教学视频反复观看。上完课后感觉效果不错，学生掌握较好。课下，我对《三角形的特征》这节课的教学进行了反思，具体如下：

本节课我让学生经历了找三角形，画三角形，说三角形，作三角形的高等活动。学会了画三角形的高。课始，让学生从主题图中找三角形，从生活中找三角形，使学生体会到生活中的美是由许多几何图形构成的，三角形就是其中的一种。

本节课，按照我校“先学后教，当堂训练”教学模式，，让学生先根据学习目标、自学指导，先学后教，这样各层次学生都有足够的时间去思考，都会有自己的发现和收获，在本节课探究三角形的高时，由于学生有了自学基础，又让学生到黑板上画高并说出自己是怎么画的。通过交流、展示，学生很顺利地掌握了高的画法，这样，大部分学生都能通过自学课本，从中获得知识，培养了学生的自学能力，也让学生体会到了学习的乐趣。

由于学生已经进行了自学，课堂上根据自学情况让学生进行交流，在教学三角形的含义时，我通过让学生观察围成三角形的过程，并在练习中让学生理解围成的含义，最后在此基础上自己来总结到底什么样的图形才叫做三角形。

不足之处：

在这节课中还有很多不足之处，对概念的教学还不够突出，画高的地方引导还不是很好，没很好的突破难点，关于怎样做三角形的高，个别学生的认识还比较模糊，在做练习时，我发现一个学生的三角尺放错了，另一个学生在直角三角形作高时出现了找不清顶点的错误，这些错误的出现，归结起来还是对底和高概念的认识模糊造成的。这个问题，没有给孩子放宽画高的空间，应该让更多孩子

多练习正确地放一放三角尺。如果这两个环节处理得到位，会使全班同学对高的认识和画法更清晰。

总之，精心设计教学中的每一个环节对于学生掌握知识是非常重要的，因此，老师只有通过不断的实践和反思，才能使我们的数学课堂一步一步走向有效、高效。

解三角形教学反思7

三角形之间的关系是在理解三角分类和角度和教学的基础上。教学重点主要是探索：任何三个小棒可以被三角形包围？研究三角边缘的关系得出的结论是，短边之和大于第三边，我不急于给学生答案，但经过任意而不是较短的讨论，让学生更清楚。

这一课主要是让学生体验一个过程来探索这个问题，引导学生先识别问题，提出假设，实验验证，得出结论，申请过程的实践。我在教，关键是抓住任意三条线不能被三角形包围？发起探讨学生围绕这个问题的愿望，让学生自己动手，发现有些可以被包围，有些不能被包围，再由学生自己找出原因，为什么可以为什么不呢？最初的感觉三方之间的关系，然后聚焦可以被三边之间的三角形包围，结束之间有什么关系？通过观察，验证，重新操作，最终发现三角形任意两边的和大于结论的第三边。这种教学符合学生的认知特征，既增加了兴趣，也提高学生的能力。

解三角形教学反思8

（1）本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.

（2）让学生深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义实际上分别给出了a、b、c三个量的关系，a、b、c用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

（3）解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，在处理例题时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

解三角形教学反思9

解直角三角形及其应用是本章的重要内容。一个直角三角形有三个角、三条边这六个元素，解直角三角形就是由已知元素求出未知元素的过程。除了一个直角外，知道两个元素（其中至少有一条边），就能求出其他元素。这样的情况一般有五种，而解直角三角形的方法是本章内容的重点，因为，本章的学习目的主要就是使学生能够熟练地解直角三角形。而且也只有掌握了直角三角形的解法，才能够去解决与直角三角形有关的应用问题。在解直角三角形的应用这一节中，更充分地把“解直角三角形”运用到实际问题中去。通过一系列实际问题的解决，训练了学生分析与解决实际问题的能力，培养学生把实际问题转化为教学问题的能力。

在教学过程中，首先引导学生已学过的直角三角形有关元素之间关系的知识进行归纳整理，然后通过两道例题，体会直角三角形中除直角外的五个元素中至少要获得两个条件，就可以求得三个元素的特点，并归纳两个条件的类型。通过对直角三角形的理性分析和解题实践后，让学生体会到直角三角形中边角间的关系。主要通过三角形内角和与勾股定律和锐角三角函数比来表述。此外对不是直角三角形的，要领会数学化归的思想，通过作高，转化为直角三角形再来求解。

我觉得这堂课有以下几个特点：

1、要多给学生练的机会，例2可以让学生讨论完成，当课堂练习。

2、中间的小结，对学生有难度，可以在学生略微思考的情况下，老师做适当引导下，由老师得出，这个结论并不需要记忆，仅仅是给学生一个直接的感受：原来所有的这一类型的题目都可以这样解。

3、语速还是过快，要留给学生多的时间思考。

4、讲解不宜太多，但是更多的是建立在学生的思维基础上，所以需要给他们留较多的时间。讲的太多反而得不到效果。应该注重适当的提问，把注意力集中在学生的思维上，提高学生的思维品质。

5、要多鼓励学生进行变式训练，达到自己会编题，知识就掌握牢固了。

总之，本节课是我对新课程理念的一次尝试，必存在缺陷，这将促使我进一步研究和探索。在以后的教学中，我在课堂上将努力做到让沉闷的课堂教学鲜活起来，让课堂真正成为数学活动的场所，成为讨论交流的学堂，成为学生展示自我的舞台！

解三角形教学反思10

随着“五严规定”的实施，给九年级数学教学带来了许多挑战。例如教学时间缩短了，有限的教学时间里教师往往首先保证进度，往往学生的习惯的培养、能力的提升有所忽视；再如考试次数减少了，教师、学生双方对教与学的效果反馈难以得到及时准确的信息，学习内容的针对性、有效性难以保证；还有学生不全部在校晚自习了，学习方式的改变会带来一系列的问题。针对以上情况，20xx年3月25日，在高港区教研室和初中数学名师工作室的安排下，举行了“初中数学一轮复习研讨会”活动，我有幸在高港中学上了一节“解直角三角形的应用”的复习研讨课，下面我就本节课谈谈自己的想法。

本节课的复习目标是：掌握直角三角形的边角关系并能灵活运用；会运用解直角三角形的知识，利用已知的边和角，求未知的边和角；能结合仰角、俯角、坡度等知识，综合运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。因为是中考一轮复习，所以我先将课前自主复习部分让学生课前独立完成教师批阅，这样在上课前授课老师能做到心中有数，再针对课前自主复习部分的题目有侧重性的讲，真正做到有惑必解，有疑必答。

本节课我共设计了3条例题，一是台风中心的运动问题，涉及到了仰角和俯角问题；第2题是一条20xx年的中考题，我将题目变式为3小题，将坡角、坡度、以及基本图形的渗透都融合在一题中，让学生学会分析、类比，并能独立归纳出此类题的解法，抓住题中的基本图形进行解题；第3题是一条设计方案题，目的让学生选择测量工具运用解直角三角形的知识测量出塔的高度，并适当变式，如果当塔的底部不能直接到达测量时，如何设计方案求出塔高。

课上完后，我认真总结了本节课的得与失，本节课的主要失误的地方有两点，一是例1的处理上，应将点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系结合例1一起来处理，这样学生对于为什么作出AD这条辅助线就很明晰了，效果将会更好，；二是小结时较仓促，应该让学生总结归纳出此类题的一般解法，找出基本图形，这样才有助于让学生知识形成体系，进一步得以提高。

《课程标准》中指出“教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”，对于初三一轮复习，注重对学生对知识间的沟通与联系进行讲解，将这些知识点灵活组合，通过综合性题目所提供的信息，搜寻解决问题的相关知识点，找出解决问题的方法。在平时教学中能讲到中考一模一样的题目的可能性微乎其微、那怎么办，教给学生思考方法和解题的策略往往更有用、这样可以与一反三，会一题可能就会掌握一类题，并在学生理解之后及时复习巩固，努力把新方法新技巧纳入到原有的知识体系中。在解题中应该尽量的让题目一题多解，或者多提一解，尽量在学生思维的的转折点处进行点拨，这样最有效。

总之，通过本节课的教学，让我认识到了自身的不足，非常感谢高港区名师工作室这个平台，让我有了锻炼自己的机会，也相信通过初三一轮复习研讨会，大家对一轮复习有了较清楚的认识，让初三复习真正高效。

解三角形教学反思11

本节课是一节复习课，内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题。在教学设计中，我针对学生对三角函数及对直角三角形的边角关系认识的模糊，计算能力薄弱等特点，我决定把教学的重、难点放在了解决有关实际问题的建构数学模型上。通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学，绝大部分学生能很好地掌握了如何建构模型的解决方法，很好地达到了本节课的教学目的。

由于自己在如何上好一节复习课上还处在摸索阶段，所以在设计与安排上还存在很多不足，如本节课设计容量较大，有1个实际应用例题抽象出四个基本变式数学模型，学生对每个问题逐个探究解答，时间感觉比较紧。但对另外一部分学生来说，他们基础较弱，对数学的应用不是那么得心应手，不会合理找出边角关系，当然就不能准确寻求问题的答案。

我觉得这堂课有以下几个优点：

1、充分调动了学生参与课堂的积极性。

2、学生敢于提出问题、分析问题。

3、老师起到了引导的作用，小组交流、展示很有成效，兼顾了不同层次学生的学习。

不足：1、中间的小结让学生完成更好些

2、给学生思考时间、交流时间过多，独立完成时间较少。

总之在以后的教学中，讲解不宜太多，但是更多的是建立在学生的思维基础上，所以需要给他们留较多的时间。讲的太多反而得不到效果。应该注重适当的提问，把注意力集中在学生的思维上，提高学生的思维品质。在课堂上将努力做到让沉闷的课堂教学鲜活起来，让课堂真正成为数学活动的'场所，成为讨论交流的学堂，成为学生展示自我的舞台！

解三角形教学反思12

本课是人教版高中数学必修五第一章的复习课。要求学生掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题;能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。使学生逐步构建知识框架。为了达到此目的，选取了近三年有代表性的高考题逐步进行分析引导以期使学生灵活应用。

现反思如下：

1、本节课的教学目标，重难点都能够很好的完成。学生们对高考题还是比较敏感和有兴趣的，学生和老师一起探索和感受题目中题设和结论间的联系，消除题设和结论的差异性以达到求解的目的。教学过程中注重学生的感受，老师及时凝练总结提升，拓展学生的 创造性思维。引导学生主动构建，自主解决问题，形成本部分知识框架。高考题选取知识点覆盖全，层次分明（直接用公式，用公式变形式，综合用公式）学生接受良好。

2、在教学中比较注重思路的形成，分析能力的培养，具体的计算关注不够，对计算能力欠佳的学生会有所损失。粉笔字写得不好，需加强练习。

3、课堂提问在两班对比后认为分解问题会比较好，但在一个班分解过细，学生认为没有挑战。学生的紧张情绪对答题影响很大，要注意课堂气氛的营造。集体回答过多，部分同学懒于思考。

解三角形教学反思13

在《相似三角形》的复习课中，我安排了两节复习课。第一节着重复习比例线段的基本知识及基本技能；第二节则采取“探究式教学”来复习相似三角形的性质与判定，培养学生的实践及探索能力。

比例线段在平面几何计算和证明中，应用十分广泛，相对已学的两条线段相等关系而言，四条线段成比例关系对学生分析问题及综合解题的能力要求更高。第一节课的复习中，着重复习了比例线段的意义及性质，同时通过例题进行巩固，学生掌握的效果不错。

在第二节课中，主要通过以下三个方面展示出学生的探究性学习：

一、尊重学生主体地位。

本节课以学生的自主探索为主线，课前布置学生自己对比例线段的运用进行整理，这样不仅复习了所学知识，而且可以使学生亲身体验“实验操作－探索发现－科学论证”获得知识的过程，体验科学发现的一般规律；解决问题时，让学生自己提出探索方案，使学生的主体地位得到尊重；课后让学有余力的学生继续挖掘题目资源，用发展的眼光看问题，从而提高学习效率，培养学生的思维能力。

二、教师主导地位的发挥。

在教学中，教师是学生学习的组织者、引导者、合作者及共同研究者，要鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新。在课堂中，我着重引导学生自己小结相似三角形的性质及判定方法，同时给予肯定。在后续的例题分析中，也是通过一步步的引导，让学生自己思考、分析并得出整个解题的过程及步骤。关键时点拔，不足时补充。

三、提升学生课堂的关注点。

学生体验了学习过程后，从单纯的重视知识点的记忆，复习变为有意识关注学习方法的掌握，数学思想的领悟，同时让学生关注课堂小结，进行自我体会，自我反思，在反思中成长、进步。

在《相似三角形》这一复习课中，通过学生自主探索，让学生主动学习，培养了学生积极主动的探索创新精神，学生也能掌握到了相关的知识。但是，仍有不足之处。问题的应用中，即利用相似三角形的性质或判定证明的过程中，思路仍是不够清晰，书写的过程仍是不够完整。也就是说，缺少了教师的引导分析，则学生不知向何处思考。这是大部分学生具有的情况。

解三角形教学反思14

回顾本节课，虽然我花费了很多的心思合理设计了本课，但在实际教学的环节中，还是出现了一些问题：

1、教学中不能把学生的大脑看做“空瓶子”。我发现按照自己的意愿在往这些“空瓶子”里“灌输数学”，结果肯定会导致陷入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的，所以是不是应该在教学过程中尽可能多的把学生的思维过程暴露出来，头脑中的问题“挤”出来，在碰撞中产生智慧的火花，这样才能找出症结所在，让学生理解的更加到位。

2、教学中应注重学生思维多样性的培养。数学教学的探究过程中，对于问题的结果应是一个从“求异”逐步走向“求同”的过程，而不是在一开始就让学生沿着教师预先设定好方向去思考，这样感觉像是整个课堂仅在我的掌握之中，每个环节步步指导，层层点拔，惟恐有所纰漏，实际上却是控制了学生思维的发展。再加上我是急性子，看到学生一道题目要思考很久才能探究出答案，我就每次都忍不住在他们即将做出答案的时候将方法告诉他们。这样容易造成学生对老师的依赖，不利于学生独立思考和新方法的形成。其实我也忽视了，教学时相长的，学生的思维本身就是一个资源库，他们说不定就会想出出人意料的好方法来。

另外，这一节课对我的启发是很大的。教学过程不是单一的引导的过程，是一个双向交流的过程。在教学设计中，教师有一个主线，即课堂教学的教学目标，学生可以通过教师的教学设计的思路达到，也可以通过教师的引导，以他们自己的方式来达到，而且效果甚至会更好。因为只有“想学才学得好，只有用自己喜欢的方式学才学的好”。因此，本人通过这次教学体会到，教师在备课时，不仅要“备教材、备学生”，还要针对教学目标整理思路，考虑到课堂上师生的双向交流；在教学过程中，要留出“交流”的空间，让学生自由发挥，要真正给他们“做课堂主人”的机会。

无论是对学生还是教师，每一个教学活动的开展都是有收获的，尤其是作为“引导学生在知识海洋里畅游”的教师，一个教学活动的结束，也意味着新的挑战的开始。

总之，这一堂公开课，让我既收获了经验，又接受了教训，我想这些都将会是我今后教学的一笔宝贵财富。

解三角形教学反思15

本节课是一节复习课，内容是关于解直角三角形的知识的应用复习。在教学设计中，我针对学生对三角函数及对直角三角形的边角关系认识的模糊，计算能力薄弱等特点，我决定把教学的重、难点放在了解决有关实际问题的建构数学模型上。通过对知识点的回顾、基础知识的练习，例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学，绝大部分学生能很好地掌握了如何建构模型的解决方法，很好地达到了本节课的教学目的。

当然由于自己在如何上好一节复习课上还处在摸索阶段，所以在设计与安排上还存在很多不足，如本节课设计容量较大，有4个实际应用问题，学生对每个问题逐个探究解答，时间感觉比较紧。有时就有越俎代庖的感觉;本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题。对一部分学生来说，他们从作辅助线构建直角三角形模型，到利用方程解答题目，直至描述答案都显得轻松自如；但对另外一部分学生来说，他们基础较弱，对数学的应用不是那么得心应手，不会合理构造直角三角形，也不能列出合理的方程进行解答。在课堂教学中，如何面向全体学生，如何培优与转差，这是值得思考的一个问题。

第三篇：解三角形应用举例教案（推荐）

解三角形应用举例教案

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。Ⅱ.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

(2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得

ABsinACB =

ACsinABC

AB = ACsinACB

sinABC = 55sinACB

sinABC =

55sin75 sin(1805175)= 55sin75

sin54 ≈ 65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例

2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC = BC =

asin()= asin()

sin[180()]sin()asin = asin sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =

AC2BC22ACBCcos

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。Ⅲ.课堂练习

课本第13页练习第1、2题 Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业

课本第19页第1、2、3题

第四篇：解三角形应用举例教学设计

解三角形应用举例

教材：普通高中课程标准实验教科书·人教B版·必修5·1.2

一、教学目标 1 知识与技能目标

初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题． 2 过程与方法目标

（1）．通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；

（2）．进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解

决实际问题的能力． 情感、态度与价值观目标

（1）．通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；

（2）．发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。

二、教学重点、难点 重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决． 分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．

三、教学方法与手段 教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法． 学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）

四、教学过程

【教学环节一：复习回顾】 教学内容： 完成下列两个小题：

① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =

0

0，则a =_______，c =_______。

② 如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（），最好不要选用数据（）

(A)

(B)

(C)

(D)

师生互动：学生独立完成上面两个小题，并作出回答，回答时阐明作答依据。

设计意图：（1）复习：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。

（2）为本节课重点知识的学习做一些知识准备。

【教学环节二：问题一的提出与解决】

教学内容：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？

<问题一> 我校科技楼顶矗立着一座天文观测台，如何通过测量，求得天文台顶距地面的高度？

师生互动：分析、探究、讨论、归纳。

① 教师带领学生一起分析题目背景――天文台顶到地面的距离指天文台顶（记为点A）到它在地面上的正射影（记为点B）这两点间的距离，而在这里显然B点无法到达，故不能

直接测量。

② 发动学生分组讨论解决方案：既然不能直接测量A、B两点的距离，我们是否可以考虑利用可测量的其它数据得出所需数据？

③ 讨论过程1：可在适当的地方（能看到顶点A的可到达的一点）选取一点C，对AB进行测量，如图1－A，设CC1表示测量仪器的高，在△AB1C1中只能测得∠AC1B1（即在C1点测的点A的仰角，记为）。要求得AB，须再选取另一点D。设测得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,则在本题中可抽象出两个空间关系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根据正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由

问题得解。即：

和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1.④ 实施方案：学生用自制的仪器对天文台实施测量（可在课下进行），得数据如下：

测点距地面1.5m。

在满足精确度为0.1m的前提下，请同学们计算所求距离。

过程：易解得

所以

因此天文台顶距地面的高度约为

⑤ 反思完善：

米。

提问：下面请同学们回顾刚刚我们的实际操作过程，有无问题存在？

学生经过讨论，（一般会）发现有两个问题，一是在测量过程中的B点或B1点不可到达，实际操作时是大体估计的位置，准确度差；二是学生会觉得还有更简方法。

<发动学生讨论改善方法> 学生分组讨论，然后发表讨论结果。

<讨论过程2> 如图1－B，由于B点或B1点不可到达，所以不考虑图1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而点A是可见的，于是我们可以准确测量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，这样，在△AC1D1中，由、a根据正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，问题得解。即：

和在△AC1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin

，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1

评：这个方法应该是完全可行的，只是计算还有些麻烦。具体的测量和计算由学生课

下完成，写成实践报告。

<讨论过程3> 我们可以做如下测量，在可到达的地方取C、D, 使这两点与点A在地面上的垂线在同一平面内（这样可以保证B、C、D三点共线），如图2，设CC1表示测量仪器的高，在C1点和D1点分别测得A点仰角为，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我们可以利用正弦定理求

求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用

评：此法比较容易操作，但C、D两点的选取多少需要些技巧。

⑥归纳总结：学生对照问题及三种解决方案总结解决该问题的方法及注意事项，并建议学生阅读教材问题一及处理方法，加深对上述方法的认识。

设计意图：从获取数据开始，使学生亲身经历并体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。在讨论过程中，引导学生利用所学知识分三步层层发掘，探寻解决问题的最佳方案，感受数学的应用价值、人文价值、美学价值。在这一环节的教学中，采用认知建构教学理论和合作学习，在学生获取解决问题的方法的同时，注意了学生多元智能的发展。

【教学环节三：问题二的提出与解决】

教学内容：怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？ <问题二> 设A、B是两个海岛，如何在岸边测量它们之间的距离？

师生互动：

①合作探究：学生分组讨论，探寻解决问题的方案。以下是讨论内容与过程：与问题一类似，如果只选一个观测点C，在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。因此需要再选择一个测点D，构造出一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求

出AC和BC，为此应先解△ACD和△BCD。

②演练方案：按照上面讨论的方案，各组同学进行模拟演练：如图3，在岸边适当选取点C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），测得

在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得

.，从而求得AB。

设计意图：深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，加强学生的合作意识，培养学生探寻解决问题的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。【教学环节四：课堂练习】

练习内容：教材第16页，练习A，1

师生互动： ① 学生独立完成练习

② 教师展示答案：先利用投影仪把有代表性的几个学生的解答过程展示在大屏幕上，由学生自由讲评，教师总结。

设计意图：

通过反馈矫正，初步了解学生对本节教学内容的掌握情况，并及时给予调整。

【教学环节五：教学评价】

1、让学生先进行分组总结，思考三个问题：

① 本节课我们研究了什么？提出了什么问题？问题解决了吗？

② 本节课你学到了哪些方法？掌握了哪些技能？

③ 你认为自己对本节课内容掌握的好不好？课后打算怎样进一步巩固？

2、学生代表发表讨论的课堂总结，互相补充。

3、教师进行总结，要点如下：

① 两个问题：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？

怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？

② 运用数学知识解决实际问题的基本思路：首先要在理解题意的基础上将实际问题数学化，然后再利用有关定理、性质、公式解决之。步骤如下：

③ 提高实践能力（如测量的精确度）。

【课后作业】

1、教材P16，练习A，2； 教材P16，练习B，1、2

2、各小组利用自制的仪器，在我们周围选一较高建筑物用本节学习的方法测量其高度。

写出测量报告。附：教学设计说明

一、教学内容的特点及处理

根据教学内容的特点，这一课时的教学重点是解决两个与测量有关的问题。在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位。对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与，合作完成的，而教师很好的充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂。

二、教学目标的确定

根据本节课教学内容的实践性强的特点，在确定教学目标时注重了三方面的要求：一是初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题这一知识与技能的要求；二是强调了学生从实践过程中发现积累知识这一认知建构主义教学模式；三是明确提出了学生要从经历问题解决的全过程中学习这一体验性目标。

三、教学方法的选择

根据上述分析，本节课就特别适用建构主义教学模式下的分析实践、自主探究、合作学习这一十分有利于学生多元智能发展的教学方法。

四、教学过程的说明

高中新课程标准强调教师要在教学中帮助学生形成积极主动的学习态度，要将学习过程变为学生学会学习、学会合作、学会生存、学会做人的过程。

在进行教学设计时，我把教材中的问题一做了小小的改变：测量故宫的角楼改为测量本校天文台顶到地面的距离。这样，学生可以直接参与方案的探寻、数据的获取与分析、结论的得出全过程，可以“从实践中直接获取知识”，在获得真实的过程体验同时，掌握了解决测量问题的方法。而且，这样的实践，学生非常乐于参加，自然有了积极主动的学习态度。通过对问题一解决方案的不断优化，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性和数学的简单化原则。当解决了方案一的瓶颈后，当得到了简单的方案三后，我们从精神上得到了彻底的满足，数学的应用价值和美学价值在这一刻获得了清晰地体现。

第五篇：高中数学复习专题：解三角形的综合应用

§4.7　解三角形的综合应用

最新考纲

考情考向分析

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题

求AB

图形

需要测量的元素

解法

求

竖

直

高

度

底部

可达

∠ACB＝α，BC＝a

解直角三角形

AB＝atan

α

底部不可达

∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a

解两个直角三角形

AB＝

求

水

平

距

离

山两侧

∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a

用余弦定理

AB＝

河两岸

∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a

用正弦定理AB＝

河对岸

∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a

在△ADC中，AC＝；

在△BDC中，BC＝；

在△ABC中，应用

余弦定理求AB

知识拓展

实际问题中的常用术语

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(√)

题组二　教材改编

2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50

m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________

m.答案　50

解析　由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．

3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．

答案　a

解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin

γ＋asin

β

＝a×sin

60°＋asin

15°＝a.题组三　易错自纠

4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于()

A．10°

B．50°

C．120°

D．130°

答案　D

5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.答案　a

解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20

km/h；水的流向是正东，流速是20

km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________

km/h.答案　60°　20

解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos

120°＝1

200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一　求距离、高度问题

1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30

m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案　10

解析　如图，OM＝AOtan

45°＝30(m)，ON＝AOtan

30°＝×30

＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝

＝＝10

(m)．

2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________.答案

解析　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin

β＝.故山高CD为.3．(2018·日照模拟)一船以每小时15

km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4

h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________

km.答案　30

解析　如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得＝，∴BC＝30(km)．

思维升华

求距离、高度问题的注意事项

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

题型二　求角度问题

典例

如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos

θ的值为________．

答案

解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos

120°＝2

800，得BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cos

θ＝cos(∠ACB＋30°)

＝cos∠ACBcos

30°－sin∠ACBsin

30°＝.思维升华

解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义；

(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

跟踪训练　如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．

答案　北偏西10°

解析　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．

题型三　三角形与三角函数的综合问题

典例

(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos

B－bcos

C＝0.(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)＝2sin

xcos

xcos

B－cos

2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．

解(1)因为(2a－c)cos

B－bcos

C＝0，所以2acos

B－ccos

B－bcos

C＝0，由正弦定理得2sin

Acos

B－sin

Ccos

B－cos

Csin

B＝0，即2sin

Acos

B－sin(C＋B)＝0，又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin

A.所以sin

A(2cos

B－1)＝0.在△ABC中，sin

A≠0，所以cos

B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为B＝，所以f(x)＝sin

2x－cos

2x＝sin，令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.思维升华

三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．

跟踪训练　设f(x)＝sin

xcos

x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

解(1)由题意知f(x)＝－

＝－＝sin

2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)；

单调递减区间是(k∈Z)．

(2)由f＝sin

A－＝0，得sin

A＝，由题意知A为锐角，所以cos

A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos

A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．

因此bcsin

A≤.所以△ABC面积的最大值为.函数思想在解三角形中的应用

典例

(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

思想方法指导　已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．

规范解答

解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]

S＝

＝＝.[3分]

故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]

(2)设小艇与轮船在B处相遇．

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]

故v2＝900－＋.∵0

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]

1．(2018·武汉调研)已知A，B两地间的距离为10

km，B，C两地间的距离为20

km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()

A．10

km

B．10

km

C．10

km

D．10

km

答案　D

解析　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×

cos

120°＝700，∴AC＝10.2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D．南偏西80°

答案　D

解析　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．10

海里

B．10

海里

C．20

海里

D．20

海里

答案　A

解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得

＝，解得BC＝10.4．(2018·广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60

m，则河流的宽度BC等于()

A．240(＋1)m

B．180(－1)m

C．120(－1)m

D．30(＋1)m

答案　C

解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60

m，在Rt△ACD中，CD＝＝

＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝

＝60(2－)m，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.5.如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

答案　B

解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝

＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()

A．5

B．15

C．5

D．15

答案　D

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.7．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25

n

mile/h,15

n

mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n

mile.答案　70

解析　设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos

120°＝4

900，∴d＝70，即两船相距70

n

mile.8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100

m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案　100

解析　设坡底需加长x

m，由正弦定理得＝，解得x＝100.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

答案　10

解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．

10.如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1

000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．

答案　1

000

解析　由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1

000，∴BC＝＝1

000.11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

答案　50

解析　如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos

60°＝17

500，解得OC＝50.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin

α的值．

解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos

120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14(海里/小时)．

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin

α＝＝＝.13.(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60

m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________

m.答案　　45

解析　设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan

α，BB1＝60tan

2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，∴AA1·BB1＝900，∴3

600tan

αtan

2α＝900，∴tan

α＝，tan

2α＝，则BB1＝60tan

2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600

km处的热带风暴中心正以20

km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450

km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.答案　15

解析　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1

575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15.15.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?

解(1)∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理，得

＝＝，所以AN＝sin

θ，AM＝sin(120°－θ)．

(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)

＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米．

16．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的取值范围．

解(1)∵m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cos

B＋bcos

C＝0，由正弦定理，得cos

B(2sin

A＋sin

C)＋sin

Bcos

C＝0，∴2cos

Bsin

A＋cos

Bsin

C＋sin

Bcos

C＝0，即2cos

Bsin

A＝－sin(B＋C)＝－sin

A.∵A∈(0，π)，∴sin

A≠0，∴cos

B＝－.∵0

b2＝3＝a2＋c2－2accos

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号．

∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.∴a＋c的取值范围是(，2]．