高中数学必修五——第一章 解三角形

第一篇：高中数学必修五——第一章 解三角形

翱翔教学工作室

学

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理；

3、学会运用正弦定理解任意三角形的两类基本问题。

*知识点清单*

正弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、正弦定理可解决两类问题：（1）2）abck2、在△ABC中，sinAsinBsinC，研究k的几何意义。(k=2R,R为三角形外接圆半径)

1113、SABCah=r(abc)=absinC(其中r

是内切圆半径)22

2*基础巩固训练* 例题讲解 例

1、在ABC中，已知A30，B45，跟踪练习1 在ABC中，已知A300，B600，c

6cm，解三角形。2 在ABC中，若a=1cm，C30,ccm，解三角形。a6cm，解三角形。

例

2、在ABC中，已知

a

bA45，解三角形。当b，b并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。*创新提高*

1、在ABC中，已知bc8，B30，C45，则b，c．

2、在ABC中，如果A30，B120，b12，那么a，ABC的面积是．

3、在△ABC中，若sinA>sinB,则A与B的大小关系为。

4、在△ABC中，a=12，A=60，要使三角形有两解，求对应b的取值范围。5．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）00000000A．30或60B．45或60C．120或60D．30或150 06、在ABC中，已知A120，a7，c5，求b的值。

高中数学必修五——第一章解三角形

1*高考体验*

1.（2007年重庆卷文13）在△ABC中，AB=1，BC=2，A=60°，则AC＝。

c2．（2007年湖南卷文12）．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a

1，C60，则A．

*学习总结*

在SSA类型中，解有三种情况：

1、无解，①sinB>1②钝角对小边

2、一解，①sinB=1（B为直角）②已知角为直角或钝角③根据大边对大角或等边对等角

3、二解：0

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“勾股定理”，“向量法”等方法证明余弦定理，熟记余弦定理。

3、理解余弦定理与勾股定理的关系，应用余弦定理解三角形。

学

*知识点清单*

余弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、余弦定理可解决两类问题：（1）2）

2、余弦公式的变形：

*基础巩固训练*

跟踪练习例题讲解

00

1在 ABC中：已知b=8,c=3,A=60,求a。60例

1、在△ABC中，已知b=3,c=1,A=,求a。

2在ABC中，已知a=9,b=10,c=15 ,求A。例

2、在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，求

A(精确到0.1°)

*创新提高*

1、在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于________

2、在△ABC中，已知AB=3，AC=4，则边AC上的高为 _________

3、在△ABC中，已知a=2，b=4，C=600，则△ABC是_________A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

4、在△ABC中，已知b

c=3，B=30°，则边长a=_____________

5、在△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则

C=__________________

6、在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，试证明此三角形为锐角三角形

.*高考体验*

1.在ΔABC中，已知 a2b2bcc

2，则角A为（）

A

3B 

6C23D3或2

32．已知：在⊿ABC中，ccosbCcosB，则此三角形为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

3、在ABC中，acosAbcosBc

cosC,试用余弦定理证明：ABC为正三角形.4、在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

5、在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosC

学

学习目标

1、熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式；

2、充分运用数形结合的思想，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；

3、学会运用正余弦定理解决距离问题，高度问题，角度问题等实际问题。

*知识点清单*

解三角形的应用可大体上把它分成以下三类： I、距离问题

（1）一点可到达另一点不可到达（课本1.2例1）（2）两点都不可到达（课本1.2例2）II、高度问题（最后都转化为解直角三角形）III、角度问题

*基础巩固训练*

例题讲解

例

1、如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD= 6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，求AB为多少km。

例

2、如图，一游人由山脚A沿坡角为30的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45，则山高CD为多少





跟踪练习

1、B与C为江边两景点，在岸上选取A和D两个测量点，测得ADCD，AD10km，BDA60，BCD135，AB

1

4km，求两景点B与C的距离（假设A,B,C,D在同一平面内，测量结果保留整数）

2、用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.*创新提高*

1、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α（精确到1），坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。

2、如图，天空中有一静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°。已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅锤平面上，求气球离地面的高度？（精确到1m）

3、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航67.5 mile后到达海岛B。然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54 mile后到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，要要航行的距离是多少？（角度精确到1）

/

*高考体验*

1、(2007·山东)如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B

2处，此时两船相距





海里，问乙船每小时航行多少海里？

2、（2009汕头）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求

ACB600，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短

越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？

第二篇：高中数学必修五解三角形教案

高中数学必修五解三角形教案

高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知识总结及练习

解三角形

一、知识点：

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有abc???2R．（两类正弦定理解三角形的问题：

1、已知sin?sin?sinC 两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.）

2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； ②sin??等式中）

③a:b:c?sin?:sin?:sinC； abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2R a?b?cabc???． sin??sin??sinCsin?sin?sinC 1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin? 222④ ?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理： ?b?a?c?2accos(本文来自：www.xiexiebang.com 教师 联 盟 网:高中数学必修五解三角形教案)B 或

?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac??b2?a2?c2 ?cosC?2ab?（两类余弦定理解三角形的问题：

1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.）

2225、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90?为

222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90?为

钝角三角形．

6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三

角

变

换的运

算，如

：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sin

A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222

二、知识演练

1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120° C．30°或150°D．120°

2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）

A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为()． A．90°

B．120° C．130° D．150° 2224．在△ABC 中，a?b?c?bc，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°

5．在△ABC中，A为锐角，lgb-lgc=lgsinA=－lg2, 则△ABC为（）

A.等腰三角形

B.等边三角形 C.直角三角形

D.等腰直角三角形 b

6、锐角?ABC中，B=2A，则a的取值范围是（）A（-2，2）B（0，2）C（2，2）

D2,）

7.在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值范围是

222 ? ???A．（0，6]B．[ 6，?）C．（0，3]D．[ 3，?）

?8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45，若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________ 9.? ABC中，B?60?,AC，则AB+2BC的最大值为_________． 10．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝123，bc＝48，b-c＝2，求a 11.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满

足cosA?2，AB?AC?3．（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，求a的值．

12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC 的面积，满足S?2a?b2?c2)。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。

cosA-2cosC2c-a=cosBb． ?

13、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 sinC（I）求sinA的值； 1（II）若cosB=4，b=2，?ABC的面积S。

高中数学必修五解三角形教案篇二：高中数学必修5：第一章《解三角形应用举例》教案1 金太阳新课标资源网

课题:

2.2解三角形应用举例

第一课时

授课类型：新授课

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

●教学过程

Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课[来源

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解](2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到0.1m)金太阳新课标资源网

启发提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得 ACAB sin?ACB=sin?ABC ACsin?ACB AB =sin?ABC 55sin?ACB =sin?ABC 55sin75? = sin(180??51??75?)55sin75? = sin54?[来源:学&科&网] ≈ 65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例

2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。[来源:学 科 网] 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。??

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解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得 asin(???)asin(???)AC = sin[180??(?)]= sin(?)asin?asin? BC = sin[180??(?)]= sin(?)计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB = AC2?BC2?2AC?BCcos? 分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

?ACD=30，?CDB=45，变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得?BCA=60，?BDA =60? 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206 评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

Ⅲ.课堂练习

课本第14页练习第1、2题

Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

Ⅴ.课后作业

课本第22页第1、2、3题 ●板书设计 ??? 金太阳新课标资源网●授后记

高中数学必修五解三角形教案篇三：1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理)课题:

1．1．1正弦定理

如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。

思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

从而在直角三角形ABC中，a sin?b sin?c sin

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则

同理可得

从而asinA?bsinB，csin??bsin?，a sinAbsinBcsinC Ac B

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA?b sinB?c sinC [理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a sinA?b sinB?c sinC等价于a sinA?b sinB，c sinC?b sinB，a sinA?c sinC 从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA； sin②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

例1．在?ABC中，已知A?450，B?750，a?40cm，解三角形。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?，A?450，解三角形。

练习：已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c ab 练习：1.在?ABC中，已知A?450，C?300，c?10cm，解三角形。2.在?ABC中，已知A?600，B?450，c?20cm，解三角形。3.在?ABC中，已知a?20cm，b?，B?300，解三角形。4.在?ABC 中，已知c?cm，b?20cm，B?450，解三角形。

补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）

课题: 1.1.2余弦定理

如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和?C，求边c

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A ?如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 c ???c?c?a?ba?b??

?ab?b??2a??b

C

aB ??2a??2 ?a?b?2a?b?2 从而

c2?a2?b2?2abcosC(图1．1-5)同理可证

a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB 于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： b2?c2?a2 cosA?2bc a2?c2?b2 cosB?b2?a2?c2 cosC? 2 [理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

例1．在?ABC 中，已知a ?cB?450，求b及A

练习：在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A。

b,A，讨论三角形解的情况 例1．在?ABC中，已知a, 分析：先由sinB? 则C?1800?(A?B)从而c?bsinA可进一步求出B； aasinC 1．当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；

如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若a?bsinA，则有两解；

（2）若a?bsinA，则只有一解；

（3）若a?bsinA，则无解。

（以上解答过程详见课本第9?10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习：（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。

（2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。

练习：（1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型。

（2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。

例3．在?ABC中，A?600，b? 1

练习：（1）在?ABC中，若a?55，b? 16，且此三角形的面积S?C（2）在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?

作业

（1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x、x+

1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

（3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判断?ABC的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2?7x?6?0的根，求这个三角形的面积。

2.2解三角形应用举例

(2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B两点的距离(精确到0.1m)4 a?b?c，求的值 sinA?sinB?sinCa2?b2?c24，求角C 变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？

例

3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

例

4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角?=54?40?，在塔底C处测得A处的俯角?=50?1?。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

例

3、在?ABC中，求证： a2?b2sin2A?sin2B?;（1）22csinC（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

变式练习1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面积S 5

第三篇：高中数学竞赛教材讲义 第七章 解三角形

第七章解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，pabc为半周长。

2abc1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。sinAsinBsinC

111推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinCbcsinAcasinB.222

推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足ab，则a=A.sinasin(a)

1absinC；再证推论2，因为B+C=-A，所2正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=

以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推

absinasin(a)，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，sinAsinBsinAsin(A)

11等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于22

cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，论3，由正弦定理得证。

b2c2a2

2．余弦定理：a=b+c-2bccosAcosA，下面用余弦定理证明几个常2bc222用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则b2pc2qAD=pq.（1）pq2【证明】因为c=AB=AD+BD-2AD·BDcosADB，222所以c=AD+p-2AD·pcosADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcosADC，②

因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得 2222

b2pc2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=pq.pq22222b22c2a2

注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD.2

122212212222（2）海伦公式：因为SABCbcsinA=bc(1-cosA)= bc 44

4(b2c2a2)2122 22[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).122164bc

这里pabc.2

用心 爱心 专心-1-

所以S△ABC=

p(pa)(pb)(pc).二、方法与例题

1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足POQ,QOR，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

sinsinsin()

.uvw

【证明】P，Q，R共线SΔPQR0SOPRSOPQSORQ 

1uvsin(α+β)=uwsinα+vwsinβ 222sin()sinsin，得证。

wuv

2．正弦定理的应用。

例2如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【证明】过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。

00

由题设及BPC+CPA+APB=360可得BAC+CBA+ACB=180。

所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=60。

00

所以EDF=60，同理DEF=60，所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：

例3如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

【证明】延长PA交GD于M，GMO1AAF

.MDAO2AE

APAFPAAE

,由正弦定理，sin(1)sinsin(2)sinAEsin1sin

.所以

AFsin2sin

GMPMMDPM

,另一方面，sinsin1sinsin2GMsin2sin

所以，MDsin1sinGMAF

所以，所以PA//O1G，MDAE即PABC，得证。

因为O1GBC，O2DBC，所以只需证

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.22

2例4在△ABC中，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.【证明】令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

xyyzzx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)-2abc.222

所以a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。

例5设a, b, c∈R，且abc+a+c=b，试求P

+

222

3的最大值。a21b21c21

【解】由题设b

ac，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1ac

101102

则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cosγ≤3sin，333

11022

当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=.,b2,c

3322

41222

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a+b+c+4abc<.22222

【证明】设a=sinαcosβ, b=cosαcosβ, c=sinβ, β0,.2

因为a, b, c为三边长，所以c<, c>|a-b|，222

从而0,，所以sinβ>|cosα·cosβ|.4

因为1=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca),222

所以a+b+c+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

22224

=sinβcosβ+sinαcosα·cosβ·cos2β

141=41>4

=

[1-cos2β+(1-cos2α)cosβcos2β] +

224

1424

cos2β(cosβ-cos2αcosβ-cos2β)411442

+cos2β(cosβ-sinβ-cosβ)=.44

1222

所以a+b+c+4abc<.三、基础训练题

1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=

2

3，则cosAcosB的最大值为__________.42．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则C的取值范围是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，则△ABC的面积为__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.35，cosB=，则cosC=__________.513

AC

1”的__________条件.8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tantan

223

7．在△ABC中，sinA=

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.11．三角形有一个角是60，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平训练题 1．在△ABC中，若tanA=

sinAsinB，试判断其形状。

cosAcosB

1, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________.2

32．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.+22

23．已知p, q∈R, p+q=1，比较大小：psinA+qsinB__________pqsinC.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形.5．若A为△ABC 的内角，比较大小：cot

A

cotA__________3.8

6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.7．满足A=60，a=6, b=4的三角形有__________个.8．设为三角形最小内角，且acos

222+sin-cos-asin=a+1，则a的取值范围是2222

__________.9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。

10．求方程xy1yx1xy的实数解。11．求证：

17sin200.320

五、联赛一试水平训练题

1．在△ABC中，b=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.sinBcosA2cosC

，则△ABC 的形状为____________.sinCcosA2cosB

ABC

3．对任意的△ABC，Tcotcotcot-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为

22．在△ABC中，若____________.4．在△ABC中，sin

A

sinBsinC的最大值为____________.2

5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=3，C，D为动点，且

|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S+T的取值范围是____________.6．在△ABC中，AC=BC，ACB80，O为△ABC的一点，OAB10，ABO=30，则ACO=____________.00

7．在△ABC中，A≥B≥C≥小值为__________.ABC，则乘积cossincos的最大值为____________，最

2226

CAAC

cos=____________.22

8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则sin

9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧AB，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB

于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。

10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。

求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。

11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。

六、联赛二试水平训练题

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：PQ

EF，此处=B。

2sin

2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：

AMP(Pa)，此处P

(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。

24．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E

和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

22222

7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a+b+c+d=8R，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

cosAcosCcosB

.APCRBQ

9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

第四篇：高中数学必修五1.1.2余弦定理

1．1．2余弦定理蕲春三中刘芳

1.1.2余弦定理

蕲春三中刘芳

（一）教学目标

1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：投影仪、计算器

（四）教学设想

[复习回顾]

1、正弦定理；abc2RsinAsinBsinC2、可以解决两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边。

（2）已知两边和一边的对角。

[提出问题]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A 如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则bc

ccabababb2abCa2a2ab2ab2

从而c2a2b22abcosC(图1．1-5)

同理可证a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

7的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a

2cosA2bca2c2b2

cosBb2a2c2

cosC[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

题型一 已知两边及夹角解三角形

例1．在ABC

中，已知a

cB600，求b及A

⑴解：∵b2a2c22accosB

=222cos450

=1221)

=8

∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a22221⑵解法一：∵

cosA,∴A600.asin450,解法二：∵

sinAsinB2.41.4

3.8,21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A600.评述：解法二应注意确定A的取值范围。

题型二 已知三边解三角形

例2．在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）

解：由余弦定理的推论得： b2c2a2

cosA

87.82161.72134.62 0.5543,A56020； c2a2b2

cosB

134.62161.7287.82 2134.6161.70.8398,B32053；

 C1800(AB)1800(5602032053)

90047.题型三 正、余弦定理的应用比较

例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和边a。

思考：求某角时，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，两种方法 有什么利弊呢？

[补充练习]

1、在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）

2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大内角。（答案：A=1200）

[课堂小结]

（1）利用余弦定理解三角形

①．已知三边求三角；

②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

（2）余弦定理与三角形的形状

（五）作业设计

①课后阅读：课本第9页[探究与发现]

②课时作业：第10页[习题1.1]A组第3，4题。

③《名师一号》相关题目。

第五篇：高中数学必修五知识点总结

高中数学必修5知识点

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若bac，则称b为a与c的等差中项． 213、若等差数列an的首项是a1，公差是d，则ana1n1d．通项公式的变形：①anamnmd；②a1ann1d；③dana1；④n1nana1aam1；⑤dn． dnm14、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。

15、等差数列的前n项和的公式：①Sn

na1annn1d． ；②Snna122