闭区间上连续函数性质证明

第一篇：闭区间上连续函数性质证明

§2 闭区间上连续函数性质的证明

教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。教学方法：讲练结合。

在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质．

有界性定理

若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有界．

证

[证法一](应用有限覆盖定理)由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点xa,b,都存在邻域U(x;x)及正数Mx，使得f(x)Mx,xU(x;x)a,b.考虑开区间集

HU(x;x)xa,b, 显然是a,b的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在的一个有限子集

*Uxi;ixia,b,i1,2,,k

覆盖了a,b，且存在正数M1,M2,,Mk，使得对一切xUxi;ia,b有fxMi,i1,2,,k.令

MmaxMi，1ik则对任何xa,b，x必属于某Uxi;ifxMiM．即证得f在a,b上有界．

[证法二](应用致密性定理)倘若f在a,b上无上界，则对任何正整数n，存在xna,b，使得fxnn．依次取n1,2,，则得到数列xna,b．由致密性定理，它含有收敛子列xnk，记limxnk。由axnkb及数列极限的保不等式性，a,b．利用f在点连续，推得

klimfxnkf

k另一方面，由xn的选取方法又有fxnknkklimfxnk

k与(1)式矛盾．所以f在a,b有上界．类似可证f在a,b有下界，从而f在a,b上有界.最大、最小值定理 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值与最小值．

证

(应用确界原理)已证f在a,b上有界，故由确界原理，f的值域fa,b有上确界，记为M．以下我们证明：存在a,b，使fM．倘若不然，对一切xa,b都有fxM．令

第七章第二节第1页

gx1,x[a,b]

Mf(x)易见g在a,b连续,故g在a,b有上界.设G是g的一个上界,则

0gx1,x[a,b]

Mf(x)1,x[a,b] G从而推得fxM但这与M为fa,b的上确界矛盾.故必存在a,b,使fM,即f在a,b上有最大值,同理可证f在a,b上有最小值.介值性定理 设函数f在闭区间a,b上连续，且fafb.若为介于fa与fb之间的任何实数,则存在x0a,b，使得fx0

证[证法一](应用确界原理)不妨设 fafb．令 gx= fx，则g也是 a,b上的连续函数，且ga0,gb0.于是定理的结论转化为：存在x0a,b，使得gx00．这个简化的情形称为根的存在性定理．

记gx0,xa,b．显然为非空有界数集(a,b且b)，故由确界原理，有下确界，记x0inf．因ga0,gb0，由连续函数的局部保号性，存在0，使得在a,a内gx0，在b,b内gx0，由此易见x0a,x0b，即x0a,b．

下证gx00．倘若gx00，不妨设gx00，则又由局部保号性，存在Ux0;a,b，使在其内gx0，特别有gx00x0．但这与x0inf正相矛盾，故必有22gx00．

[证法二](应用区间套定理)同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g在a,b上连续，ga0,gb0，则存在x0a,b，使得gx00．

将a,b等分为两个子区间a,c与b,c．若gc0，则c即为所求；若gc0，则当gc0时记a1,b1a,c，当gc0时记a1,b1c,b。于是有ga10,gb10，且

第七章第二节第2页

a1,b1a,b,b1a11ba． 2再从区间a1,b1出发，重复上述过程，得到：或者在a1,b1的中点c1上有gc10，或者有闭区间a2,b2，满足ga20,gb20，且

a2,b2a1,b1,b2a21ba 22

将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：

(1)在某一区间的中点ci上有gci0，则ci即为所求；

(2)在任一区间的中点ci上均有gci0，则得到闭区间列

an,bn,满足gan0,gbn0，且

an1,bn1an,bn,bnan1ba,n1,2,.n2由区间套定理，存在点x0an,bn,n1,2,.下证．gx00，倘若gx00，不妨设gx00，则由局部保号性，存在Ux0;,使在其内有gx0．而由定理7.1的推论，当n充分大时有an,bnUx0;，因而有gan0．但这与an,bn选取时应满足的gan0相矛盾，故必有gx00

一致连续性定理

若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上一致连续．

证[证法一](应用有限覆盖定理)由f在a,b上的连续性，任给0，对每一点xa,b，都存在x0，使得当xUx;x时有

fxfx考虑开区间集合 Ux,2.(2)xxa,b

2显然H是a,b的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集

Uxi,*ii1,2,,k 2覆盖了a,b．记mini0 1ik2*对任何x,xa,b,xx,x必属于中某开区间,设xUxi;i即xxii.22第七章第二节第3页

此时有xxixxxxi故由(2)式同时有fxfxii2i2i2i

2

和

fxfxi2

由此得fxfx.所以f在a,b上一致连续.[证法二](应用致密性定理)用反证法.倘若f在a,b上不一致连续,则存在某00,对任何0,都存在相应的两点x,xa,b,尽管xx,但有

fxfx0.令11,xna,b，尽管xx,但有

(n为正整数)，与它相应的两点记为xnnnfxn0.(3)

fxn与xna,b．由致密性定理，存在xn的收敛子列xnk，当n取遍所有正整数时，得数列xnkx0a,bk．同时由 设xnkxnkxn1kx0xnkxnkxnkx00xnnkk

kx0k。又得xnkfxnk0，最后，由(3)式有

fxn在上式中令 k，由 f的连续性及数列极限的保不等式性，得到

kfxnk0，0fx0fx0limfxnk这与00相矛盾．所以f在a,b上一致连续．

第七章第二节第4页

第二篇：高数闭区间上连续函数的性质教案（模版）

第17、18课时：【教学目的】

1、掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；

2、熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】

1、介值性定理及其应用；

2、零点定理及其应用。【教学难点】

介值性定理及其应用

§1 10 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值与最小值

最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有

f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）

例如 函数f(x)1sin x在区间[0 2]上有最大值2和最小值0 又如 函数f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x的最大值和最小值都是1 但函数f(x)x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

定理1说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么至少有一点1[a b] 使f(1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点 2[a b] 使f( 2)是f(x)在[a b]上的最小值

注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例 在开区间(a b)考察函数yx

又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值

x1 0x1yf(x)1 x1

x3 1x

2定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

二、零点定理与介值定理

零点 如果x0 使f(x0)0 则x0 称为函数f(x)的零点

定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少有一点使f()0

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)A及f(b)B 那么 对于A与B之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

证 设(x)f(x)C 则(x)在闭区间[a b]上连续 且(a)AC与(b)BC异号 根据零点定理 在开区间(a b)内至少有一点 使得

()0(a<

但()f()C 因此由上式即得

f()C(a<

定理4 的几何意义 连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少交于一点

推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

例1 证明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根

证

函数f(x) x 34x 21在闭区间[0 1]上连续 又f(0)1>0

f(1)2<0

根据零点定理 在(0 1)内至少有一点  使得f()0 即

 34 210(0<<1)

这等式说明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根是 

第三篇：闭区间连续函数性质证明题的解题方法

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闭区间连续函数性质证明题的解题方法 作者：朱云鹏 张天

来源：《学园》2013年第34期

【摘 要】在高等数学的学习过程中，证明题是非常重要的一类题型，也是让学生感到最棘手的一类题型。尤其是刚刚接触高等数学的初学者，适应和掌握高等数学的证明思路需要一定的积累过程。关于“闭区间上连续函数性质”的证明题，本文给出了“直接证明法”与“辅助函数法”两种方法，对其加以总结并给出了相应例题，希望对初学者与考研复习的同学有所帮助。

【关键词】连续函数性质 证明方法 辅助函数 零点定理 介值定理

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）34-0062-01

三 结束语

对于证明类的题型，在高等数学的整个学习过程中需要反复总结方法，并形成一种证明逻辑，灵活运用定理证明各种问题。当然，读者在看完以上证明方法之后，最好能够总结提炼出自己的方法，能真正在应试和学习的过程中找到适合自己的证明方法，真正掌握连续函数的定义及其性质。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]陈文灯、黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社，2012

[3]盛祥耀、葛严麟、胡金德等.高等数学辅导[M].北京：清华大学出版社，2003〔责任编辑：范可〕

第四篇：教学课题§3.二元函数的连续性,有界闭域上连续函数的性质解读

教学课题： § 3.二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质。

教学目的：掌握二元函数连续的定义及其性质，有界闭域上连续函数的性质及其证明方法。教材重点：本节重点是二元函数连续的定义及有界闭域上连续函数的性质，难点是二元函数连续性的讨论。

教学过程：

一．二元函数连续的概念

1． 定义：设f在DR上有定义，p0∈D（聚点或孤立点）。若0,0，当pU(p0,)D时，有 f(p)f(p0)，称f关于D在p0连续。在不致误解的情况下，也称f在p0连续。

若f在D上每一点都f关于D连续，称f为D上的连续函数。说明：（1）。若p0为D的孤立点，f关于D在p0连续。

（2）。若p0为D的聚点，f关于D在p0连续pp0(pD)2limf(p)f(p0)。

（3）。若p0为D的聚点，f在p0不连续，称p0为f的间断点。特别，当f在p0 的极限存在但不等于在p0的函数值时，称p0为f的可去间断点。

y222,xy0,2例1． 设 f(x,y)(xy2)p

0,x2y20.其中p>0。p取何值时，f在（0，0）连续？

y2ln(x2y2),x2y20,例2．设 f(x,y)

讨论f在（0，0）的连续性。220,xy0设 p0(x0,y0),p(x,y)D.记xxx0，yyy0，zf(x,y)f(x0,y0)

=f(x0x,y0y)f(x0,y0)，称z为f在p0的全增量。也可应用全增量描述函数的连续性，即：f在p0连续 (x,y)(0,0)limz0。

记 xzf(x0x,y0)f(x0,y0),yzf(x0,y0y)f(x0,y0)，分别称为f在p0关于x，y的偏增量。若limxz0，则表示一元函数f(x,y0)在x0连续。同样，x0y0limyz0，则f(x0,y)在y0连续。若f(x,y)在p0(x0,y0)连续，则f(x,y0)在x0连续且f(x0,y)在y0连续，反之不成立。

1,xy0,例3．f(x,y) 在（0，0）不连续，但f(0,y)= 0，f(x,0)= 0，分别0,xy0在 y= 0 及 x= 0 处连续。续函数的局部性质：若f在p0连续，则

（1）。0,f在U(p0,)中有界；（2）。若f(p0)0,则0,在U(p0,)中f与f(p0)同号；（3）。若g在p0也连续，则 f±g，fg,续。下面证明复合函数的连续性。

定理7。设u(x,y),v(x,y)在U(p0)中有定义，在p0连续。f(u,v)在uv平面上点Q0(u0,v0)的某邻域内有定义，在Q0连续，则f((x,y),(x,y))在p0连续。其中，f(g(p0)0)在p0也连gu0(x0,y0),v0(x0,y0)。

证明： f在Q0连续, 由定义，0,0,当uu0,vv0 时，有

f(u,v)f(u0,v0)。又 u(x,y),v(x,y)在p0(x0,y0)连续，对上述0，0,当xx0,yy0时,uu0(x,y)(x0,y0)，vv0(x,y)(x0,y0),故 f((x,y),(x,y))f((x0,y0),(x0,y0)<, 即f((x,y),(x,y))在p0连续.3． 初等函数的连续性。

以x，y为变量的基本初等函数，经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的函数称 为二元初等函数。与一元函数类似，二元初等函数在定义域内连续。二．有界闭域上连续函数的性质

1． 有界性与最值定理

定理8。若f在有界闭域DR上连续，则f在D上有界，且能取到最大与最小值。证：先证有界性。用反证法。设f在D上无界，则n,pnD,使f(pn)n，于是得有界点列{pn}D，且{pn}为无限点列。由致密性定理，{pn}有收敛子列{pnk}，设

limpnkp0，则p0为D的聚点。而D为闭域，故p0D。又由f在p0连续可知，kpp0limf(p)f(p0)，因此 limf(pnk)f(p0),这与f(pnk)nkk矛盾，所以f在kD上有界。设Msupf(p),minff(p)。下证M，m 分别为f在D上的最大值与最pDpD小值。若pD,f(p)M.则1在D上连续，从而有界。存在G > 0 , 使

Mf(p)1G,Mf(p)f(p)M1 , 这与M的定义矛盾。因此必存在p1D，使 Gf(p1)M。同理存在p2D,使f(p2)m。

2．一致连续性定理

定理9。若f在有界闭域DR上连续，则f在D上一致连续。即 0,0，2p1,p2D,只要(p1,p2),就有f(p1)f(p2)。

证：若f在D上不一致连续，则00,0,p,pD,使(p,p)，f(p)f(p)0。

，pnD，使(pn,pn)1/n，但是 取1/n,n1,2,,则pnp0，由 }有收敛子列{pnk}，记 limpnk)f(pn)0。由致密性定理，{pnf(pnk,pnk)1/nk1/k,知limpnkp0。又，f在p0连续，因此有 (pnkk)f(pnk))f(p0)f(p0)0，)f(pnk)0 矛盾，lim(f(pnk与 f(pnk于是f在kD上一致连续。

3．介值定理

定理10。设f在有界闭域DR上连续，p1,p2D,且f(p1)f(p2),则

2：f(p1)f(p2),则必存在p0D,使f(p0)。

则F(p1)0,F(p2)0。在D内用有限条折线将p1,p2连接证。记F(p)f(p)，起来。（1），若有一个连接点i，使F(i)= 0，则取p0=i即可。（2），若所有连接点i，都有F(i)≠ 0，则必有一直线段，F在它两端点的函数值异号。不妨设此线段为p11，xx1t(xx1)且 p1(x1,y1),1(x,y)，线段p11的方程：t[0,1]，则

yyt(yy)11F(x,y)F(x1t(xx1),y1t(yy1))G(t)为[0，1]上的连续函数，且G(0)F(p1)0，G(1)F(1)0。因此必存在t0(0,1)，使

G(t0)F(x1t0(xx1),y1t0(yy1))0,记x0x1t0(xx1)，，则 p0D,且F(p0)0,即f(p0)。y0y1t（）0yy1

第五篇：二次函数在闭区间上的最值

二次函数的最值的教学设计

一、教学内容分析

二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

二、教学目标设计

知识与技能

1、掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

2、会利用转化化规思想求解含参数不等式中参数的范围。

过程与方法

1、经历从轴定区间动到轴动区间定的类比推理，培养学生类比推理能力。

2、结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高

学生的综合能力

情态与价值

1、有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养了学生良好的思维习惯。

2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。

三、教学重点与难点

重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

难点：求解含参数的一元二次函数不等式中参数的范围

四、教学方法：类比推理法，讲授发现法

五、教学过程（典型例题分析）

（1）轴定，区间定

方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解，例1若实数x,y满足2x26xy20，则x2y22x的最大值是 26x2x022解：由y6x2x得2 2222xy2xx6x2x2x8xx

问题转化为求f(x)8xx2，当x[0,3]中的最大值，易的f(x)maxf(3)15.1设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。

例2 设x1,x2是方程2x24mx(5m29m12)0的两实根，求x1x2的最值.分析：二次方程有实根，则必须△0,由此先解出m的范围.2

2x12x22(x1x2)22x1x2，利用韦达定理将x12x22表示成关于m的二次函数.4m25m29m12m29m12f(m)解：由韦达定理知xx2()2222

由2x24mx(5m29m12)0有两实根可得它的0

即(4m)242(5m29m12)24m272m960，解得1m

4,时]的最值，易的问题转化为求f(m)m29m12，当m[1m

f(m)maxf(4)32，f(m)minf(1)2.设计意图:结合韦达定理转化成为有关m的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定m的取值范围。

（2）轴定，区间变

方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：① 轴在区间右边②轴在区间左边③轴在区间内

例3 已知f(x)x22x2在x[t,t1]上的最大、最小值分别为M(t)、m(t)，求M(t)、m(t)的解析式.活动：师生一起合作求解函数的最小值m(t)的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值M(t)的表达式，和下面例题4的最小值g(t)的表达式设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性

（2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式

（3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力解：对称轴为x1，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：

22（1）t11，即t0时，M(t)f(t)t-2t

2、m(t)f(t1)t

1（2）t1时，M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(t)t2-2t

2，且1-tt1-1，即（3）0t11t1时，2

M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(1)

1，且1-tt1-1，即1t（4）0t11时，2M(t)f(t)t22t

2、m(t)f(1)1 12t21(t0)t2t2(t)2综上，M(t)，m(t)1(0t1)1t21(t)t22t2(t1)

2（3）轴变，区间定

方法: 与情形2一样.例4已知f(x)x22tx2在x[0,1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式.解：对称轴xt，分三种情况讨论

（1）t0时，g(t)f(0)0

2（2）0t1时，g(t)f(t)2t

（3）1t时，g(t)f(1)32t

2(t0)2综上，g(t)2t(0t1)

32t(t1)

例5 设f(x)x2ax3，当x[2,2]时恒有f(x)a，求a的范围.变式一：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式二：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式三：若将x[2,2]改为x(2,2)时，其它条件不变，求a的范围

设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若f(x)af(x)mina;f(x)af(x)maxa，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点

分析：f(x)a恒成立f(x)mina

a解：对称轴为x，分三种情况讨论

2aa42（1）27 a3fmaxf(2)2a7a

a224a44a42(2)4a2 222ff(a)aa3aa4a1206a2

min242

aa42（3）27a4 a7fminf(2)2a7a

综上，7a2，即a的值域为a[7,2]

（4）轴变，区间变

例6已知y24a(xa)(a0)，求u(x3)2y2的最小值。

分析：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a2，x[a，)

分①32aa、②32aa讨论

解：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a

2由y24a(xa)0得xa

u[x(32a)]212a8a2的对称轴为x32a，分两种情况

①32aa0时，即0a1时，fminf(32a)8a212a

②32aa时，即a1时，fminf(a)a26a9

综上，f(x)min2(0a1)12a8a 2(a1)(a3)

（5）二次函数的逆向最值问题

3例7已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间[，2]上的最大值为3，求实2

数a的值。

分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。

解：（1）令f(2a11)3，得a 22a

32] 此时抛物线开口向下，对称轴为x2，且2[，2

1故a不合题意； 2

（2）令f(2)3，得a

称轴远些，故a1，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对21符合题意； 2

32（3）若f()3，得a，经检验，符合题意。32

综上，a21或a 32

评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。

六、课后小结：本教学设计几乎涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的所有可能性，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。本教学设计最主要还是向同学灌输了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法，让学生的数学思维得到不断延伸，提升他们的综合能力。我感觉课堂给他们的时间可能比较少，课堂内容比较大，需要课后不断巩固。