第一篇：11.3 角的平分线的性质 教案1
§13．3．2 角的平分线的性质
（二）教学目标
（一）教学知识点
角的平分线的性质
（二）能力训练要求
1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
（三）情感与价值观要求
通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．
教学重点
角平分线的性质及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教学方法
探索、归纳的方法．
教具准备
剪刀、折纸、投影片．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
[生]我发现
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求． [生甲]噢，对于，我知道了．
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：（出示投影片）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
学生通过讨论作出下列概括：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得
∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． [师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？
[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换． [师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．
下面请同学们思考一个问题．
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）
讨论结果展示：
1．应该是用
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P107练习．
2．课本P108习题13．3─2．
在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．
Ⅳ．课时小结
今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
Ⅴ．课后作业
课本习题13．3─3、4、5题．
第二篇：角的平分线的性质1教案
角的平分线的性质
（一）教学目标
1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
2．会用尺规作一个已知角的平分线．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1：三角形中有哪些重要线段．
问题2：你能作出这些线段吗？
Ⅱ．导入新课
在学直角三角形全等的条件时有这样一个题：
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．
求证：∠MOC=∠NOC．
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．
思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
议一议：图中是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
看看条件够不够．
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线．
由此，我们总结出作已知角的平分线的已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，分OB于M、N．
别交OA、方法：
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
③作射线OC，射线OC即为所求．
议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
总结：
1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
探索活动
按以下步骤折纸
1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C；把角A对折，使得这个角的两边重合；
2、在折痕（即平分线）上任意找一点O；
过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足；
4、将纸打开，新的折痕与AB边交点为E．我们由此得出：
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC．求证：OE=OD．
Ⅲ． 课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．
Ⅳ．思考
在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线．
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．
第三篇：11.3.1角平分线性质1教案
§11．3．1 角的平分线的性质
（一）教学目标
（一）教学知识点
角平分线的画法、角平分线的性质1．
（二）能力训练要求
1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．
（三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．
教学难点
角的平分线的性质1 教学方法
引导发现、讲练结合法．
教学过程
一．提出问题，创设情境
问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离 ？
导入新课，明确学习目标
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？
二．合作交流 探究新知
探究1 想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．
学生活动：
观看多媒体课件，讨论操作原理．
[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
[生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了． [生3]我们看看条件够不够．
ABAD BCDC
ACAC 所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线来温故是可以知新的．
试一试：老师再提出问题：
段相等的一些问题．看 通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
2（3）作射线OC，射线OC即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．
点拨：
1MN的长”这个条件行吗？ 2 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？ 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结： 1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线． 2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能
2在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
探究2：
做一做1
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ [生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题． 做一做2 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求． [生甲]噢，对，我知道了．
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．
教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？
证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）
说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述 问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：（出示）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话． 学生通过讨论作出下列概括：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三、用一用:
1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
此例放到第二课时讲
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
巩固所学 及时点拨
四．丰收乐园 学生充分交流、各抒己见
教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：
1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离
2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一
3、采用角平分线性质解题强调三个条件。两个垂线段，再加角平分线。
强调：学生还是更多的喜欢采用全等去解题，要试着让学生尽快接受新知识并用新知识去解题。
第四篇：角平分线性质教案
教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能目标
1.掌握作角的平分线和作直线垂线的方法 2.学握角平分线的性质
（二）情感态度目标
1.在探讨做角平分线的方法及角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验。2.培养学生团结合作精神。
教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点： 1.对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2.对于性质定理的运用。
教学工具： 多媒体 课件。直尺，圆规等
二、教学过程设计
（一）复习引入 1.角平分线的定义。2.点到直线的距离。
学生思考，回答问题。（设计意图：复习已学知识，为下面研究创造条件。）
（二）设计活动，引出内容 【活动一】
问题 1 ：利用之前学过的知识，如何确定一个角的角平分线。
问题 2 ：不利用工具，将一张用纸片做的角分成两个相等的角，你有什么办法？（对折）学生活动：学生用量角器去量，让一个学生上讲台用折纸的方法得到角平分线展示给大家。
（设计意图：掌握作角的平分线的简易方法）
假如我们要将纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？那么我们除了使用量角器外，我再给大家介绍另一种仪器——角平分仪（展示课件）如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BD=DC，将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
（总结学生思路——利用三角形全等）
（设计意图：训练书写数学语言）
引导学生观察这个角分仪，根据这个角分仪的制作原理，通过小组讨论总结，归纳出作一个已知角角平分线的方法。（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
通过小组讨论的结果，让同学在黑板上演示作图过程及复述画法，再利用多媒体演示，加深印象，并强调尺规的规范性。讨论结果展示：
作已知角平分线的方法： 已知：∠ AOB ．
求作：∠ AOB 的平分线． 作法：
（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N.（2）分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧．两弧在∠ AOB 内部交于点 C.（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求.设置问题：
1.在上面作法的第二步中，“大于 MN 的长”这个条件改成“小于或等于
MN 的长”不行吗？
2.第二步中所作的两弧交点一定在∠ AOB 的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯。）学生讨论结果总结：
1.不行，若改成“小于或等于 MN 的长”，那么所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。
2.若分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠ AOB 的内部，也可能在∠ AOB 的外部，而我们要找的是∠ AOB 内部的交点，• 否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠ AOB 的平分线了。应用：平分平角∠ AOB(学生口述)由平分平角的步骤，得出结论： 作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
【活动二】
拿出用纸片做的角 ∠ AOB，在这个角的角平分线上任意取一点 P，过点 P 分别向角的两边做垂线，量一量点 P 到将两边的垂线段的长有什么关系？再在这个角平分线上任取 3 个点，也分别向角的两边做垂线，看看这些点到角的两边的垂线段的长有什么关系？
学生动手操作，通过观察，用尺子测量，得出结论： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
这是从直观上得出的结论，从理论上要证明这个结论。
（设计意图：解决实际问题，拓展学生思维，引导角平分线的性质定理总结，规律化规范语言，深化记忆定理）
证一证： 引导学生证明角平分线的性质，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明。学生板眼，挑出问题，纠正问题，得出完整过程。
由此，得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。用符号语言表示为： ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用：证明线段相等。练习：判断正误，并说明理由：
（1）如图 1，P 在射线 OC 上，PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，则 PE=PF。（2）如图 2，P 是∠ AOB 的平分线 OC 上的一点，E、F 分别在 OA、OB 上，则 PE=PF。
（3）如图 3，在∠ AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，若 P 到 OA 的距离为 3cm，则 P 到 OB 的距离边为 3cm。
（三）知识回顾 1.角平分线的画法
2.角平分线的性质：角平分线的点到角两边的距离相等
（四）板书设计
第五篇：《12.3 角的平分线的性质》教案1
《12．3角的平分线的性质》教案
教学目标
1．掌握角平分线的画法．
2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 3．掌握、运用角的平分线的性质．
教学重难点
1．利用直尺和圆规作已知角的平分线． 2．角平分线的性质及其应用．
教学过程
一、提出问题，思考引入
下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．(利用“边边边”定理证明)通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．(分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性)讨论结果展示，作已知角的平分线的方法． 已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线． 作法：
(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．(2)分别以M、N为圆心，大于
1MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C． 2(3)作射线OC，射线OC即为所求．
二、思考、探索
同学阅读教材48页的第二个思考，量一量，回答问题．
我们发现PD＝PE，于是我们猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 我们做出了猜想，下一步我们来验证这个猜想是否正确． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB． ∴∠PDO＝∠PEO=90°．
在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE．
这样我们验证了我们的猜想，通过(1)明确已知和所求；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程．这样的步骤，我们证明了一个几何命题，得到了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
下面请同学们思考一个问题． 思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)？(学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导)引导学生总结出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．利用这一结论解答上题．
三、例题
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
教师板书，解释说明证明过程．
四、随堂练习
课本第50页的练习第1、2题．
五、课堂小结
今天，我们学习了角平分线的画法和性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们要灵活运用性质，解决问题．
六、课后作业
课本第51页习题12．3的第2、3、4、5题．
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