93-15年全国数学建模试题解法归纳

第一篇：93-15年全国数学建模试题解法归纳

93-15年全国数学建模试题解法归纳

赛题

解法

93A非线性交调的频率设计

拟合、规划

93B足球队排名

图论、层次分析、整数规划

94A逢山开路

图论、插值、动态规划

94B锁具装箱问题

图论、组合数学

95A飞行管理问题

非线性规划、线性规划

95B天车与冶炼炉的作业调度

动态规划、排队论、图论

96A最优捕鱼策略

微分方程、优化

96B节水洗衣机

非线性规划

97A零件的参数设计

非线性规划

97B截断切割的最优排列

随机模拟、图论

98A一类投资组合问题

多目标优化、非线性规划

98B灾情巡视的最佳路线

图论、组合优化

99A自动化车床管理

随机优化、计算机模拟

99B钻井布局

0-1规划、图论

00A DNA序列分类

模式识别、Fisher判别、人工神经网络 00B钢管订购和运输

组合优化、运输问题 01A血管三维重建

曲线拟合、曲面重建

01B公交车调度问题

多目标规划

02A车灯线光源的优化

非线性规划

02B彩票问题

单目标决策

03A SARS的传播

微分方程、差分方程

03B 露天矿生产的车辆安排

整数规划、运输问题

04A奥运会临时超市网点设计

统计分析、数据处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理

数据拟合、优化

05A长江水质的评价和预测

预测评价、数据处理

05B DVD在线租赁

随机规划、整数规划

06A出版社书号问题 整数规划、数据处理、优化

06B Hiv病毒问题 线性规划、回归分析

07A 人口问题 微分方程、数据处理、优化

07B 公交车问题 多目标规划、动态规划、图论、0-1规划 08A 照相机问题 非线性方程组、优化

08B 大学学费问题 数据收集和处理、统计分析、回归分析 09A 机械制动问题 物理模拟、综合评价

09B 病床分配问题 排队论、拟合、预测、综合评价 10A 储油罐问题 数值方法、工程方法或几何方法等近似方法 10B 世博会影响力问题 层次分析法、模糊综合评判

11A 城市表层土壤重金属污染分析 插值拟合方法、聚类分析、特征线法 11B 交巡警服务平台的设置与调度 0-1整数规划、多目标规划、最短路覆盖 12A葡萄酒的评价 数据收集和处理、相关系数法、聚类分析 12B 太阳能小屋的设计 多目标优化模型、数据处理 13A 车道被占用对城市道路通行能力的影响 多元回归，元胞自动机，数据统计 13B 碎纸片的拼接复原 TSP，误差评估匹配，基线误差，模拟退火，图论 14A 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 微分方程、最优控制策略 14B 创意平板折叠桌 多目标优化，参数方程，直纹曲面 15A 太阳影子定位 灰色预测，遗传算法，优化模型

15B “互联网+”时代的出租车资源配置 聚类分析，数据拟合，计算机仿真

第二篇：历年全国数学建模试题及解法归纳(2015)

历年全国数学建模试题及解法归纳

赛题

解法

93A非线性交调的频率设计

拟合、规划

93B足球队排名

94A逢山开路

94B锁具装箱问题

95A飞行管理问题

95B天车与冶炼炉的作业调度

96A最优捕鱼策略

96B节水洗衣机

97A零件的参数设计

97B截断切割的最优排列

98A一类投资组合问题

98B灾情巡视的最佳路线

99A自动化车床管理

99B钻井布局

00A DNA序列分类

00B钢管订购和运输

01A血管三维重建

图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划

图论、组合数学

非线性规划、线性规划

动态规划、排队论、图论

微分方程、优化

非线性规划

非线性规划

随机模拟、图论

多目标优化、非线性规划

图论、组合优化

随机优化、计算机模拟

0-1规划、图论

模式识别、Fisher判别、人工神经网络

组合优化、运输问题

曲线拟合、曲面重建

赛题

解法

01B 公交车调度问题

多目标规划

02A车灯线光源的优化

非线性规划

02B彩票问题

单目标决策

03A SARS的传播

微分方程、差分方程

03B 露天矿生产的车辆安排

04A奥运会临时超市网点设计

04B电力市场的输电阻塞管理

05A长江水质的评价和预测

05B DVD在线租赁

06A出版社书号问题

06B Hiv病毒问题

07A 人口问题

07B 最佳交通线路查询

08A 照相机问题

08B 大学学费问题

09A制动器试验台的控制方法分析

09B 眼科病房的合理安排

10A储油罐的变位识别与罐容标定

10B 2010上海世博会影响力的评价

11A城市表层重金属污染分析

整数规划、运输问题

统计分析、数据处理、优化

数据拟合、优化

预测评价、数据处理

随机规划、整数规划

整数规划、数据处理、优化

线性规划、回归分析 微分方程、数据处理、优化多目标规划、图论

非线性方程组、优化

数据收集和处理、统计分

析、回归分析

物理模型，计算机仿真

综合评价，决策与预测

微积分理论，数值计算

综合评价，统计分析

综合评价，统计分析

11B交巡警服务平台的设置与调度

图论，动态规划 12A葡萄酒的评价

综合评价，统计分析 12B太阳能小屋的设计

多目标规划

13A车道被占用对城市道路通行能力的影响

交通流理论，排队论 13B碎纸片的拼接复原

算法

14A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

微分方程，最优化问题 14B创意平板折叠桌

微积分，几何

赛题发展的特点：

1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，需要使用计算机软件。问题的数据读取需要计算机技术，如00A（大数据），01A，13B（图象数据，图象处理的方法获得），04A，07B（数据库数据，数据库方法，统计软件包）。计算机模拟和以算法形式给出最终结果。

2.赛题的开放性增大 解法的多样性，一道赛题可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。10B 3.试题向大规模数据处理方向发展

4.求解算法和各类现代算法的融合13B 14B

第三篇：数学建模试题

数学建模夏令营

A题

深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。

从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。

未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：

1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求； 2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

注：附件1-4中有一些人口信息供参考，从深圳统计年鉴等可得到更多的数据；

从http://www.xiexiebang.com/view?fid=view&id=1&oid=menunews&ntyp=A10B032 可获得一些医学数据。

第四篇：2014高教社杯数学建模A题解法

摘要

本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的实际问题，以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件解决了题目所要求解的问题。

针对问题（1），在合理的假设基础上，利用物理理论知识、解析几何知识和微元法，分析并求解出近月点和远月点的位置，即139.1097。再运用能量守恒定律和相关数据，计算出速度v1（近月点的速度）=1750.78m/s,v2（远月点的速度）=1669.77m/s，最后利用曲线的切线方程，代入点（近月点与远月点）的坐标求值，计算出方向余弦即为相应的速度方向。针对问题（2）

关键词：模糊评判，聚类分析，流体交通量，排队论，多元非线性回归

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析

2.1问题（1）的分析 首先根据问题的假设、题目中所提供的数据及图片分析，可以知道嫦娥三号绕月球的轨道是由圆形轨道变为椭圆形轨道，借助开普勒定律、能量守恒定律求解出近月点的速度。

为了确定近月点和元月点的精确位置及相应的速度方向，我们建立以赤道（月球的赤道）平面为xoy平面、月心为原点、月心与零度经线和零度纬线交线的交点的连线为坐标轴的坐标系和赤道（月球的赤道）平面为xoy平面，为极轴（月球的极轴）为z轴建立空间直角坐标系，x轴与极坐标系的轴相重合。

首先根据着陆点的经度、纬度及月球的半径求解出着陆点和近月点（带参数)的空间直角坐标。其次利用两点间的距离公式，并借助MATLAB软件求解出近月点与着陆点最短距离。从而计算出（近月点的经度）=。

最后利用卫星的轨迹是以月心为其中一个焦点，以近月点与远月点的距离为长轴的椭圆，从而求解出卫星的轨迹方程，再运用隐函数求导的应用的知识，求解出在近月点和远月点的方向导数，进而求解近月点和远月点方向余即为近月点和远月点的速度的方向。2.2问题（2）的分析

首先在根据题意，将嫦娥三号软着陆问题，分为6个阶段依次为主减速、快速调整、粗避障、精避障、缓慢下降、自由下降，我们先将6个阶段分为4个阶段，依次为第一阶段（主减速和快速调整）、第二阶段（粗避障）

第三阶段(精避障),第四阶段（缓慢下降和自由下降）。其次在第一阶段

粗避障阶段，嫦娥三号悬停在月球表面约2400米上方，对星下月表进行二维和三维成像，利用遗传算法的思想，从图像中先随机选取部分点，能直接从三维图像中得知该点的海拔高度，再分别扫描这些点附近的地貌，找出一些地势平坦的区域，我们用区域内所有点与中心点海拔的均方差作为地势判断依据之一，保留这些坐标，并进行重新组合，并改变某些坐标以便能获得其他新区域的坐标，再次搜索地势平坦的区域，重复进行多次搜索，直到没有出现崎岖地势的时候，我们将此时地势最平坦的地方作为全局最优降落地点

三、模型假设

1、不考虑空间飞行器上各点因燃料消耗而产生的位移；

2、在对卫星和空间飞行器进行轨道估计时，认为作用于其上的所有外力都通过其质心；

3、卫星和空间飞行器的运动是在真空中进行的；

4、卫星只受重力影响，空间飞行器除自身推力外只受重力影响；

5、卫星的观测图片及数据精准；

6、四、变量与符号说明

C0 一条车道的基本通行能力 连续车流的车头间距 n 条车道的基本通行能力 排队长度 车流量

横断面通行能力系数车流量 持续时间 L C y x1 x2 x3

五、模型建立与求解

5.1 问题(1)的分析、模型建立与求解 5.1.1建模准备（1）开普勒定律

开普勒第一定律开普勒第一定律开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律开普勒定律开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为开普勒定律开普勒第

三定律开普勒定律开普勒第三定律，也称调和定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。由这一定律不难导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿的万有引力定

a3律的一个重要基础。用公式表示为2K开普勒定律 T 这里，是行星公转轨道半长轴，是行星公转周期，是常数。（2）万有引力

万有引力：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。即： M1M2，r2 11 其中M1，M2为两物体的质量，G6.6710Nm.2kg.2（牛顿每平方米二次方千FG 克）

5.1.2 模型的建立

根据以上的分析，建立以月球赤道平面为xOy平面,月心为原点O、Ox为月心与零度经线和零度纬线交线的交点的连线，Oz为极轴（月球的极轴），Oy与Ox和Oz满足右手标架，建立空间直角坐标系(如图5-1所示）。图5-1 卫星绕月轨迹及软着陆轨迹

由于着陆点在球面上且近月点与远月点是由月球的经度、纬度及高度唯一确定，在此为了便于计算 将极坐标转化为空间直角坐标，并代数题中相关数据，反解出经度。极坐标转化为空间直角坐标 xrsincos即：yrsinsin zrcos（5.1.1）

x'rsin(90-）cos(-)'yrsin(90-）cos(-)（5.1.2）z'rcos(90-）

距离公式：

d（5.1.3）其中：为纬度；为经度；r为嫦娥三号距月心的距离；d为嫦娥三号距着陆点的距离；根据能量守恒、开普勒第二定律（面积定律），建立以下模型 即： r1v1r2v2

（5.1.4）1122mv1mghmv2mgH22 则近月点的速度，近月点的速度：

v1 （5.1.5）v2

其中：m为卫星的质量，h1为海拔高度，h近月点距月球表面的距离； r1hr0h1，r2Hr0h1，r0月球半径，H远月点距月球表面的距离，g月球重力加速度，v1近月点的速度，v2近月点的速度。5.1.3模型的求解

5.1.3.1近月点与远月点的位置

根据题目所给数据以上分析，可知： 0,h15000m,r01737013m,h12641m 将以上数据代入（5.1.1）式可得，着陆点及近月点的空间直角坐标分别为：

x0r0sin(90)cosr0sin(9019.51)cos44.12y0r0sin(90)sinr0sin(9019.51)sin44.12（5.1.6）zrcos(90)r0cos(9019.51)00 x'rsin(90-）cos(-)=(r0h)cos'yrsin(90-）sin(-)=-(r0h)sin z'rcos(90-）=0

（5.1.7）再将（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得关于与d（近月点和着陆点距离）的函数，？利用Mathematica 5.0编程求解可得：-139.107 5.1.3.2近月点与远月点的速度大小及方向

近月点与远月点的速度方向，即为相应速度在x轴与y轴方向上的投影（如图5-2所示）

图5-2近月点与远月点的速度方向示意图 由图易知：

5.2 模型二的建立 5.2.1模型准备 5.2.1.1系统模型

1、着陆器的动力下降段一般从15km左右的轨道高度开始，下降到月球表面的时间比较短，在几百秒范围内，所以可以不考虑月球引力摄动。月球自转速度比较小，也可忽略。因此，可以利用二体模型描述系统的运动。建立图5-2所示的着陆坐标系，并假设着陆轨道在纵向平面内，令月心为坐标原点，Oy指向动力下降段的开始制动点，Ox 指向着陆器的开始运动方向。则着陆器的质心动力学方程可描述如下: rvv(F/m)sin/r2r2 [(F/m)cos2v]/r ⑴ mF/ISP 式中:r,,和m分别为着陆器的月心距、极角、角速度和质量；v为着陆器沿r 方向上的速度；F为制动发动机的推力(固定的常值或0）；ISP为其比

为月球引力常数；为发动机推力与当地水平线的夹角即推力方向角。冲；

图5-3 月球软着陆坐标系

动力下降的初始条件由霍曼变轨后的椭圆轨道近月点确定，终端条件为着陆器在月面实现软着陆。令初始时刻t00，终端时刻tf不定，则相应的

初始条件为 r0 终端约束为

rfrL,vf0,f0 ⑶ rLh0,v00,0o ⑵

式中:rL为月球半径；h0为初始轨道高度；o为轨道角速度。月球软着陆的最优轨道设计就是要在满足上述初始条件和终端约束的前提下，调整推力大小和方向9使得着陆器实现燃料最优软着陆，即要求以下性能指标达最大。Jmdt 0tf 5.2.1.2模型归一化

在轨道优化过程中，由于各状态变量的量级相差较大，寻优过程中可能会导致有效位数的丢失。通过归一化处理可以克服这一缺点[9]，提高。计算精度。令rrefr0,mtef

m0，则r/rref,v/vref,vrefISpI7 2F/Fref,Frefmrefvref/rref,m/mref,t/tref ,rref/vref,。那么，着陆器的动力学方程可改为： v22(F/m)sin/

  [(F/)cos2]/F/ISP相应的初始条件和终端约束变

为：

1,0, 000/ fr1/r0,vf0,f0 性能指标改写为：

第4期朱建丰等:基于自适应模拟退火遗传算法的月球软着陆轨道优

化 道优化问题转化为多参数优化问题,再利用SQP 方法求解。虽然避开了没有明确物理意义的参数 猜测,但是SQP的本质仍然会使该方法遇到病态 梯度、初始点敏感和局部收敛问题。曾国强[6]和徐 敏[7]分别用二进制和浮点数GA对着陆轨道进行 了优化,避免了初值猜测,得到的结果也比较满意。但是,鉴于GA局部搜索能力较差的缺点,会使得 GA的优化精度不够或优化效率不高。相对而言, 国外对月球软着陆轨道的优化问题研究比较少。

GA最早是由Holland教授提出的[8],它是 一种随机优化方法,具有不依赖问题模型、适用面 广和鲁棒性强的优点,并已应用在航天器的轨道 优化设计中[1]。然而,GA在实际应用中存在收 敛速度慢和早熟等问题,不具备“爬山”的能力。模拟退火算法(SAA)最早是由Kirkpatrick等提 出的,它是一种启发式随机搜索算法,具有很强的 局部搜索能力和“爬山”能力,但是SAA产生的 新解不及GA丰富,对全局的了解甚少,寻优过程 很慢。因此,可以将GA和SAA的优点结合起 来,扬长避短,构成高效、鲁棒的新算法。本文将GA

和

SAA

有机地结合,形成自适应

模拟退火遗传算法(ASAGA),并将其应用到月 球1软着

陆的最系

优

轨统

道

设模计

中

。型

着陆器的动力下降段一般从15 km左右的轨 道高度开始,下降到月球表面的时间比较短,在几 百秒范围内,所以可以不考虑月球引力摄动。月 球自转速度比较小,也可忽略。因此,可以利用二 体模型描述系统的运动。建立图1所示的着陆坐 标系,并假设着陆轨道在纵向平面内,令月心O 为坐标原点,Oy指向动力下降段的开始制动点, Ox指向着陆器的开始运动方向。则着陆器的质 心动力

学

方

程

可

描

述

如

下

:

•r= v

•v=(F /m)sinψ-μ /r2+ rω 2

•θ= ω

•ω =-[(F /m)cosψ+ 2vω] /r

•m=-F /ISP(1)式中:r,θ,ω和m分别为着陆器的月心距、极角、角速度和质量;v为着陆器沿r方向上的速度;F 为制动发动机的推力(固定的常值或0);ISP为其 比冲;μ为月球引力常数;ψ为发动机推力与当地 水图平1线 的月

夹球

角软即着推

力陆

方极

向坐

角标

。系

Fig.1 Polar coordinate system of lunar soft landing 动力下降的初始条件由霍曼变轨后的椭圆轨 道近月点确定,终端条件为着陆器在月面实现软 着陆。令初始时刻t0= 0,终端时刻tf不定,则相 应的初

始

条

件

为

r0= rL+ h0,v0= 0,ω0= ωo(2)

终端约束为 rf= rL,vf= 0,ωf= 0(3)式中:rL为月球半径;h0为初始轨道高度;ωo为 轨道角速度。

月球软着陆的最优轨道设计就是要在满足上 述初始条件和终端约束的前提下,调整推力大小 和方向,使得着陆器实现燃料最优软着陆,即要求 以下性

能

指

标

达

最

大。

J=∫tf0•mdt(4)2 归一化

在轨道优化过程中,由于各状态变量的量级 相差较大,寻优过程中可能会导致有效位数的丢 失。通过归一化处理可以克服这一缺点[9],提高

计算精度。令rref= r0,mref= m0,则–r= r /rref, v= v /vref,vref= μ /rref, ISP= ISPrref/μ, F= F /Fref, Fref= mrefv2ref/rref, m= m /mref, ω=ω r3ref/μ,–t= t / tref,tref= rref/vref,–θ=θ。那么,着陆器的动力学方

程可改写为

–r= v

v=(F / m)sinψ-1 /–r2+–r ω 2

–θ= ω

ω=-[(F / m)cosψ+ 2 v ω] /–r

m=l);%步长dx x1 = x + dx;%下一个估计点

x1 =(x1 < l).*l +(l <= x1).*(x1 <= u).*x1 +(u < x1).*u;%将x1限定在区间[l,u]上 fx1 = feval(f,x1);df = fx1-fx;

if df < 0|rand < exp(-Ti*df/(abs(fx)+ eps)/TolFun)%如果fx1

end

if fx < fo xo = x;fo = fx1;

end end

%模拟退火法中的mu^（-1）定理 function x = Mu_Inv(y,mu)

x =(((1+mu).^abs(y)-1)/mu).*sign(y);

function [xo,fo] = genetic(f,x0,l,u,Np,Nb,Pc,Pm,eta,kmax)% 遗传算法求f(x）最小值 s.t.l <= x <= u

%f为待求函数,x0初值，l，u上下限，Np群体大小，Nb每一个变量的基因值（二进制数）

%Pc交叉概率，Pm变异概率，eta学习率，kmax最大迭代次数 N = length(x0);

%%%%%确定各变量缺省值 if nargin < 10

kmax = 100;%最大迭代次数缺省为100 end

if nargin < 9|eta > 1|eta <= 0

eta = 1;%学习率eta,(0 < eta < 1)end

if nargin < 8

Pm = 0.01;%变异概率缺省0.01 end

if nargin < 7

Pc = 0.5;%交叉概率缺省0.5 end

if nargin < 6

Nb = 8*ones(1,N);%每一变量的基因值（二进制数）end

if nargin < 5

Np = 10;%群体大小（染色体数）end

%%%%%生成初始群体 NNb = sum(Nb);

xo = x0(:)';l = l(:)';u = u(:)';fo = feval(f,xo);X(1,:)= xo;for n = 2:Np

X(n,:)= l + rand(size(x0)).*(ufX;%将函数值转化为非负的适合度值 fXm = fX1(nb);

if fXm < eps %如果所有的染色体值相同，终止程序

return;

end

%%%%%复制下一代

for n = 1:Np

X(n,:)= X(n,:)+ eta*(fXmX(n,:));%复制准则

end

P = gen_encode(X,Nb,l,u);%对下一代染色体编码

%%%%%%随机配对/交叉得新的染色体数组 is = shuffle([1:Np]);

for n = 1:2:Np1;

X(n,m)= bin2dec(P(n,b1:b2))*(u(m)1)+ l(m);%解码方程

end end

第五篇：数学建模2010-2015试题

2015年 A: 太阳影子定位

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

B：“互联网+”时代的出租车资源配置

出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。

请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题：

(1)试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。(2)分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？

(3)如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。2014年 A:嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

B: 创意平板折叠桌

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

试建立数学模型讨论下列问题：

1.给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

2013年 A:车道被占用对城市道路通行能力的影响

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。

车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：

1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。

注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。

B:碎纸片的拼接复原

破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1.对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件

1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达（见【结果表达格式说明】）。

2.对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件

3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。

3.上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。【数据文件说明】

(1)每一附件为同一页纸的碎片数据。

(2)附件

1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19条碎片。(3)附件

3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11×19个碎片。(4)附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11×19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中每一碎片对应两个文件，共有2×11×19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。【结果表达格式说明】

复原图片放入附录中，表格表达格式如下：

(1)附件

1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1×19的表格；(2)附件

3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11×19的表格；(3)附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11×19的表格；(4)不能确定复原位置的碎片，可不填入上述表格，单独列表。

2012年 A:葡萄酒的评价

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1.分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2.根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3.分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

B:太阳能小屋的设计

在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。

在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。

在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。

问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。

2011年 A: 城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、„„、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

B:交巡警服务平台的设置与调度

“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。2010年 A：储油罐的变位识别与罐容表标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性

B:2010年上海世博会影响力的定量评估

2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。