初中数学竞赛题典--整除（本站推荐）

第一篇：初中数学竞赛题典--整除（本站推荐）

初中数学竞赛题典 数的整除

题l 所有四位数中，有（）个数能同时被入3，5，7和11整除？

（A）l（B）2（C）3（D）4

题2 设n是 100到 200之间的自然数，则满足7n＋2是5的倍数的。共有（）个．

题3一个六位数a1991b能被12整除，这样的六位数共有多少个．

（A）4（B）（C）8（D）12

题4 已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（），题6 n是一个两位数，它的数码之和为a．当n分别乘以3，5，79以后得到4个乘积．如果其每一个积的数码之和仍为a，那么，这样的两位数n有（）．

题8设某个n位正整数的n个数宇是1，2，„，n的一个排列，如果它的前k个数字所组成的整数能被k整除，其中k＝1，2，„，n，那么就这个n位数为一个“好数”．例如，321就是一个三位“好数”，因为1整除3，2整除32，3整除321．那么六位“好数”的个数为（）．

题9能被11整除的最小的九位数是

题12在自然数1，2，3，„，1990，1991中．不能披7整除的数有（）个．

题13将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，在小于l30的自然数中，魔术数的个数为（）．

题14在所有的五位数中，各位数字之和等于43且能被11整除的数是（）。

题15定义：如果n个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整除．那么，叫这组数为n个数的祖冲之数组。例如：60，120，180这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组，（因（60×120）÷（60＋120），（60×180）÷（60＋180），（120×180）÷（120＋180）都是整数）．请你写出一组四个数的祖冲之数组．

题16 设a、b、c为整数，且a＋b和ab均可被c整除，求怔：a3＋b3可被c2整除．

题17 设a、b、c为正整数，求证：a3（b－c）＋b3（c－a）＋c3（a－b）可被a＋b＋c整除．

题19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。它有如下性质：每一行，每一列及两条对角线上的数的和都相同，这个值称为魔方和。求证：每一个3×3大小的魔方的魔方和都能被3整除。

题20 求证：如果两个不可约分数的和是整数，那么这两个分数的分母相同。

题21 设a和b为自然数，使得a2＋ab＋1可被b2＋ba＋1整除，求证：a＝b。

题22 自然数a、b、c、d都可以被ab－cd整除，其中ab－cd＞0。求证：ab－cd＝1。

题23 使求出所有这样的自然数n，使得n＋3可被n＋3整除。

3题26 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到一个9位数并且能被27整除。求证：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。

题27 任意给定一个自然数A，把A的各位数字按逆序写出来，形成一个新的自然数A′。试证：A－A′是9的倍数。

题28 设n是正奇数，试证：1n＋2n＋„＋9n－3（1n＋6n＋8n）能被18整除。

题29 求证：10L011442443被1001整除。

200个0 题30 求证：7|（2222 555

5＋5555

222

2）。

题31 求证：对任何自然数，数（2n－1）n－3都可被2n－3整除。

题33 给定自然数a，b和n，已知对任何自然数k（k≠0），数a－kn能被b－k整除，证明：a＝bn。

题34 设k为正奇数，证明1＋2＋„＋n整除（1k＋2k＋„＋nk）。

题35 求证：467|5123＋6753＋7203。

题36 已知最简分数的倍数。

m111m可以表示成1L。试证：分子m是质数199

3n231992n

题37 设p与q是自然数，满足整除。

p1111。求证：p可被质数19791Lq2313181319

题38 设p为奇质数，求证：1111aL的分子a是p的倍数。23p1b

题39 给定m111m，其中是不可约分数，试证：m能被5整除。1Ln2320n

题40 试证：将和1111mL写成一个最简分数时，m不会是5的倍数。2340n

题41 设n是正偶数，求证：（2n－1）不整除（3n－1）。

题42 试证：对每一个自然数n，数11997＋21997＋„＋n1997不能被n＋2整除。

题46 一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b，如果a恰是b的3被，我们称a是一个“希望数”。（1）请举例说明：“希望数”一定存在。（2）请证明：如果a，b都是“希望数”，则一定有729|ab。

题47 求证：对任何自然数n，都有120|n5－5n3＋4n。

题48 求证：n（n2－1）（n2－5n＋26）可以被120整除。

题49 试证：n（n－1）（n－4）可以被360整除。222

nnn37n题50 设n是任意自然数，求证：是整数。5315

题51 若干个整数的和能被6整除，求证：这些数的立方和也能被6整除。

题52 今有6根金属棒，每根的长度都是1m，能否将它们锯成10根27cm长、12根15cm长和25根6cm长的短棒？（锯棒时的损耗可忽略不计）

题53 柯楼南契大蛇有1000个头。神话中的大力士能一次用剑看去1，17，21或33个头，但是大蛇又相应地生出10，14，0或48个头。问大力士能战胜柯楼南契大蛇吗？

题54 一天我发现了如下的魔术钱币机：如果我放入一枚一分的硬币，出来一枚5分硬币和一枚一角硬币；如果我放进一枚5分硬币，机器给出四角硬币，而如果我放如一枚一角硬币，我取回3枚一分的硬币．我用一枚一分的硬币开始，反复进行以上过程，能出现我刚好有一美元硬币的机会吗？验证答案．

题55 是否存在两个不等于0的整数a和b，其中之一可被它们的和整除，另一个可被它们的差整除？

题56 一个凸n边形被划分成黑、白两色的若干个三角形，使得任意两个三角形要么有公共的边（这时它们染不同颜色），要么有公共顶点，要么没有公共顶点。而多边形的每条边都是某个黑色三角形的边。证明：3|n。

题57 求证：不存在整数a、b、c、d，使当x＝19时，ax3＋bx2＋cx＋d＝1，以及当x＝62时，ax3＋bx2＋cx＋d＝2。

题58 公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前三个数字之和等于后三个数字之和，刚称这张车票是幸运的．试证：所有幸运车票号码的和能被13整除，题59

某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号．如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．例如号码0734，因0＋7＝3＋4，所以这个号码的购物券是幸运券．试证：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除．

第二篇：初中一年级数学竞赛题(五)

初中一年级数学竞赛题

（五）一、选择题（每小题5分，共50分）

1.某班有30名男生和20名女生，60%的男生和30%的女生参加了天文小组，该班参加天文小组的人数占全班人数的（）

A 60%

B 48%

C 45%

D 30% 学校： 班级： 学生姓名： 考号： 2.214.52123（）151.3223A 712217729B 

C 

D  204545203.数轴上的点A,B,C分别对应数：0,1,x，C与A的距离大于C与B的距离，则（）

A x0

B xC x1

D x1 24.对任意的三个整数，则（）

A 它们的和是偶数的可能性小

B 它们的和是奇数的可能性小 C 其中必有两个数的和是奇数

D 其中必有两个数的和是偶数

5.油箱装满油的一辆汽车在匀速行驶，当汽车恰剩油箱体积的一半时就加满油，接着又按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有则V与t的图象是（）

6.将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形（）

A 不可能是等腰三角形

B 不可能是直角三角形 C 不可能是等边三角形

D 不可能是钝角三角形 7.有一个最多能称16kg的弹簧秤，称重时发现，弹簧的长度cm与物体的

重量kg之间有一定的关系，根据下表考虑：在弹簧称重范围内，弹簧最长为（）cm

A 18

B 19

C 20

D 21 8.If a1体积的汽油，设油箱中所剩汽油量为V（升），时间为t（分钟），3aa1 for all integers(整数)a, and b =8, then b is（）2A 36

B 72

C 666

D 1332

9.有一串数：2003,1999,1995,1991,，按一定的规律排列，那么这串数中前（）个数的和最小.A 500

B 501

C 502

D 503 10.“希望杯”四校足球邀请赛规定：

（1）比赛采用单循环赛形式；

（2）有胜负时，胜队得3分，负队得0分；（3）踢平时每队各得1分.比赛结束后，四个队各自的总得分中不可能出现（）A 8分

B 7分

C 6分

D 5分

二、填空题（每小题5分，共50分）

11.如果方程2003x4a2004a3x的根是x1，则a________.12.图1中的大、小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于74平方厘米，则阴影三角形的面积是________平方厘米。

13.如果xx10，则x32x23________.14.If a,b,c,d are rational numbers(有理数)，ab≤9，cd≤16 and abcd25，then 2badc_________.15.a和

16.如图2，ABCD是平行四边形，E在AB上，F在AD上，SBCE2SCDF则SCEF18都是正整数，则a________.2aa21SABCD1，4________.17.用中心角为120，半径为6cm的扇形卷成一个圆锥（没有重叠），这个圆锥的表面积是________cm

18.画一条直线，可将平面分成2个部分，画2条直线，最多可将平面分成4个部分，那么，画6条直线最多可将平面分成________个部分。19.a与b互为相反数，且ab 24aabb________.，那么25aab1

320.正整数m和n有大于1的最大公约数，且满足mn371.则mn______.三、解答题（21、23题各15分，22题20分）要求写出推算过程

21.某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图3所示的大正方形。请问该同学的想法能实现吗？如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由。

22.规定：正整数n的“H运算”是

①当n为奇数时，H3n13;

11（其中H为奇数）22如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果是11，经过3次“H运②当n为偶数时，Hn算”的结果是46。

请解答：

（1）数257经过257次“H运算”得到的结果。

（2）若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值。

23.救灾指挥部，将救灾物品装入34个集装箱：4吨的集装箱3个，3吨的集装箱4个，2.5吨的集装箱5个，1.5吨的集装箱10个，1吨的集装箱12个，那么至少需要多少辆载重5吨的汽车才能一次将这些救灾物品运走？提出你的运输方案。

第三篇：初中数学常用数学思想方法典题赏析

初中数学常用数学思想方法典题赏析

德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道：数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

不仅数学家体悟到了数学的魔力，就连希腊著哲学家柏拉图都在号召：哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。

那么，作为初中生，如何才能学好数学呢？有人曾调侃：数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!数学思想方法是数学的灵魂和精髓。数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其它科学中，都被广为使用。

所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，如建模思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想。所谓数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。初中学生应掌握的数学方法有配方法、换元法、待定系数法、参数法、构造法、特殊值法等。数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。

典例赏析

一、整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________

解析：把“a-b”看成一个整体代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7

二、方程思想

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

例2：一个凸多边形的内角和是外角和2倍，它是_________边形.解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和(n-2).180

设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2).180

=2*360，解得n=6

三、函数思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

例3:某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20kg。

（1）现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元能使商场获利最多？

解析：（1）解：设每千克应涨价x元，根据题意得：

（10+x）*(500-20x)=6000

解得x1=5,x2=10

为了使顾客得到实惠，应取x=5(元)。

（2）设每千克涨价x元时，总利润为y元。

y=（10+x）*(500-20x)

=-20x^2+300x+5000

=-20(x-7.5)^2+6125

根据二次函数性质，当x=7.5时，ymax=6125

四、转化思想

所谓的转化思想就是指在求解数学问题时,如果对当前的问题感到生疏困惑,可以把它进行变换,使之化生疏为熟悉，化繁为简,化难为易，从而使问题得以解决的思想方法.例4;解分式方程。

解析：把分式方程去分母转化为整式方程即可。

两边乘（x+3）(x-1)

2(x-1)=(x+3)

2x-2=x+3

x=5

经检验：x=5是方程的解

五、类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

例5：类比正比例函数研究反比例函数。

解析：通过研究正比例函数的图像、性质及应用，类比研究反比例函数的图像、性质及应用。

六、数形结合思想

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化、具体化.例6：证明勾股定理。

解析：美国第二十任总统伽菲尔德借助下列图形证明了勾股定理。

七、分类讨论思想

分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的的策略.例7：若等腰三角形的一个内角为70，则它的顶角为

度．

解析：分类讨论，（1）该内角为顶角时，顶角为70；

（2）该内角为底角时，则顶角为：180-70*2=40

故顶角为70或40.八、归纳与猜想的思想方法

所谓归纳与猜想,就是在解决数学问题时,从特殊的、简单的、局部的例子出发,探寻一般的规律,或者从现有的已知条件出发,通过观察、类比、联想，进而猜想出结果的思想方法.例8：观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为

（用含n的代数式表示）．

解析：

第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．

故答案为：（n+1）2．

第四篇：初中数学竞赛之数的整除教案

二． 数的整除

设有两个整数a,b(b0)，如果存在另一整数q，使得aqb，则称a能被b整除；或称b能整除a；

b

若b能被a整除，我们称a是b的倍数，b是a的约数，并记作b|a.若a不能被b整除，则记作aŒ我们曾学过下述有关整除的判别法则：

（1）被2或被5整除的数的特征是：末位数字能被2或5整除（2）被4或25整除的数的特征是：最后两位数字能被4或25整除（3）被8或125整除的数的 特征是：最后三位数字能被8或125整除（4）被3或9整除的数的特征是：各位上的数的和能被3或9整除

（5）被11整除的数的特征是：奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除 1.判断下列各数那些可以被4整除？那些可以被25整除？

457565

456575

184062

186240

333325436 2.789789、456456456456、67896789、***819能被11整除吗？

在解题过程中我们常用到下述性质 性质1 若ab，bc，则ac.证明：a|b,b|c

存在正整数p和q，使得bpa，cqb

代入可得cq(pa)(qp)a

a|c

性质2 若证明：a|b,a|c，则a|(bc)

a|b,a|c

 存在正整数p和q，使得bpa，cqa  bcpaqa(pq)a

 a|(bc)

同理我们可以得到：若a|b,a|c，则a|(k1bk2c)，其中k1,k2为整数 性质3 若a,b互质，且abc，则a|c 性质4 若a,b互质，且 a|c,b|c，则ab|c 例1.已知九位数32a35717b能被72整除，求a,b

提示：能被72整除则一定既能被8整除又能被9整除

练习1： 已知七位数13xy45z能被792整除，求x,y,z

例2.|9x5y）已知7|(13x8y)，证明：7（证明：因为9x5y5(13x8y)7(8x5y)又又 7|(13x8y)， 7|5(13x8y)

7|(8x5y)

7|[5(13x8y)7(8x5y)]

|9x5y）即7（注：对于“已知式子A能被数p 整除求证式B能被p”类题目，其思路为：将B表示成被7整除的代数式的形式即可；比如此题，就可以将B表示为：Bk1A7C（其中C为含字母x、y的整式）的形式。其问题在于如何找出k2和C，我们可以采取以下方法：

我们不妨假设9x5yk1(13x8y)7(k2xk3y)

我们知道对任意的x,y 等式左右两边恒等，所以化简成MxNy0的形式后各系数为零 可得：k213k1958k1，k3

由于k2,k3都是整数，所以简单试验可得：

k15,k28,k35

进而得到：9x5y5(13x8y)7(8x5y)

|9xy5）y8 吗？)

思考：反过来，已知7（，你能证明7|(1x3练习2：已知x,y为整数，17|(2a3b)，证明：17|(9a5b)

练习3 已知x,y为整数，且5|(x9y)，证明：5|(8x7y)

练习4 已知a,b,c,d,m,n为整数，n|(mab)且n|(mcd)，证明：n|(adbc)

第五篇：2010年全国初中数学竞赛题参考答案

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若，则的值为（）．

（A）（B）（C）（D）

解： 由题设得．

代数式变形，同除b

2．若实数a，b满足（A）a解．C，则a的取值范围是（）．

或 a≥4（D）

≤a≤4（B）a4（C）a≤因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．

方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=则AD边的长为（）．（A）（C）（B）（D），BC=，CD＝，解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．

由已知可得

BE=AE=于是 EF＝4＋，CF＝．，DF＝2，过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法

＝．

4．在一列数

……中，已知，且当k≥2时，（取整符号（）．

(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 表示不超过实数的最大整数，例如，），则

等于由和，……，可得，，因为2010=4×502+2，所以高斯函数；找规律。

=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点

P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．

（A）（2010，2）（B）（2010，（C）（2012，））（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点记，其中，的坐标分别为（2，0），（2，．）．

根据对称关系，依次可以求得：，令，同样可以求得，点，的坐标为（）．，），即

（．），由于2010=4502+2，所以点

二、填空题 6．已知a＝ 解：0 的坐标为（2010，－1，则2a＋7a－2a－12 的值等于 ．

由已知得(a＋1)＝5，所以a＋2a＝4，于是

2a＋7a－2a－12＝2a＋4a＋3a－2a－12＝3a＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①

32322

222，②

由①②，得

． ③

（分）．，所以，x=30． 故

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

解：

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线即为所求的直线．

设直线的函数表达式为，则

解得 ,故所求直线的函数表达式为．

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．

解：

．

． 见题图，设因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

又因为 FC＝DC＝AB，所以 即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值，则正整数的最小值为 ．

解： 因为为的倍数，所以的最小值，其中由于表示的最小公倍数．

，因此满足

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）的正整数的最小值为．

满足

满足△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆求证：

．

证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.…………（20分）

12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有

解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．

因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得 …………（10分）

（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（设抛物线因为∠COD＝∠BOD＝，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.，0）.（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，所以∠COB=

.（i）将△中点，点延长绕点O顺时针旋转）.=，得到△.这时，点(，2)是CO的的坐标为（4，到点，使得，这时点（8，）是符合条件的点.（1，）；延长

到（ii）作△点，使得＝关于x轴的对称图形△，这时点E２（2，），或（2，得到点）是符合条件的点．）.…………（20分）所以，点 的坐标是（8，13．求满足．解：由题设得所以（1）若的所有素数p和正整数m.，由于p是素数，故，令，或

.……（5分），，k是正整数，于是故，从而.所以（2）若当时，有

解得，令

…………（10分），k是正整数.，故 由于，从而，或2.是奇数，所以，从而

.于是这不可能.当时，时，，无正整数解.；当，无正整数解；当综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）

14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.…………（5分）

另一方面，设这n个数中的任意4个数

是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于，因为，所以

.，因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）设由所以，i=1，2，3，…，n.，得，即，≥11.…………（15分）

≤故≤60.所以，n≤61.，综上所述，n的最大值为61.…………（20分）

（64至91为荆州市全国三等奖至一等奖）