高中数学教改随笔1[合集5篇]

第一篇：高中数学教改随笔1

高中数学教改随笔1

王家明

在教学过程中，我觉得教学反思主要是针对以下几方面进行：对数学概念的反思、对学数学的反思、对教数学的反思。

1、重视视基础知识、基本技能的基本方法的反思－学会数学的思考。

高中数学的教学目标是让学生学会数学。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光看世界。而对于教师来说，他还要从“教”的角度去看数学，他不仅要能“做”，还应当能够教会别人去“做”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开。

下面从不同的角度来看：以函数为例从逻辑的角度看，函数概念包含定义域、值域、对应法则等以及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的函数，这些内容是函数教学的基础，但不是全部。从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其它内容也有联系。方程的根可以作为函数的图象与x轴交点的横坐标；不等式的解就是函数的图象在轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合；数列也就是定义在自然数集合上的函数；同样的几何内容也与函数有着密切的联系。

2、学生学数学的自我反思

高中数学与初中数学最大的区别是从实际的算到理论的思。当初中学生第一次走进高中数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自已的认识和感受。教师不能把他们看成“空的容器”，按着自已的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”，这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多地把学生头脑中的问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来，使他们感到数学中的问题所在，思路的矫正，以及对数学更深入的理解。

3、教师对教数学的反思。

课堂上学生是主体，教师是主导，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动为主动，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？我们在上课、评卷、答疑解难时，我们自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，但反思后发现，自已的讲解并没有很好地针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味地想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。

高中数学教改随笔2

王家明

身为第一线的数学教师，从课改理念的学习，到深入课堂进行课改实验，我从中受益匪浅，可以说“在数学教学中有得也有失。下面我从得与失两方面来进行一下高一年级的教学反思如下： 成功的经验：

1、教学中能从学生的生活实际出发，让学生感悟到数学学习的意义与价值。

由于传统的数学教学过分注重机械的技能训练与抽象的逻辑推理，而忽视与生活实际的联系，以致于使许多学生对数学产生了枯燥无用、神秘难懂的印象，从而丧失学习的兴趣和动力。而我是一名课改教师通过学习和实践，基本上能摒弃过去“斩头去尾烧中段”的做法，课堂教学中努力做到从生活中导入，在生活中学习，到生活中运用。如：我在上等比数列一课时，不再像传统教学那样采取直接从概念导入，而是提前让学生进行课前预习有关细胞分裂若干次以后的细胞总数问题，独立探索，由此知道细胞在整个分裂过程中不断增加个数，而这一问题可以由等比数列来处理，再让学生验证自己估计的是否准确。让学生在活动中捂出等比数列数学模型与实际的细胞分裂问题的关系，建立了数学中等比数列的概念。在学习的过程中学生就明白了等比数列的重要性，产生了学习的内在动力。

2、课改使我改善了学生的学习方式，提升了学生学习的水平。

通过学习课标，我意识到：“学习方式不仅决定一个人的思维方式，而且成为一个人的生活方式。传统课堂一味地采用灌输和强化训练的方式进行教学，这样，学生是踏着别人踩出来的路走，而新的学习是要学生自己去找路走。“课堂教学中我不仅能关注让学生获取知识，同时也能关注学生获得这些知识的过程，让学生在获取知识的过程中提升学习水平和能力。存在问题：

一是组织学习活动还不够到位。由于学生人数过多，学生在学习活动中参与面不是很广，往往让少数学生参与，而大部分学生成为“旁观者”；二是关注弱势群体不够，课堂上经常会看到这样的情况：有部分学生能积极举手发言，能与同伴进行合作与交流、能热情地投入到自主探索之中，是课堂舞台的主角，能给课堂教学带来生机与活力，但细细观察会看到，在这热闹的背后又隐藏着许多被遗忘的角落，总有一部分学生在成为观众和听众，可想而知，久而久之形成“差生”是必然的。根据两点所想到的：要想改变上面的状况，我认为：首先要深入学习《数学课程标准》并进行理论联系教学实践的深入思考与研究。教学中设计的学习活动一方面要具有一定的现实性、挑战性；而应该设计具有层次性和开放性的活动，使得各个层次的学生都有事可做，有事可想，都有收获，都有体验。再次在教学中我们不能纯粹追求活动数量的多少，而应以追求活动的质量为宗旨，这样才可以保证各个学习活动都有充分的时间与空间。还可以确定不同层次的教学目标。力争做到“好生吃得饱、后进生吃得了”，可提供各种层次的弹性练习，让不同层次的学生进行选择、实践和解决。

高中数学教改随笔3

王家明

以前上课时，我经常只顾自己的想法，觉得讲的题目越多越好，很少顾及学生的思维与感受。慢慢地，发现学生上课听得懂，自己做却不会，后来意识到，我们现正在倡导的许多新课程理念就是来自于这个理论背景，也使我的困惑茅塞顿开。原来我的教学方式大大压缩了学生的自主思考、自主探究的时间和空间，打击了学习数学的积极性，磨灭了自我体验、自我创新的个性。因此，学生的思维被定向了，无法进行更好的建构，形成不了有效的认知结构，导致我们的教学效果不好。所以，我们必须转变教育观念，以学生为本，以学生的发展作为教学改革的出发点，走出一条优质高效、可持续发展的新路。基于对以上问题的分析和认识，经过实践，我得到以下几点教学感悟：

1、关注学生的“预习”，淡化课堂笔记。

对于有些浅显易懂的课应该让学生提前预习，给学生一个自主学习的机会；对于有些概念性强、思维能力要求比较高的课则不要求学生进行预习。为什么呢？对于大多数学生而言，他们的预习就是把课本看一遍，他们似乎掌握了这节课的知识。但是，他们失去了课堂上钻研问题的热情；他们失去了思考问题时所用到的数学思想方法；更为可惜的是，由于他们没有充分参与解决问题的过程，失去了直面困难、迎难而上的磨练！

2、以老师的无为造就学生的有为。

在教学中，我经常坚持这样一种做法：上课时老师尽量少讲，主要是给学生腾出大量的时间与空间，让学生更主动、更积极、更亲历其境地去学。正是由于有了学生的深层次的参与，才能取得过去我们以老师的教为主所不可能达到的高效。我在备课时想的第一个问题，也是想得最多的一个问题就是：什么内容是非讲不可的？什么内容可以不讲？

3、练在讲之前，讲在关键处。

只有在老师讲解之前学生已经深入地钻研了问题，他才能有“资本”与老师进行平等的对话、交流，他才能真正成为学习的主体。因为在老师讲的过程中，学生必然在心里把自己的想法和老师的想法进行了对比、评价。“练在讲之前”的另一个重要作用在于能够让学生充分感受到数学求知的无穷乐趣。

新课程理念下的高中数学教学现在进行时，我希望通过课堂教学的不断实践，追求这样的一种境界：让学生真正成为课堂学习的主人；让学生充分感受数学求知的乐趣；让学生在不断的探究和合作中发现规律；让学生在解决问题的过程中全面提高素质。

高中数学教改随笔4

王家明

“研学后教”课堂教学改革的核心目的是：彻底实现学习方式的转变，构建具有特色、充满活力、高效和谐的课堂教学模式。

“研学后教”的宗旨，依然是把时间还给学生，把主动权还给学生，充分发挥学生的主体作用，使用导学案，提倡小组合作学习。那么，一个问题出现了，教师讲的时间的必须要少了。山东昌乐，他们成功的经验是“721”课堂教学方式。2的其中一个含义就是教师的讲授时间不超过百分之二十，40分钟不超过10分钟。

围绕着这个“2”来，意思就是，这10分钟，对于我们来讲太宝贵啦，特别是象我这样一直以来都是以“讲”为乐的老教师，更是相当地宝贵。

首先，我们一起反思几个问题：

1.教师的感慨：上学期讲过的，现在学生一点也想不起来！前几天刚做的题目，现在考他依然不会！

2.学生的感慨：上课听老师讲，我很明白，公式定理我也都记得，可是稍微一变，就不会！

3.行为主义学习理论认为，学习是刺激与反应之间的联结；认知主义学习理论认为，学习要通过主体的主观作用来实现。作为我们一线教师，应该怎么来理解这些学习理论？

4．新课程降低了“三垂线定理”的要求，应该怎么来理解这一变化？ 限于时间关系，我们只提出这四个反思。下面，我准备从图式的角度来谈谈个人的一些看法，肯定不成熟，希望各位老师斧正。

先说第3个，就是咱们普通教师应该怎么来理解这些十分抽象的学习理论。先看课程标准以及考试说明，是这样确定知识的学习层次的：了解、理解、掌握。说得再俗一些，就是明白、记住、会用。我们老师组织学生学习，肯定能很好的完成第一层：让班级的绝大多数学生明白。这就回到前面我们提出的问题了，学生的感慨：老师讲的也明白，公式定理也都记得，可是就不会解题。问题出在哪个环节？会不会是出现在“会用”的环节？于是乎，加大训练量，反复训练，归纳题型，查漏补缺，这样去做，效果未必理想，量的变化未必能带来质的变化。

究竟是哪个环节？应该是第二个，也就是“记住”这个环节有漏洞。这样讲，似乎有点矛盾，学生不是说了嘛，公式定理我都记得，可是就不会！那么，我们这里说，学生记忆得公式定理有问题，要记忆概念公式定理的图式。

图式这个理论，出现的很早了。是人脑中已有的知识经验的网络。简单说，学习的过程就是以往的有关图式与新问题发生反应的过程。新的概念学习完毕后，头脑中又形成了关于新概念的图式。就这样，原有的图式不断得到精制，同时又有新的图式不断形成，滚雪球一样，越滚越大，越滚越结实。

高中数学教改随笔5

王家明

数学图式可以有以下几种形式： 一．概念型图式

有些貌似简单的数学符号，本身就是一个图式。诸如对数符号，华师何小亚教授有一次讲过，他听过许多老师讲对数，可是没有一个老师讲 的图式。这个图式应该是：它是一个数，的这么多次方等于。这里有几个问题：

1．如果教师不点破，学生是很难想到这个图式的，所以，宝贵的10分钟，要讲图式。

2.既然如此，那么对数的教学未必按照课本的来，有一个办法可以尝试。就是先引导学生回忆加法，然后定义逆运算减法，引入符号“-”，再回忆乘法，然后定义逆运算除法，引入符号“ ”，复习指数运算，然后定义逆运算对数，引入符号“ ”。

3.这样来讲对数的图式，那么学生就能容易接受对数恒等式了。4.有些图式，教师要尽可能使用通俗的语言去形容。荷兰数学教育家弗赖登塔尔就认为，学生接受数学事实的最好语言是本民族语言，尽量俗一点。二.公式型图式

一些数学公式就是图式，点到直线距离公式，很多学困生是用不好的。教师就要帮助他们，特别是分子，如果用“将点的坐标代入直线方程左侧”来形容，就会好很多。象二倍角余弦公式，更要讲图式，是 的二倍，这里的 可以是任意关于角的表达式。三.原理型图式 如讲的二项式定理，就是一个典型的原理型图式。要说这个图式的特征，有多少项？按照什么规则展开？有什么规律？特别要指出其中的 就象两个盒子，里面可以装任何东西，只要它有意义。

在这里，我们就顺便谈谈如何帮助学生记忆图式。这个环节很重要，正好也是回答前面我们所提出的反思，对于绝大多数学生来说，明白了，记住了，再配备适当的训练，这个训练的主题应该是“提取图式”，已经就很幸福了，一般的考试也就能取得比较满意的分数了。对于层次比较高的学生，再训练他的“灵活运用”。

课堂提问，是检查学生记忆图式的良好手段。但是，只提问一个人，其他同学旁听，浪费时间。可以让学生制作图式卡片，小组合作学习中加一个环节，学生两人一组，互相提问。如果每节课能拿出5分钟做这个工作，效果是相当好的。提问什么？要讲究些，比如，甲同学可以问乙同学：关于二项式定理，你能回答哪些？若乙同学回答不上来，甲同学就可以提醒乙。四．方法型图式

反证法、数学归纳法、用定义证明函数单调性、诱导公式的应用等等都是方法型图式。这里我们谈谈关于诱导公式这个图式的精制，通过学习，先形成诱导公式的图式，这个时候的图式是看起来比较零散的接近20个公式，学生看见这么多公式，很恐慌。然后将其精制，就概括成了一句话“奇变偶不变，符号看象限”，但是这个概括“学术味道”太浓，很多学生是不理解的，太抽象，适合教师用，不适合学生使用。经过了解，很多学生一直是不理解这句话的。这个时候，就要使用比较“俗气”的语言再次精制，比如讲清楚，遇见哪些角不变名称，哪些角要改变名称，学生就会用了。但是诱导公式这个图式的精制还没有完成，为什么？我们看看学生是怎么计算 就知道了。没有得到进一步精制的学生是使用诱导公式一个一个的代入，很容易错。而优秀生是这样计算的：“砍掉一圈”，剩，靠近，差，接下来用 的三角函数值以及象限内符号就能够计算了，心算都可以完成。五.收敛型图式

有些图式很精练，往往是一个符号，或者是一段话，也可能是一个简单的表达式，还可能是一个图形。尽管形式很简单，但是包含的信息非常多。

立体几何初步关于空间位置关系的定理（公理）一共13条，其中涉及垂直的，大概有一半吧。某论坛上曾经有一次争论，就是要不要让学生默写这些。记住这些，是必须的，但是这些定理（公理）记忆的再熟悉，对于一些学生（比如说文科学生）在解题时依然感觉困难重重。为什么？主要原因是这些图式是零散的，没有进行一定的收敛。现在我们就回答前面所提出的反思“要不要讲三垂线定理？”，答案是不需要的，甚至可以说，三垂线定理早就应该退出立体几何的公理体系。因为我们有一个非常好的图式来替代它，就是“如果一条线垂直于三角形的两条边，则必然垂直于第三条边”，学生如果用这个图式进行垂直的分析，会很容易得到答案的。

第二篇：高中数学“学科教改项目”参考

高中数学“学科教改项目”参考

1．高中数学课堂有效教学的案例研究

2．高中数学必修课程教学安排的研究与实践(本课题可以研究模块顺序调整后，如何进行新课程教学)

3．有关高中数学课堂教学设计研究与实践、提升学生课堂活动参与的教学设计研究与实践（如：问题串设计的研究与实践、课堂引入设计的研究与实践、例题教学设计的研究与实践、课堂小结设计的研究与实践、作业设计的研究与实践等；概念课教学设计的研究与实践、规律课教学设计的研究与实践、习题课教学设计的研究与实践、复习课教学设计的研究与实践、试卷讲评课教学设计的研究与实践等）

4．课标要求和大纲要求的对比研究与实践（如：函数的课标要求和大纲要求的对比研究、向量课标要求和大纲要求的对比研究、立体几何课标要求和大纲要求的对比研究、解析几何课标要求和大纲要求的对比研究、导数及其应用课标要求和大纲要求的对比研究、概率与统计课标要求和大纲要求的对比研究、不等式课标要求和大纲要求的对比研究、三角恒等变换课标要求和大纲要求的对比研究）

5．对新增内容的教学研究与实践（算法教学研究；统计案例教学研究；框图、推理与证明教学研究等）

6．高中数学探究性活动内容的选择与实施策略

7．初高中衔接教学的研究与实践

8．课堂中教师“追问”的研究与实践

9．课堂教学中教师“小结”的研究与实践

10．教学目标制定的策略研究

11.高中数学课 “三维” 教学目标的确定、设计与达成的研究与实践

12．高中数学不同类型试题的编制研究

13．高中数学教学中情感、态度、价值观的评价研究与实践

14．对学生数学学习过程评价的研究与实践

15．纸笔测试终结性评价的研究与实践（纸笔测试对数学学科的学习评价很具特色，纸笔测试这种终结性评价形式，如何开发评价功能，改进评价策略，达到结果评价与过程评价，定量评价与定性评价的具体结合，是一个值得研究的课题）

16．课堂教学中即时反馈研究与实践

17．小组合作活动低效的原因及对策研究

18．信息技术与数学课程内容整合的案例研究（如：运用信息技术手段，展示数学知识的发生和发展过程的案例研究、信息技术与课堂教学的融合、信息技术与研究性学习的融合、以信息技术为主要手段的数学课程和教学资源库的建立、网络环境对于数学新课程实施的促进作用、信息技术对于学生数学能力（如图形直观能力、逻辑思维能力或运算能力等）的影响与促进）

19．原有数学课程内容资源的开发与实践（如函数的背景与实例的收集与积累）

20．新增数学课程内容资源的开发与实践（如概率与统计的背景与实例的收集与积累）

21．高中数学新课程实施中学生自主学习的研究与实践（如：数学教学中学生自我监控能力的培养研究、数学文化对于促进学生数学学习的研究、数学教学中渗透数学探究、研究性学习的研究等）

22．研究性学习（如何指导学生选择数学探究、数学建模的课题、数学探究、数学建模活动与课堂教学的关系研究与实践）

23．有效小组合作学习的研究与实践

24．练习、作业分层设计的研究与实践

25．易错点的提前干预的研究与实践

26．高中数学教学中“错误”资源开发和利用实践研究

27．高中数学学困生的个案研究

28．高中数学学生作业（试卷）有效讲评方法的研究与实践

29.高中数学探究性活动开展的案例研究

30．学生问题意识培养的策略与实践

说明：学科教改项目非理论研究，是行动研究，指向改进教学。呈现方式除文本外，可以是实物，如一个软件的开发、对某一实验教具的改进或制作、也可以是量表等，这是区别与一般课题的特征。教改项目的要求：不止于理论、不止于认识、不止于论文发表，不止于成文，是在研究基础上的行动研究。

第三篇：高中数学教学随笔

高中数学教学随笔

在教学过程中，我觉得教学反思主要是针对以下几方面进行：对数学概念的反思、对学数学的反思、对教数学的反思。

1、重视基础知识、基本技能的基本方法的反思－学会数学的思考。

高中数学的教学目标是让学生学会数学。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光看世界。而对于教师来说，他还要从“教”的角度去看数学，他不仅要能“做”，还应当能够教会别人去“做”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开。

下面从不同的角度来看：以函数为例从逻辑的角度看，函数概念包含定义域、值域、对应法则等以及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的函数，这些内容是函数教学的基础，但不是全部。从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其它内容也有联系。方程的根可以作为函数的图象与x轴交点的横坐标；不等式的解就是函数的图象在轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合；数列也就是定义在自然数集合上的函数；同样的几何内容也与函数有着密切的联系。

2、学生学数学的自我反思

高中数学与初中数学最大的区别是从实际的算到理论的思。当初中学生第一次走进高中数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自已的认识和感受。教师不能把他们看成“空的容器”，按着自已的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”，这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多地把学生头脑中的问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来，使他们感到数学中的问题所在，思路的矫正，以及对数学更深入的理解。

3、教师对教数学的反思。

课堂上学生是主体，教师是主导，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动为主动，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？我们在上课、评卷、答疑解难时，我们自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，但反思后发现，自已的讲解并没有很好地针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味地想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。

第四篇：高中数学教学随笔

高中数学教学随笔

面对课改现实，面对教材的整体编排的变化，面对教材引入的亲和力，结合对教材的理解及几年的教学实践，我感觉本套教材有利于开展探究性活动，给学生更大的主动性，同时对于刚上高一新生来说，不会感到对教材很陌生的感觉，同时，也由于教材的“新”，在教学过程中出现了一些问题，以下是几点个人看法:

一、转变教学观念

以前我们经常讲：“要给学生一点水，教师需要一桶水”，现在要反过来讲：“要用教师的一点水，引出学生的一桶水。”毕竟现在教材要求学生参与意识强，要求能真正提高学生的学习兴趣入手，教材中很多定理，都是从学生的探究活动中，通过思考，通过动手而直接得到的。新教材为了更加有利于探究性学习，因而知识结构发生了较大的改变，因而造成理论知识很少，只提供基本框架，而相应内容必须由教师引导和补充，这就有很大的可塑性，到底要补充多少知识，补充到什么程度，真可谓仁者见仁，智者见智。没有统一标准，容易造成两个极端，对于无高三教学经验的教师那可是“水过地皮湿”，因为对旧教材没有先入为主的原因，使得他们基本上就不补充，也没什么可补充的。因而教得快，但会造成容量不够，无东西可教，而对于有高三经验的教师，因为前面知识的积累，经常会凭借自己的已有的高考复习经验进行补充，这就会造成容量大，教学进度慢，课时不够，不能够按时完成任务等问题，面对诸多问题，我个人认为两种处理方法都不恰当，应根据实际情况出发，折中处理，先打好基础，循序渐进地补充适当内容。

二、教学条件难于适应新教材要求

教材中的很多实例由于非常靠近现实生活，所以很多数据非常大且不规则，计算时常用到计算机，很多事例、很多函数模型须用图形来表示，这也需要借助计算机才能实现，有些教学设备无法达到要求，这也会给教学上造成一定影响。

总之，新教材将带给我们很多挑战，也给我们一个锻炼的平台，需要发挥大家的聪明才智，共同探讨，共同提高。

第五篇：高中数学教学随笔

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题是很好的方法。

一、“恒成立”问题 例

1、设函数f(x)x21，对任意x,，f(成立，则实数m的取值范围是。

【解析】(分离变量法)

32x)4m2f(x)f(x1)4f(m)恒mx232222依据题意得214m(x1)(x1)14(m1)在x,上恒定成m2立，即132324m1在x,上恒成立。22xmx23325152时函数y21取得最小值，所以24m，2xx3m3当x即(3m21)(4m23)0，解得m另解（函数法）：

33或m。22x232222依据题意得214m(x1)(x1)14(m1)在x,上恒定成立，m2即3213214m0在x,上恒成立。22xxm2112222,则t0, ∴3t2t14m20在t0,上恒成立，令xm331 m2令tg(t)3t22t14m223∴g(0)0且g()0

∴得m33或m 22【温馨提示1】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后解g(x)这个函数的最小值得g(x)k（或g(x)k），所以f(m)k，若对原有不等式通过分离变量的方法他离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后解g(x)这个函数的最小值得g(x)k或g(x)k，所以f(m)k（或f(m)k），其基本步骤：分离变量，构造函数，求最值。同学们可以类比得出若通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)或f(m)g(x)的结论。解决恒成立问题的第二种解法是函数法，即通过构造函数，再利用函数的特性分析解决问题，此例充分体现了分离变量的优越性，显然要比函数法简单且不易出错。

变式引深：若函数f(x)x46x2(3a)x在0,2上为增函数，求a的取值范围。解：∵f'(x)4x312x(3a)

∴f'(x)4x312x(3a)0在0,2上恒成立，即a34x12x在0,2上恒成立 3令g(x)4x312x，∴g'(x)12x2120，x1 ∴g(x)可能的最小值为g(0)、g(1)、g(2)

a3g(0)a30∴

a3g(1)

即a38

∴a11

a3g(2)a38【温馨提示2】若此类问题分离变量后（见温馨提示1），g(x)的最值难以确定，我们只须分析g(x)可能的最值就可以了。

例

2、已知函数f(x)(x1)lnxx1，若xf(x)t2at121对任意ex0,a1,1恒成立，求实数的取值范围。

x11lnx1lnx，xf(x)xlnx1 xx1利用导数易得xf(x)xlnx1的最小值是1

e112∴t2at11在a1,1上恒成立

ee解：f(x)∴t2at0在a1,1上恒成立 2令g(a)t2at2tat在a1,1上小于等于零恒成立 222g(1)02tt0∴即∴t0 2g(1)02tt0【温馨提示3】若分离变量不容易时，应选择函数法求解。

二、“能成立”问题

例

3、设x0，y0，若不等式什么？

解：分离变量得：(xy)(110能成立，则实数的取值范围是xyxy1x1xy)24，∴4即4 yyx【温馨提示4】此例为不等式能成立问题，解决此问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后解g(x)这个函数的最大值得g(x)k（或g(x)k），所以f(m)k，同学们可以类比得出f(m)g(x)或 f(m)g(x)或f(m)g(x)的结论。

变式引深：若关于x的方程4x(4a)2x40能成立，求实数a的取值范围。解（分离变量法）：∵关于x的方程4x(4a)2x40能成立 ∴(4a)2x44 2x∴(4a)4 ∴a8

另解（函数法）：设2t,则t＞0 ∴t(4a)t40在（0，+∞）上能成立，2令g(t)t(4a)t4，又因为yg(t)无零根也无一正一负根 2x(4a)2160(4a)2160∴或

t0(4a)0∴a8

【温馨提示5】此例是方程能成立问题，若能通过适当的变形，使其成为f(m)g(x)的形式，则f(m)属于g(x)的值域，此法充分体现了分离变量的优越性，显然要比函数法简单且不易出错，不过当分离变量不容易时，应选择函数法求解。

三、“恰成立”问题

例

4、函数f(x)mx2x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围。

2解（分离变量法）：由f(x)0分离变量得m()即ym与y()∴m1或m0

1x22，x1x22在(0,)上有且仅有一个交点 x另解（函数法）：∵f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，∴f(x)mx22x1的图像与x轴正半轴有且仅有一个交点

当m=0时合题意

当m0时，有4-4m=0,即m=1合题意

当m0时依据函数的图像得m0合题意 综合得m1或m0

【温馨提示6】此例为方程恰成立问题，解决恰成立问题通常可以利用分离变量转化为函数与方程的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后讨论函数y=f(m),yg(x)的交点的个数。解决恰成立问题也可用函数法求解，此例分离变量法简单。

变式引深2：若只有一个实数x满足不等式x2ax2a0，求实数a的取值范围。解：要使只有一个实数x满足不等式x2ax2a0

即求抛物线yx22ax2a在x轴和x轴下方只有一个点 ∴△=4a8a0

∴a0或a2

【温馨提示7】此例也为不等式恰成立问题，解决不等式恰成立问题通常可以利用分离变量转化为函数与不等式的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式使其成为f(m)g(x)，然后讨论函数y=f(m),yg(x)在图像上规定区域交点的个数。“恒成立”“能成立”“恰成立”问题通过以上实例可以看出分离变量法和函数法是基本的方法，又因分离变量法 容易掌握，因此分离变量法因优先考虑，其次广大读者要认真类比三类问题，不可混淆。222