证明Mahalanobis距离符合距离三公理,即

第一篇：证明Mahalanobis距离符合距离三公理,即

1． 证明Mahalanobis距离符合距离三公理，即

（1）ra,brb,a；

（2）当且仅当ab时，ra,b0；

（3）ra,cra,brb,c。

2． 设P1P2,12,1k2，试问按最小错误率的贝叶斯决策，其分界面是

否为线性。

1TT3． 二维正态分布11,0,21,0，112112,211212，试求其决1

策域划分。

4．证明正态等协方差条件下，Fisher线性判据等价于贝叶斯决策。

5．有七个二维向量分属两类，其中属1的是(1,0),(0,1)及(0,-1)；属2的有(0,0),(0,2),(0,-2),(-2,0)，试由上述样本集画出最近邻法决策面。

kk26．试以k=3证明PNe|XPNe|X。

7．回答有关剪辑近邻法的下列问题

（1）试画出剪辑近邻法的算法流程图；

（2）设剪辑前的样本概率密度函数为Pi|x,i1,2，试问经剪辑近邻法处理后，各点的概率密度数Qi|x,i1,2与原概率密度的关系；

（3）试分析剪辑近邻法在样本数据很大时，错分率可进一步减小的原因；

（4）计算使用剪辑后样本的渐近错误率。

第二篇：证明公理三的推论三

证明公理三的推论三

1.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b)lα—直线l在平面α内;c)aα—直线a不在平面α内;d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

1)三点确定一个平面

2)在一条直线A上取一个点E，与另一条直线B可确定一个平面C。

3)在A上任取一点D(不与E重合)，证明D与B确定的平面与C重合。

否则可导致A，B不平行。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

第三篇：向量与点到直线的距离公式的证明

向量与点到直线的距离公式的证明

安金龙

（苏州工业园区

这样处理，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的工具性。当然，解析几何作为一个内涵丰富的数学分支，它和其它数学知识也会有密切的联系，下面笔者列举另外几种推导方法： 2用习题结论巧推点到直线距离公式

老教材代数课本（人教版，下册.必修）第15页习题十五第6题：

已知：

ad,求证：（bc

（a)

2b2)c(d当cad,b即c，a)bd

ab

时，有（a2b2（）c2d2)（acbd)2.cd

上式实为柯西不等式的最简形式，很容易证明.故略去。下面给出点到直线的距离公式的最简推导。

已知点P(x0,y0)和直线l:AxByC0,则点到直线的距离即为点P到直线l上任意点所连结的线段中的最短线段.设M

x,y为直线l上任意一点，点P到直线l的距离为d，则：

(AxAx0)2(ByBy0)2

PMPM22

AB2

(ByBy0)222222(AxAx0)(AB)PM(AB)[] 22

AB

(AxAx0ByBy0)2＝(Ax0By0

C)2

AB

dPMmin，当且仅当时等号成立。

xx0yy03用直线的参数方程推导点到直线距离公式

证明：当AB0时易验证公式成立，下证AB0时的情形：

（1）B>0时,过点P作直线L的垂线，垂足为H，则直线PH的标准参数方程为：



xxt0(t为参数）

yyt0



将直线PH的参数方程代入直线L的方程得：

A（x0t+B（y0tx，解之得点H

对应的参数t

C0

PHdPH

（2）当B时，直线PH的标准参数方程为：



xxt0(t为参数）



yyt0



可得PH



dPH

4构造引理推导点到直线距离公式

引理：如图1，直角三角形MPN中，MPN90，MPa,NPb,则点P到直线MN的距离d满足



a 图

1N

.222

dab

证明：由直角三角形的面积公式得：

MPNPMNd，22

11111即ab，所以222.d，即

dab2dab

下面就用引理证明点Px0,y0到直线l：AxByC0的距d

证明：当0时易证公式成立.当AB0时，如图2所示,过点

Px0,y0分别作平行于x轴,y轴的两条直线,分别交直线l：AxByC0

ByCAxC于点M(-,y0)、N(x0,-)，则AB

B0yC

MP0,AAxC

NPy00.MPNP,在RTMPN中，B

点P到直线MN的距离d满足：

1111

1＝22

222dMPNP(x00)(y

00)BA2B2,所以d ＝2(Ax0By0C)

参考文献：

[1] 全日制普通高级中学教科书（人教版）（试验修订本.必修）第二册（上）第55～56页.[2] 王国平.中学生数学.用习题结论巧推点线距离公式2001年1月上 [3] 张乃贵、段萍中学生数学.点到直线的距离公式的又一证明.2001年1月上

[4] 陈志新.点到直线距离公式的又一证法.中学生数学.2001年6月上

离为

：

第四篇：奥运距离铁三赛的基础训练计划

奥运距离铁三赛的基础训练计划

第I阶段：起始的4-6周

你的最大挑战在于坚持。你需要每周至少训练4天，并且有些天里你将共同完成适量的游泳加跑步或骑车。刚开始时，你的训练应保持较慢的耐力速度。（耐力速度相当于最大努力的40-50%，即乳酸阈心率的70-90%，以能同时保持交谈能力为宜。）要忍住想快一些的冲动，你在为身体积累耐力的基础。阶段性目标：提高运动技能与耐力。

>游泳

（1）可以先从泳池中扑腾开始，不过一定要想办法获得些基本的技术指导。（参考下文“别游太猛”。）至少应该做一些基础的打腿练习，并将每次游泳分为技巧与耐力训练两部分。（2）利用浮板和脚蹼学习良好的打腿技巧。（3）对培养水感来说，游泳的频率远比距离重要。至少每周游两次各30分钟。

>骑行

（1）至少每周以耐力速度骑两次各1小时。如果你比较有基础，争取一次骑90分钟或更长，另一次重点训练速度或爆发力。（参见第二阶段。）（2）练习正确骑行姿势：蹬踏至顶点时足跟应高于脚趾；蹬踏至底部时则应低于脚趾。全程流畅蹬踏而非只是上下踩。躯干保持稳定，脊柱下压。

>跑步

（1）跑步练习将与骑行练习近平行。一开始也是每周两次耐力慢跑（注意跑步的心率应高于骑行，由于跑步需要更多肌肉参与有氧运动）。如果你基础很好，可以试着跑一小时。不过头三周里每次跑30至45分钟就好。关键保证训练的时长，而非距离。（2）可能的话，尽量在土路或其它较软的路面跑步以保护膝盖。（3）良好的跑步姿势：腰背挺直，步幅均衡，落脚点位于身体重心正下方。

别游太猛

对于多数铁三选手来说，游泳最具难度。不过它占整个赛程的时间一般不超过五分之一。这首先意味着游泳出色的选手几乎不用太多练习。其次对其他人而言，下面是如何游完1500米的建议：1.先找一名专业游泳教练。游泳技术关乎成败。2.别信所谓游泳时不打腿可以为后面的骑行和跑步省力。持续稳定的双腿打水是自由泳的基础。3.学会两侧交替呼吸（波浪可来自任何方向），并确保呼吸通畅。4.如果游起来不特别累，那就对了。5.泳池里轻松自如不能确保公开水域的游泳技术，一定要提前适应场地及连体比赛服。

>专业炼铁心得

游泳开始的场面总是很混乱。最好在出发人群的两侧入水——这样水不会浑并且不必与他人肢体接触。记住你不是唯一紧张的人。我也紧张，而且从1986年起我就参加铁人三项赛了。枪响前尽量放松，以微笑开始比赛。你会比你想象的要准备充分。

——亨特•坎普尔（Hunter Kemper），北京奥运铁三选手

第II阶段：下一个4-6周

你已经打造好耐力基础。现在要以实际比赛甚至更长的距离训练，并开始发展速度和爆发力。这一阶段强度较大——你将每周训练5至6天。高强度训练后总会跟一天低强度修整。力不从心时亦可采用耐力速度。阶段性目标：耐力，爆发力和速度。

>游泳

（1）保持技巧练习，同时将水中训练时间的全姿游泳部分增至65-75%。（2）用自我舒适度感知游泳的进步，并逐渐加长不间歇游的距离。

>骑行

（1）每周保证至少一次长距离耐力骑行（最好在周末），最少连续两小时。（2）用爬坡锻炼爆发力。在一小时骑行中，用中间的40分钟连续攻坡——以高踏频为主交替采用不同齿轮比。心率采用乳酸阈水平的90%以上。（3）速度训练：在平坦路段以接近乳酸阈水平骑行3至5分钟，然后以耐力速度整理3至5分钟。重复此间歇训练40至50分钟。（4）每次训练前后至少用十分钟轻松骑行作为热身和放松。

>跑步

（1）每周至少一次连续慢跑1小时。（2）每周的另一两次跑步训练中采用爆发力或速度练习。爆发力练习包括6至8次45秒钟常速跑坡，然后慢跑下坡至起跑处。速度练习包括在平坦路面以乳酸阈水平跑4至5次4分钟间歇跑，每次之后是2分钟慢跑。两种练习之后都要有15分钟慢跑整理放松。

>组合

（1）逐渐尝试不同运动组合。以轻松骑行45分钟加15分钟慢跑开始体验。（2）进阶组合：10公里骑行+3公里跑+10公里骑行+3公里跑。（3）自由组合：跑到泳池游泳，出水后再去健身房练习动感单车——狂人由此诞生！

保证核心训练

强悍的腰腹力量能保持划水效率，骑行稳定及跑步姿势。那么你需要专门进行躯干力量训练吗？简单易行的办法是：省下每次跑步或骑行的10分钟做仰卧卷腹（3组每组15次）和俯卧挺身（3组每组30至60秒）。

>专业炼铁心得

别低估周末长途骑行的功效。即使只是2至3小时骑行也会对你的力量与耐力增长大有好处。那天不用多考虑速度或是间歇训练。——蒂姆•迪布姆（Tim DeBoom），两届夏威夷铁人世界冠军

第III阶段：最后的4-6周

现在到了提高速度与爆发力而冲刺的时候了。而这也意味着你需要更多的时间恢复，所以要适当缩短耐力训练。尤其赛前的一周主要是补水和修整。阶段性目标：准备比赛

>游泳

（1）将技巧练习缩短至水中训练时间的10-15%，逐渐延长连续游泳至1500米，心里有底对比赛至关重要。（2）游泳时可手戴划水板以及腿夹浮板，用于增强力量与速度。（3）比赛时如果用防湿泳衣（wetsuit）一定要提前试用两次——适应额外浮力及不同的肌肉配合。如有可能，在一座湖里适应公开水域可能面临的波浪，暗流以及漂浮物等可变因素。

>骑行

（1）如果你打算采用空气动力式骑行姿势, 最好尽早完成赛车改装，以提前适应不同操控。（2）增大爆发力训练强度。爬坡时加大齿轮比，并高于乳酸阈水平进行练习。（3）间歇训练采用2至4分钟高于乳酸阈水平，然后以耐力速度放松整理。

>跑步

（1）参照第II阶段爆发力与速度训练，将强度提升至乳酸阈水平以上，并适量增加间歇跑。（2）继续保持耐力跑并将距离从比赛时的10公里基础上增加2至3公里。

>组合（1）做一些与比赛实际长度及速度相同的两项组合练习（2）在跑步之间夹入游泳或骑行（比如20分钟跑+30分钟游泳+20分钟跑）。这让你的双腿在游泳或骑行时暂时调整。

修剪转项时间

想在比赛中缩短10分钟吗？只需尽早规划和练习转项。1.比赛前到转项区熟悉地形。弄清楚哪里能直接拿到换项袋。2.陈放装备井然有序：头盔倒置放在车把上，里面是墨镜及骑行手套，鞋放在车子下方，用过的装备存于车旁的包中。3.熟练掌握转项流程，闭眼也能手到擒来。4.冷静。游泳和自行车的最后瞬间在脑中准备好转项。然后有条不紊地进行。

>专业炼铁心得

铁人三项是一项运动，而非三项组合。用“砖头（brick）”练习来适应长途骑行后的跑步节奏。在骑行阶段的最后一公里可站在脚蹬上提前拉伸腿部肌肉。——克里斯•米科马克（Chris McCormack），2007年夏威夷铁人世界冠军

第五篇：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明

例一：如图所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D，PE⊥AC点E，若△ABC的面积为14。问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由。

解：三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。

由已知：AB=AC=8，S(△ABC)=14，得

S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=1

41/2*8*(PD+PE)=14

PD+PE=14/4=3.5即 PD+PE=3.5

这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。结论虽简单，我们又应当如何证明呢？

关于这道题的证明方法有很多种。

求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC求证： DE＋DF＝BH

证法一：

连接AD

则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/

2而△ABC的面积＝BH*AC/2

所以：DE＋DF＝BH

即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高

证法二：

作DG⊥BH，垂足为G

因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC

所以四边形DGHF是矩形

所以GH＝DF

因为AB＝AC

所以∠EBD＝∠C

因为GD//AC

所以∠GDB＝∠C

所以∠EBD＝∠GDB

又因为BD＝BD

所以△BDE≌△DBG（ASA）

所以DE＝BG

所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH

证法三：

提示：

过B作直线DF的垂线，垂足为M

运用全等三角形同样可证

另外运用三角函数也能进行证明

如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DE－DF|＝BH

问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。

如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边ABACBC(或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。

解答提示：

如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG

先证明PD＋PE＝HQ

（见：）

而HQ＝AN，FP＝MN

所以PD＋PE－PF

＝AN－PF

＝AM＋MN－PF

＝AM

即h1＋h2－h3＝h

另外一个变式问题：

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。

（1）当∠A＝30°时，求证：PE+PF＝BC

（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。

腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=

解：

作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA

因为AB＝AC＝5，BC＝6

所以BM＝CM＝

3所以根据勾股定理得AM＝

4因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝1

2所以h＝24/

5因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP

＝AB*PD/2＋AC*PE/2

所以5*PD/2＋5*PE/2＝12

所以PD＋PE＝24/5

如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。

解：

设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP 因为AB＝8，BC＝AD＝15

所以根据勾股定理得BD＝17

因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2

所以可得AE＝120/17

因为四边形ABCD是矩形

所以OA＝OD

因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD

＝OA*PM/2＋OD*PN/2

＝（PM＋PN）*OD/2

S△OAD＝AE*OD/2

所以PM＋PN＝AE＝120/17