必修5 正弦定理1

第一篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（学案）

【学习要求】

1．发现并掌握正弦定理及证明方法。

2．会初步应用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面积公式

【学习过程】

1.正弦定理证明方法：（1）定义法（2）向量法（3法四：法一：（等积法）在任意斜△ABC当中，S△ABC=absinCacsinBbcsinA.两边同除以abc即得：

法三：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD2R.同理2R =＝.可将正弦定理推广为：abc== =2R（R为△ABC外接圆半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC径）.2.正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，都

等于这个三角形的外接圆的直径，即

注意：正弦定理本质是三个恒等式：

三角形的元素：a,b,c,,,C

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

3.定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

abcabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinAsinBsinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解决的问题：

（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角．（常见：大一小二）

5.常用面积公式：

对于任意ABC，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三边的对角，则三角形的面积为：

111①SABC_____ha(ha表示a边上的高）.②SABCabsinCacsinB____________ 22

2例1：在ABC中，已知A45,B30,c10,求b.例2：在ABC中，已知A45,a2,b2,求B

例3：在ABC中，已知B45,a,b2,求A,C和c

总结：（1）已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性

（2）应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由sinC求角C时，讨论角C为锐角或钝角的情况.例4不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(l)a=5,b=4，A=120（2）a =7,b=l4,A= 150(3)a =9,b=l0,A= 60（4）c=50,b=72,C=135练习：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosAbcosBB、asinAbsinBC、asinBbsinAD、acosBbcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，则cosB=___________.4．在△ABC中，已知a2,b2,A30，解三角形。

5.（1）在ABC中，已知b,B600,c1,求a和A,C

（2）ABC中，c,A450,a2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a求△ABC的面积。00

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教学设计

龙游县横山中学 黄建金

 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章开篇内容,在已有知识的基础上，进一步对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中更准确的边角关系。通过给出的实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）知两角一边，解三角形；

（2）知两边和一边对角，解三角形。

 学情分析

学生在学习了基本初等函数和三角恒等变换的基础上，探究三角形边角的量化关系，得出正弦定理。学生对现实问题比较感兴趣，用现实问题出发激起学生的学习兴趣，驱使学生探索研究新知识的欲望。

 教学目标

1.知识与技能：

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题

2.过程与方法：

（1）通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；

（2）通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养. 教学重点、难点

 教学重点：正弦定理的推证与运用。

 教学难点：正弦定理的推证；解决问题时可能有两解的情形。

教学过程

一、结合实例，导入新课

出示灵山江的图片。

问：如何能够实现不上塔顶而知塔高，不过河而知河宽？

二、观察特例，提出猜想[讨论]

（1）认识三角形中的6个元素，并复习“大角对大边，小角对小边”知识。

问1 ：构成一个三角形最基本的要素有哪些？（同时在黑板上画出三个不同类型的三角形）问2：在三角形中，角与对边之间有怎样的数量关系？（大边对大角，小边对小角）

（2）观察直角三角形，提出猜想

问：能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中的角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a

sinA，bsinB，又sinC1c,则ac

sinAb

sinBsinCc

从而在直角三角形ABC中，a

sinAb

sinBc

sinC问：这种关系在锐角三角形中能否成立？

三、证明猜想，得出定理[探究] C（１）化归思想，把锐角三角形转化为直角三角形证明。

首先，证明当ABC是锐角三角形时的情况。证法如下：

设边AB上的高是CD（目的是把斜三角形转化为直角三角形），根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则a

sinAb

sinB，同理可得cbsinCsinB，从而abcsinAsinBsinC

其次，提问当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立？（由学生课后自己推导）最后提问：还有其它证明方法吗？（向量方法）

（２）向量思想，把代数问题转化为向量问题证明。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

证明：过点A作单位向量jACCB，由向量的加法可得 ABAC

jABj(ACCB·

则)

jABjACjCB

∴jAB

cos900A0jCBcos

900C

a∴csinAasinC，即c Abc同理，过点C作jBC，可得

ab

从而sinAsinBc

sinC

（3）得出定理，细说定理

从上面的研探过程，和证明可得以下定理：

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即ab

sinAsinBc

sinC

四、定理运用，解决实例

例1．在 △ABC 中,已知 A30,B45，a2 cm，求C、b及c

解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)180(3045)105

a2sinBsin4522（cm）； sinAsin30

a2sinCsin10562（cm）csinAsin30根据正弦定理，b

说明：

1、学生讲出解题思路，老师板书以示解题规范。

2、已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫作解三角形。

3、解题时利用定理的变形aksinA，bksinB，cksinC更易解决问题。

例2．在 △ABC中，已知 a6cm，b6cm，A30，解三角形。

解：根据正弦定理，sinAsin303sinB（？Ｂ角一定是锐角吗？还有可能是什么角？如何判定？）b63a6

2因为00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 当B=60时，C180(AB)180(3060)90，o

ca6sinCsin9012(cm)sinAsin30

⑵ 当B=120时，C180(AB)180(30120)30，o

ca6sinCsin306(cm)sinAsin30

说明：

1.让学生讲解题思路，其他同学补充说明，目的是要求学生注意分类讨论思想（可能有两解）。

2.求角时，为了使用方便正弦定理还可以写成sinAsinBsinCabc

3.用正弦定理的解题使用的题型：边角成对已知（1第一类：已知任意两角及其一边；

第二类：已知任意两边与其中一边的对角。对+1个），五、活学活用，当堂训练

练习1在ABC中，已知下列条件，解三角形。

（说明：可以让学生上黑板扮演或通过实物投影解题的规范和对错。）

（1）A45，C30，c10cm，（2）a20，b11，B30

练习2：[合作与探究]：某人站在灵山江岸边樟树B处，发现对岸发电厂A处有一棵大树，如何求出A、B两点间的距离？（如图）

六、回顾课堂，尝试小结

①本节课学习了一个什么定理？

②该定理使用时至少需要几个条件？

七、学有所成，课外续学

１、课本第10页习题1.1A组1、2题

２.思考题：在ABC中，a

sinA

bsinBcsinCk(k>o)，这个k与ABC的外接圆半径R有什么关系？

3八、板书设计

第三篇：正弦定理必修5

课题: §1．1．1正弦定理

授课类型：新授课

一、教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

三、教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课

[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，abcsinA，sinB，又sinC1,A ccc

abc则csinsinsinabc从而在直角三角形ABC中，CaB sinsinsin有

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则

同理可得

从而asinAbsinB，csinCbsinB，a

sinAbsinBcsinCAcB

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC，C

由向量的加法可得ABACCB

则jABj(AC

CB)∴jABjACjCBj

jABcos900A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

同理，过点C作jBC，可得

从而ac bc a

sinAb

sinBc

sinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinAb

sinBc

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）a

sinAb

sinBc

sinC等价于a

sinAb

sinB，c

sinCb

sinB，a

sinAc

sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，ab

C1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根据正弦定理，asinB42.9sin81.80

b80.1(cm)； sin32.0根据正弦定理，asinC42.9sin66.20

c74.1(cm).sin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，bsinA28sin400

sinB0.8999.因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴ 当B640时，C1800(AB)1800(400640)760，asinC20sin760

c30(cm).sin40

⑵ 当B1160时，C1800(AB)1800(4001160)240，asinC20sin240

c13(cm).sin40评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。Ⅲ.课堂练习

第5页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：a

sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。

bcabckk0； sinAsinBsinC

第四篇：高中数学必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教学目标

1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：a

sinAb

sinBc

sinC，接着就一般斜

三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器

（四）教学设想

[创设情景]

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？

[探索研究](图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

abcsinA，sinB，又sinC1,A cabc则csinsinsinabc从而在直角三角形ABC中，CaB sinAsinBsinC的定义，有

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

3如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则同理可得从而

a

sin

b

sin，c

sinC



b

sinB，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC，C 由向量的加法可得ABACCB







则jABj(ACCB)∴jABjACjCBj

0

jABcos90A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

ac



bc

同理，过点C作jBC，可得

从而

a

sinA



b

sinB



c

sin

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA



b

sinB



c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；（2）

a

sinA



b

sinB



c

sin等价于

a

sinA



b

sinB，c

sinC



b

sinB，a

sinA



c

sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

ab

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；

sin32.00

根据正弦定理，asinC42.9sin66.20c74.1(cm).sin32.00

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边

长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，bsinA28sin400

sinB0.8999.因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴ 当B640时，C1800(AB)1800(400640)760，asinC20sin760c30(cm).sin400

⑵ 当B1160时，C1800(AB)1800(4001160)240，asinC20sin240c13(cm).sin400

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。

abc

sinAsinBsinC

abc

分析：可通过设一参数k(k>0)使k,sinAsinBsinC

abcabc

证明出 

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

abc

解：设k(k>o)

sinAsinBsinC

则有aksinA，bksinB，cksinC

abcksinAksinBksinC

从而==k

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

例3．已知ABC中，A

600，a求

又

a

sinA



abc

2k，所以=2 sinAsinBsinC评述：在ABC中，等式

a

sinA



b

sinB



c

sinC



abc

kk0

sinAsinBsinC

恒成立。

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[课堂小结]（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

（五）评价设计

①课后思考题：（见例3）在ABC中，

b



c



abc

kk0；

sinAsinBsinC

a

sinA



b

sinB



c

sinC

k(k>o)，这个k与ABC有

什么关系？

②课时作业：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。

第五篇：苏教版必修5 11.1.2正弦定理 教案

.11．1正弦定理（2）

一、课题：正弦定理（2）

二、教学目标：1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形，解决实际问题；

2．熟记正弦定理abc2R（R为ABC的外接圆的半 sinAsinBsinC

径）及其变形形式。

三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。

四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。

五、教学过程：

（一）复习：

1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，abc2R（R为ABC的外接圆的半径）； sinAsinBsinC

1112．三角形面积公式：SABCbcsinAacsinBabsinC． 222 即：

（二）新课讲解：

1．正弦定理的变形形式：

①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）。C aaB1 B 2abc,sinB,sinC； 2R2R2R③sinA:sinB:sinCa:b:c． ②sinABabsinAbsinAababab一解两解一解一解

3．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化： 例如，判定三角形的形状时，经常把a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC来替代。

4．例题分析：

例1在ABC中，1 AB2 sinAsinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在ABC中，ABab2RsinA2RsinBsinAsinB，因此，选C．

说明：正弦定理可以用于解决ABC中，角与边的相互转化问题。

例2在ABC中，若lgalgclgsinB，且B为锐角，试判断此三角形的形状。解

：由lgalgclgsinB，得：sinB

B450B90，2asinA① 

c2sinC2

将A135CC2sin(135C)。



∴sinCsinCcosC，∴cosC0，故C90，

A45，∴ABC是等腰直角三角形。

说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？

（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断。



例3某人在塔的正东方沿南60西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得



塔的最大仰角为30，求塔高。

D解：如图，由题设条件知：CAB1906030，ABC451453015，

















北 C

∴ACB180BACABC1803015135，又∵AB40米，在ABC中，B



AC40

，sin15sin135

40sin15

30)1)，∴AC

sin13

5在图中，过C作AB的垂线，设垂足E，则沿AB测得塔的最大仰角是CED，∴CED30，在RtABC中，ECACsinBACACsin301)，

在RtDCE中，塔高CDCEtanCED1)tan30



10(3（米）．

3例4如图所示，在等边三角形中，ABa,O为中心，过O的直线交AB于M，交AC

于N，求

1的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O为正三角形ABC的中心，∴AO

设MOA，则

，MAONAO，6A





2，在AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM，

sinMAOsin[()]sin()

M

N

B

在

AOM中，由正弦定理得：ON

sin()

6，1112121222

[sin()sin()](sin)，2222

OMONa66a223∵，∴sin1，33

41118

故当时取得最大值，2OM2ON2a2

2311152

所以，当,or时sin，此时取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、课练：《

七、课堂小结：1．正弦定理能解给出什么条件的三角形问题？

2．由于有三角形面积公式，故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外

接圆直径联系在一起。

八、作业：

1．在ABC中，已知atanBbtanA，试判断这个三角形的形状；

222

2．在ABC中，若sinA2sinBcosC，sinAsinBsinC，试判断ABC的形状。