数学： 1.1 正弦定理 教案(苏教版必修5)

第一篇：数学： 1.1 正弦定理 教案(苏教版必修5)

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第 2 课时： §1.1 正弦定理（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想； 2.能熟练运用正弦定理解斜三角形；

二、过程与方法

通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容。

三、情感、态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。【教学重点与难点】：

重点：利用正弦定理解斜三角形

难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式。【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.正弦定理：

2.已知两边和其中一边的对角，如何判断三角形的形状？

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

abc，试判断三角形的形状.cosAcosBcosCABBDADABCBAC例2（教材P例5）在中，是的平分线，用正弦定理证明：． 10ACDC例1（教材P9例4）在ABC中，已知证明：设BAD，BDA，则CAD，CDA180．在ABD和ACD中分别运用正弦定理，得即ABsinACsin(180)ABAC，又sin(180)sin，所以，BDsinDCsinBDDCABBD． ACDC例3 在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若ac2b,（1）求证：2cosACACcos；（2）若B，试确定ABC形状 2231例4 在ABC中，a,b,c分别为ABC三边长，若cosA，（1）求sin32ACcos2A的值；（2）2若a3，求bc的最大值

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例5（教材P9例3）某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC，只要求AB，为此考虑解ABD．

解：过点D作DE//AC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135．又BAD352015，所以ABD30．在ABD中，由正弦定理，得

ABADsinADB1000sin13510002(m)．

sinABDsin30在RtABC中，BCABsin3510002sin35811(m)． 答：山的高度约为811m．

四、巩固深化，反馈矫正

1.在ABC中，tanAsinBtanBsinA，那么ABC一定是________ 221lgsinAlg2，则ABC形状为_______ cabc_______ 3.在ABC中，若A600,a3，则

sinAsinBsinC2.在ABC中，A为锐角，lgblg

五、归纳整理，整体认识

让学生总结本节课的内容（1）知识总结：（2）方法总结：

六、承上启下，留下悬念

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第二篇：必修5教案1.1正弦定理余弦定理

教学设计示例（第一课时）

一、教学目标

1．掌握正弦定理及其向量法推导过程；

2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二、教学重点正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用；

教学难点正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定．

三、教学准备

直尺、投影仪．

四、教学过程

1．设置情境

师：初中我们已学过解直角三角形，请同学们回忆一下直角三角形的边角关系： 生：RtABC中有abc 22

2acsinA

bcsinB

atanAb

AB90

ab sinAsinB

师：对！利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角．

师：在直角三角形中，你能用其他的边角表示斜边吗？

生：在直角三角形ABC中，cabc。sinAsinBsinC

师：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理（板书正弦定理）．

2．探索研究

（1）师：为了证明正弦定理（引导学生复习向量的数量积），ababcos，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子．

生：如图，在锐角ABC中，过A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为90A,j与的夹角为90C。

由向量的加法可得



对上面向量等式两边同取与向量j的数量积运算，得到

j

ACCBjAB

9090C)

90A)

asinCcsinA

同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得

cb sinCsinB

∴abc sinAsinBsinC

师：当ABC为钝角三角形时，设A90，如图，过点A作与AC垂直的向量j，则j与的夹角为A90，j与的夹角为90C，同样可证得

abc sinAsinBsinC

师：课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明？

师：请同学们观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三

角形问题？

生：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

（2）例题分析

例1在ABC中，已知c10,A45,C30，求b（保留两个有效数字）bc且B180(AC)105 sinBsinC

csinB10sin105∴b19 sinCsin30解：∵

例2在ABC中，已知a4,b42,B45，求A。abasinB1得sinA sinAsinBb2

∵ABC中ab∴A为锐角∴A30 解：由

例3在ABC中，B45,C60,a2(1)，求ABC的面积S。解：首先可证明：SABC

这组结论可作公式使用。

其次求b边 1111ahabsinCbcsinAacsinB。2222



A180(BC)75

∴由正弦定理，basinBsinA2(31)(2)4 2

∴SABC11absinC2(31)4()623 222

3．演练反馈

（1）在ABC中，一定成立的等式是（）

A．asinAbsinBB．acosAbcosB

C．asinBbsinAD．acosBbcosA

（2）在ABC中，若a

Acos2bBcos2cCcos2，则ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等边三有形

（3）在任一ABC中，求证a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0 参考答案：（1）C；（2）D；（3）证：由于正弦定理：令aksinA,BksinB,cksinC代入左边得：左边＝k(sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB)0＝右边

4．总结提炼

（1）三角形常用公式：ABC；S

弦定理以及下节将要学习的余弦定理。111absinCbcsinAcasinB；正222

a2RsinAabc（2）；b2RsinB；2R（外接圆直径）sinAsinBsinCc2RsinC

a:b:csinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理应用范围：

①已知两角和任一边，求其他两边及一角。

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

③几何作图时，存在多种情况。如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。

第三篇：正弦定理必修5

课题: §1．1．1正弦定理

授课类型：新授课

一、教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

三、教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课

[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，abcsinA，sinB，又sinC1,A ccc

abc则csinsinsinabc从而在直角三角形ABC中，CaB sinsinsin有

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则

同理可得

从而asinAbsinB，csinCbsinB，a

sinAbsinBcsinCAcB

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC，C

由向量的加法可得ABACCB

则jABj(AC

CB)∴jABjACjCBj

jABcos900A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

同理，过点C作jBC，可得

从而ac bc a

sinAb

sinBc

sinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinAb

sinBc

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）a

sinAb

sinBc

sinC等价于a

sinAb

sinB，c

sinCb

sinB，a

sinAc

sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，ab

C1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根据正弦定理，asinB42.9sin81.80

b80.1(cm)； sin32.0根据正弦定理，asinC42.9sin66.20

c74.1(cm).sin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，bsinA28sin400

sinB0.8999.因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴ 当B640时，C1800(AB)1800(400640)760，asinC20sin760

c30(cm).sin40

⑵ 当B1160时，C1800(AB)1800(4001160)240，asinC20sin240

c13(cm).sin40评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。Ⅲ.课堂练习

第5页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：a

sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。

bcabckk0； sinAsinBsinC

第四篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（学案）

【学习要求】

1．发现并掌握正弦定理及证明方法。

2．会初步应用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面积公式

【学习过程】

1.正弦定理证明方法：（1）定义法（2）向量法（3法四：法一：（等积法）在任意斜△ABC当中，S△ABC=absinCacsinBbcsinA.两边同除以abc即得：

法三：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD2R.同理2R =＝.可将正弦定理推广为：abc== =2R（R为△ABC外接圆半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC径）.2.正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，都

等于这个三角形的外接圆的直径，即

注意：正弦定理本质是三个恒等式：

三角形的元素：a,b,c,,,C

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

3.定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

abcabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinAsinBsinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解决的问题：

（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角．（常见：大一小二）

5.常用面积公式：

对于任意ABC，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三边的对角，则三角形的面积为：

111①SABC_____ha(ha表示a边上的高）.②SABCabsinCacsinB____________ 22

2例1：在ABC中，已知A45,B30,c10,求b.例2：在ABC中，已知A45,a2,b2,求B

例3：在ABC中，已知B45,a,b2,求A,C和c

总结：（1）已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性

（2）应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由sinC求角C时，讨论角C为锐角或钝角的情况.例4不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(l)a=5,b=4，A=120（2）a =7,b=l4,A= 150(3)a =9,b=l0,A= 60（4）c=50,b=72,C=135练习：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosAbcosBB、asinAbsinBC、asinBbsinAD、acosBbcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，则cosB=___________.4．在△ABC中，已知a2,b2,A30，解三角形。

5.（1）在ABC中，已知b,B600,c1,求a和A,C

（2）ABC中，c,A450,a2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a求△ABC的面积。00

第五篇：苏教版必修5 11.1.2正弦定理 教案

.11．1正弦定理（2）

一、课题：正弦定理（2）

二、教学目标：1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形，解决实际问题；

2．熟记正弦定理abc2R（R为ABC的外接圆的半 sinAsinBsinC

径）及其变形形式。

三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。

四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。

五、教学过程：

（一）复习：

1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，abc2R（R为ABC的外接圆的半径）； sinAsinBsinC

1112．三角形面积公式：SABCbcsinAacsinBabsinC． 222 即：

（二）新课讲解：

1．正弦定理的变形形式：

①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）。C aaB1 B 2abc,sinB,sinC； 2R2R2R③sinA:sinB:sinCa:b:c． ②sinABabsinAbsinAababab一解两解一解一解

3．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化： 例如，判定三角形的形状时，经常把a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC来替代。

4．例题分析：

例1在ABC中，1 AB2 sinAsinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在ABC中，ABab2RsinA2RsinBsinAsinB，因此，选C．

说明：正弦定理可以用于解决ABC中，角与边的相互转化问题。

例2在ABC中，若lgalgclgsinB，且B为锐角，试判断此三角形的形状。解

：由lgalgclgsinB，得：sinB

B450B90，2asinA① 

c2sinC2

将A135CC2sin(135C)。



∴sinCsinCcosC，∴cosC0，故C90，

A45，∴ABC是等腰直角三角形。

说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？

（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断。



例3某人在塔的正东方沿南60西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得



塔的最大仰角为30，求塔高。

D解：如图，由题设条件知：CAB1906030，ABC451453015，

















北 C

∴ACB180BACABC1803015135，又∵AB40米，在ABC中，B



AC40

，sin15sin135

40sin15

30)1)，∴AC

sin13

5在图中，过C作AB的垂线，设垂足E，则沿AB测得塔的最大仰角是CED，∴CED30，在RtABC中，ECACsinBACACsin301)，

在RtDCE中，塔高CDCEtanCED1)tan30



10(3（米）．

3例4如图所示，在等边三角形中，ABa,O为中心，过O的直线交AB于M，交AC

于N，求

1的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O为正三角形ABC的中心，∴AO

设MOA，则

，MAONAO，6A





2，在AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM，

sinMAOsin[()]sin()

M

N

B

在

AOM中，由正弦定理得：ON

sin()

6，1112121222

[sin()sin()](sin)，2222

OMONa66a223∵，∴sin1，33

41118

故当时取得最大值，2OM2ON2a2

2311152

所以，当,or时sin，此时取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、课练：《

七、课堂小结：1．正弦定理能解给出什么条件的三角形问题？

2．由于有三角形面积公式，故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外

接圆直径联系在一起。

八、作业：

1．在ABC中，已知atanBbtanA，试判断这个三角形的形状；

222

2．在ABC中，若sinA2sinBcosC，sinAsinBsinC，试判断ABC的形状。