浅谈数学归纳法的应用

第一篇：浅谈数学归纳法的应用

浅谈数学归纳法的应用

数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显。

一、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．

例1是否存在常数a,b,c，使得等式

122232n(n1)2的结论． n(n1)(an2bnc)对一切自然数n成立？并证明你1

2解：假设存在a,b,c，使得题设的等式成立，则当时n1,2,3也成立，代入得

14(abc)61 22(4a2bc)2709a3bc

解得a3,b11,c10，于是对n1,2,3，下面等式成立：

122232n(n1)2n(n1)(3n211n10)12

令Sn122232n(n1)2

假设nk时上式成立，即Skk(k1)(3k211k10)12

那么Sk1Sk(k1)(k2)2

k(k1)(3k211k10)(k1)(k2)2 12

k(k1)(k2)(3k5)(k1)(k2)2 12

(k1)(k2)(3k25k12k10)12

(k1)(k2)[3(k1)211(k1)10] 12

这就是说，等式当nk1时也成立． 

综上所述，当a3,b11,c10时，题设的等式对一切自然数n都成立．

二、用数学归纳法证明整除问题

用数学归纳法证明整除问题时，由n=k到n=k+1时，首先要从要证的式子中拼凑出假设

成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

n

例2 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出m最大的值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.n

证明：解：由f（n）=（2n+7）·3+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.k

（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3+9能被36整除;当n=k+

1k+1kk--1

时，［2（k+1）+7］·3+9=3［（2k+7）·3+9］+18（3－1），k-1k－1

由于3－1是2的倍数，故18（3－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.n

由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3+9能被36整除，m的最大值为36.三、用数学归纳法证明不等式问题

用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．

例3．已知函数f(x)

x

3(x1).设数列{an}满足a11,an1f(an)，数列{bn}x

1*

满足bn|an|,Snb1b2bn(nN).(1)n23

（Ⅰ）用数学归纳法证明bn；（Ⅱ）证明S.n

32n1

证明：解：（Ⅰ）证明：当x0时,f(x)1

1.因为a1=1，所以an1(nN*).x1

(1)n

下面用数学归纳法证明不等式bn.n1

（1）当n=1时，b1=31，不等式成立，(1)k

（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk.k1

那么bk1

(1)|ak|1(1)k1

bk.|ak13|k

221ak

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。

(1)n（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，bn.n1

(31)2(1)n

所以Snb1b2bn(31) n1

21n)

12(1) (31)3.33131

11

1（

故对任意nN,Sn

.3

例4．已知数列｛ｂn｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋„＋ｂ10＝100．（1）求数列｛ｂn｝的通项公式ｂn；（2）设数列｛an｝的通项an＝lg（1＋

1），记Sn为｛an｝的前n项和，试比较Sn与 bn

lgｂn＋1的大小，并证明你的结论． 2解：（1）容易得ｂn＝2n－1.（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋＝lg（１＋１）（１＋又

11）＋„＋lg（１＋）32n1

11）·„·（１＋）.32n1

1gbn＋１＝1g2n1，2

因此要比较Sn与1gbn＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋）·„·（１＋）与

232n12n1的大小.取n=1，2，3时可以发现：前者大于后者，由此推测

（1+1）（1+

11）· „·（１＋）＞2n1.① 32n1

下面用数学归纳法证明上面猜想：

当n=1时，不等式①成立.假设n=k时，不等式①成立，即

11）·„·（１＋）＞2k1.32k1

那么n=k+1时，（１＋１）（１＋）·„·（１＋）（１＋）

32k12k12(k1)2k11

＞2k1（１＋）＝.2k12k1

2(k1)2k1212

又［］－（2k3）＝＞０，2k12k12(k1)2k1∴＞2k3=2(k1)1.2k1

∴当n=k+1时①成立.（1＋1）（1＋

综上所述，n∈N时①成立． 由函数单调性可判定Sn＞

*

1gbn＋１.2

四、用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．

n－

1例

5、已知y=f（x）满足f（n－1）=f（n）－lga（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn+βn－1）lga对任何n∈N *都成立，证明你的结论

n－

1解：∵f（n）=f（n－1）+lga，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0又f（1）=－lga，1,01212∴∴∴f（n）=（n－n－1）lga22241.1.2

证明：（1）当n=1时，显然成立

121

（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k－k－1）lga，2

2则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga

121112

=（k－k－1+k）lga=［（k+1）－（k+1）－1］lg2222∴当n=k+1112

综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn+βn－1）

2lga对任意n∈N都成立

*

点评：本题是探索性问题．它通过观察――归纳――猜想――证明这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．

六、数学归纳法与其它知识点的交汇

数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．

例

6、平面上有n个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证这n个圆分平2

面为n－n＋2个部分．

证明：（1）当n＝1时，n－n＋2＝1－1＋2＝2，而一个圆把平面分成两部分，所以n＝1时命题成立．

（2）设当n＝k时，命题成立，即k个圆分平面为k－k＋2个部分，则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点把第k＋1个圆分成2k段，每一段把原来的22

所在平面一分为二，故共增加了2k个平面块，共有k－k＋2＋2k＝(k＋1)－(k＋1)＋2个部分．

∴当n＝k＋1时，命题也成立．

由（1）（2）可知，这个圆把平面分成n－n＋2个部分．

点评：关于这类几何问题，关键在于分析k与k＋1的差异，k到k＋1的变化情况，然后借

助于图形的直观性，建立k与k＋1的递推关系．

例7．如下图，设P1，P2，P3，„，Pn，„是曲线y=x上的点列，Q1，Q2，Q3，„，Qn，„是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，„，△Qn－1QnPn，„都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，„，an，„，求证：a1+a2+„+an=

n（n+1）.证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=x与曲线y=x的交点，31，）.33

212

∴a1=|OP1|=.而×1×2=，命题成立.333

∴可求出P1（（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a1+a2+„+ak=（k+1），0），∴直线QkPk+1的方程为y=[x－

k（k+1），则点Qk的坐标为（k33

k（k+1）].代入y=x，解得Pk+1点的坐标为3

(k1)2(,(k1)).33

∴ak+1=|QkPk+1|=

223

（k+1）·=（k+1）.333

∴a1+a2+„+ak+a k+1=

121

k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）.333

∴当n=k+1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出Pk+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|QkP k+1|.

第二篇：初中英语教学中情景教学法的应用

初中英语教学中情景教学法的应用

摘要：情景教学对激发学生的学习兴趣、强化教学效果，具有十分重要的意义。英语课是一门实践课，学生能否主动、积极地去实践是英语教学成败的一个关键。因此，积极创设情景，激发和调动学生的学习主动性、积极性是英语教学必不可少、行之有效的方法。笔者在英语课堂教学情景创设方面做了一些尝试，并深有感触。

关键词：情景创设；英语教学；教学情景；学习兴趣

中图分类号：G633.4文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）07-0190-01

著名的教育家苏霍姆林斯基提出“到思想和语言的源头去旅行”。他提倡学习语言要带学生到自然情境或创设的情境中进行教学，使学生学得快、学得多、记得牢。在英国的学校里，学语言也经常用演戏剧的方法来创设情境进行语言教学。情境教学是遵循反映论的原理，充分利用形象，创设典型场景，把认知活动与情感结合起来，引导学生从整体上理解和运用语言的一种教学。英语教学中恰当引入情境教学形式，可以充分地调动学生学习兴趣，激发学生的求知欲，从而达到优化教学结构的目的。

1.语言描述创设情境

充分利用教材中的课文创设问题情境。教师可以向学生提出富有启发性的问题，制造悬念，创设问题情境，可以连珠炮式地提问，或者设置“突如其来的提问”，让学生就某个问题随便说说他们知道的东西。让学生说出他们能想到的情况，如果说不出来，教师可以提示。突如其来的提问可以使学习生动活泼，能引起学生临场发挥的冲动，获得成功感，增强学习的兴趣与信心。例如：在讲解dangerous和careful时，课前我先安排一个学生，讲授时，我指着教室里的一只灯管说：“There is something wrong with the light.It doesn't work.Who can mend it”？这时那位同学站起来说：“Don't worry.I can mend it.”说完，他就走过来并假装去触摸灯管，这时我显出一种极为紧张的表情并大声说：“Be careful！It's dangerous！”我一边在黑板上用红色粉笔画出“触电”标志符号，一边大声重复：“Be careful！It's dangerous！”这时再问同学们它们的含义，学生便能异口同声地说出来。

2.建立师生的交流渠道

为了融洽老师与学生的关系，我常用课余时间找学生谈心。例如：我所教的初二{三}班李林同学，他是个孤儿，家庭困难，性格内向。在课堂上根本没有勇气回答问题，很少与老师和同学交往。我连续三次利用午休时间找他谈心。除了给他经济上的援助外还在精神上给他鼓励，不仅如此，我还发动同学这样做，使他认识到老师和同学都在关心他，爱护他，帮助他，记得有一次在课堂上，我充当陌生人走到他跟前Shaking his hand to say：Hello，Nice to meet you！他随口说出 Nice to meet you！SIR。从此就开口说英语了。我对另外一些虽然活泼却却发积极向上的学习态度的学生，我就采取开讨论会的方式，让同学们共同讨论，使全班认识到这部分人的不足。使同学们帮助他们改正错误，克服缺点，不断进步。我认识到，要实现师生之间，学生之间的情感交流，应建立有效的沟通与交流方式、时间和场合。

3.运用多媒体促进情景

多媒体教学是一种普遍的教学方法，在英语课上适当地使用PPT进行授课，经常会达到一个良好的效果。因为运用多媒体进行课堂教学，为教师组织情景教学提供了彩色的画面、生动的语言、场景的设置，学生在视觉、听觉的影响下产生浓厚的兴趣，积极投入课堂教学活动，更有利于学生听、说、读、写等综合能力的培养。

例如，在7A Module 3 Unit 2 Windy weather教学中，为了使学生深刻认识到台风的危害性，我安排播放一段关于台风来袭的录像，让学生观看并仔细观察画面，聆听录像中的声响，身临其境的感受台风的到来。接着，让学生进行对话：

A： What may happen when there is a typhoon？

B： Some people walk hard on the street.Some trees fall down.Ships and boats sink in the big waves.真实、生动的自然灾害展示在学生面前，吸引了学生的注意力，接着引出了防范台风的一些安全措施的讨论。通过多媒体课件的运用，把课外的自然情景延续到课内，使学生有了最直接的感受，大大提高了课堂效率。

4.课外创设情境

实际生活水平是语言学习的试金石，英语的情境教学的时空必须由课内延伸到课外，把学习迁移拓展到我们的生活中。教师要设法增加学生的语言实践机会，帮助学生在实际生活中创造英语环境，鼓励学生大胆开口，敢于大声和老师用英语打招呼，交谈；鼓励他们尽量用所学的常用表达方式和同学相互问候、对话。也可以开展各类英语活动，如英语角、英语赛、英语故事比赛等，为学生提供创造的机会，让学生有充分的时间，大胆放手去思考、去探究、去体味。学生一旦能够积极主动地参与课外实践，必定会爆发出无限的创造力火花，必定能培养和发展创新能力。大力开展课外教学活动也是课堂教学内容的有效延伸，本人根据不同班级、不同层次、不同水平、不同爱好的同学，进行适当地组织，开展英语游戏、开演唱会、朗诵会、讲演比赛、识词默写比赛、作文比赛、听力比赛等，其目的是活跃学生课外生活，巩固课内学的知识，培养学生学英语的兴趣，使课内外结合，相得益彰。

总之，在初中英语教学中，情境教学不仅能使语言教材变成活生生的言语，富有生活气息；使学生产生仿佛置身于英语世界的感觉，增强运用英语的能力；而且能够有效提高学习积极性和主动性，加深语言信息的输入，真正做到学以致用，从而为学生的可持续性学习打下扎实的基础。

参考文献：

[1]高跟艳；英语教学要让学生体验美[J]；成才之路；2011年19期

[2]钱会红；在情景创设中激活“Task”[J]；中学英语之友（下旬）；2011年06期

[3]王红艳；浅谈英语教学中存在的问题[J]；新课程（下）；2011年05期

[4]刘建华；浅谈英语教学中的口语教学--多年英语教学中的一点体会[J]；学周刊；2011年02期

第三篇：用字母表示数的应用

用字母表示数的应用

教学内容：教材P58例4及练习十三第1、2、4、9第题。教学目标： 知识与技能：

1．使学生认识用字母表示数的意义和作用，能用字母表示数。

2．使学生在具体情境中感受用字母表示数的必要性，向学生渗透符号化思想。过程与方法：经历用字母表示数来解决实际问题的过程，掌握用字母表示数量关系的方法。

情感、态度与价值观：在学习活动中，感受生活中处处都有数学，体验数学知识的应用价值，培养学生解决实际问题的能力，增强学习的信心。

教学重点：能熟练地用字母表示简单数量关系，解决实际问题。教学难点：理解应用题的意图和解题思路。

教学方法：设置数学问题，引导学生练习。在练习中体验、交流、感悟。教学准备：多媒体。教学过程

一、谈话引入

师：告诉同学们一个秘密，再过几天老师的生日就要到了。同学们，你们觉得老师有多大了？ 学生发言，猜一猜老师的年龄。

师：你们已经猜了老师的年龄，现在，让我来猜猜大家的年龄吧。（11岁）老师告诉你一条重要的信息。（出示老师比同学大22岁）你们说我几岁了？你是怎样想的？(板书：学生的岁数：11岁 老师的岁数：11+22)

二、探究新知

（一）用含有字母的式子表示加减关系。

1．师：现在让我们进入时空隧道，回忆过去，展望未来。想一想，当同学们1岁时，老师几岁？你是怎么知道的？ 当同学们2岁时，老师几岁？你是怎么想的？

2．师：还可以说下去吗？想想当你几岁时，老师几岁，用一个算式表示。在纸上写写看。（一生板演）3．师：感觉怎样？还能写出更多的算式吗？能把你写的算式跟同学们交流一下吗？ 学生发言，说说自己的算式与感想。

师：看来，像这样的式子还能写很多。咦，那你能用一个式子就把同学们的岁数、老师的岁数和两个岁数之间的关系简单明了地表示出来吗？

4．学生先独立尝试，然后四人小组交流。5．汇报、交流、评价。

师：这么多算式，你最欣赏哪一个？说说理由是什么。6．优化。A A+22表示什么？还表示什么？

7．预设：B B+22 X X +22这三个式子有什么相同的地方？(A、B、X 都是表示不确定的数，A+22 B+22 X +22不仅表示老师的年龄，还表示老师比同学大22岁这个关系）

8．师：这些算式真的可以表示老师任何一年的年龄吗？让我们来试试。9．想一想，当A=1时，表示同学几岁，老师几岁？ 当A=33时，表示同学几岁，老师几岁？

10.师：这些算式既表示出了老师和学生岁数之间的关系，又表示出了老师的岁数。那么，当老师a岁时，同学们几岁？

11．师：用a表示自己的岁数，那么你最喜欢的人的岁数怎么表示?试试看。（解读一下自己写的式子）

（二）教学教材第58页例4。1．出示教材第58页例4。

2．通过阅读例4可知：一共有果汁1200 g，倒了3小杯，每小杯的容量用x g表示，还剩下多少克？ 一小杯的容量是x g，那3小杯的容量是3x g，还剩下多少克呢？ 列出式子：1200-3x。（学生齐答，教师板书）

3当x 等于200时，还剩下：1200-3×200= 600（克）。4．x 最大可以是多少？

组织学生分小组进行讨论，得出结论后派出代表做课堂汇报。

已知总量是1200g，倒完3小杯后，还有剩余，那意味着12003x 会大于O，得出结论x 小于400。

当x 等于200时，还剩下：1200-3×200= 600（克）。教学反思：

第四篇：2013年应用数学社换届策划书

新疆工程学院

应 用 数 学 社

2013 应 用 数 学 社 应 聘 策 划 书

2013年11月23日

一、活动前言

2012至2013年，在老师、社长及各部部长的带领下，我们数学社举办了不少的活动，取得了优异的成绩!在十二月份即将到来之际，每个人即将步入更高的年级，获得更大的发展空间。为保障数学社工作的连续性，也为给数学社注入的新鲜血液以激励，新疆工程学院应用数学社将于*月*日举办换届大会。

二、活动意义

1总结上一年的工作，选取新一届的数学社社长、副社长、各部部长。

2展望新一年的工作，为数学社未来的发展奠定坚实的基础。

三、活动主题

新疆工程学院应用数学社

四、活动对象

新疆工程学院应用数学社全体人员

五、活动时间

暂定为*月*日(星期*)下午*点

六、活动地点

新疆工程学院神华教学楼*****

七、大会竞选职位

新疆工程学院应用数学社社长、副社长;宣传部部长、外联部部长、办公室部长、编辑部部长、科技活动部部长、组织部部长。

八、活动流程

(一)前期策划准备工作

1、宣传工作

制作宣传换届海报;在新疆工程学院应用数学社校园网上公示。

注：信息需要公布时间、地点、可以竞选的职位和相应的要求

2、演讲人员准备工作及要求

准备演讲稿，并制作ppt

要求：演讲时间为5分钟;内容要涉及到要竞选的部门职责及自己的特长展示还有自己任职后的工作计划;ppt以自己的名字命名以方便展示。

3、报名工作

制作报名表格并及时发给大家，报名截止时间暂定为周*中午*点，要求大家在周*中午*点*分交到数学社活动室。

4、主持人工作及与老师的提前沟通

主持稿的编写，与老师提前交流确定时间地点以便于老师参加

5、人员通知

各部长提前通知部员并告知活动的确切时间和地点

(二)活动期间工作

1、活动要求

公开、公正、公开

2、会场安排

提前布置会场，提前预定教室并打开多媒体，竞选人员提前入场将ppt拷贝到电脑，专人负责ppt工作

3、竞选顺序

竞选所有参与人员提前入场公开抽签确定编号

4、主持人、开场老师致开幕词

5、活动竞选者自我展示

6、老师评选，数学社全体成员选举投票

7、公开唱票，当场选举，保证选举的公正、透明;唱票、统计票数会在大家的监督下进行，采用在黑板上写“正”的方式

(三)活动后期工作

1、主持人致结束语并请协会外部人员离场

2、全体成员照相留念

3、全体成员离场，清理会场

九、人员安排

(一)各部门工作安排工作

宣传部：网络宣传工作

编辑部：编辑各部长职责及社长职责和相应的材料

外联部：会场布置工作及后期工作

办公室：表格制作及报名工作

组织部：主持人礼仪工作及主持稿

活动策划部：现场秩序维持

(二)工作人员安排

1、主持人：***，***、ppt播放员：***

3、现场负责竞选人员顺序抽签人员：***、***

4、收集老师评价及选票人员：**

5、唱票统计选票人员：***

6、负责人 组织部：杜佛军 宣传部：曹顺

编辑部：李宝琳

外联部：田大伟

办公室：刘泽西

科技活动部：杨敬飞

十、活动预算

1、水*元

2、报名表格制作(待定)注：所有物品提前准备完毕

*---代表待定的项目

第五篇：初中英语词汇教学中情景教学法的应用

初中英语词汇教学中情景教学法的应用

在初中英语教学课堂中，创设英语情境的教学方法，可以帮助学生提高学习单词的兴趣，让学生在教师创设的直观、有趣、生动的教学情境中学习单词，运用情境教学法开展词汇教学具体表现为：在新课导入时，利用图片、实物、多媒体课件、学生对话导入新课，在课堂教学中，教师可以运用自己的肢体语言去表演所学单词的意思，在学生中展开小组间比赛，让学生在讨论、交流和比赛中学习单词，另外师生间的互动问答，小组对话都可以吸引学生的兴趣，让学生迅速进入教师所创设的教学情境中。

一、课前利用生活情景,为教授新单词做准备如:water这个词,在讲授时可以借助一些教具或动作,如浇水、喝水的动作等,这些必须是学生熟悉的行为,再呈现以下的句子。如:(1)I’mverythirsty,I want todrink some water.(2)The flowers are dry,I must water them every day.(3)There issome water in the bottle,we can drink it.从语境中我们可猜测出(1)、(3)句中的water是水的意思,(2)句中的water是浇水的意思,从中也可以知道water不同意思和用法。

二、利用实物展开直观教学。初中生的思维方式大都还处于形象思维阶段，在英语词汇教学中，如果利用相关的实物，让学生在观看实物的过程中跟着老师学会这一实物的英语表达方式，学生就会觉得英语学习其实就是他们生活中的一部分。很多在生活中常见的实物用英语表达起来那么有趣，也简单和具有使用性，这样既增加了学生学习英语的情趣而且也在实物学习中记忆了单词。

总之，情境教学是课改的重要内容，它体现了“用课本教而不是教课本”的新教材观念，也体现了“教师由过去的知识传授者变为学生学习的组织者、引导者和激发者”的新教学观念，在词汇教学中利用情境交际策略是教学方式上的一个重要转变。