2013年长江大学数学竞赛试题

第一篇：2013年长江大学数学竞赛试题

长江大学2013年数学竞赛试题（专业组）注意：

1、试题共一页；

2、考试时间：180分钟；

3、所有答案写在答题纸上，院系、班级、学号、姓名写在答题纸的最左边，不用抄题，写上题号后作答

一：求数列极限：limnsin(2en!)（10分）n



二：设f(x)C[0,)，并且f(0)0,f'(x)0，证明：若

1adx收敛，则 f(x)f'(x)

0dx收敛（10分）f(x)

三：设an0,Snak，证明：若级数an发散，则k1n1nan也发散（10分）n1Sn

22z2

1（10四：计算I|xy2z||4x4yz|dxdydz。其中V为区域xy4V

分）

b

五：设f(x)在[a,b]上可积，证明limpf(x)sinpxdx0（10分）a

a1

六：计算：11a21



1111111（10分）111a31an

七：当a,b,c为何值时，下列方程组：(1)有唯一解；(2)有无数解；(3)无解 xaya2za3

23xbybzb（15分）

xcyc2zc3

八：设e1,,en为n维欧式空间V的标准正交基，1,,k是V中k个向量，证明：若 1,,k两两正交，则必有(ies)(jes)0i,j1,,k,ij)（10分）s1n

九：求直线l:x1yz1在平面:xy2z10上的投影直线l0的方程，并求l0111

绕y轴旋转一周所生成的曲面的方程。（15分）

第二篇：初二数学竞赛试题

2014年秋初二数学竞赛试题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的.答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．

1.在实数范围内算术平方根等于它本身的数有（）

A.个

B.个

C.个

D.个

2.下列各数中，属于无理数的是（）

A.B.C.D.3.下列分解因式正确的是（）

A．

B．

C．

D．

4.下列运算错误的是（）

A.B.C.D.5.下列命题正确的是（）

A.三个角对应相等的两个三角形全等

B.三边对应相等的两个三角形全等

C.面积相等的两个三角形全等

D.周长相等的两个三角形全等

6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图所示，则能说明的依据是()

A．ASA

B．

SSS

C．AAS

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

7.若，则的值为（）

A.B.C.D.二、填空题（每小题4分，共40分）：

8.计算：

．

9.写出两个不同的无理数，使这两个无理数的积为有理数，那么

这两个无理数可以是

和

．

10.如果，且，那么

．

11.计算：

．

12.命题：“如果两个角互余，那么这两个角的和为”的逆命题为

．

13.如图，已知在中，是的中点，，垂足分别是、，则图中有

对

全等三角形．

14.若

则__________．

15..如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．

16.如图，已知中，是高和的交点，则线段的长度为

．

17.如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小菁依下列方法作图：

①

作∠A的角平分线交BC于D点．

②

作AD的中垂线交AC于E点，交AD于F点．

③

连接．

(1)根据所画的图形，下列正确的是（填序号）；

A．DE⊥AC

B．DE∥AB

C．CD＝DE

D．CD＝BD

(2)若，则__________．

三、解答题（共89分）：

18.（9分）计算：

19.(9分)

计算：

20.(9分)已知，求代数式的值.21.(9分)如图，在中，,，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板

斜边的两个端点分别与，重合，连接，.试猜

想线段和的数量及位置关系，并加以证明．

22．(9分)若，求代数式的值．

23.（9分）如图，已知于点，于点，且，相交于点．

求证：(1)当时，；

(2)当时，．

24.（9分）如图，在四边形中，是的平分线，∥，连接、，求证：（1）

（2）是的平分线．

25.（13分）如图，把一张边长为厘米的正方形纸片四角均剪去一个边长为

(<)厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．

（1）①用含、的代数式表示纸片（阴影部分）的面积；

②当，时，利用因式分解计算折合后纸盒的表面积；

（2）当，时,求出纸盒的底面积．

26.（13分）已知：如图1，点为线段上一点，都是等边三角形，交于点，交于点.(1)求证：；

(2)求证：为等边三角形；

(3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.初二

数

学

试

题

参考答案及评分意见

说明：

（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分意见”的精神进行评分．

（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．

一、选择题（每小题3分，共21分）

1．C

2．C

3．D

4．A

5．B

6．B

7．A

二、填空题（每小题4分，共40分）

8．　9．不唯一

如：，10．

11．　12．如果两个角的和为，那么这两个角互余.13．

14．　15．α=β+γ

16．4

17．⑴

B

⑵

三、解答题（共89分）

18.解原式……………………………………………6分

…………………………………………………………9分

19.解：原式

…………………………3分

………………………………………6分

……………………………………………………9分

20．解：∵

…………………………………4分

当

即

∴……………………………………9分

21．解：BE＝EC，BE⊥EC

证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.又∵EA＝ED

∴△EAB≌△EDC

(SAS)

……………………………………………………5分

∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.……………………9分

22．解：由，得：

…………………………………5分

………………………9分

23．证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OE＝OD.∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，∴△OEC≌△ODB（AAS）

∴OB＝OC.………………………………………………………………４分

(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∴△OEC≌△ODB(AAS)

∴OE＝OD.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴△OEA≌△ODA(HL)

∴∠1＝∠2.………………………………………………………………９分

24．解：（1）∵是的平分线，∴

又

∴≌(SAS)

∴．

………………………………………5分

（2）∵≌

∴

∴

∵∥

∴

∴

∴是的平分线……………………９分

25．解：（1）①（）.…………………………………（4分）

②

折合后纸盒的表面积=.…………（6分）

当a=6.4，b=1.8时，原式=(6.4+2×1.8)(6.4-2×1.8)=28

…………………………（8分）

（注：没有因式分解得出正确结果，扣1分）

(2)

纸盒的底面积=……………………………………（10分）

当a+2b=8，ab=2时,………………………（13分）

26．证明(1)∵△ACM，△CBN是等边三角形

∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°…………………2分

∴△CAN绕着C点顺时针旋转60°会与△MCB重合，∴△CAN≌△MCB

∴AN=BM

……………………………………………4分

(2)

∵△CAN≌△MCB

∴∠CAN=∠CMB

又∵∠MCF=180°∠ACM∠NCB=180°60°60°=60°

∴∠MCF=∠ACE

∴△CAE绕着C点顺时针旋转60°会与△CMF重合，∴△CAE≌△CMF……………………………………………………7分

∴CE=CF

∴△CEF为等腰三角形,又∵∠ECF=60°

∴△CEF为等边三角形.……………………………………………(9分)

(3)画图正确

………………………………………………(11分)

结论仍然成立.………………………………………………………(13分)

第三篇：一二年级数学竞赛试题

一二年级快乐数学题

班级：姓名：分数：

1、仔细观察找出规律，再填数

（1）2，5，8，（）。

（2）1，6，7，12，13，（），（）。

（3）20，()，12，8，4。

2、3个男同学与3个女同学进行打球比赛，如果每个男同学都要与每个女同

学比赛1次，一共需要比赛（）次。

3、一根木头锯成5段，要锯（）次。

4、小李今年11岁，奶奶今年60岁，5年后，奶奶比小李大（）岁。

5、玲玲看一本70页的书，第一天从第1页看起，看了18页，第二天看了10

页，第三天从第（）页看起。

6、把一根绳子两头对在一起，再在对折好的绳子中间剪一刀。这时，绳子被

剪成（）段。

7、小朋友排队去公园，小华前面有4个人，后面有10个人。小华排在第（）

个，一共有（）个小朋友去公园。

8、小华的教室在一楼，美术教室在三楼，微机教室在五楼，每层有15个台阶，小华从教室到美术教室要走（）个台阶，从美术教室到微机教育要走（）个台阶。

9、张老师把红、白、蓝三个气球送给三个小朋友，根据下面的三句话，猜猜

他们都分到了什么颜色的气球。

小明：我分到的不是蓝色的气球。小乐：我分到的不是白色的气球。

小彩：他们俩的气球一个是红色的，一个是蓝色的。

小明的气球是（）色的，小乐的气球是（）色的，小彩的气球是（）色的。

10、小军喝一杯牛奶，第一次喝了半杯，用水加满，第二次喝了半杯又用水加

满，然后全部喝完，小军一共喝了（）杯牛奶，（）杯水。

11、5个小朋友吃5个桔子要用5分钟，15个小朋友吃15个桔子要用（）

分钟。

12、小猫、小狗、小兔、小猴、小牛排成一排做操，兔的左边是狗，猴在牛的左边，猫的右边是狗，猴在兔的右边。（）排在队伍的最左边。

第四篇：数学建模竞赛试题

A题：中国人口老龄化问题

目前，中国已进入人口老龄化社会，而且老龄化趋势越来越明显。众所周知，人口老龄化是个重大问题，它涉及到经济、政治、文化和社会的各个领域，关系到国计民生和国家的长治久安。为此，国内外许多人口专家都提出了一些应对人口老龄化的方法，如调整生育政策、延长退休年龄以及完善社会化养老体系等。（1）收集有关数据，给出我国人口老龄化现状的统计结果；

（2）试建立模型，预测在目前政策体系下，我国未来30年人口老龄化的变化趋势；

（3）结合我国实际，给出应对我国人口老龄化的具体方案，并预测该方案的效果。

B题：动态生产问题

某化肥厂生产一种复合肥料，根据销售部门的预测，下一市场的月需求量如下表（单位：千吨）:

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在生产过程中，由于停机后再启动的费用很高，故我们假定生产是连续的。生产出来的化肥除满足当月供货外，剩下的可以存储起来供以后用。现厂房有一个容量为5千吨的仓库可供使用。因为仓库是厂方的，可以不考虑存储费用。生产过程中可以每月或者若干月调整一次生产量以满足市场需求。由于生产工艺原因，如果从某月开始增加产量，每吨化肥要增加成本10元，如果减少产量，则每吨要增加成本5元。考虑到再下一的市场需求，要求年底有2千吨的库存。根据以上条件，编制一个下一的生产计划，要求因产量变化引起的成本增加总额最少，同时又保证有足够的库存来满足各月份的销售要求。又假如存储需要费用，每吨每月的存储费为6元，对上面的最优生产计划有影响吗？

第五篇：学前班数学竞赛试题

学前班数学竞赛试题

学前-----班

姓名：

一、填一填：（84分）1、2、4、6、（）、（）、（）2、1、3、5、（）、（）、（）、（）

3、把1、2、3、4、5填在下面的括号里，成为两个算式，数字不能重复填。（）+（）=4

（）—（）=3

4、如果△+△=2，想一想△=（）；如果○+○=4,想一想○=（），那么△+○=（）。

5、△=○+○+○，○+△=□，☆=□+□。☆=（）个○。

6、弟弟今年3岁，再过两年弟弟（）岁。

7、有一个数比2大又比5小，这个数可能是（）或（）。

8、今年弟弟比我小1岁，明年我比弟弟大（）岁。

9、同学们排队做操，小红的前面有5个小朋友，后面有4个小朋友，小红这一列有（）个小朋友。

10、有一些小朋友在捉迷藏，已经捉住了4个人，还藏着1个人，一共有（）个小朋友在捉迷藏。

11、有5个小朋友在值日，2个人在扫地，还有（）个人在擦桌子。

12、小红在数数，从1数到5时，她数了（）个数。

13、要把6根毛线连成一根长绳子，一共要打（）结。

14、操场上有5个同学在拍球，跳绳的同学和拍球的人数一样多，操场一共有（）个同学。

15、小朋友玩报数游戏，从左向右报，小明报的是6，从右向左报，小明报的是5，我知道有（）个小朋友在玩游戏。

16、小灰兔有2个萝卜，如果小白兔给小灰兔3个萝卜，它俩的萝卜就一样多，小白兔原来有（）个萝卜。17、5个小朋友吃5个苹果需要5分钟，10个小朋友吃10个苹果需要（）分钟。

二、分一分：（16分）

10 8 5 ↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘

（）（）（）()（）（）（）（）

↖ ↗ ↖ ↗ 6 5