提高低应变判定桩基完整性精度的探讨5篇范文

第一篇：提高低应变判定桩基完整性精度的探讨

提高低应变判定桩基完整性精度的探讨

摘要: 提高信号采集质量是对准确判断桩基完整性的基础，而对波形的正确分析，是提高判定桩基完整性精度的关键。本文从信号采集和信号处理方面，就如何提高判定的精度应采取的方法。1前言

低应变反射波法由于其具有检测简捷、速度快、费用低和检测覆盖面广等优点，目前已成为基桩完整性检测中应用最为广泛的一种方法。但由于桩基工程是地下隐蔽工程，检测期间无法直接观测对地下情况，从而导致在对波形分析时，无法准确建立桩土模型，难免造成对检测结果的误判。本文通过大量工程实践经验，探讨如何提高提高信号采集质量以及分析波形的具体缺陷，最大限度提高低应变反射波法检测桩基完整性的精度。

2桩头处理

在灌注桩的施工过程中，不管是沉管灌注桩，人工挖孔灌注桩或钻孔灌注桩，其桩的最上部都有一层浮浆，这层浮浆杂质多，有许多小蜂窝、强度低，对应力波传播衰减很快，使应力波不能沿桩身向下传播，所测得的时域波形不能反映桩的其实情况。因此，桩头应为达到设计标高的有效桩头，必须凿去表面浮浆，处理到有新鲜含骨料的混凝土为止，且桩头不能破碎，含水，不能有杂物，要尽量保证桩头干净，平整。测点必须用电动砂轮打磨，以便安装传感器，测点处不得留有任何缺陷，测点位置应位于距桩心2/3倍半径左右，以消除表面波对所采集信号的干扰，这点对大直径桩(桩身直径大于0.80m)显得尤为重要。桩头出露的钢筋笼应以不影响敲击为准，并且高度应适中，否则当小锤敲击桩头时产生的激荡应力波易于在钢筋上产生振荡反射叠加于入射波中，从而影响浅部缺陷波形的识别。

3传感器的选择与安装

传感器是基桩反射波检测中最基本的重要测试元件之一，它直接与被测桩相连接，将机械振动参量换成电信号，它的性能参数的好坏，直接影响到转换电信号的数据是否真实地反映桩本身的反射信息。传感器的频率响应特性应能满足不同的测试对象、不同测试目的的需要。当检测长桩的桩端反射信息或深部缺陷时，应选择低频性能好的传感器；当检测短桩或桩的浅部缺陷时，应选择加速度器或宽频带的速度传感器。传感器的安装对现场信号采集工作影响较大，理论上传感器越轻，越贴紧桩面，与桩面之间接触刚度越大，信号传递特性越好，采集到的信号也越接近桩面的质点振动。传感器的安装应与桩顶面垂直，用耦合剂粘结时，应具有足够的粘结强度。常用的耦合剂有黄油、凡士林、橡皮泥等，传感器安装好后方可以进行测试。

4激振锤与锤击点的选择

反射波法测桩时，应准备几种锤头，依据不同检测目的选用。桩越长，应选择越软、越重、直径越大的锤；桩越短，应选择越硬、越轻、直径越小的锤。

另外，敲击质量的高低将直接影响到测试结果的优劣，要由经验丰富的熟练工人来操作。在激振过程中要求落锤尽量垂直，有利于抑制质点的横向振动；激振时尽可能短，并不要连激，防止后继波的干扰；激振能量要适中，频谱成份的主频与桩身的形状、材料的物理性质相适配，以使应力波得到最佳的传播。5资料的收集及现场信号采集

在测试前应收集场地地质情况、桩型及桩长、成桩及成孔工艺、混凝土强度、施工记录等资料，以利于对资料进行正确的分析判断。

现场检测时必须对各种可疑的桩身缺陷及时分析、反复检测，获得比较准确的第一手资料。根据桩径大小，围绕桩心对称布置 2～4 个检测点，每个检测点一般要求获得重复性较好曲线不宜少于 3 个。不同检测点及多次实测时域信号一致性较差时，应分析原因并在检测现场及时研究，排除影响测试的不良因素后重新测试。

信号采集较好的波形应满足：

⑴多次锤击的波形重复性好；⑵波形真实反映桩的实际情况，完好桩桩底反射明显；⑶波形光滑，不应含毛刺或振荡波形；⑷波形最终回归基线。6信号分析处理

6.1 时间域不同类型缺陷桩的判别

(1)完整桩

完整桩实测曲线波形反射很规则 , 波列清晰 , 桩底反射波较明显 , 易于读取反射波列到达时间，桩身混凝土平均波速较高。

(2)缩颈桩 缩颈桩的实测曲线、波形特征是在桩身缺陷处产生与激振脉冲同相位的反射波 , 但整桩波速不会下降, 与完整桩较为一致。

(3)扩径桩

扩径桩由于在桩身有部分扩大的变截面 , 在实测曲线波形特征在扩径处产生与激振脉冲反相位的反射波 ,整桩波速与完整桩较为一致。

(4)离析桩

混凝土离析桩实测曲线波形特征是在缺陷处产生与激振脉冲同相位的反射波形 , 与完整桩波速相比则略有所下降 , 一般比完整桩的波速低 200m/ s～300m/ s ,如果严重离析的情况下 , 反射波峰值更剧烈 , 波速可能显得更低。(5)夹泥桩

桩身夹泥主要是灌注时反扦抽管过高 , 或孔壁倒塌 , 造成桩身混凝土夹泥现象 ,实测曲线、波形特征是在缺陷处与离析桩一样 ,激振脉冲同相位的反射波形 , 与完整桩波速相比则有明显下降 ,一般比完整桩的波速低 400m/ s～600m/ s 左右。

(6)扩底桩、嵌岩石桩

扩底桩与嵌岩桩的实测波形在曲线信号反射时 , 其反射波的方向是和激振脉冲方向相反 , 扩底桩和嵌岩桩的波形是一致的 ,但扩底桩的波形反映是从扩底位置开始算起 , 直到桩底反射波形出现为止。而嵌岩桩的波形要看桩底嵌岩情况而定 , 如果嵌岩程度好 , 桩底的嵌石坚硬完整 , 其波速比混凝土的波速更为提高 , 那么嵌岩桩的桩底反射波形是激振脉冲方向是相反的 , 反之则同向。

(7)全断桩

全断桩实测曲线、波形与其它缺陷桩的波形是不一样 , 因为断桩所在位置 , 应力波无法往下传播 , 主要因在断裂处空气的波阻抗无穷大于混凝土波阻抗 , 而实测波形多次反射 , 反射时间间隔一致 , 并对反射信号就会自由震荡慢慢的衰减下去 , 故无法找出桩底反射。以上是几种典型缺陷与完整桩的判断方法 , 要结合了解桩基成桩工艺 , 地质状况 , 桩的类型及形状等。为了判断位置及性质更为准确、可靠 , 须进一步加强多方面对比试验分析。6.2频域分析

桩基检测得到的反射波时域信号，经过FFT快速傅立叶变换，获得频域谱图，即是反射波法的频谱分析。频谱分析与波形分析可相互补充，互相印证，使桩基检测结果更加准确。

频谱分析主要分析对象是桩的自振频率，桩的自振频率与桩长和桩体混凝土质量有关。当桩体结构完整、介质均匀时，桩体存在单一自振频率f，在频谱图中出现一个主频。如图1所示。

图1 完整性桩的频域图形

当桩体混凝土劣质、有缩径、夹泥或扩径时，桩体自振频率不易判别，存在多个自振频率的混叠。频谱图中存在的多个能量相差不多的频率值，如图2

图2 缺陷桩的频域图形

6.3 波形曲线的处理

在现场信号采集过程中，桩底反射信号不明显的情况经常发生，这时指数放大是非常有用的一种功能，它可以确保在桩头信号不削波的情况下使桩底信号得以清晰地显现出来。

滤波是波形分析处理的重要手段之一，是对采集的原始信号进行加工处理，它是为了将测试信号中无用的或次要成份的波滤除掉，使波形更容易分析判断。在实际工作中，多采用低通滤波，而低通滤波频率上限的选择尤为重要，选择过低，容易滤掉缺陷反射信号，选择过高，又起不到滤波的作用。当信号中有高频杂波时，可以采用平滑将其滤掉。平滑点数越大，则平滑后的波形越平缓。平滑点数过大时，有些缺陷信号也会被平滑掉，所以此参数也应适当。

随着小波技术的成熟，小波分析有基桩检测中也得到了广泛的运用，正确使用小波技术来对基桩检测的信号进行分析，可更加准确判定桩底反射的位置，从而大大提高的对基桩完整性分析的精度。7 结论

(1)桩头处理的好坏是测试成功的基础。选择合适的传感器 , 以满足不同的工程需要 ,传感器安装面必须要求平整坚实 , 粘接牢靠。激振点位置要求安装准确 ,锤头选择合适的配置。测试仪各项参数要合理输入。正确的室内曲线分析依赖于现场采集信号质量的合理可靠。采取措施减少现场误差提高对桩基完整性判定的精度至关重要。

(2)不同类型桩身缺陷特征表现是不同的 , 其影响因素亦不同 , 有必要根据施工工艺和地质情况对实测波形进行综合分析。

（3）采集的信号通过滤波及平滑等处理可以消除杂波及干扰，有利于提高判定精度。

参考文献

（1）JGJ 106-2006，建筑基桩检测技术。北京：中国建筑工业出版社，2003（2）刘屠梅，赵竹占，吴慧明等。基桩检测技术与实例。北京：中国建筑工业出版社，2006

（3）罗骐先。桩基工程检测手册。北京：人民交通出版社

第二篇：锅炉水冷屏修改,提高低负载主汽温度

取消三片翼墙二三号锅炉运行汽温的影响

现期电厂一期机组的运行中汽轮机进汽的温度通常都在525℃左右，当锅炉负载低的时候，汽机进汽主蒸汽温度会降低到510℃。为了加大锅炉的负载调节能力，参考四号锅炉变更后的设计，拟对一期2，3号锅炉各拆除三片翼墙悬吊水冷壁。

1.提高出口蒸汽的焓值，在保持汽轮机的真空不变的情况之下，在汽轮机内有了更多的焓降，提高了机组的循环效率；

经权威试验表明，主蒸汽温度可平均提高10～14℃，平均可使全厂煤耗下降1.44g／(kW·h)。

2.提高了锅炉低负载的能力，原二三号锅炉最低负载仅仅能烧到50%-55%左右，其锅炉出口主汽温度已经降到520℃，如果温度再降低将会加大末级湿度，同时由于主汽的初温降低，汽机各级焓降降低，反动度增加，轴向推力增加；

四号锅炉的受热面分布与二三号锅炉相似，但翼墙水冷壁少三片，其温度特性明显好于二三号锅炉，其可以在50%负载时维持锅炉出口主汽温度535℃。

3.同时在锅炉负载的情况下，由于为了尽量维持主汽温度，锅炉的过量空气系数过大，造成排烟总量的大幅升高，即排烟损失q2升高，造成锅炉效率下降；锅炉的各项热损失中排烟损失q2最大，约占5％-12％，提高机组的经济性，主要应从减小q2着手。

初温变化对功率的影响（初压、背压不变）

初温变化→功率变化→蒸汽在锅炉内吸热量变化→初焓变化。假设：蒸汽在锅炉中吸收的总热量

PiDHti3600QQD(h0hfw)不变，则：

Hti3600h0hfw

（一）经济性的影响（初温变化不大）

iHtHtitt0h0hfwt00Qh0hfwt0PiHtih03600t0hht0fw0PiPi 1Hth01i1h0hfwt0it0Htt0t0

Ht0h0cpT0h0t0tkp0v0t0k1t1k1p2p0kHT0

cp基本为常数

T0x2hx

3、T0tx2hxi

初温升高30~50℃，相对内效率约升高1%。

（二）安全性的影响（初温变化较大）

初温增加：金属材料高温蠕变增加，许用应力降低，不允许超过上限值。

现有的运行工况

高负载段运行时间比例： 低负载段运行时间比例：

能针对煤质、负荷、运行方式的变化及时调整，正常工况下能维持蒸汽参数在规定范围内。

第三篇：函数凹凸性的性质判定及应用（模版）

函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳

数学计算机科学学院

摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；

Convex function of Judge Properties and Applications

Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance.In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem.On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application.One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties.This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity;One Function;Binary function;Multiple functions;Criterion;Applications;

1.引言

凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。

2.一元函数凹凸性的判定

2.1 凸函数的多种定义及等价证明 下面先先给出凸函数的13种常见定义。假设IR，f:IR.定义2.1.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凸函数。

x1，x2，x3Ｉ，定义2.1.21：若 f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凸函数

定义2.1.31：

１ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凸函数

ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.1.41：

x1，x2Ｉ，ｔ（0，1），则称f为凸函数 ｆ（tｘ＋（1-t）ｘ）tｆ（x１）＋（1-t）ｆ（ｘ）１２２，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）定义2.1.5:ｔｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f(x)为凸函数

ｋｋｋ1定义2.1.61：（1.）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＇＇(2）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋１－２＇＇＇＇

则称f(x)为凸函数

I, 定义2.1.71：若ｆ在Ｉ内存在单增函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凸函数。

定义2.1.81：

设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2，则称f为凸函数。定义2.1.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凸函数。

定义2.1.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凸函数。定义2.1.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递增，则称f为凸函数。定义2.1.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凸函数。定义2.1.131：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数

为[0,1]上的凸函数，（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２下面给出几种定义间的相互证明。

定理2.1.11 若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７定义１０

Ｉ，ｘＩ，有：证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数，ｘ ０（ｔ）dt

（１）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘ０ｘ故对于ｙＩ，不妨设ｙ＜ｘ，有： ｆ（ｙ）－ｆ（ｘ）＝（ｔ）dt

（２）０ｘ０ｙ（ｘ）将式（１）两边关于ｘ求导，得ｆ＇（ｘ）＝．

（１）－（２），得：

ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｔ）dｔ－（ｔ）dｔ＝（ｔ）dｔ＋（ｔ）dｔ＝

ｘ０ｘ０ｘ０ｘｙｘｘ０ｙｘｙ（）；ｙ＜＜ｘ

（３）（ｔ）dｔ＝（ｘ－ｙ）（ｔ）（ｙ）（），式（２）可化为： 因为单调递增，且ｙ＜，所以（）（ｘ－ｙ）（ｙ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）＝（ｘ－ｙ）ｆ＇（ｙ）

即ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）

定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上连续，则定义１３定义８。

（）证明：因为＝ｆ（ｘ＋为０，１上的凸函数，故：（１－）ｘ）１２（）＝＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２（１＋（１－）０）（１）＋（１－）（０）＝ ｆ（ｘ）＋（１－）ｆ（ｘ）１２特别地，当＝12时，有ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２

先证不等式的左边．

I，ｘ，由实数的性质知在Ｉ上可确定一个闭区间ｘ，若ｔx1，ｘ＜ｘｘ２１２１２，１［ｘ１ｘ＋ｘ２２］，则ｔ关于

ｘ＋ｘ１２２的对称点是ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上连续，所以１２积分存在，所以：ｘ２ｘ＋ｘ１２２ｘ１ｘ＋ｘ１２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝ｄｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ１＋ｘ２＋ｔ）ｔ２ｘ）２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｄｔ＝２（ｘ－ｘ）ｆ（２１ｘ＋ｘ１２２ｘ＋ｘ１２２１

即ｆ（）ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ 下证不等式的右边． 作变换ｕ＝x２－t（0ｕ１），则t＝x２－u（x２－x１）＝ux１＋（1－u）x２，dt＝（x１－x２）du，x２－x１当t＝x１时，u＝1；t＝x２时，ｕ＝0ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝１１（ｘ－ｘ）ｆｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝２１１２２１１２００ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）２１２ｘｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２１２ｆ（ｔ）ｄｔ即，故ｘ１２ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可导，则定义８定义１２。证明 因x1，x2Ｉｘ，＜ｘ１２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

令ｘ＝x１＋ｘ２２，则ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２，即ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）１１ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（x２）－ｆ（ｘ）１；又因为ｆ在Ｉ

ｘ－ｘｘ－ｘ１２上可导，则ｆ在Ｉ上连续，故由极限的性质可知ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＇＇１２lim，即ｆ＋（ｘ）ｆ－（ｘ）１２xｘ１ｘ－ｘｘ－ｘ１２limxｘ２．

x＇＇＇（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ－（ｘ）＝ｆ（ｘ）有二阶导数，所以ｆ＇，即x1，2Ｉ，都有＋１１２２ｆ（ｘ）ｆ（ｘ），设ｘ为Ｉ上任意固定点，则１２＇＇ｆ（ｘ＋x）－ｆ（ｘ）＇ lim０，所以ｆ（ｘ）０。x0x＇＇定理2.1.41 定义１１定义2

＇（ｘ）证明

因为ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，且ｆ单调递增，ｘ，ｘ，ｘI, 且１２３Ｉ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（。可确定两个区间ｘ，ｘｘ＜ｘ＜ｘｘ，ｘ１２３１２２３x2，＇（ｘ）ｆ（x2））的切线方程为ｙ－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－ｘ）故横坐标为ｘ的曲线的２２２＇（ｘ）纵坐标与切线纵坐标之差为：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－ｘ）２２２Ｉ，而ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，而ｘ故ｆ（ｘ）在ｘ内连续，在（ｘ），ｘ，ｘ，ｘ２３２３２３上可导，所以ｆ（ｘ）在ｘ上满足拉格朗日中值定理，即１（ｘ），ｘ，ｘ２３２３＇ｆ（１）（ｘ－ｘ）。由式（３）ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ＝，当ｘ＝ｘ３时，有：）３２２＇＇（ｘ）ｆ（１）ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝－（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２３２３２ｆ（ｘ）（１）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）０ ２２３２３２＇＇＇同理ｆ（ｘ）在ｘ，上满足拉格朗日中值定理，即２（ｘ），ｓ．ｔ． ｘ，ｘ１２１２＇（２）（ｘ－ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）＝ｆ。由式（３），当ｘ＝ｘ１时，有：ｆ（ｘ１）２１１＇＇＇（ｘ）（２）（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝ｆ－ｆ（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２２１２１２１２＇＇（２）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）０。由式（４）得２１２ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ３２（ｘ），ｆ２＇由式（５）得ｆ（x１）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ１２（ｘ），所以ｆ２＇ｆ（x１）－ｆ（ｘ）ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２２ ｘ－ｘｘ－ｘ１２３２2.2 凹函数的多种定义及等价证明 凹函数的13种常见定义。定义2.2.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凹函数。

定义2.2.21：若x1，x2，x3Ｉ，定义2.2.31：

f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凹函数

１ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凹函数

ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.2.41x1，x2Ｉ，ｔ（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）１２１２则称f为凹函数

定义2.2.5 :ｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f为凹函数

ｋｋｋ1定义2.2.61：

（１。）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（２。）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＋１－２＇＇＇＇＇＇则称f为凹函数

I, 定义2.2.71：若ｆ在Ｉ内存在单减函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凹函数。

定义2.2.81： 设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有，ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2则f为凹函数

定义2.2.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凹函数。

定义2.2.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凹函数。

定义2.2.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递减，则称f为凹函数。定义2.2.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凹函数。定义2.2.131：ｆ在区间Ｉ上凹函数的充要条件是：函数。

为[0,1]上的凹函数。（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况 2.3 关于凸凹函数性质的总结

上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。根据上文所提到的定义，可知

性质2.3.12：当ｆ在Ｉ上一阶可导时，由ｆ在Ｉ单增（或减），ｆ（ｘ）（或）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）０００＇证明：必要性：计算ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝００００００＇＇＇

（ｆ（）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ）００＇＇（介于ｘ和ｘ之间）０由于ｆ在Ｉ单增（或减），可知上面两个因子同号，故有

（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（或）ｆ０００＇＇（x０）（x－x０）＋f（x０）充分性：设x，x０Ｉ，有f（x）（。当x１，x２Ｉ，或）f而x１＜x２时就有f（x１）（或x１－x２）＋f（x２）及f（x２）（或（x１）（x２－x１）＋f（x１））f（x２）（或）f ＇＇＇＇（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．两式相加即有ｆ（ｘ）由＋ｆ（ｘ）（或）［ｆ２１１２１２（x１）（或）f（x２），可见f即f在I上I上单减（或单增）ｘ＜ｘ　１２＇＇性质2.3.22 设ｆ在Ｉ上可导，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）ｘｘＩ，ｆ（ｘ）（或１，２）f（x１）＋f（x１）（x－x１），由于f（x）＝f（x１）＋f（x１）（x－x１），是过＇＇的曲线的切线，由于上面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线（ｘ，ｆ（ｘ））１１总在曲线上的任一点的切线之上（下）。

性质2.3.32：当ｆ在Ｉ上二阶可导时，则可得 当ｆ在Ｉ上二阶可导时，ｆ在Ｉ下凸

＇（x）（或）0（或上凹）xI，f＇＇（ｘ）证明：必要性：ｆ在Ｉ上二阶可导，且下凸（或上凹）ｆ在I上单增（或单减））ｆ（ｘ）（或）0，xI ＇充分性：

ｘｘＩ１，２＇ｆ（ｘ）ｆ（）２１，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ）（或２１２１２１１！２！＇）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面１２１１证明链的证明：ｆ（ｘ）（或f在I上单增或单减）２（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ））ｆ１２１１＇性质2.3.42：若ｆ在Ｉ上可导，则下述两个断语等价：

（１）

＇f（x２）（或）f（x１）（x２－x１）＋f（x１）（２）

f（x１）＋f（x２））（或）22证明：（１） f（x１＋x２（２）ｘ令ｘ３＝，ｘＩ，１２

于是ｆ（ｘ）（或１）ｆ（＇ｘ＋ｘ１２2，－ｘ＝则ｘ１３ｘ－ｘ１２2，ｘ－ｘ＝２３ｘ－ｘ２１2

ｘ＋ｘ１２2ｘ＋ｘ１２）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝１３３ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ１２＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）222两式相加，即得ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（或１２ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ２１＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）过点2222ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１＝与的弦为亦即（ｘ，ｆ（ｘ））（ｘ，ｆ（ｘ））２２１１ｘ－ｘ２１）ｆ（＇）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝２３３ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１2ｘ－ｘ２１（或2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝）当令上式中的ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１ｘ－ｘ２１（ｘ－ｘ是两点横坐标的差）（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））２１１１２２2ｘ－ｘ２１＝令ｘ２－ｘ当此时两点的横坐标缩小一半时），上式仍然成立１2ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）１１２2（或ｘ－ｘ２１ｘ－ｘ＝２１2２ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１，用数学归纳法易证）＝ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１有ｎＮ，ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１ｎ2（ｘ－ｘ２１ｎ或

2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝，此即ｆ（ｘ）（或２ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）１１２１＇

2.4 一元函数凹凸性判定定理及其应用 定理2.4.11： 设ax1x2b，（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);

证 先证（1）：由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，可知f(x)在[a,b] 连续，在(a,b)内可导。因为ax1x2b，在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f'()[f(x2)f(x1)]/(x2x1)。有由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，有f''(x)0,f'(x)在(a,b)上单调递减，得到''''f(x1)f()f(x2)，从而有f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);

同理可证（2）

几何意义 如图所示，在弧AB上任取两点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),，其中ax1x2b，若f(x)的图形在[a,b]上是凸的（或凹的），则弦MN的斜率

'（大于）过点N的切线斜率f(x2)，大于（小kMN[f(x2)f(x1)/(x2x1)小于于）过点M的切线斜率f'(x1)，即弦MN斜率的大小总是在过两端点的切线的斜率之间。

: 定理2.4.22 :设ax1x2x3b

（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则

f(x2)f(x1)x2x1f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1f(x3)f(x1)x3x1;;

证明 因为f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，故在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f(x2)f(x1)f'()(x2x1)令g(x)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)则g(x)'f(x)(xx1)[f(x)f(x1)](xx1)2'[f(x)f()](xx1)(xx1)2''=

f(x)f'()xx1',其中x1x.（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则f''(x)0，f'(x)在[a,b]上单调递减，于是f'(x)f'()，从而g'(x)0，即g(x)在[x1,x]上单调递减。取x1x2x3xb则有g(x2)g(x3)即

f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1;

同理可证凹函数。

几何意义 如图所示，在弧AB上任取3点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(x3,f(x3))，其中ax1x2x3b。当f(x)的图形在[a,b]上是凸的(凹的)时，弦MN的斜率率f(x3)f(x1)x3x1f(x2)f(x1)x2x1大于(小于)弦MP的斜

（1）函数凹凸性的直观解题法

以函数yf(x)在某区间I 上单调增加为例说明我们不难理解,随着自变量x的稳定增加,当函数y的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增 量越来越小时,函数图形是凸的,当函数y的增量保持不变时,函数图像是直线.对于减函数我们可以作类似的分析.例题

例１

如图，液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中，开始时漏斗盛满液体，经过50 秒漏完!已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥中液面下落的距离,则H 与下落时间t(秒)的函数关系用图像表示只可能是以下哪一选项?

分析: 不难看出圆锥中液面下落的距离H 随着时间t 是单调增加的函数, 由于正方体中液面上升的速度是一个常量,所以自变量t 是稳定增加的,因此 液体从漏斗漏出的速度为一常量.又由于圆锥的截面越向下越小,所以随着时间t的稳定增加,圆锥中液面下降的距离H 的变化将越来越快,H关于t 的函数图形应是凹的，故正确答案选(B)

例2： 用凸函数方法证明younger不等式：ｘｙｘ＋ｙ（ｘ，ｙ，，均

＇（ｘ）＝－为正数＋＝１）证明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｎｘ＋ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ或

由ｅｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）ｘ的单调增加性：

ｅｅ即ｘｙｘ＋ｙ 我们可以推广至三元甚至n元的情况１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）均为正数１＋．．．＋ｎ＝１）

＇（ｘ）＝－证明:令ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而

１ｆ（１ｘ＋２ｘ２＋．．．．＋ｎｘｎ）１ｆ（ｘ）＋２ｆ（ｘ２）＋．．．．＋ｎｆ（ｘｎ）＝１ｌｎｘ＋．．．＋ｎｌｎｘｎ＝ｌｎｘｘ２２．．．．ｘｎｎ１１１１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ）ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）或lｎ（１从１２ｎ１２ｎ１２ｎ而１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎ－１1ｘｙ＋例3：证明：对任何正数ｘ，ｙ，当1时，有ｘ－１ｙ

证明：注意不等式系数之和用凸，凹函数证明。

－１1＋＝１，且ｘ，ｙ及系数均为正数，可考虑＇设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆ＇（ｘ）＝－１ｘ２＜０为凹函数，故

－１1ｘ－１1ｘｆ（ｙ＋）ｆ（ｙ）＋ｆ（）－１－１ｙｙ＝－１1ｌｎｙ＋［ｌｎｘ－（－１）ｌｎｙ］ ｌｎ（－１1ｘｙ＋）ｙ－１＝ｌｎｘ由ｅ的单调增加性知：ｅｘｅｌｎｘ－１1ｘｙ＋ｘ 即－１ｙ例4：ｆ（ｘ）为内的凹函数，证明对任意的（ａ，ｂ）有，ｘ［，］，［，］（ａ，ｂ），Ｌ＞０，ｓ．ｔ．ｘ１２ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２证明：由知，存在ｈ＞０，使得[h，h]记［，］（ａ，ｂ）（ａ，ｂ）Ｍ＝ｍａｘ{ｆ（ｘ），}ｍ＝ｍｉｎ{ｆ（ｘ），}于是对ｘ，ｘ［，］,若１２取ｘ由于f(x)为凸函数，故ｘ＜ｘ，＝ｘ＋ｈ，１２３２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ２１３２，从而ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ２１

若ｘ可取ｘ由于f(x)为凸函数，有ｘ，＝ｘ－ｈ，２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍ２３１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ２１１２ｘ－ｘｘ－ｘｈｈ２３１２，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）成立，若ｘ２＝ｘ１２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ１２亦成立，综上所述

ｘ，ｘ［，］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２１２

(2）应用凹凸性的常规定义证题

对函数凹凸性定义, 不同教材有不同的定义形式,下面给出其中一种定义形式: 设f(x)在区间I 上连续,如果对I 上任意两点x1,x2都有f(x1x22)f(x1)f(x2)2那么称f(x)在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如

x1x22)f(x1)f(x2)2n果对I上任意两点x1,x2都有f(的图形是(向上)凸的(或凸弧).,那么称f(x)在I上

1n一般地,看f(x).是区间I上的凹函数,则有.f(i1xin)nf(xi)其中xi是I 内

i1的任意点(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是区间I 上的凸函数时,则不等号反向).定理设f(x).在,[a.b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,如果在(a,b)内.f''(x)0(或f''(x)0).那么f(x).在[a.b]上的图形是凹的（或凸的）（证明全略）

（3）数形结合解题

函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图形的描绘更加精确。

例1：如图所示 半径为r=4的圆c 切直线AB于0 点,线OT从OB出发绕O 点逆时针方向旋转

到OA!OT 交圆C 于P,记.PCO 弓形PMO 的面积s=f(x),试判定f(x)在[0,2]上的凹凸性。

解：由题意可得SS扇形PMOCSPOC, S扇形PMOC12rx2又因为

12rsinx2

rcosx212rsinx2124x8x,SPOC22

124sinx8sinx,x[0,2] 2所以，得f''(x)8x8sinx.当x(0,)时，f''(x)0;当x(,2)时，f''(x)0;由函数凹凸性定理可知，f(x)在[0,]上函数图形为凹，在[0,2]上函数图形为凸。

函数的凹凸性是函数图形的一个重要特征，了解函数的凹凸性能使函数图形的描绘更加精确化。在解决函数变化率的过程中或求某些特殊不等式时，用函数凹凸性求解!会显得更为简捷。

3.二元函数凹凸性的判定及其应用

3.1 二元函数凹凸的定义

定义3.1.13:设f(x,y)是定义在区域C上的二元函数，且满足对任意(x1,y1)C,(x2,y2)C;1,20，且121，有1f(x1,y1)2f(x2,y2)（或）f(1x12x2,1y12y2)我们称f(x,y)在C上为凹（或凸）函数。为了研究方便，设定f(x,y)非常数函数和一次函数。

从定义中看出，为上面定义中等号成立的充分条件而非必要条件。3.2 二元函数凹凸性的判定定理

定理3.2.1

3设fx,y在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y), ''''''则

（1）在D上恒有A<0，且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凸函数；（2）在D上恒有A>0, 且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凹函数。如果A仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域D上恒有A=0时，依据定理1无法判断f(x,y)在区域D上的凹凸性，定理2可解决这个问题。

定理3.3.23

设f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y),在''''''D恒有A=0,ACB20时，则当

当C0时，f(x,y)在区域D上是凹函数。C0时，f(x,y)在区域D上凸函数；证明

任取(x1,y1)，(x2,y2)D,设tx1(1t)x2x0,ty1(1t)y2y0,t(0,1).记x1x0x,y1y2y,则x2x0泰勒

公

tt1x,y2y0tt1y,由二元函数的得

式可tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)''2=t(f(x2,y2)f(x0,y0))=t{fx'(x0,y0)xfy'(x0,y0)y20.5[fxx(1,1)(x)

t(f(x1,y1)f(x0,y0))(12fxy(1,1)xyfyy(1,1)(y)]}(1t){fx(x0,y0)fy(x0,y0)0.5(tt1'''''2'tt1xtt1''y2''''2)[fxx(2,2)(x)2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)]}

=0.5t{f(1,1)(x)2f(1,1)xyf(1,1)(y)''xx2''xy''yy2t22(1t)[fxx(2,2)(x)1)(y)]''22

2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)},其中：''''21x01(x1x0),1y01(y1y0),2x02(x2x0),2y02(y2y0)(o1,21),显然

（1，1）D,(2,2)D.2

由A=0及ACB0得 B=0，于是tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2) 0.5tf(1,1)(y)''yy2t22(1t)fyy(2,2)(y)(t(0,1)).''2

当c0时，即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是

tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，凸函数。当c0时，凹函数。

２例1 讨论ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性

函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)3,fy'(x,y)2y，于是Afxx(x,y)0,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)2,，于是AO,ACB0且''''''2c0，由定理3.3.2可知f(x,y)在其定义域上是凹函数

定理3.3.33设f(x,y)在开区域内2个偏导数，fx(x,y),fy(x,y)，都存在且连续 f(x,y)在D内是凸（凹）函数的充要条件是：对于任意(x1,y1),(x2,y2)D，有f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)（orf(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)证明

只证明凸

''''函数的情形 充分性

任取

t0,1,令x0tx1(1t)x2,yty1(1t)y2由已知可得

''''，'f(x1,y1)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x1x0)fy(x0,y0)(y1y0)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x2x0)fy(x0,y0)(y2y0)'tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)[tx1(1t)x2x0]fy(x0,y0)[ty1(1t)y2y0]，所以f(x,y)在区域D内是凸函数

必要性 由于f(x,y)在区域D内是凸函数，则对任何t0,1,(x1,y1),(x2,y2)D，都有

tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2),整理得

f(x1,y1)f(x2,y2)1t

(f(x2t(x1x2),y2t(y1y2))f(x2,y2))

1''22＝{fx(x2,y2)t(x1x2)fy(x2,y2)t(y1y2)o([t(x1x2)][t(y1y2)])}t＝fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)''o(t(x1x2)(y1y2))t'22

令t0，两边取极限得

f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2),f(x1,y1)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)f(x2,y2)'''即

同理可证凹函数的情形。

3.4 二元凹凸函数的应用（求最大值，最小值）定理3.4.1

5设是在开区域D内具有连续偏导数的凸（或凹）函数，(x0,y0)D且

则f(x0,y0)必为f(x,y)在D内的最大值与最小值

证明：

只证明凸函数的情形。因为ｆ（ｘ，ｙ）是在开区域D内具有连续偏导数的凸函数，由定理3可知，对于任给（ｘ，ｙ）Ｄ,有f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)又f(x0,y0)0,f(x0,y0)0, 'x'y''fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,''

例1：求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2的最大值或最小值。解：函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是得xfx(x,y)0,fy(x,y)0，''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为114f(,)333

同理可证凹函数的情形。

例2 求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2在定义域内的最大值或最小值

解函数。的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是

Afxx(x,y)6,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)6则A0,ACB0所以''''''2f(x,y)在其定义域内是凹函数，令fx(x,y)0,fy(x,y)0，得x''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为f(,)331143

4．多元函数凹凸性的判定

4.1多元函数凹凸性的几个定义

定义4.1.16 设D是n维空间的一个区域，若＇'''p(x1,x2,...,xn)D,p(x1,x2,...,xn)D 则

''（1）设fxy 总能分解成fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则D上是凹（凸）的；

''''（2）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x1),...,xn(xnxn))D,'''f(x,y)在则称D是凸函数，否则称D为凹函数。

定义4.1.26 设f(p)是定义在凸函数D上的函数，p1(x11,x12,...,x1n),p2(x12,x22,...xn2)是D上的任意两点，记p0(12x11x222,x21x22212,...,xn1xn22).（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3）若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称在D上是线性的，21则称f在D上是线性的。这两种定义是等价的

在二元函数中，设D是２维空间的一个区域，若p(x1,x2)D,p＇(x1',x2')D

''则由定义一知（1）设fxy总能分解成

fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则在ｆ（ｘ，ｙ）'D上是凹（凸）的；

''''（２）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x２))D,则称

'D是凸函数，否则称D为凹函数。

由定义二知

设f(p)是定义在凸函数D上的函数p1(x11,x12),p2(x12,x22)是D上的任意两点，记p0(x11x22212,x21x222).1（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成2立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称f在D上是线性的。

21例如三元函数f(x,y,z)xyz就是一个凹函数 4.2多元函数凹凸性的几个判定定理 定理4.2.18 设f(x,y)是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记''''''2那么，Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,若C0且不恒为0，当A0或C0，函数f在D上上凹，当A>0或C<0，函数f在D上上凸，若0当A0或C0，函数f在D上是凹的，当A0或C<0，函数f在D上上凸。证明:任取p1(x1,y1),p2(x2,y2)D,记p0(x0,y0)(f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''''x1x222M22,y1y22),由泰勒公式

M1

则当A0,C0时

Mi(xix0)fxx(i,i)2(xix0)(yiy0)fxy(i,i)(yiy0)fyy(xi,i)＝＝{[(xix0)A(yiy0)B](yiy0)(BAC)}A{[(xix0)B(yiy0)C](xix0)(BAC)}C''2''''2''222222(i1,2)f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)M12M2f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''2则

f(p1)f(p2)2f(p0)M1M22

当0,A0，C>0,Mi0,f(p1)f(p2)2f(p0),0,A0,C0时，定理得证

利用泰勒公式，我们不难证明

定理4.2.29设f(x,y)是凸函数D上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有f(x,y)在D上是严格凹（凸）的。

''''''若fxxfxyfyy0,，则f(x,y)在D上线性的。

定理一和定理显然不难推广到一般徳多元函数中去，这里不再叙述。定理4.2.39 设ｆ是凸区域D上的n元函数，nD1{(x1,x2,...,xn)}(x1,x2,...,xn)D, an1axii1i0,a是任意常数}是D中的任意平面区域；（1）ｆ在D上上凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上上凹（凸）或线性，但非恒线性的；

（2）ｆ在D上严格凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上是严格上凹（凸）的；（3）ｆ在D上是线性的等价于ｆ在D上是线性的。证明：（只证严格上凹的情形）设ｆ在D内任何平面区域Ｄ１上均严格上凹，故有f(p1)+f(ｐ)2f(p0)２因而ｆ在D上严格上凹。反之，若ｆ在D上严格上凹，显然在任何Ｄ１上也是严格上凹。

在上面的基础上给出

定义

设n元函数f在n元凸区域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 则称f在D上是凹凸不平的

定理4.2.110

设ｆ（ｘ，ｙ）是凸区域D上的具有二阶连续偏导数的二元函

''''''2数，对(x,y)D记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,则、（1）f在D上是平的ABC;(2)f在D上是凹的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)；（3）f在D上是平的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)；

（4）f在D上是凹凸不平的PD,使(p)0,或A（或C）在D上值是可正负的。

（注：若,A,C在D内没有零点或只有孤立点，则（2）、（3）就成了严格上凹凸的情况）

证明：只证（2）与（4）。先证（2）

在D内任取一条线段，不妨记其方程是xx0或ykxb(k是任意实数）易得f在D上上凹f在线段xx0上上凹或线性，且在线段ykxb上上凹或''''2''''''2''线性但非恒线性fyy(x0,y)0，且g(x)fxx(x,kxb)kfxx(x,y)2kfxy(x,y)fyy(x,y)Ak2BKC0（等

''号不恒取)，xx(x,y)D,且ykxb其中fyy(x0,y)0（对(x0,y)D)C0）

对于Ak22BkC0(k任意，等号不恒取)，分别有

（1）A0时，2BKC0有，对任意k恒成立，则B0,C0。此时''0,Cg(x)0

（2）A0时，4B24AC40,即0,C0

由（1）与（2）知，g''(x)0（等号不恒取）0,A0且C0（A,B,C不全恒为0）综上可得，f在D上上凹0,A0且C0（A,B,C不全恒为0）

再证（4）由定理中的（1）、（2）、（3）f在D上凹凸不平f在D上不是平的，不是凹的也不是凸的A，B,C不全恒为0，且p1D,使(p1)0或p2D,使A(p2)0，或p3D,使C(p3)0，同时，Q1D,使(Q1)0，或Q2D使A(Q2)0或Q3D,使 C(Q3)0 pD,使(p)0,或A（或C）在D上可正负。

小 结

函数的凹凸性是解决函数问题经常遇到的，一元，二元，至多元函数的凹凸函数的性质及判定在数学中具有重要的作用。利用函数凹凸性的判定定理对解决函数问题具有很大的帮助。在熟悉函数凹凸性的定义时更要掌握函数凹凸性的几个重要的判定定理。

参考文献

[1] 同济大学数学教研室主编.数学分析[M].北京：高等教育出版社.1982.[2] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社.1988.[3] 李再湘.函数凹凸性的定义[J].数学通报.第三卷.1992(4):43-45.[4] 安振平.凹凸性的判定[J].基础教育.第四卷.1994(6):43-45.[5] 杨正义.一元函数凹凸性的应用[J].教学研究.第六卷.1997(6):45-47.[6] 郭慧清.多元函数函数凹凸性 [J].甘肃教育.第二卷.1996(12):8-10.[7] 毛晓锋.函数凹凸性的性质[J].数学通报.第五卷.2001(12):27-29.[8] 万莉娟.关于函数凹凸性的几个判别法[J].高师理科学刊,2005,25(1):7-9.[9]高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用.沧州专科师范学校 学报,2003,9,19(3).[10]罗志斌,曾华菊.关于函数凹凸性定义的一个注解.赣南师范学 院学报,2005(3).致

谢

本文在选题，修改及其完稿的整个过程中，都是在宋贤梅老师的细心指导下完成的，在写作的过程中，宋老师严格要求，同时又给予鼓励，引导我正确的写作思路，传授我适当的写作方法,在此对她表示忠心的感谢！

第四篇：论试提高热连轧机厚度精度的最优控制原理和方法

论试提高热连轧机厚度精度的最优控制原理和方法

摘要：众所周知，热连轧机宽幅越大，意味着轧制难度越大。如何提高热连轧机厚度与精度，提供整套热连轧机电气和自动化，并通过人机界面管理工艺控制模型、过程控制、电机及配套传动、制造执行系统等非常重要。文章以热连轧机厚度精度最优控制为例，介绍了控制厚度精度既要提高生产效率，也要按设计、供货和安装要求来实施。

关建词：热连轧机；厚度精度；最优控制原理；人机界面；综合成材率 文献标识码：A

中图分类号：TP131 文章编号：1009-2374（2017）08-0046-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2017.08.022

钢材优质率是衡量热连冷轧产品工艺性稳定与否的主要指标。热连轧机厚度精度最优控制过程中，生产企业要加强酸轧、退火、精整生产线的过程控制和工艺管理，强化对影响优质工艺指标的监督和考核，促进带钢优质率提升，通过设立热连轧机厚度精度标准化管理，确保参数设置准确到位。如何破解标准化操作破解热连冷轧厚度精度难题

第一，随着热连轧机对产品厚度精度要求的不断提高，热连冷轧产品出现的压痕、麻点、堆钢等问题纷纷显现，严重制约钢铁企业生产的正常进行。据对热连冷轧厚度精度数据统计分析，在不计其数的生产数据中，冷轧厚度精度出现较多问题其中之一就是热连冷轧翘头难题，热连冷轧翘头严重时，会影响板坯咬入或顶撞设备造成事故，扣头对设备的冲击力特别大。出现这种隐患是因为生产企业因操作不当造成轧钢上下表面温度差、上下工作辊辊速差、上下工作辊辊径差、轧制线高度差以及上下工作辊轴线不在一个垂直面上。需要操作时在每一次换辊前，必须核对辊径保证配辊的合理，换辊后对轧制线高度进行检查确认，对上下工作辊轴线垂直面等参数进行调整，对发现的趋势性问题第一时间向技术人员进行反馈，有效减少了事故发生的概率。

第二，热连轧机厚度精度管控过程中，要利用中控显示器，监控厚度精度，根据生产及天气情况调整厚度精度，改进机料流，确保铁材符合生产要求。

第三，在转炉更换出钢口时，钢铁企业要采取新型定位装置，快速确定出钢口中心线的位置，再通过小砖块对出钢口套筒进行固定，使得出钢口倾角为零度，从而延长了出钢口的寿命，减少了出钢下渣，强化了出钢钢流对钢水的搅拌，提高了合金元素的收得率。

第四，热连轧机在厚度精度上，要打破主线和后部处理分区限制，建立中棒线矫直与大棒线矫直互补、大棒线（矫直+抛丸+探伤）与小棒线精饰互补、小棒线精饰与小棒线探伤互补、异型钢压力热连轧机机动补充的生产模式，按组距优势发挥后部各条产线最大效能，充分凸显轧钢整合优势。热连轧机厚度精度工艺流程及效率提高方法

第一，热连轧机厚度精度工艺流程点多面广、区域分散、工艺繁杂，需要钢铁企业变革整合、理顺流程，将轧钢线后部工序整合为小棒成品和小棒精饰、大棒成品和大棒精饰、中棒成品和后部点检站，实施扁平化

管理。

第二，热连轧机厚度精度工艺流程小棒线精饰工段减少了各工序间的交接程序，根据设备特点合理优化生产组织，使长工艺流程生产更加顺畅，质量信息反馈及处理更快，大大提高了生产效率。

第三，热连轧机厚度精度工艺流程的小棒线，具备精饰、探伤、银亮、退火四个工段，整合后的小棒线精饰工段，后部工序工作流程更加清晰、责任也更加明确，成品工段任务的效率都已明显提高。

第四，随着钢铁市场形势持续恶化，客户对钢材质量要求越来越高，这就需要钢铁企业要严格跟踪措施执行情况；现场质量工程师要每周将检查情况反馈，确保产品质量过程控制，有效提升了产品质量。钢铁企业要针对客户反馈的质量问题，后部作业工序工程师要深入现场组织实验，分析研究问题，制定可靠、有效的

措施。

第五，热连轧机厚度精度不同，导钢材表面存在硬化组织，严重影响产品质量。这就需要钢铁企业依据热连轧机厚度精度不同，要掌握热连轧机辊缝、角度、速度等参数对表面硬化的影响关系，规范热连轧机调整操作后，避免出现表面硬化问题。在作业标准规定的基础上提高测量频次，确保及时发现问题及时处理，通过对产品进行全程跟踪，保证质量稳定。科学调整生产运行模式，实现热连轧机厚度精度性能最优化

第一，热连轧机厚度精度加工过程中，要结合轧机工艺生产特点，实施厚度精度时时管控，提升工艺控制水平，优化经济技术指标。满足热连轧机厚度精度的技术要求。生产操作管控方面实施参数群优化管理，强化生产过程控制，不断提升热连轧机系统稳定性和高炉操作量化管控水平，增强高炉抗波动能力。

第二，钢铁企业要不断优化岗位操作，降低热连轧机工序运行成本。通过加强筛网管理，既控制筛网堵塞率，保证入炉料粉末不超标，确保高炉顺行，避免成品厚度精度不达标。在优化生产组织的同时，不断强化热连轧机设备管理，通过对设备合理改进，既能降低成本，又能保证设备长期正常运转。

第三，热连轧机厚度精度生产过程中，钢铁企业要积极开展降低轧辊消耗，通过采取优化加热制度、固化热轧油使用、优化轧辊磨削制度等措施，使轧辊消耗持续降低，进一步对轧钢厚度精度进行精细调整，提高钢材厚度精度，通过科学热连等措施，进一步提高轧机生产产品的厚度与精度。

第四，?崃?轧机生产铁材保证其厚度与精度的工艺操作过程，应采用低压多段穿水技术，改善通条钢筋的组织结构，优化产品力学性能。采取有效办法精确控制头尾温度。要精心控制加热炉各段温度轧制线各工序温度，最大限度避免因温差超标而影响产品质量的情况

出现。

实现铁材厚度精度工艺批量生产，不仅能提高产品的经济效益，更重要的是能够为研发更多规格高性能产品积累成功经验。抓住关键工序、关键控制点、关键工艺提高冷轧综合成材率

第一，针对钢铁企业热连轧机厚度精度生产质量管控难题，需要钢铁企业要跟踪轧制后的实际板形，对板形控制系统和轧制参数进行优化。通过辊轧机轧制板形的控制，改善轧机出口板形，有效降低了光亮炉的跑偏及退火后板形不良的发生率。

第二，自动轧机在轧制薄壁规格产品时，容易出现轧卡、撕破等现象，产生中间轧废，废品极大地降低了无缝机组的综合成材率。

第三，生产企业将轧管废品通过鱼刺图、末端因素分析法确定质量工具，分析出造成轧废的主要原因，通过技术改造、合理控制工艺参数、提高操作水平等一系列对策的实施，降低轧机产生废品的数量。

第四，热连轧机设备系统要通过优化工序间的协调，尽可能减少二次切边合同比例，把废钢量降到最低点，轧钢企业要通过加强质量检查，运用测量系统分析，不断提高质检业务水平和质量意识，把废次品发生量控制在最小范围内。

第五，加强重点产品控制，提高成材率。如通过减少轧机切边量，拓展轧机不切边合同生产，减少了电工钢产品废板，提高了工序成材率。并通过合理控制定尺寸及回切水平，降低正常回切产品产生的成材率消耗，强化大规格生产措施，按新标准控制减少划伤的废品量。利用简易精整线设备进行小规格产品的矫直、探伤和测径，既保证了最终产品质量，又提高了成材率指标。热连轧机厚度精度的技术参数要求

第一，热连轧机厚度精度公差技术要求：热连轧机厚度精度负偏差达到-0.3毫米时，厚度精度要按规定测量钢板平均厚度不得小于钢板名义厚度，正公差按照相关国家标准执行。

第二，热连轧机按规定测量厚度精度的方法，即对钢板厚度测量采用自动或手工测量方法，按照要求的测量位置至少选两条线，每条线至少选三个测量点。平均厚度为测量结果的算术平均值。

第三，热连轧机按正公差控制热连轧机所用钢板，要按规定进行厚度测量和计算钢板平均厚度精度。对于高比例使用负公差轧钢，测量的平均厚度不得小于钢板名义厚度，要求限制轧机负公差轧制。

第四，热连轧机需要公差上移时，正公差控制轧制所造成的钢板交货重量要增加，轧机厚度精度发生变化，钢企对其带来的影响应有充分的思想准备，并做好相关应对工作。结语

综上所述，在钢铁企业热连轧机厚度精度最优控制过程中，要大幅提高机组和轧机的速度，提高冷轧厚度精度，需要在冷轧机上采用全液压压下装置，增加轧机压下装置的反应速度，并采用带钢厚度自动控制装置。对于高速、高产量的带钢冷连轧机，实现了计算机控制。并要通过实现改善板形，广泛采用液压弯辊装置来改善板形。提高自动化程度。在生产操作自动化方面，钢铁企业要采用各种形式的极限开关、光电管等，对每个动作实行自动程序控制，实现钢卷对中、带钢边缘纠偏、机组中带钢速度的自动调整、剪切钢板的自动分选等自动化操作和控制。钢铁企业还需要通过改进生产工艺，采用新工艺、新设备，通过深冲钢板连续退火作业线和浅槽盐酸酸洗、HC轧机、和异步轧制等，以简化冷轧工艺过程，从而提高热连轧机带钢的厚度和精度。

参考文献

[1] 马忠良，王秉之.安钢轧钢系统厚度精度分析[J].河

南冶金，2007，（9）.基金?目：福建省中青年教师教育科研项目资助（JB31240）。

作者简介：许俊杰（1992-），女，闽南理工学院助教；林木泉（1989-），男，闽南理工学院助教。

（责任编辑：蒋建华）

第五篇：2018考研数学重点题型：极限存在性的判定

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2018考研数学重点题型：极限存在性的判定

在考研数学试卷中，有一类型的题目是考查极限是否存在，有的题目是我们判断极限是否存在，有的题目是证明数列极限或函数极限存在。这也是考研数字中常考的一类题型，就做题当中常用的一些解题方法，本文来给同学们进行总结归纳一下。

命题1(单调有界准则)单调有界数列必有极限，即必收敛。

证明数列的极限存在或收敛，一般用的就是命题1。

下列几类函数的极限常由单侧极限准则判断其存在性.若存在，也用它求其极限.(1)在分段点两侧函数表达式不同的分段函数，判定其在分段点处的极限存在性;

(2)含绝对值符号的函数，需先去掉绝对值符号化为分段函数进行讨论;

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上面所介绍的命题1主要用于证明数列极限的存在性，而命题2和命题3 用于判断函数的极限的存在性，而命题3也是求某些特定的函数在某点的极限。

希望同学们对于上面的基本原理可以搞清楚，且应用它们可以灵活解题即可，明白在何种情形下，应该用哪个命题进行解题即可。

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