10专升本《高等数学》高分实战技术

第一篇：10专升本《高等数学》高分实战技术

专升本《高等数学》高分实战技术

焦作大学 王 岗

冲刺：试卷分析第一阶段

题目分类

一、已知知识点明确的题目；

二、有疑问的题目；

三、不会的；

四、错题：（1）笔误和审题错误；（2）原则错误。试卷分析第二阶段：

一、分析试卷题目针对的各部分的知识点，突出重要点；

二、分析知识点的基本题型结构及解决方法；

三、题目结构变化、延伸。

试卷分析第三阶段：重复以上工作形成基本成熟的知识体系和解答试题的方法思想。试卷分析第四阶段：强化和提高竞技状态。试卷分析第五阶段：回顾放松、培养自信心。基本中心：

四大运算结构：

1、函数结构运算；

2、极限运算；

3、导数、微分运算；

4、积分运算。

经典语言：对哪一个函数关于哪一个变量在做什么运算。概念题分析

一、函数与极限的考点

1、函数结构（定义域与函数值）

2、函数性质：主要奇偶性。

3、无穷小量：

4、常见极限结论：

5、极限存在的充要条件及函数的连续性。

6、间断点：

一、函数与极限

1、函数结构（定义域与函数值）：

（1）具体解析式：以对数函数、无理根式、反三角函数为基础组合题目；（2）抽象式：

1、已知f(x)求f[(x)]的。

2、已知f[(x)]求f(x)的。例、设f(1x)的定义域为1,5，则f(x)的定义域为________（3）发展延伸：

1、积分函数[(x)](x)af(t)dt

x2、导函数若 例f(e)1x,则 f(x)

x令te,xlntf(t)1lnt，即f(x)1lnx，故f(x)xlnxc

(1)n3、幂级数的和函数值 例e2 nn0n!2

12、函数性质：主要奇偶性。

axax(a0)偶 f(x)ln(1xx)奇 f(x)22axaxf(x)(a0)奇 f(x)(x)(x)偶

2f(x)(x)(x)奇 f(x)ln3、无穷小量：

（1）常见的等价无穷小量

ax(a0)奇 ax1(x))~(x)当x0时(x)0 当x0时 ln(1x)~xln(x当x0时e1~x;当x0时1cosx~12x.2当x0时tanxsinx~131x;当x0时xsinx~x3 26当x0时1x1x~x

(x)ln(13x2)3x2（2）lim 例limlim23

x0(x)22x0x0x1x1x注意：（1）有限个不同阶的无穷小量之和取其弱。（2）有限个不同阶的无穷大量之和取其强。例: 当x0时,x1cosx与x是()A.等价无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶无穷小 D.低阶无穷小

4、常见极限结论：（要注意延伸变化）sinx111 limxsin1 limnsin1

x0xnxxnsinx1sinn0 limxsin0 lim0 limxx0nxxn（1）lim lim(x)sinx010 (x)bcbcbcxdb)ea lim(1)cndea

（2）lim(1xnaxan（3）lima，limx01xxaxaxa，limx0sinxx，不存在；limax01x20,(a1)。

5、极限存在的充要条件及函数的连续性。

6、间断点：

（1）间断点分类；（2）几个常利用的函数

f(x)xx1x，f(x)xaxa，f(x)sinxx1x2，f(x)arctan(xa)

x2a2f(x)a1a11x主要利用lima及limax01xx0(a1)结论。

二、导数与微分的考点

1、定义式

2、可导与连续

3、导数的几何意义：

4、参数方程与隐函数的导数

5、高阶导数：

二、导数与微分

1、定义式 定义limh0f(x0ah)f(x0bh)abf(x0)

chc 定义limxx0f(x)f(x0)f(x0)

xx0f(x)x(xa1)(xa2)(xan)求f(ai)

2、可导与连续

常用的几个函数结构

1kxsin（1）f(x)x0（3）f(x)x0x0；（2）f(x)x

1x1xln(1x)1x0x0

(x)x0,其中当x0时(x)~(x)则f(x)在x0处连续且可导。f(x)(x)x0.

3、导数的几何意义：求切线方程和法线方程，确定一些函数值。（可导函数的极值点必为驻点f(x)0）

4、参数方程与隐函数的导数（1）参数方程二阶导

xx(t)xx(t)d2ydyy(t)2 dxyy(t)dxx(x)要注意dydx还是 dxdy（2）幂指结构

yu(x)v(x)dyv(x)u(x)v(x)1u(x)v(x)u(x)v(x)lnu(x)dx5、高阶导数：（1）常用的结论

注意f(n)(x)[f(axb)](n)anf(n)(axb)例(sin(3x2))(n)

三、中值定理与导数应用的考点

1、中值定理

2、函数的单调性、极值，凹凸、拐点。

3、渐近线

三、中值定理与导数应用

1、中值定理

（1）选定满足定理条件的函数题型；

（2）求满足定理条件的值的题型 即求f(x)0；及f(x)f(b)f(a)的根。

ba（3）零点定理及方程根的问题

2、函数的单调性、极值，凹凸、拐点。（1）、基本定理题目。（2）极限局部保号性

limxaf(x)f(a)b则有b0f(x)f(a),xa为极小值点f(a)为极小值，2(xa)则有b0f(x)f(a),xa为极大值点f(a)为极大值。（3）类似结构可判定增减、凹凸

limf(x)f(x)blimb

xa(xa)2xa(xa)2（3）单调性应用

例 设f(a)g(a)，且当xa时，f(x)g(x)，则当xa必有（）

例 已知函数fx在区间1,1内具有二阶导数，fx严格单调减少，且 f1f11，则 有(A)在1,1和1,1内均有fxx(B)在1,1和1,1内均有fxx(C)在1,1内fxx，在1,1内fxx(D)在1,1内fxx，在1,1内fxx

3、渐近线

水平渐近线limf(x)A,yA为水平渐近线；limf(x)，xx0为垂直渐近线

xxx0xe曲线f(x)既有水平又有垂直渐近线？ 曲线f(x)ex(x1)的水平及垂直渐近线

x11x21 曲线y1xx2的铅锤渐近线是

四、不定积分与定积分的考点

1、被积函数与原函数的关系

2、定积分概念、性质

3、广义积分

1、被积函数与原函数的关系即

F(x)f(t)dt,F[(x)],f(x),f(x)

f[(x)]之间关系。既已知什么求什么。f[(x)],例 设f(x)连续且不等于零，若

f(x)dxarctanxc，dxx32则(1x)dxxc

f(x)3注意已知f(x)dxF(x)C求(x)f[(x)]dxF[(x)]C题型

x例 若f(x)e，则f(lnx)dxf(lnx)celnxcxc x2、定积分概念、性质（1）对称区间上的定积分 例11x2ln(x21x)dx0； (x9x2)2dx29dx

2022（2）变上限积分

(x)f(t)dt是f(x)的一个原函数即(x)f(x)

ax[(x)](x)af(t)dt((x)af(t)dt)([(x)])[(x)](x)f[(x)](x)

5((x)h(x)f(t)dt)f[(x)](x)f[h(x)]h(x)

例已知ex2af(t)dttanexf(x)

2积分上限函数构成的微分方程要注意内含的初始条件问题。例：已知连续函数f(x)满足f(x)e（3）定积分的几何意义

2xtf()dt，求f(x)033xaa122sinxdxnaxdxa  0222n（4）积分性质：估值定理结合最值 M(ba)baf(x)dxm(ba)

(5)平均值：

3、广义积分

几个重要结论（1）baf(x)dxba

1p1时收敛1 dx0p1时发散xpp1时收敛11。特别注意dx是发散的。dx2p2(lnx)x(lnx)0p1时发散（2）2（3）1p1时收敛1 dx(a0,b0)pabx0p1时发散akxdx,(a1)k0时收敛（4）0（5）b0p1时发散1。dxpx0p1时收敛（6）注意对应的级数有相同的敛散性。

五、空间解析几何部分的考点

1、数量积、向量积概念、向量积几何意义。

2、直线与直线、直线与平面等位置关系

x2yz50x1y0z2直线与直线的位置关系（）不平行也不垂直 3352xyz604443、方程所表示的曲面：主要是二次曲面注意三个方向x0y，xoz，yoz

4、投影曲线方程

22zxy空间曲线C：在xoy平面上的投影曲线方程_______________ 22z2(xy)

六、偏导数与全微分的考点

1.偏导数概念

2、极限、连续、偏导与全微分的关系

3、求偏导数与全微分的值

注意利用偏导数几何意义 即fx(x,b)为zf(x,y)zf(x,y)关于x求导 ； fy(a,y)为关于y求导。

ybxa例设f(x,y)2x(y3)arctanx2则fx(1,3)_______ yf(x,3)2xfx(x,3)2fx(1,3)2

4、二元极值部分（1）驻点（2）极值点 七、二重积分部分的考点 重在正确分析积分区域

即（1）正确读出D的代数信息；（2）正确读出D的几何信息；

（3）正确读出D的代数结构信息；（4）写出累次积分；（5）计算结果。

1、交换积分次序

2、直角坐标与极坐标的相互转化

（1）x2y2a202

0ra（2）xy2ax22

0r2acos22（3）x2y22ay0

0r2asin例20d02sin0f(rcos,rsin)rdr

22yy20020d2sinf(rcos,rsin)rdrdyf(x,y)dx

2、曲线积分

（1）对弧长曲线积分

（2）.对坐标的曲线积分

与路径无关的条件即

LP(x,y)dxQ(x,y)dy中有

PQ yx 7 (x2,y2)(x1,y1)P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y1)dxQ(x2,y)dy

x1y1x2y2（3）面积问题 s

八、级数部分的考点

1、常数项级数（1）收敛定义 1xdyydx,L为正向一周 L2（2）收敛必要条件limun0，一定要注意以limn10为基础的敛散性的划分。nn（3）一般级数：收+收=收； 收+散=散； 散+散=不一定

2、正项级数

（1）几个常用结论

p1收敛p1收敛11 p；  p0p1发散0p1发散nn(lnn)n1n2p1收敛1。(a0,b0)pn1abn0p1发散11 发散ln(1)2n(lnn)n1n2

（2）以nk,an(a1),n!,nn组合为通项题型。

ann!(a0),(1)0ae收敛(2)ae发散 nn1n（3）非常规的要善于利用n时通项an~1的结论判断。nk111例ln(12)(1cos)(sin)

nnnn1n1n1n（4）绝对收敛、条件收敛

3、幂级数

（1）幂级数的收敛半径、收敛区间 P(n)xR1,(1,1)； nn0P(n)nxRa,(a,a)。nn0a1P(n)n 例：(x1)n(xb)Ra,(ba,ba)n2nn0an0(3n2n)5P(n)anxnRn0111,(,)aaa 8 P(n)an(xb)nRn0111,(b,b)aaa（2）幂级数的展开式：

（3）幂级数的和函数

1(1)n2n3例

e2n(lnn)n!3n2n0

2九、微分方程部分的考点

1、方程类型

2、已知方程求通解或解。选择以验证为主。

3、已知通解或解求方程。

二阶常系数线性齐次方程为例

（1）yC1e1xC2e2xy(12)y12y0

（2）y(C1xC2)exy2y2y0（3）yex(CcosxCsinx)y2y(22)y0

4、二阶常系数线性非齐次方程特解问题

例 通解为yC1cos2xC2sin2x2x的二阶常系数线性非齐次方程为

y4y8x将yx代入y4yf(x)f(x)8x

3x例设yy(x)是二阶常系数线性非齐次方程y2yye满足条件

y(0)0,y(0)0的解，则limx0x0x02x0sintdty(x)___

limy(x)lim(e3x2y(x)y(x))1

计算题分析

一、求极限：以幂指函数及洛必塔法则结合等价无穷小为主。

二、求导数与微分

三、求不定积分：以分部积分为主。

四、定积分：以换元和分区间题型为主。

五、多元复合偏导及全微分

例 若zf(xy,)g()且f,g可微，求xyyxzz,.xy解：令uxy,vxy,w,则zf(u,v)g(w)yx9 zf(u,v)uf(u,v)vdg(w)w1yyyfufv2g()xuxvxdwxyxx 六、二重积分：

1、重在正确分析积分区域 即（1）正确读出D的代数信息；

（2）正确读出D的几何信息；

（3）正确读出D的代数结构信息；

（4）写出累次积分；

（5）计算结果。

2、注意被积函数中出现

sinycosyy2y2;;e;e;siny2;cosy2,一般采用y型积分函数。yy3、注意x型积分区域及y型积分区域的特点，既垂直线和水平线。

七、展开成幂级数、求收敛区间;方法以不变应万变 an0nxanxn,unanxn nn0un1an1xn1an1limlimlimxx nunaxnnannnx1收敛即x1，R1，(11,)

(2n)!2n14n1n1n2nn例

1、nx2、3、4、x(x3)x222(n!)3n2nn1n0n0n0几个重要结论

11n（1）x,x1;（2）(1)nxn,x1;

1xn01xn0nxn1n1x（3）ln(1x)(1)(1),x1;n1nn0n1n1xnn2nx（4）(1)x,x1;（5）e,x(,)21xn0n0n!2nx2n1nx（5）sinx(1),x(,)（7）cosx(1),x(,)(2n1)!(2n)!n0n0nxxn1xnn（8）nx,x1;（9）ln(1x),x1;2n(1x)n1n0n1n1 10 注意F(x),f(x),f(x)F[(x)],f[(x)],f[(x)]应用。例将函数f(x)1展开成x的幂级数，并写出收敛区间。212x3x11313nn1()3x(1)nxn 解：f(x)2413x1x12x3x4n04n03n1(1)nn11 []x;x(,)

433n0

八、求微分方程的通解：以一阶线性非齐次方程为主。注意深度变形

1、常规的一阶线性非齐次方程。

2、x,y角色互换类型。

3、积分变限函数类型（注意隐藏的初始条件）。

4、缺y的可降阶为一阶线性非齐次方程的。例yy1xex降阶ppxex xx应用题分析

一、求面积及旋转体的体积（几何问题）二、一元函数求最值、多元函数求最值（几何问题、简单经济问题）证明题分析：

等式、不等式、方程根、积分等式、变上限函数的奇偶性的讨论、中值定理等。尤以中值定理要注意利用微分方程解构造辅助函数。

第二篇：专升本高等数学(二)

成人高考（专升本）高等数学二

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学 第一节导数与微分

[复习考试要求]

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用

[复习考试要求]

1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

[复习考试要求]

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2.熟练掌握不定积分的基本公式。

3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。

4.熟练掌握不定积分的分部积分法。5.掌握简单有理函数不定积分的计算。

第二节定积分及其应用

[复习考试要求]

1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质

3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。

7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

第四章多元函数微分学

[复习考试要求]

1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念。

3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。

第五章概率论初步

[复习考试要求]

1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。

2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。

6.了解随机变量的概念及其分布函数。

7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。[主要知识内容]

（一）数列的极限 1.数列

定义按一定顺序排列的无穷多个数

称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如

（1）1，3，5，„，（2n-1），„（等差数列）（2）（3）（等比数列）（递增数列），„（震荡数列）（4）1，0，1，0，„都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）,。

对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3„一切正整

数时，对应的函数值就排列成数列。

在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,„。2.数列的极限

定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作

比如：

无限的趋向0，无限的趋向1 否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1，3，5，„，（2n-1），„ 1，0，1，0，„

依次用数轴上的点表示，若数数列极限的几何意义：将常数A及数列的项列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。比如：

无限的趋向0 无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，„

有界：0，1 2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：（1）（2），则，定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理。定理1.5

（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念 1.当x→x0时函数f（x）的极限（1）当x→x0时f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→x0时）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左极限

当x→x0时f（x）的左极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作

或f（x0-0）=A（3）右极限

当x→x0时，f（x）的右极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作

或f（x0+0）=A 例子：分段函数，求，解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有

当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有

显然，函数的左极限系：

定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

反之，如果左、右极限都等于A，则必有

x→1时f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

对于函数，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。

右极限

与函数的极限

之间有以下关

2.当x→∞时，函数f（x）的极限（1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称

当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→∞时）

（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作

x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函数，当x→-∞时，f（x）→？

解：当x→-∞时，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）的极限是1，记作 也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时

其几何意义如图3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。

（四）函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理1.8（两面夹定理）设函数满足条件：（1），（2）

在点的某个邻域内（可除外）则有。

注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果（1）（2）

则

（3）当时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：

（1）（2）

（3）

用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。

（五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数常用希腊字母定理1.10函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数

为无穷小量，一般记作，„来表示无穷小量。以A为极限的必要充分条件是： 的极限为零，则称在该变化过程中，可表示为A与一个无穷小量之和。

注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。

（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如：

振荡型发散

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。

2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无。

或

。限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

定理1.11在同一变化过程中，如果如果当当为无穷小量，且无穷大 无穷小 为无穷小，则

为无穷大量，则为无穷大量。

为无穷小量；反之，无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较 定义设（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一变化过程中的无穷小量，即则称

是比较高阶的无穷小量，记作

。；

则称与为同阶的无穷小量； 则称与则称

为等价无穷小量，记为是比较低价的无穷小量。当

；

等价无穷小量代换定理：

如果当时存在，则又有。

均为无穷小

均为无穷小量，又有且

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有： 当时，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ

重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式

令

这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的其结构式为：

型的极限问题。

2.重要极限Ⅱ

重要极限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为 e=2.7***045„„ 其结构式为：

重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。

（七）求极限的方法：

1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式

（2）（3）

（4）例1.无穷小量的有关概念

（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是 A.C.A.B.D.发散

[答]C

D.（2）[0202]当时，与x比较是 A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量

C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量 [答]B 解:当,与x是

极限的运算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解约分求极限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]计算解: 例3.型有理化约分求极限（1）[0316]计算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.当时求

型的极限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要极限Ⅰ求极限

（1）[9603]下列极限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要极限Ⅱ求极限

（1）[0416]计算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]计算

[答]

解:

例7.用函数的连续性求极限 [0407]解:，[答]0

例8.用等价无穷小代换定理求极限 [0317]解:当 [答]0

例9.求分段函数在分段点处的极限（1）[0307]设则在的左极限[答]1 [解析]

（2）[0406]设[解析] ,则

[答]1

例10.求极限的反问题（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必达法则）

即（2）若[解析]型未定式.当时，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.则常数

，即，得，.求a,b的值..，得，..，则k=_____.（答:ln2）

前面我们讲的内容：

极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。[主要知识内容]

（一）函数连续的概念 1.函数在点x0处连续

定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即

则称函数y=f（x）在点x0处连续。

函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：

定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即

定义3设函数y=f（x），如果，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续。2.函数在区间[a，b]上连续

定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点X处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：，在右端点b连续，是指满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。

可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3.函数的间断点

定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一：（1）在点x0处，f（x）没有定义；

（2）在点x0处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且，则点x0是f（x）一个间断点。

存在，但，则f（x）在

A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续 C.x=0处间断，x=1处连续 D.x=0处连续，x=1处间断

解：x=0处，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0为f（x）的间断点 x=1处，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C [9703]设A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0处连续，则k等于

［答案］B 例3[0209]设解：f（0）=e0=1

在x=0处连续，则a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续（2）f（x）·g（x）在x0处连续（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。

在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。

（三）闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存

处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即

在一个ξ，使得

推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函数的连续性

由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。

定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则

f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。［0407］

[0611]

例1.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根.证：设f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上连续 f（0）=1 f（1）=-3 由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）内至少有一个实根。本章小结

函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。

这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下：

一、概念部分

重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。

极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。

函数在一点连续性的三个基本要素：（1）f（x）在点x0有定义。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、运算部分

重点：求极限，函数的点连续性的判定。1.求函数极限的常用方法主要有：（1）利用极限的四则运算法则求极限；

对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用两个重要极限求极限；

（3）利用无穷小量的性质求极限；（4）利用函数的连续性求极限； 若f（x）在x0处连续，则。

（5）利用等价无穷小代换定理求极限；（6）会求分段函数在分段点处的极限；（7）利用洛必达法则求未定式的极限。

2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。

第三篇：专升本高等数学复习题15

数学分析3试卷（2）

一、（12%）判别下列级数的敛散性：



（1）

n1(n!)2(2n)!（2）

n1nnn(2n1)

二、（20%）证明

11xsinysinyx（1）f(x,y)

0xy0xy0(x,y)在原点(0,(0,0)的 极限是0.（2）g(x,y)xy

xy22在原点(0,0)不存在极限.xy

三、（10%）证明函数f(x,y)0xy0xy0在(0,0)存在两个偏导数，但是在(0,0)

不可微.四、（10%）求复合函数f(x,y),x2(st),yst的二阶偏导数.五、（12%）验证方程x3y3z32xyz6在点(1,1,2)的邻域存在以x,y为自变量的隐函数并求z

x与z

y.六、（10%）求函数z3x3y6xy的极值.七、（10%）求曲面zxy1在点(1,1,1)的切平面方程与法线的方程.2233

八、（10%）.设f(x)1nn1

42x4x2(n0)（1）判定级数

n1x1nx的一致收敛性.（2）证明和函数f(x)在(0,)连续.

第四篇：2011高等数学模拟题专升本

山东省专升本《高等数学》模拟试题

（一）一、填空题 1.函数yln(3x)|x|1x的定义域为_____________.x12.limxx____________.3.曲线y(x4)33x在点（2，6）处的切线方程为__________.二、选择题

1.设f(x)在点x0处可导，且f(x0)2,则lim(A).12f(x0h)f(x0)hh0()(B).2(C).12(D).2

2..当x0时, x2与sinx比较是().(A).较高阶的无穷小(B).较低阶的无穷小(C).同阶但不等价的无穷小(D).等价的无穷小

3.设曲线yx2x2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为()(A).(1,0)(B).(1,0)(C).(2,4)(D).(-2,0)

(C).ycos(arcsinxC)(D).arcsinxC

三、计算题 1.计算limxarctanxln(1x)3

dzdtx02.设zuvsint,ue,vcost,求全导数3.求微分方程xyyxcosx的通解.t.4.求幂级数n1(1)n2n1x的收敛域.n山东省专升本《高等数学》模拟试题

（一）解析

一、填空题： 1.函数yln(3x)|x|1的定义域为_____________.分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体.解 由3x0|x|10x知，定义域为x1x3或x1.x12.limxx__________x__.分析 属1型,套用第二个重要极限.x1解 limxx1lim1xxx(1)e1.3.曲线y(x4)33x在点（2，6）处的切线方程为__________.解 y33x(x4)313(3x)2,yx21，所求切线方程为:y6(x2),即yx8.二、选择题

1.设f(x)在点x0处可导，且f(x0)2,则lim(A).12f(x0h)f(x0)hh0()

(B).(C).12

(D).2

解 limf(x0h)f(x0)hh0limf(x0h)f(x0)hh0(1)f(x0)2.选(B).22..当x0时, x与sinx比较是（）.(A).较高阶的无穷小

(B).较低阶的无穷小

(C).同阶但不等价的无穷小

(D).等价的无穷小

分析 先求两个无穷小之比的极限,再做出正确选项.解 因lim2x2x0sinxlimxsinxx0x0,故选(A).3.设曲线yxx2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为()

(A).1(,0)

(B).(1,0)

(C).2(,4)

(D).(-2,0)解 由y2x13知x1, 又y

三、计算题 1.计算limxarctanxln(1x)3x10,故选(A).分析 属00型未定式,利用等价无穷小代换,洛必达法则等求之.x0解 limxarctanxln(1x)x22x03limxarctanxx31limx011x23x2

x0limx03x(1x)2lim13(1x)2x013.dzdt2.设zuvsint,uet,vcost,求全导数解 dzdtzut.dudtzvdvdtzt

tveu(sint)coste(costsint)cost.3.求微分方程xyyxcosx的通解.分析 属一阶线性微分方程,先化成标准形,再套用通解公式.解 原方程化为: y通解为: yep(x)dx1xycosx,p(x)1x,q(x)cosx

11dxdxp(x)dxxxq(x)edxCecosxedxC 111xsinxcosxC.xcosxdxCxdsinxCxxx4.求幂级数n1(1)n2n1x的收敛域.n分析 先求收敛半径,收敛区间,再讨论端点处的敛散性,从而确定收敛区域.解 收敛半径:Rlimanan1n1nnlim(n1)n22n1, 收敛区间为(-1,1)在x1处,级数n1(1)n2(1)n11n2收敛;在x1处,级数n1(1)n2n1收敛,所以收敛域为:[-1,1].山东考试书店是山东最大的专升本专业书店，下设山大店和山师店。主营专升本教材、公共课真题（2005-2011）包含听力、专业课真题（2006-2011）专业课笔记、练习题、课件。赠送公共课课件、真题、练习题、资料。联系QQ：187211979

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第五篇：高等数学专升本考试大纲

湖南工学院“专升本”基础课考试大纲

《高等数学》考试大纲

总

要

求

考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

内

容

一、函数、极限和连续

（一）函数 1.考试范围

（1）函数的概念：函数的定义

函数的表示法

分段函数（2）函数的简单性质：单调性

奇偶性

有界性

周期性（3）反函数：反函数的定义

反函数的图象（4）函数的四则运算与复合运算

（5）基本初等函数：幂函数 指数函数 对数函数 三角函数

反三角函数（6）初等函数 2.要求

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。

（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。

（3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。

（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。（6）了解初等函数的概念。

（7）会建立简单实际问题的函数关系式。

（二）极限 1.考试范围

（1）数列极限的概念：数列

数列极限的定义

（2）数列极限的性质：唯一性

有界性

四则运算定理

夹逼定理

单调 1 有界数列

极限存在定理

（3）函数极限的概念

函数在一点处极限的定义

左、右极限及其与极限的关系

x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限

函数极限的几何意义

（4）函数极限的定理：唯一性定理

夹逼定理

四则运算定理（5）无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义

无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量的性质

两个无穷小量阶的比较

（6）两个重要极限

limsinxxx0lim（1x1x）e

x2.要求

（1）理解极限的概念（对极限定义中“ε-N”、“ε-δ”、“ε-M”的描述不作要求），能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。会运用等价无穷小量代换求极限。

（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续 1.考试范围

（1）函数连续的概念

函数在一点连续的定义 左连续和右连续

函数在一点连续的充分必要条件

函数的间断点及其分类

（2）函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算

复合函数的连续性

反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质

有界性定理 最大值和最小值定理

介值定理（包括零点定理）（4）初等函数的连续性 2.要求

（1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

（2）会求函数的间断点及确定其类型。

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。二、一元函数微分学

（一）导数与微分 1.考试范围（1）导数概念

导数的定义

左导数与右导数

导数的几何意义与物理意义

可导与连续的关系

（2）求导法则与导数的基本公式

导数的四则运算

反函数的导数

导数的基本公式（3）求导方法

复合函数的求导法

隐函数的求导法

对数求导法

由参数方程确定的函数的求导法

求分段函数的导数

（4）高阶导数的概念：高阶导数的定义

高阶导数的计算

（5）微分：微分的定义

微分与导数的关系

微分法则

一阶微分形式不变性

2.要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。

（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

（二）中值定理及导数的应用 1.考试范围

（1）中值定理：罗尔（Rolle）中值定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必达（L’Hospital）法则（3）函数增减性的判定法

（4）函数极值与极值点

最大值与最小值（5）曲线的凹凸性、拐点

（6）曲线的水平渐近线与垂直渐近线 2.要求

（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

（2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞”型未定式的极限方法。

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。0（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。（6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。（7）会作出简单函数的图形。三、一元函数积分学

（一）不定积分 1.考试范围

（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义

原函数存在定理

不定积分的性质

（2）基本积分公式

（3）换元积分法：第一换元法（凑微分法）

第二换元法（4）分部积分法

（5）一些简单有理函数的积分 2.要求

（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式。

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。（5）会求简单有理函数的不定积分。

（二）定积分 1.考试范围

（1）定积分的概念：定积分的定义及其几何意义

可积条件（2）定积分的性质（3）定积分的计算

变上限的定积分

牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式

换元积分法

分部积分法

（4）无穷区间的广义积分

（5）定积分的应用：平面图形的面积

旋转体的体积

2.要求

（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。（2）掌握定积分的基本性质。

（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式。

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

四、多元函数的微积分学及应用

（一）多元函数的微分学 1.考试范围

（1）多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念（2）多元函数偏导数的概念与几何意义 全微分的概念（3）全微分存在的必要条件和充分条件

（4）多元复合函数 隐函数的求导方法 二阶偏导数

2.要求

（1）理解多元函数的概念；了解二元函数的几何意义； 了解二元函数的极限的连续的概念。

（2）理解多元函数偏导数和全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。（3）掌握偏导数与微分的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则法，会求一些函数的二阶偏导数。

（二）多元函数的微分学的应用 1.考试范围

（1）多元函数极值和条件极值的概念

（2）多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件（3）多元函数极值和最值的求法及简单应用 2.要求

（1）了解多元函数极值和条件极值的概念，知道多元函数极值存在的必要条件。（2）了解二元参数极值存在的必要条件和充分条件。

（3）掌握二元函数极值、最值问题的求法，会解简单应用问题。

（三）二重积分 1．考试范围

（1）二重积分的概念和性质（2）二重积分的计算和应用 2．要求

（1）了解二重积分的概念与性质，了解二重积分的中值定理。（2）掌握二重积分的计算方法，会用二重积分求一些简单几何量。

五、常微分方程

（一）一阶微分方程 1.考试范围

（1）微分方程的概念：微分方程的定义

阶

解

通解

初始条件

特解（2）可分离变量的方程（3）一阶线性方程 2.要求

（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。（2）掌握可分离变量方程的解法。（3）掌握一阶线性方程的解法。

（二）可降价方程 1.考试范围

（1）y（n）= ƒ（x）型方程

（2）y″= ƒ（x，y′）型方程 2.要求

（1）会用降价法解（1）y

（三）二阶线性微分方程 1.考试范围

（1）二阶线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐交线性微分方程 2.要求

（1）了解二阶线性微分方程解的结构。

（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为ƒ（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）为x的n次多项式。α为实常数）.（n）

= ƒ（x）型方程

（2）会用降价法解y″= ƒ（x，y′）型方程

试 卷 结 构

试卷总分：100分 考试时间：120分钟 试卷题型比例：

选择题

约15% 填空题

约25% 计算题

约40% 综合题

约20% 试题难易比例：

容易题

约40% 中等难度题

约50% 较难题

约10% 章节比例：

一、函数、极限和连续

约25% 二、一元函数微分学

约25% 三、一元函数积分学

约25%

四、多元函数的微积分学及应用

约15%

五、常微分方程

约10% 指定教材：

《高等数学》（上、下册）第五版，同济大学应用数学系编 《高等数学》 王国政主编 復旦大学出版社

《高等数学学习指导》（上）黎国玲主编 復旦大学出版社

《高等数学学习指导》（下 练习册）湖南工学院数学教研室编 復旦大学出版社