中国足疗发展简史

第一篇：中国足疗发展简史

足疗发展简史

我国是足部疗法起源最早的国家。几千年前的中国就有关于足部按摩的记载。古代黄帝内经 “ 足心篇 ” 之 “ 观趾法 ”(一种诊疗方法)；隋朝高僧所撰《摩河止观》之 “ 意守足 ”(常擦足心，能治多种疾病)；汉代神医华佗著于《华佗秘笈》之 “ 足心道 ”(意即足底的学问)，司马迁《史记》之 “ 俞跗用足治病 ”(“ 俞 ” 通 “ 愈 ”，跗指足背)；其中包括许多在脚上的穴位。如肝经的大敦、行间、太冲、内庭、陷谷、冲阳、解溪等等。这说明我们的祖先早已认识到脚部的许多敏感反映点（胸穴）与人体内脏器官的关系。指出刺激这些反映点可起治病的作用。

根据有关史料，我国长沙马王推出的医学文献《五十二病方》中就有“温烫”、“药摩”、“外洗”等内病外治的记载。公元前三世纪，东汉医学家张仲景《伤寒论》等书及汉代司马迁所著《史记》、《素问●举痛篇》均对足浴对人体的好处作了详细介绍，宋代文豪苏东坡先生对养生颇有研究，对坚持摩擦足底涌泉穴对身体的益处就大加赞赏，称 “ 其效不甚觉，但积累至百余日，功用不可量 „„若信而行之，必有大益。” 说明中国人很早就对足部按摩有益于健康有很深的了解。明朝时期，足部按摩得到进一步发展。后因封建礼教、女子裹脚等轻视足部健康的 “ 政策 ”、民风，大大影响了该疗法的健康发展。特别是到了清末年间，这一中国历史文化遗产更是遭到了外国列强的残酷掠夺，一度在国内 “ 销声匿迹 ”，几乎失传。

1、中国式足部按摩在唐代传入日本、朝鲜.元朝以后又传入欧洲;2、20世纪初,美国医生威廉·菲茨杰拉德以现代医学方法研究整理足部反射疗法的成果,于1917年发表了《区域疗法》(Zone Therapy)一书.3、十九世纪三十年代，美国印古哈姆《足的故事》专门介绍了 “ 足部按摩疗法 ”。

4、一九七五年，瑞士玛鲁卡多《足反射疗法》，从学术上总结了人类关于足部反射区的自然疗法。5、20世纪80年代在台湾传教的瑞士神父吴若石先生用“中国古代的足部按摩术”治好了他多年的风湿关节炎,并发表了《若石健康法——足部反射自学手册》一书.1982年台湾成立了“国际若石健康研究会”;6、1985年英国现代医学协会将足部推拿法定为现代医学“足部反射区疗法”;7、1988年，中国足疗之父扬茗茗老师在北京创建若石保健咨询服务中心，同年组建中国若石健康法专业委员会。8、1989年在美国加州召开了足反射疗法会议.9、1990年在日东京举行了国际若石健康法学术研讨会,使足部健康反射疗法在国际上崭露头角.10、1991年，“中国足部反射区健康法研究会” 于北京正式挂牌成立，足部按摩健康法在国内亦得到了重视。11、1994年，中国足疗之父扬茗茗老师出版发行了《若石健康法——足部保健按摩实用手册》三种版本和教学录像带。12、1997年，扬茗茗老师组织起草了《足部按摩师国家标准》《国家职业资格培训鉴定教材》以及试题和考核办法。13、1997年6月18日，在泉城济南解放桥诞生了第一家专业足体保健店——良子足疗，1998年7月，富侨足疗保健在重庆九龙坡毛线沟创立；从此足疗保健行业的两大连锁品牌，绽放神州大地。14、1999年1月，“足部按摩师国家职业标准”通过了国家鉴定，经国务院批准国家劳动和社会保障部将足部按摩师国家职业标准纳入《中华人民共和国职业分类大典》。足部按摩师正式成为中国政府承认的一个工种而服务于社会，填补了中国职业分类的空白。15、1999 年国家职业资格工作委员会足部按摩专业委员会正式成立，劳动部任命杨茗茗先生为国家职业资格工作委员会足部按摩专业委员会主任，负责组织足部按摩师职业教材编写、职业标准制定和题库的开发。16、1999年11月为了统一规范足部按摩师国家职业标准，劳动和社会保障部在黄山培训部举办了全国首届高级足部按摩师和足部按摩师考评员培训班，当时有34名同志考取了国家高级足部按摩师和足部按摩师考评员资格。至此，足部保健行业逐步走向职业化、标准化的发展轨道。这不仅充分体现出国家对这一职业的重视程度，更为足部保健行业的规范发展奠定了技术理论基础。17、2000年杨茗茗老师创建了北京若石保健按摩职业技能培训学校并任校长，成为全国品牌最大的专业足部按摩学校，并为我国的足部保健行业培养了大批专业人才。18、2004年为培养高技能人才，我国修订了《足部按摩师国家职业标准》和《教程》，增加了足部按摩师技师级别，使足部按摩行业的技术水平提升到一个新的专业高度。19、2007年，6月22日华夏良子德国巴特基辛根店正式开业，它的成功建立标志着中国足疗走向世界。20、2007年8月，《足浴保健经营技术规范》行业标准，编号为:SB/T10441-2007，商务部批准已于2008年5月1日起实施；

21、重庆港天养生全国率先开展---病历式调理足疗，把我国足浴发展引领到新的高度，同年研发---24节气足疗系统手法，成为保护性调理项目。22、2008年3月5日在全国召开的“两会”开幕式上，人民政协报四版特刊形式全面报导足疗行业发展。23、2008年5月，修订了《足浴保健企业等级划分技术要求》行业标准，编号为:SB/T10540-2009，于2010年7月1日起实施。

第二篇：中国足疗发展简史（模版）

中国足疗发展简史

我国是足部疗法起源最早的国家，几千年前的中国就有关于足部按摩的记载。据今两千多年前的经典医著《黄帝内经》中 “ 足心篇 ” 之 “ 观趾法 ”(一种诊疗方法)；隋朝高僧所撰《摩河止观》之 “ 意守足 ”(常擦足心，能治多种疾病)；汉代神医华佗著于《华佗秘笈》之 “ 足心道 ”(意即足底的学问)；司马迁《史记》之 “ 俞跗用足病 ”(“ 俞 ” 通 “ 愈 ”，跗指足背)；就详细介绍了全身的经络和腧穴，其中有许多是足部的穴位，如肝经的大敦、行间、太冲、内庭、陷谷、冲阳、解溪等等。《素头号.举痛论》明确地指出：“按之则气血散，故按之痛。”《素问.厥论》说：“ 阳气起于足五趾之表，阴气起于足五趾之里。”认为足三阴经起于足，足三阳经止于足，足三阴经和足三阳经又与手三阴、手三阳经相互关联，奇经八脉中阴、阳维脉，阴、阳跷脉起于足部，这样足部就与全身脏腑器官通过经脉联系起来，这说明我们的祖先早已认识到脚部的许多敏感反映点（胸穴）与人体内脏器官的关系，指出：脏腑有病可以通过经络反映到体表穴位，根据不同穴位的症状可以推断相关的脏腑功能出现了问题。为足部治疗提供了理论依据，并发现了足部的许多腧穴和足部跗阳脉诊病法，足部穴位可反映及治疗全身多种疾病，通过对足部进行按摩、针灸等治疗，相应的内脏功能紊乱可以得到纠正，使人体恢复健康，减少疾病发生，起到保健延年的作用。从医学发展史来看，足疗的起源远远早于其他疗法。在古代，由于自然界的意外袭击或某些原因造成身体的损伤，使身体产生疼痛不适等症状，人们有意或无意中用手或其他器具触及足部某些部位，发现疼痛缓解，症状减轻，发现劳累后用热水洗脚后可解除疲劳等，人们逐渐认识到通过对足部的刺激可治疗疾病。经过长期的探索和总结，渐渐地演化为现在的足部按摩法、足穴针灸法、足部敷贴法、足部熏浴法、足部功法等足疗法。根据有关史料，我国长沙马王推出的医学文献《五十二病方》中就有“温烫”、“药摩”、“外洗”等内病外治的记载。公元前三世纪，东汉医学家张仲景《伤寒论》等书及汉代司马迁所著《史记》、《素问●举痛篇》均对足浴对人体的好处作了详细介绍，说明中国人很早就对足部按摩有益于健康有很深的了解。足针治疗疾病，足疗中国早在《灵枢.根结》中即有刺窍阴、至阳、历兑、冲阳等穴以泻充盛之气的记载。晋代皇甫谧的《针灸甲乙经》中也有所述，且内容较前更为丰富。足部贴敷法治病，在原始社会，原始人就曾用泥土、草叶敷裹伤口。《内经》中记载用白酒掺和桂粉涂敷中风的血脉，是外敷法较早的文字记载。宋代文豪苏东坡先生对养生颇有研究，对坚持摩擦足底涌泉穴对身体的益处就大加赞赏，称 “ 其效不甚觉，但积累至百余日，功用不可量 ……若信而行之，必有大益。”明代《普济方》内记述用生附子研末，和葱涎为泥，敷涌泉穴，来治疗鼻渊。足部熏浴法治病，在清代吴尚先的《理瀹骈文》中就有二十余首熏蒸方药。足部功法历史悠久，在古代医书中就有许多足功法的记载。在清代潘霨 所著《内功图说》中，就有心功、身功、首功、面功、手功、足功、背功、腰功、肾功等治疗疾病的论述。明朝时期，足部按摩得到进一步发展。但是，由于中国两千多年封建社会的封建意识和习俗使人的脚藏而不露，赤踝裸足为大不雅，后因封建礼教、女子裹脚等轻视足部健康的 “ 政策 ”、民风严重阻碍了足疗的学术发展，大大影响了该疗法的健康发展。特别是到了清末年间，这一中国历史文化遗产更是遭到了外国列强的残酷掠夺，一度在国内 “ 销声匿迹 ”，使得这一古老医术濒临失传。

1、中国式足部按摩在唐代传入日本、朝鲜.元朝以后又传入欧洲，被称为“足心道”疗法。

2、20世纪初,美国医生威廉•菲茨杰拉德以现代医学方法研究整理足部反射疗法的成果,于1917年发表了《区域疗法》(Zone Therapy)一书.3、十九世纪三十年代，美国印古哈姆《足的故事》专门介绍了 “ 足部按摩疗法 ”。

4、一九七五年，瑞士玛鲁卡多《足反射疗法》，从学术上总结了人类关于足部反射区的自然疗法。5、20世纪80年代在台湾传教的瑞士神父吴若石先生用“中国古代的足部按摩术”治好了他多年的风湿关节炎,并发表了《若石健康法——足部反射自学手册》一书.1982年台湾成立了“国际若石健康研究会”;6、1985年英国现代医学协会将足部推拿法定为现代医学“足部反射区疗法”;7、1988年，中国足疗之父扬茗茗老师在北京创建若石保健咨询服务中心，同年组建中国若石健康法专业委员会。8、1989年在美国加州召开了足反射疗法会议.9、1990年在日东京举行了国际若石健康法学术研讨会,使足部健康反射疗法在国际上崭露头角.10、1991年，“中国足部反射区健康法研究会” 于北京正式挂牌成立，足部按摩健康法在国内亦得到了重视。11、1994年，中国足疗之父扬茗茗老师出版发行了《若石健康法——足部保健按摩实用手册》三种版本和教学录像带。12、1997年，扬茗茗老师组织起草了《足部按摩师国家标准》《国家职业资格培训鉴定教材》以及试题和考核办法。13、1997年6月18日，在泉城济南解放桥诞生了第一家专业足体保健店——良子足疗，1998年7月，富侨足疗保健在重庆九龙坡毛线沟创立；从此足疗保健行业的两大连锁品牌，绽放神州大地。14、1999年1月，“足部按摩师国家职业标准”通过了国家鉴定，经国务院批准国家劳动和社会保障部将足部按摩师国家职业标准纳入《中华人民共和国职业分类大典》。足部按摩师正式成为中国政府承认的一个工种而服务于社会，填补了中国职业分类的空白。15、1999 年国家职业资格工作委员会足部按摩专业委员会正式成立，劳动部任命杨茗茗先生为国家职业资格工作委员会足部按摩专业委员会主任，负责组织足部按摩师职业教材编写、职业标准制定和题库的开发。16、1999年11月为了统一规范足部按摩师国家职业标准，劳动和社会保障部在黄山培训部举办了全国首届高级足部按摩师和足部按摩师考评员培训班，当时有34名同志考取了国家高级足部按摩师和足部按摩师考评员资格。至此，足部保健行业逐步走向职业化、标准化的发展轨道。这不仅充分体现出国家对这一职业的重视程度，更为足部保健行业的规范发展奠定了技术理论基础。17、2000年杨茗茗老师创建了北京若石保健按摩职业技能培训学校并任校长，成为全国品牌最大的专业足部按摩学校，并为我国的足部保健行业培养了大批专业人才。18、2004年为培养高技能人才，我国修订了《足部按摩师国家职业标准》和《教程》，增加了足部按摩师技师级别，使足部按摩行业的技术水平提升到一个新的专业高度。19、2007年，6月22日华夏良子德国巴特基辛根店正式开业，它的成功建立标志着中国足疗走向世界。20、2007年8月，《足浴保健经营技术规范》行业标准，编号为:SB/T10441-2007，商务部批准已于2008年5月1日起实施；

21、重庆港天养生全国率先开展---病历式调理足疗，把我国足浴发展引领到新的高度，同年研发---24节气足疗系统手法，成为保护性调理项目。22、2008年3月5日在全国召开的“两会”开幕式上，人民政协报四版特刊形式全面报导足疗行业发展。23、2008年5月，修订了《足浴保健企业等级划分技术要求》行业标准，编号为:SB/T10540-2009，于2010年7月1日起实施。

第三篇：浅谈中国足

浅谈中国足球

周一第六节

国人说到中国足球，大抵上下都是一个态度——弱。甚至前些年春节晚会上黄宏也毫不掩饰的拿中国足球来当做笑料，作为球迷，当然不愿意看到这些，但是却又不得不面对，既然大家拿他做笑料，那么就必定有这样做的道理，我们预期愤愤不平，倒不如坐下来冷静理智的思考一下，是什么造就了现在的国足，是什么让现在的国足成了上到黄发下到垂髫都当作笑谈的。

其实，如果关注国足历史的话，我们可以发下70年代最强，那会横扫亚洲，80年代还可以，到了90年代中国不算很强，但4~5名还是名符其实的，但是反观现在，中国足球的排名不断下滑，由历史最好成绩世界排名第56位，在短短几年间就花落到了97位，竟然下降了四是一名之多，为什么中国经济腾飞了，GDP实现一个有一个突破了，可是国足却一直在走下坡路呢？

2002年韩日世界杯，中国足球终于迎来了自己光辉灿烂的时刻，或者说是向世人很好证明自己的机会，我们终于可以进入世界杯，终于可以和世界顶级国家队在世界顶级赛场上一比高下。当然，理智一点的球迷应该不会抱着得到大力神杯的幻想，但是，即便如此也不会想到最终一球没进暗淡出局。我虽然那时候年龄尚小，不动太多，但是整天电视上米卢教练和足球的的广告充斥所以频道所有时间段的事情还是忘不掉的，甚至可以这么说，除了北京奥运会，我几乎找不到有哪一件体育事件引起这么高的关注。于是大家期望越高失望越大，最终的结果让我们又回到现实，是的，现实就是这样。那年是韩日世界杯，韩国和日本两个国家直接入选不用预选赛，于是亚洲这块地方直接少了两个最有力的竞争对手，虽然我不愿这么说，但事实就是这样，中国队比以往和今后有着更好的机会进入世界杯，这个进入的机会倒是把握住了，只是后来结果实在不能让人哪怕是一点点满意。那么，为什么呢？

关注体育的人可以发现，最近几次奥运会中国的金牌数一直名列前茅，似乎国民体质正在一路飙升，体育事业也正欣欣向荣。但是仔细看，那些得金牌的项目除了乒乓球羽毛球跳水之外和一些平时大家根本接触不到的项目之外，没有一个大项目，比如篮球足球排球，（中国女排女篮还是非常优秀的，男排就不敢恭维了）。很多人甚至愤愤地说，中国那么多人，就找不出几个踢球好的人？？ 这个问题，谁能解答呢？

中国足球的百度贴吧里充斥着各种关于制度等等的各种说法，而我也偶尔从新闻上看到各种幕后黑哨假球之类的不光彩的事情，我想说，如果没有一个强大的联盟做后盾，没有自由的市场做动力，也许就算中国人口再多，也难以出现强大的中国足球了。

第四篇：物理学发展简史

物理学发展简史

摘要：物理学的发展大致经历了三个时期：古代物理学时期、近代物理学时期（又称经典物理学时期）和现代物理学时期。物理学实质性的大发展，绝大部分是在欧洲完成，因此物理学的发展史，也可以看作是欧洲物理学的发展史。

关键词：物理学；发展简史；经典力学；电磁学；相对论；量子力学；人类未来发展 0 引言

物理学的发展经历了漫长的历史时期，本文将其划分为三个阶段：古代、近代和现代，并逐一进行简要介绍其主要成就及特点，使物理学的发展历程显得清晰而明了。古代物理学时期

古代物理学时期大约是从公元前8世纪至公元15世纪，是物理学的萌芽时期。

物理学的发展是人类发展的必然结果，也是任何文明从低级走向高级的必经之路。人类自从具有意识与思维以来，便从未停止过对于外部世界的思考，即这个世界为什么这样存在，它的本质是什么，这大概是古代物理学启蒙的根本原因。因此，最初的物理学是融合在哲学之中的，人们所思考的，更多的是关于哲学方面的问题，而并非具体物质的定量研究。这一时期的物理学有如下特征：在研究方法上主要是表面的观察、直觉的猜测和形式逻辑的演绎；在知识水平上基本上是现象的描述、经验的肤浅的总结和思辨性的猜测；在内容上主要有物质本原的探索、天体的运动、静力学和光学等有关知识，其中静力学发展较为完善；在发展速度上比较缓慢。在长达近八个世纪的时间里，物理学没有什么大的进展。

古代物理学发展缓慢的另一个原因，是欧洲黑暗的教皇统治，教会控制着人们的行为，禁锢人们的思想，不允许极端思想的出现，从而威胁其统治权。因此，在欧洲最黑暗的教皇统治时期，物理学几乎处于停滞不前的状态。

直到文艺复兴时期，这种状态才得以改变。文艺复兴时期人文主义思想广泛传播，与当时的科学革命一起冲破了经院哲学的束缚。使唯物主义和辩证法思想重新活跃起来。科学复兴导致科学逐渐从哲学中分裂出来，这一时期，力学、数学、天文学、化学得到了迅速发展。2近代物理学时期

近代物理学时期又称经典物理学时期，这一时期是从16世纪至19世纪，是经典物理学的诞生、发展和完善时期。

近代物理学是从天文学的突破开始的。早在公元前4世纪，古希腊哲学家亚里士多德就已提出了“地心说”，即认为地球位于宇宙的中心。公元140年，古希腊天文学家托勒密发表了他的13卷巨著《天文学大成》，在总结前人工作的基础上系统地确立了地心说。根据这一学说，地为球形，且居于宇宙中心，静止不动，其他天体都绕着地球转动。这一学说从表观上解释了日月星辰每天东升西落、周而复始的现象，又符合上帝创造人类、地球必然在宇宙中居有至高无上地位的宗教教义，因而流传时间长达1300余年。公元15世纪，哥白尼经过多年关于天文学的研究，创立了科学的日心说，写出“自然科学的独立宣言”——《天体运行论》，对地心说发出了强有力的挑战。16世纪初，开普勒通过从第谷处获得的大量精确的天文学数据进行分析，先后提出了行星运动三定律。开普勒的理论为牛顿经典力学的建立提供了重要基础。从开普勒起，天文学真正成为一门精确科学，成为近代科学的开路先锋。

近代物理学之父伽利略，用自制的望远镜观测天文现象，使日心说的观念深入人心。他提出落体定律和惯性运动概念，并用理想实验和斜面实验驳斥了亚里士多德的“重物下落快”的错误观点，发现自由落体定律。他提出惯性原理，驳斥了亚里士多德外力是维持物体运动的说法，为惯性定律的建立奠定了基础。伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学真正的开端。

16世纪，牛顿总结前人的研究成果，系统的提出了力学三大运动定律，完成了经典力学的大一统。16世纪后期创立万有引力定律，树立起了物理学发展史上一座伟大的里程碑。之后两个世纪，是电学的大发展时期，法拉第用实验的方法，完成了电与磁的相互转化，并创造性地提出了场的概念。19世纪，麦克斯韦在法拉第研究的基础上，凭借其高超的数学功底，创立了了电磁场方程组，在数学形式上完成了电与磁的完美统一，完成了电磁学的大一统。与此同时，热力学与光学也得到迅速发展，经典物理学逐渐趋于完善。3 现代物理学时期

现代物理学时期，即从19世纪末至今，是现代物理学的诞生和取得革命性发展时期。

19世纪末，当力学、热力学、统计物理学和电动力学等取得一系列成就后，许多物理学家都认为物理学的大厦已经建成，后辈们只要做一些零碎的修补工作就行了。然而，两朵乌云的出现，打破了物理学平静而晴朗的天空。第一朵乌云是迈克尔孙-莫雷实验：在实验中没测到预期的“以太风”，即不存在一个绝对参考系，也就是说光速与光源运动无关，光速各向同性。第二朵乌云是黑体辐射实验：用经典理论无法解释实验结果。这两朵在平静天空出现的乌云最终导致了物理学的天翻地覆的变革。

20世纪初，爱因斯坦大胆地抛弃了传统观念，创造性地提出了狭义相对论，永久性地解决了光速不变的难题。狭义相对论将物质、时间和空间紧密的联系在一起，揭示了三者之间的内在联系，提出了运动物质长度收缩，时间膨胀的观点，彻底颠覆了牛顿的绝对时空观，完成了人类历史上一次伟大的时空革命。十年之后，爱因斯坦提出等效原理和广义协变原理的假设，并在此基础上创立了广义相对论，揭示了万有引力的本质，即物质的存在导致时空弯曲。相对论的创立，为现代宇宙学的研究提供了强有力的武器。

物理学的第二朵乌云——黑体辐射难题，则是在普朗克，爱因斯坦，玻尔等一大批物理学家的努力下，最终导致了量子力学的产生与兴起。普朗克引入了“能量子”的假设，标志着量子物理学的诞生，具有划时代的意义。爱因斯坦，对于新生“量子婴儿”，表现出热情支持的态度。并于1905年提出了“光量子”假设，把量子看成是辐射粒子，赋予量子的实在性，并成功地解释了光电效应实验，捍卫和发展了量子论。随后玻尔在普朗克和爱因斯坦 “量子化”概念和卢瑟福了“原子核核式结构”模型的影响下提出了氢原子的玻尔模型。德布罗意把光的“波粒二象性”推广到了所有物质粒子，从而朝创造描写微观粒子运动的新的力学——量子力学迈进了革命性的一步。他认为辐射与粒子应是对称的、平等的，辐射有波粒二象性，粒子同样应有波粒二象性，即对微粒也赋予它们波动性。薛定谔则用波动方程完美解释了物质与波的内在联系，量子力学逐渐趋于完善。

量子力学与相对论力学的产生成为现代物理学发展的主要标志，其研究对象由低速到高速，由宏观到微观，深入到广垠的宇宙深处和物质结构的内部，对宏观世界的结构、运动规律和微观物质的运动规律的认识，产生了重大的变革。其发展导致了整个物理学的巨大变革，奠定了现代物理学的基础。随后的几十年即从1927年至今，是现代物理学的飞速发展阶段，这一期间产生了量子场论、原子核物理学、粒子物理学、半导体物理学、现代宇宙学、现代物理技术等分支学科，物理学日渐趋于成熟。4 结论

物理学的发展史，也是人类从愚昧走向成熟，从低级走向高级的历史。物理学的每一次大发展，都使人类的思想境界上升到了一个新的高度。相对于整个宇宙范围来说，当今人类的文明尚处于一个较低的层次，并处于正在向第一文明等级发展的历程中。在这个发展的历程中，科学无疑是第一推动力，而在科学的众多分支中，物理学无疑是这一推动力的最先进的代表。

第五篇：《数学发展简史》

《数学发展简史》

导言：为什么学习数学史 第一讲： 早期文明中的数学1．古埃及的数学 2．巴比伦的数学 3．中国早期的数学

主讲教师：王幼军

目 录

第二讲：古希腊的数学

1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大 2．亚历山大时期 第三讲：中国古代的数学 1．汉以前的中国数学

2．从魏晋到隋唐时期的中国数学 3．

十二、三世纪的宋元数学 第四讲：印度与阿拉伯的数学 1．印度的数学 2．阿拉伯数学 第五章：数学的复兴 1．中世纪的欧洲数学

2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响 3．三次、四次方程的求根公式的解决 4．三角学的历史 第六讲：近代数学的兴起 1．对数

2．解析几何的诞生 3．微积分的产生与发展 4．概率论的产生 第七讲：近代数学的发展 1．几何学的发展 2．代数学的发展 3．分析学的发展 4．公理化运动 第八讲：现代数学概观

1．集合论悖论与数学基础的研究 2．纯数学的发展 3．应用数学的发展 4．六十年代以后的数学

导言：为什么学习数学史

1．为了更全面、更深刻地了解数学

每一门学科都有它的历史，文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。数学有它自己的发展过程，有它的历史。它是活生生的、有血有肉的。无论是概念还是体系，无论是内容还是方法，都只有在与其发展过程相联系时，才容易被理解。可以说，不懂得数学史，就不能真心地理解数学。数学课本上的数学，经过多次加工，已经不是原来的面貌；刀斧的痕迹，清晰可见。数学教师要把课本上的内容放到历史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能帮助学生理解。

2．为了总结经验教训，探索发展规律

我国自古以来就非常重视历史、“前事之不忘，后事之师”（《战国策·赵策一》）早已成为人们的共识。英国哲学家培根（Francis Bacon，1561—1626）的名言“历史使人明智”（Histories make men wise）也是尽人皆知的成语。数学有悠久的历史，它的成长道路是相当曲折的。有时兴旺发达，有时衰败凋残。探索它的发展规律，可以指导当前的工作，使我们少走或不走弯路，更好地做出正确的判断，制定合理的政策。

3．为了教育的目的

（1）激发兴趣，开阔眼界，启发思维，经验证明，在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它有浓厚的兴趣。教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课堂空气会立刻活跃起来。教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。学生开阔了眼界．知道一个定理的发现过程竟如此曲折，印象会非常深刻。讲述定理的来龙去脉，可以开拓学生的思维，使他们从多个方面去思考问题。（如果不是专门的数学史课，史料的加入宜适而止，否则会喧宾夺主，冲淡了主题）

（2）表彰前贤，鼓励后进。

数学是人类智慧的结晶，是全世界人民宝贵的精神财富。今天数学的繁荣昌盛，实得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动。饮水必须思源，数典不可忘祖，他们的丰功伟绩，理应载人史册。数学史的主要内容之一，就是记述他们的生平事迹和重要贡献，以供后人参考借鉴。其目的在于总结先辈的经验教训，学习他们不畏艰苦的创业精神。表彰前贤，足以鼓励后进。

4．文化的目的

数学是文明的一个组成部分。数学不仅仅是形式化、演绎化的思维训练，也不仅仅是一门严肃的、抽象的学科，数学其实是丰富多彩的文化的产物，数学中的几乎每一步进展都反映了推进者的个人背景、时间和地点的影响，也受到当时流行的价值观、社会思想和当时所有的资源的影响。所以，数学不仅是一种单纯的知识活动，它也拥有丰富的历史文化向度，人类丰富多彩的文化为它染上了浓重眩目的文化色彩。几乎任何一门数学分支的发展都反映了一定时代和地域所流行的价值观和各种因素的影响，这些因素包括游戏娱乐、美学欣赏、宗教信仰、哲学思考和实用价值探索等，在数学中它们是如此紧密地交织在一起，只要拆散和剔除其中的任何一个方面都将给数学带不可估量的损失。

为了探索及揭露数学发展的规律，也为了叙述的方便，常常将整个发展史划分为若干个阶段，这就是数学史的分期。分期的标准主要有两种，一种是根据数学本身的特点（通常叫做“内史”，另一种是根据社会的历史背景（“外史”），三是根据所接受的对象。本课程综合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的数学，2．初等数学的发展，4近代数学的兴起，5近现代数学发展，6现代数学发展概述。

学习资源：

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9.M·克莱茵.数学：《确定性的丧失》，李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社,1999.10.李迪主编，《中外数学史教程》，福建教育出版社，1993

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第一讲：早期文明中的数学

数学最早起源于适合人类生存的大河流域，例如尼罗河流域的埃及、两河流域的巴比伦、黄河长江流域的中国等。伴随着这些早期文明的发展，数学也开始了它的萌芽和进程。

在有文字记载之前人类就已经有了数概念。起初人们只能认识“有”还是“没有”，后来又渐渐有了“多”与“少”的朦胧意识。而“多”与“少”的意识原始人是在一一对应的过程中建立的。即把两组对象进行一一比较，如果两组对象完全对应，则这两个组的数量就相等，如果不能完全一一对应，就会出现多少。例如，据古希腊荷马史诗记载：波吕斐摩斯被俄底修斯刺伤后，以放羊为生。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子儿；晚上母羊返回山洞，进去一只，他就扔掉一颗石子儿，当把早晨捡起的石子儿全部扔完后，他就放心了，因为他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。

另一个方面，在长期的采集、狩猎等生产活动中原始人逐渐注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异。通过一只羊、一头狼与许多羊、整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树„„之间存在着某种共同的东西，即它们的单位性。由此抽象出数“1”这个概念。数“1”可以说是这类具有单个元素的集合的特征。可以认为，在人类发展的一个相当长的阶段上，人们最早具有的数的概念是“1”，与之相对应的是一个比较确定的观念——“多”。如上面的“数羊”，人们把一些被数物品用另外某些彼此同类的物品或标记来代替，如用手指、小石块、绳结、树枝、刻痕等。根据彼此一一对应的原则进行这种计算，也就是给每个被数物品选择一个相应的东西作为计算工具，这就是早期的记数。

最早可能是手算，即用手指计数。一只手上的5个指头可以被现成的用来表示5个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，可以数到10，再和脚趾联合在一起，可以数到20。有人认为，现在的罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分别是1——4个手指的形象，Ⅴ是四指并拢拇指张开形象，10则画成ⅤⅤ，表示双手，后来又画成X，是ⅤⅤ的对顶形式。古代俄国把1叫做“手指头”，10则称为“全部”。这些都是古代手指计数的痕迹。亚里士多德曾经指出，今天10进制的广泛采用，只不过是人类绝大多数人生来就具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。

手算能表示出的数目毕竟有限，即使再借助于脚趾，也不过数到20。当指头不敷用时，数到10时，摆一块小石头，双手就解放了，还可以继续数更大的数目。自然地人们会想到，可以不用手，直接用石头记数。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数。我国有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。“结绳而治”一般解释为“结绳记事”或“结绳记数”。“书契”就是在物体上刻痕，以后逐渐发展成为文字。

结绳记事、记数，并不限于中国，世界各地都有，有些地方甚至到19世纪还保留这种方法，有些结绳事物甚至保存下来。例如，美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人们称之为基普：在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。

结绳毕竟不甚方便，以后在实物（石、木、骨等）上刻痕以代替结绳。从现在的考古资料看，几乎所有的文明古国都经历过一个刻痕记数的阶段，只是各自的形式不同而已。

无论手算、结绳还是刻痕所记下来的数还不是现在意义上的数，只是物体集合蕴涵着的数量特性从一个物体集合转移到另一个物体集合上。也就是说，人们还不能脱离具体的物的集合来认识“数量”。但是，当人们可以任意选用这种随手可得的东西来记数时，就离形成数的概念为期不远了。

总之，在人类几万年的原始文明中，只限于一些零碎的、片断的、不完整的知识，有些人只能分辨一、二和许多，有些能够把数作为抽象的概念来认识，并采用特殊的字或记号来代表个别的数，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数，进行简单的运算。此外，古人也认识到最简单的几何概念，如，直线、圆、角等。直到公元前三千年左右巴比伦和埃及的数学出场，数学开始取得更多的进展。

1，古埃及的数学

背景非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500—3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是

约成书于公元前1650年的兰德（Rhind）纸草书，又称阿默士（Ahmes）纸草书。阿默士纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。

古埃及人将所有的分数都化成单位分数（分子为1的分数之和），在阿默士纸草书中，有很大一张分数表，把表示成单位分数之和

状分数古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。例如，在兰德纸草书上有一个关于“堆算”的特殊篇章。这部分从本质上来说，包含的是用一元一次方程来解的问题。古代埃及人把未知数称为“堆”，它本来的意思是指数量是未知数的谷物的堆。其中一个方程式这样的：“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33”用现在的形式写出来就是：

x2xxx33327埃及人还发展了卓越的几何学。有一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约于公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达146.5米，塔基每边平约宽230米，任何一边与此数值相差不超过0.16米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。其中卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米。这些宏伟建筑的落成，也离不开几何学知识。

埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱锥、圆锥、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。

2，巴比伦的数学

底格里斯河和幼发拉底河流域，希腊人称之为美索不达米亚（Mesopotamia），原意为两河之间的地方，统称为两河流域。在历史上两河流域一直是许多城邦以及定居的部族和游牧部族之间竞争角逐的场所。在两河流域的历史上，征服者和被征服者就像走马灯一样来来去去，其情形是极其复杂的。但是，两河流域是个大熔炉，在这里，许多不同的部族都是由竞争角逐而趋于融合，所以各个部族的文化和技术相互融合，从而使这个地区成了西亚的先进地区。

古代巴比伦国家的位置在美索不达米亚最靠近底格里斯河和幼发拉底河河床的地方。巴比伦城位于幼发拉底河河岸上，“巴比伦人”这个名称包括许多同时或先后居住在底格里斯河和幼发拉底河之间及其流域上的一些民族。其中苏美尔人（Sumerians）是两河流域古文明的奠基者）。公元1700年左右，阿摩利人汉默拉比Hammurabi王统治时期，文化得到高度的发展，这位君主以制定一部著名的法典而著称（《汉默拉比法典》），这个时期就是所称的古巴比伦王国。公元前八世纪，这个地区为原来住在底格里斯河上游的亚述人（Assyrians）所统治。亚述人尚武轻文，在文化方面很少有创造性的贡献，然而，亚述帝国的政治统一却也促进了文化的交流，使古代东方各地的文化得以融于一炉。对两河流域的古文化，亚述人也做过一些保存和整理工作。亚述帝国的最后一个名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾经在尼尼微的宫殿里建了一座图书馆，那里收藏了二万二千块刻着楔形文字的泥板。一个世纪以后，亚述帝国为伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所灭，在历史上美索不达米亚的这段时期（公元前7世纪）通常称为伽勒底时期，也称为新巴比伦帝国。公元前540年左右，新巴比伦帝国为居鲁士（Cyrus）统治下的波斯人所征服。公元前330年，希腊军事领袖亚历山大大帝（Alexander the Great）征服了这个地区。历史中所讲的巴比伦数学也到此为止。

从十九世纪前期开始，在美索不达米亚工作的考古学家们进行了系统的发掘工作，发现了大约五十万块刻着文字的泥板，仅仅在古代尼普尔旧址上就挖掘出五万块。在巴黎、柏林和伦敦的大博物馆中，在耶鲁、哥伦比亚河宾夕法尼亚大学的考古展览馆中，都珍藏着许多这类书板，书板有大有小，小的只有几平方英寸，最大的和一般的教科书大小差不多，中心大约有一英寸半厚。有的只是书板的一面有字，有时两面都有字，并且往往在其四边上也刻有字。

在公元前3500年以前，苏美尔人就已经发明了文字。苏美尔人用削尖了的芦苇管做笔，把这种文字刻在泥板砖的怌块上，在日光下或火炉上烘干，这种带有文字的泥板就称为泥板书。因为这种文字是刻在泥板上的，落笔处比较重，收笔处比较纤细，呈尖劈形，所以被称为“楔形文字”（Cuneiform）。在五十万块书板中，约有300块是被鉴定为载有数字表和一大批问题的纯数学书板。直到1935年，由于美国学者诺伊格包尔（Otto Neugebaur）和法国学者蒂罗。丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。他们解释了一部分数学泥板，由于这些工作还在进行，或许不久的将来还会有新的发现。

古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。巴比伦人书写数字的方法更值得我们注意。他们引入了以60为基底的位值制（60进制），希腊人、欧洲人直到16世纪还于数学计算和天文学计算中运用这个系统，直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。

3．中国早期的数学

中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千年．《周易·系辞下》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。百官以治，万民以察。”《说文解字·叙》记载：“及神农氏结绳而治而统其事。”《周易》郑玄注：“结绳为约，事大，大结其绳；事小，小结其绳。”《九家易》：“古者无文字，其有誓约之事，事大，大其绳；事小，小其绳。结之多少，随物众寡，各执以相考，亦足以相治也。”据此可知：结绳是神农或神农以前上古时期的一种记事方法，以绳结的大小约定事的大小，以绳结的多少约定物的多少。

契刻是较结绳晚出的一种记事方法，其作用主要是用于记数或作为契约的记数凭证。在许多古代典籍中都有关这方面的记载，《墨子·备城门》中曰：“守城之法：必数城中之木，十人之所举为十挈（契），五人之所举为五挈。凡轻重以挈为人数。”《周易》郑玄注：“书之于木，刻其侧为契，各持其一，后以相考合。”《列子·说符篇》说：“宋人有游于道得人遗契者，归而藏之，密数其齿，告邻人曰：„吾富可待也。‟”

在距今约五至六千年前的仰韶文化时期出土的陶器上还刻有表示数目的符号，说明此时已开始用文字符号取代结绳记事了。

西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形等各种对称和复杂的几何图案，半坡村遗址上有圆形和正方形的屋基。《史记》中记载：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。这可以看作是中国古代几何学的起源。

在殷商（月公元前13世纪）的甲骨文中已经使用了十进制记数法，共有13个独立的符号，出现的最大数字为三万。商代还用10个天干和12个地支组成甲子、乙丑等60个名称来记60十天的日期。春秋战国时代又出现了十进位值制筹算记数法．而战国时代的《考工记》、《墨经》、《庄子》等著作中则探讨了许多抽象的数学概念，并记载了大量实用几何知识．

在记述中国古代早期数学内容的典籍中，《周易》是包含数学内容最丰富的著作，因而对中国古代数学家产生了极大的影响。比如，刘徽在《九章算术注》的序中就写道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之数，以合六爻之变。”实际上就把数学方法与《周易》中的六爻、八卦等内容联系起来了。

《周易》中的另一重要概念是太极。《周易》写道：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”太极即太一，这段话讲的是八卦产生的原理，也试图解释天地造分、化成万物的原理。到周代（公元前11至公元前3世纪）又发展成64卦，表示64种事物。后经宋代陈抟的发展，便有了太极图。

《周易》中另一个与数学相关的内容是“河图洛书”。《周易》中有“河出图，洛出书，圣人则之”的记载。以后，有人又把河图洛书与八卦及九数联系起来。例如，孔安国认为：“河图者，伏羲氏王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦。洛书者，禹治水时，神龟负文，而列于背，有数至九，禹遂因而第之，以成九类。”也就是说，在古人看来，八卦与九数实出于河图洛书。

西周初期能用炬测量高、深、广、远，知道勾股形中的勾

三、股

四、弦五及环炬为圆等知识。西周青铜器上的金文数字与商代数字基本一致，是我们今天文字的源泉。此时，已有整数和分数的四则远算，《韩诗外传》中还记载了公元前7世纪齐桓公招贤纳士之事，将会背“九九”乘法口诀的人当作贵客款待。

卜筮是原始人类共有的社会现象。中国古代常用龟甲和兽骨作为占卜工具，以决定事情的吉凶。筮，是按一定的规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶。《周礼》称：“凡国之大事，先筮后卜。”《史记·龟策列传》则说：“王者决定诸疑，参与卜筮，断以蓍龟，不易之道也。” 筮的工具起初是竹棍（以后出现的筹算数码则形成了中国古代用竹棍表示数字的传统），后来改用蓍草----一种有锯齿的草本植物。公元前500年左右的战国时代，算筹已得到普遍使用，算筹大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制作的。算筹的记数法采用十进位制。《墨经》（约公元前4世纪）中说：“一少于二而多余五，说在建位。”即一在个位小于二，在十位就大于五，每个数字的大小除由它本身表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。《孙子算经》（约公元4世纪）中描述了对筹算数字的摆放方法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当” 即：个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位又用纵式，如此纵横相间，以免发生误会。并规定用空位表示零。说明有纵横两式：

总之，在人类早期的文明中，数学还处于萌芽时期，主要包括计数、算术、初步的代数和几何等知识。此时所呈现的数学更多的是经验、直观、零碎、片断的知识，还没有形成系统的理论体系、抽象的思维方法等。

第二讲：古希腊的数学

数学作为一门独立和理性的学科开始于公元前600年左右的古希腊。古希腊是数学史上一个“黄金时期”，在这里产生了众多对数学主流的发展影响深远的人物和成果，泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德等数学巨匠不胜枚举。此外，在初等数学时期，东方的中国、印度与阿拉伯等地区也发展出了独具特色的数学知识。在中世纪后期的欧洲，在独特的中世纪文化中，东西方数学知识逐渐融合，为下一个阶段数学的快速发展奠定了基础。

1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大

古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（Alexander the Great）征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（Alexandria）。亚历山大大帝死后（323B.C.），他创建的帝国 分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世（Ptolemy the First）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图 书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！

希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为古典时期和亚历山大时期两个阶段。

一、古典时期（600B.C.-300B.C.）

这一时期始于泰勒斯（Thales）为首的爱奥尼亚学派（Ionians），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯（Pythagoras）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。

公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。

埃利亚学派的芝诺（Zeno）提出四个著名的悖论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。

哲学家柏拉图（Plato）在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯（Eudoxus）是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle）是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

（1）泰勒斯﹝Tales of Miletus，约公元前625-前547﹞

古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为“希腊七贤”之首。而他更是以数学上的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季是不等长的。

证明命题是希腊几何学的基本精神，泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于： 1.保证命题的正确性，使理论立于不败之地；

2.揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础； 3.使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。

数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科学。

毕达哥拉斯（以下简称毕氏）于纪元前580年左右出生于生于希腊东部萨摩斯﹝今希腊东部小岛﹞，正是希腊黄金时代的初期，也是罗马帝国建国的时代。在我们东方来说，就是释迦牟尼与孔子的道学，正流行的时代。毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛向费雷西底﹝Pherecydes﹞学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安约西曼德﹝Anaximander﹞，以后游历埃及、巴比伦等地，接受古代流传下来的天文、数学知识。他最后定居在克罗托内﹝Crotone﹞，在那里建立一个宗教、政治、学术合一的团体──毕达哥拉斯学派，它是继伊奥尼亚学派后古希腊第二个重要的学派。这个团体后来在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托(Metapontum)，后终于被杀害。毕氏学派有一个教规，就是一切发现都归功于学派的领袖，且对外保密，故讨论其学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开。

毕氏学派将抽象的数作为万物的本源，“万物皆数”使他们的信条之一。但是，研究数的目的不是为了实际应用，而是通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们将学问分为四类，即算术、音乐﹝数的应用﹞、几何﹝静止的量﹞、天文﹝运动的量﹞；根据“简单整数比”原理创造一套音乐理论；对数作过深入研究，并得到很多结果，将自然数进行分类，如奇数、偶数、完全数、亲合数、三角数、平方数、五角数、六角数等等；发理勾股定理﹝西方称为毕达哥拉斯定理﹞和勾股数﹝西方称

为毕达哥拉斯数﹞；发现五种正多面体；发现不可通约量,甚至于音乐上也可目睹到他所遗留的许多事迹。下面我们来列举十数种毕氏学派的贡献,供大家见赏。

毕达哥拉斯定理是说：一直角三角形中的斜边平方等于两直角边之平方和。如设三角形 ABC 三个边为 a,b,c，其中 c 为斜边（如图一），则其间的关系为：a2 + b2 = c2

（3），芝诺﹝Zero of Elea，约公元前490-约前425﹞

芝诺生活在古希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德﹝Parmenides﹞的学生和朋友。芝诺因其悖论而

著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家F‧卡约里﹝Cajori﹞说：“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。”由于芝诺的著作没能流传下来，故只能通过批评他的亚里士多德及其诠释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论尤为著名。前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾。他并不是简单地否认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的和的概念，他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的。第4个悖论是古代文献中第一个涉及相对运动的问题。

芝诺编造这些悖论的目的何在，历来有许多争论。有人认为是为了反对“多”与“变化”，以维护他的师父 Parmenides（约纪元前五世纪）的万有是“一”与“不变”之学说。从毕氏学派失败的背景来观察，芝诺是对于离散性、连续性、无穷大、无穷小等诡谲概念作诘疑。千古以来可以说是切中数学的核心。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇时，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论，从而克服了因发现无理数而出现数学危机，并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。

罗素称赞道：“几乎所有从芝季诺时代到今日所建构出的有关时间、空间与无穷的理论，都可以在季诺的论证里找到背景基础。”

（4），诡辩学派

希波战争以后，希腊商务繁荣，雅典成为文人荟萃的中心。爱奥尼亚学派的哲学家Anaxagoras（B.C.499——427）开始将爱奥尼亚的哲学输入雅典，毕达格拉斯学派的人也群聚于此，只是过去秘密的作风已不复见。雅典人崇尚公开的精神。在公开的讨论中，要想取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学知识。于是“诡辩学派”应运而生。“诡辩”(Sophism)一词是使人智慧的意思，也译作“哲人学派”或“智人学派”。

经过两千多年的努力，数学家利用代数方法终于证明了三大难题都无解。化圆为方相当于求√π，它不是任何整系数方程的根，因而不可能用尺规作出，1882年由德国数学家林德曼证明。倍立方相当于求3√2，法国数学家范齐尔于1837年证明用尺规作不出等分任意角难在任意，有些角如90度角三等分是可以的。

（5），柏拉图﹝Plato，约公元前427——前347﹞

公元前427年，柏拉图出生于雅典，他自幼受到良好而完备的教育，少年时代勤奋好学、多才多艺且体格健壮。除了家庭的熏陶之外，给他影响最为深远的莫过于正直善辩的哲学家苏格拉底﹝Socrates﹞了，而苏格拉底以不敬神和蛊惑青年的罪名

被处死的悲剧给柏拉图极大的刺激，随着年岁的增长，他对当时的政客、法典和习俗愈来愈感到厌恶，从而决心继承苏格拉底的哲学思想，并从事于缔造理想国家的理论研究。柏拉图曾在非洲海岸昔兰尼跟狄奥多鲁斯﹝Theodorns﹞学数学，并成为著名的阿尔希塔斯的知心朋友。约公元前387年，他回到雅典创办他的著名学园，这是一所为系统地研究哲学和科学而开设的高等院校，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大里亚数学学派之间联系的纽带。公元前347年，柏拉图以八十岁高龄死于雅典。

作为一位哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响。特别是他的认识论，数学哲学和数学教育思想，在古希腊的社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用。

从柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探究。柏拉图的数学哲学思想是同他的认识论，特别是理念论分不开的。他认为数学所研究的应是可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系。因此，数学的研究对象应是抽象的数和理想的图形。他在《理想国》中说：“我所说的意思是算术有很伟大和很高尚的作用，它迫使灵魂就抽象的数进行推理，而反对在论证中引入可见的和可捉摸的对象。”他在另一处谈到几何时说：“你岂不知道，他们虽然利用各种可见的图形，并借此进行推理，但是他们实际思考的并不是这些图形，而是类似于这些图形的理想形象。„„他们力求看到的是那些只有用心灵之日才能看到的实在。”

如果说数学概念的抽象化定义始于毕达哥拉斯学派，那么，柏拉图及其学派则把这一具有历史意义的工作大大地向前推进了。他们不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，并把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格地分开。柏拉图是从理念论的角度去探讨数学概念的涵义的。亚里士多德阐释说，柏拉图是将数学对象置于现实对象与理念之间的，数学对象因其常驻不变而区别于现实对象，又因其可能有许多同类对象而区别于理念。

柏拉图十分强调脱离直观印象的纯理性证明，并严格地把数学作图工具限制为直尺圆规。这种主张对于形成欧几里德几何公理演译体系，不无促进作用。

柏拉图也十分重视整数的学问，他在很大程度上继承了毕氏学派的『万物皆数』的观点。他认为宇宙间的天体以至万物都是按照数学规律来设计的。依赖感官所感觉到的世界是混乱和迷离的，因而是不可靠的和无价值的，只有通过数学才能领悟到世界的实质。

此外，柏拉图学派在数学中引入了分析法和归谬法；他给出了点、线、面、体的定义；他对轨迹也有较早的认识，还研究了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的问题。在算术方面，他们发现了级数的不少重要性质。在天文学方面，他们不只是追寻天文观测的表象，而是寻求完美的有关天体的数学理论。总之，柏拉图学派主张严密的定义与逻辑证明，促成了数学的科学化。

自公元前387年开始，柏拉图就把创建和主持学园教育作为自己最重要的事业。虽然他认为学园的办学宗旨是培养具有哲学头脑的优秀政治人材，直至造就一个能够胜任治国重任的哲学王，但他深信：从事数学研究能培养人的思维能力，并因此是哲学家和那些要治理他的理想国的人所必须具备的基本素养。故学园在具体课程设计上继承和发展了毕氏学派的以数学为主课的方针。据说，他的学园门口写着：“不懂几何者，不得入内”。

柏拉图倡导多层次的数学教育，在某种意义上也体现了一种因材施教的原则。柏拉图首次提出了普及数学教育的主张：『应该严格规定贵城邦的全体居民务必学习几何。„„经验证明，学过几何的人在学习其它任何学问时，要比未学过几何的人快得多。』在柏拉图的指导下，学园的数学教育取得极大的成功。在公元前四世纪的希腊，绝大多数知名数学家都是柏拉图的学生或朋友，他们以柏拉图学园为数学交流活动的中心场所，形成以柏拉图为核心的学派，史称柏拉图学派。

美国数学史家博耶评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果，然而，他却是那个时代的数学活动的核心„„，他对数学的满腔热诚没有使他成为知名数学家，但却赢得了‘数学家的缔造者’的美称。”

（6），歐多克索斯﹝Eudoxus，约公元前400-前347﹞

欧多克索斯是古希腊时代成就卓著的数学家和天文学家，生于尼多斯。曾受教于柏拉图及阿尔希塔斯。

欧多克索斯对数学的最大功绩是创立了关于比例的一个新理论。他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来。

用现代术语来说，他的“量”指的是连续量，而“数”是离散的，仅限于有理数。其次，改变“比”的定义为：“比”是同类量之间的大小关系。从这一定义出发可以推出有关比例的若干命题，而不必考虑这些量是否可公度。这在希腊数学史上是一个大突破。其创立之比例论，成为欧几里得《几何原本》，特别是其中五、六、十二卷的主要内容。事实上，19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展。不过欧多克索斯理论是建立在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理。尽管如此欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础。为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展。从他以后，几何学成了希腊数学的主流。（7），亚里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）

亚里士多德出生于希腊北部的斯塔吉拉，父亲是马其顿国王的御医。公元前367年，17岁的亚里士多德到当时希腊的文化中心雅典，进入柏拉图的阿卡德米学园学习。由于他聪敏过人，深受柏拉图的喜爱，成为柏拉图的得意门生。他在学园一共学习了20年，直到柏拉图去世。柏拉图去世以后，他到小亚细亚各城邦去讲学。公元前343年，他42岁时，应马其顿王的邀请，担任王子亚力山大的老师。当时亚力山大只有13岁。公元前335年，亚里士多德回到雅典，创办一所学园，名叫吕克昂（Lyceum）。他在这里从事学术研究和教学活动达13年。亚力山大王去世以后，他被迫离开雅典，把吕克昂交给别人管理。次年病逝，享年63岁。他去世以后，吕克昂继续存在了几百年。

如果说柏拉图是一位综合型的学者，那亚里士多德就是一位分科型的学者。他总结了 前人已经取得的成就，创造性的提出自己的理论，在几乎每一学术领域，亚里士多德都留 下了自己的著作。从第一哲学著作《形而上学》，物理学著作《物理学》、《论生灭》、《论天》、《天象学》、《论宇宙》，生物学著作《动物志》、《论动物的历史》、《论 灵魂》，到逻辑学著作《范畴篇》、《分析篇》，伦理学著作《尼各马可伦理学》、《大 伦理学》、《欧德谟斯伦理学》，以及《政治学》、《诗学》、《修辞学》等，他的著作 几乎遍及每一个学术领域，他是一位名符其实的百科全书式的学者。

亚里士多德对数学的本性及其与物理世界的关系所发表的看法影响很大。例如，他讨论定义：一个定义只能告诉我们一件事物是什么，并不说明它一定存在。定义了的东西是否存在有待证明。亚里士多德还讨论数学的基本原理： 把公理个公设加以区别。公理是一切科学所公有的真理，而公设只是为某一门科学所接受的第一性原理。亚里士多德认为逻辑原理都是公理，公设无需是不言自明的，其是否为真受所推出的结果检验，列出的公理和公设数目越少越好。这些思想对以后欧几里德的思想起了重要的影响。

亚里士多德的另一个重大贡献就是创立逻辑学。他的逻辑对数学也产生了极大的影响，他的逻辑基本原理，如矛盾律：一个命题不能既是真又是假的；排中律：一个命题必须是真的或是假的„„等原理是数学中间接证法的核心。

2.亚历山大时期（300B.C——641A.D.）

这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并希腊为分界，分为前后两个时期。亚历山大前期和亚历山大后期，前期出现了希腊化数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大数学家：欧几里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）及阿波罗尼乌斯（Appollonius）。欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成13卷《几何原本》（Elements）。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。阿基米得是古代最伟大的数学家、力学家和机械师。他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方 法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算。阿基米得在纯数学领域涉及的范围也 很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分的思想。阿波罗尼乌斯的《圆锥曲线论》（Conic Sections）把前辈所得到的圆锥曲线知识予以严格的系统化，并做出新的贡献，对17 世纪数学的发展有着巨大的影响。亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼（Eratosthenes）也是这一时期有名望的学者。

亚历山大后期是在罗马人统治下的时期，但是希腊的文化传统尚未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那种磅礡的气势。这时期出色的数学家有海伦（Heron）、托勒密（Plolemy）、丢番图（Diophantus）和帕普斯（Pappus）。丢番图的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯的工作是前期学者研究成果的总结和补充。之后，希腊数学处于停滞状态。

公元641年，阿拉伯人攻占亚历山大里亚城，图书馆再度被焚（第一次是在公元前46年），希腊数学悠久灿烂的历史，至此终结。亚历山大里亚有创造力的日子也随之一去不复返了。

（1）欧几里得﹝Euclid，约公元前330─约公元前275﹞

关于欧几里得，除了知道他是历时长久的亚历山大数学学派的奠基人外，对他的生平所知甚少，仅估计他很可能在雅典的柏拉图学园受过数学训练。

在欧几里得之前，古希腊的数学知识已经累积得相当丰富，于是有人将它们整理成册，例如希波克拉底就是第一位进行汇

编的人。欧几里得也总结了他那个时代古希腊的所有数学成果，编辑成13卷的《几何原本》，以下简称《原本》。此书最重要的特色是公理化系统的结构：由少数几条公理(axioms)出发，推导出所有的几何定理。公理是「直观自明」的真理，是数学的源头，无法证明，也不必证明。欧氏的旷世名著，使得其它版本都黯然无光，乃至消失。《几何原本》所引起的效果正如古人所说：“月升灯失色，风起扇无功”。

欧几里得的《几何原本》﹝Elements﹞是一部划时代的著作，就其大部份内容来说，是对于公元前七世纪以来，希腊几何积聚起来的丰富成果作出高度成功的编纂和系统的整理，其主要功绩在于对命题的巧妙选择，和把它们排列进由少数初始假定出发，演绎地推导出的合乎逻辑的序列中。换言之，《原本》伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范。

五条公设

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。2.线段(有限直线)可以任意地延长。

3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。

5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线作延长时在此侧会相交。五条公理

1.跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。3.等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。4.完全迭合的两个图形是全等的（移形迭合公理）。5.全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）。一般公理不止适用于几何学，对于其它学科也行得通。23 个定义

（2）“数学之神”──阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）

阿基米德于公元前２８７年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古（Syracuse）的贵族之家。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，他在年轻时曾在亚力山大求学，不过大半生都待在他老家西西里岛的叙拉古，受国王 Hieron 的赞助从事研究工作。

阿基米德与欧几里德、阿波罗尼并列为希腊三大数学家，也有人甚至说他是有史以来最伟大的三个数学家之一（其他二位

是牛顿与高斯）。他的主要数学贡献是求面积和体积的工作。在他之前的希腊数学不重视算术计算，关于面积和体积，数学家们顶多证明一下两个面积或体积的比例就完了，而不再算出每一个面积或体积究竟是多少。当时连圆面积都算不出来，因为比较精确的π值还不知道。从阿基米德开始，或者说从以阿 基米德为代表的亚历山大里亚的数学家开始，算术和代数开始成为一门独立的数学学科。阿基米德发现的一个著名的定理是：任一球的面积是外切圆柱表面积的三分之二，而任一球的体积也是外切圆柱体积的三分之二。这个定理是从球面积等于大圆面积的四倍这一定理推来的，据说，该定理遵遗嘱被刻在阿基米德的墓碑上。

阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。阿基米德的“平衡法”，将需要求积的量分成一些微小单元，再与另一组微小单元进行比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，“平衡法”实际上体现了近代积分法的基本思想，是阿基米德数学研究的最大功绩。但是，“平衡法”本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格的证明。

《抛物线求积法》研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。

《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。

《论锥型体与球型体》，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。

（3）阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262-190）

阿波罗尼奥斯出生于小亚细亚（今土尔其一带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历山大。阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，编著《圆锥曲线论》。

阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线的直径、公轭直径、切线、中心、双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。《圆锥曲线论》中包含了许多即使按今天的眼光看也是很深奥的问题。第5卷中关于定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射影几何学的萌芽思想。

（4）埃拉托塞尼﹝Eratosthenes，约公元前276─约前195﹞

埃拉托塞尼出生于地中海南岸的昔兰尼﹝现北非利比亚舍哈特﹞，卒于亚历山大。他早年在雅典学习，大约四十岁时，接

受埃及的托勒玫三世的邀请，来到亚历山大当他儿子的家庭教师，约公元前235年起担任亚历山大附设于博物馆的图书馆馆长。埃拉托塞尼晚年因患眼疾，以致双目失明，他无法忍受不能读书的痛苦，竟绝食而死。

埃拉托塞尼在当时所有的知识领域里都是奇才。他是一位杰出的数学家、天文学家、地理学家、历史学家、哲学家、诗人和运动员。早年在雅典受过教育，先后师事逍遥学派的阿里斯顿，柏拉图学派的阿凯西劳斯和犬儒学派的塞翁等。后到亚历山大，又跟随诗人卡利马科斯学习诗词。他的博学多才，后来赢得“五项全能”﹝Pentathlus﹞的雅号。他是阿基米德的挚友，曾受到阿基米德的高度评价。著作有《地理学》、《地球的测量》、《倍立方问题》、《论平均值》、《柏拉图》等，可惜只有很少的片断流传下来。埃拉托塞尼最受人赞扬和传诵的业绩是测量地球的周长，其特点是原理简单，方法易行，结果也较精确。他的另一项脍炙人口的发明是寻找素数的方法，即所谓埃拉托塞尼筛，记载于尼科马霍斯《算术入门》第十三章中，即要在自然数列中从小到大找出素数，先从3开始，将奇数列写出，3是第一个素数，将3后面所有3的倍数都划去；3后面第一个未被划去的数是5，将5后面所有5的倍数都划去；5后面第一个未被划去的数是7，将7后面所有7的倍数都划去，重复这一步骤，直到所写出的数列最后一个数，未被划去的就是素数。

（5）海伦（Heron of Alexandria, 公元62年左右）

希腊数学家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使 用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。主要贡献是《度量论》一书。该书共3卷，分别论 述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷Ｉ第8题给出著名的海伦公式 的证明，设三角形边长分别是a、b、c，s是半周长（即s=(a+b+c)/2），Δ是三角形的面积，则有Δ＝

。海伦用文字叙述了这一公式的证明，并举例加以 说明。现已公认海伦公式是阿基米德发现的，但这个名称已成为习惯用法。他的成就还有：正3到正12边形面积计算法；长方台体积公式；求立方根的近似公式等。

（6）丢番图﹝Diophantus of Alexandria，约公元250年前后﹞

对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》﹝The Greek anthology﹞【这是公元500年前后的遗

物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus﹞所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗﹝epigram﹞。

亚历山大的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。他有几种著作，最重要的是《算术》，还有一部《多角数》，另一些已遗失。《算术》是一部划代的著作，它在历史上影响之大，可和欧几里得的《几何原本》相媲美。

丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。

（7）帕普斯﹝Pappus of Alexandria，约公元300─350年﹞

公元4世纪，希腊数学已成强弩之末。“黄金时代”﹝300 B.C─200 B.C﹞几何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亚历山大被罗马人占领，学者们虽然仍能继续研究，然而已没有他们的先辈那种气势雄伟、一往无前的创作精迪。公元后，兴趣转向天文的应用，除门纳劳斯﹝Menelaus of Alexandria公元100前后﹞、托勒密﹝Claudius Ptolemy，约公元85-165﹞在三角学方面有所建树外，理论几何的活力逐渐雕萎。此时亚历山大的帕普斯正努力总结数百年来前人披荆斩棘所取得的成果，以免年久失传，叙写了希腊数学的最后一页。

帕普斯给欧几里得《几何原本》和《数据》以及托勒密的《至大论》和《球极平面投影》作过注释。写成八卷的《数学汇编》﹝Mathematical Collection﹞──对他那个时代存在的几何著作的综述评论和指南，其中包括帕普斯自己的创作。但第一卷和第二卷的一部份已遗失，许多古代的学术成果，由于有了这部书的存录，才能让后世人得知。例如芝诺多努斯的《等周论》，经过帕普斯的加工，被编入于第五卷之中。当中有关于“圆面积大于任何同周长正多边形的面积”、“球的体积大于表面积相同的圆锥、圆柱”、“表面积相同的正多面体，面积愈多体积愈大”等命题。对于希腊几何三大问题也作了历史的回顾，并给出几种用二次或高次曲线的解法。在第七卷中则探讨了三种圆锥曲线的焦点和准线的性质，还讨论了“不面图形绕一轴旋转所产生立体的体积”，后来这叫做“古尔丁定理”，因为后者曾重新加以研究。

总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神。即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及

自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的

第三章．中国古代的数学 1．汉以前的中国数学

几乎和古希腊同时的战国时期的百家争鸣也促进了中国数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关出的许多抽象概念。其中著名的有《墨经》中关于几何的定义和命题，例如，圆，一中同长也，即圆是从中心到周界有相同长度的图形。平，同高也，即平行线之间的高度相同。等等。

周秦以来逐渐发展起来的中国古代数学，经过汉代更进一步的发展，已经逐渐形成了完整的体系，中国传统数学自古就受到天文历法的推动，秦汉时期天文历法有了明显的进步，涉及的数学知识水平也相应提高。西汉末年编纂的《周髀算经》是一部以数学方法阐述的天文著作，用对话一问一答的形式写出的，提出勾股定理的特例和提出测太阳高、远的方法，为后来重差术的先驱。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以算法为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

总之，《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。

2．从魏晋到隋唐时期的中国数学

东汉《九章算术》出现以后，注释与修正的工作在不断进行着。魏晋赵爽作《勾股方圆图注》，利用勾股定理完成一般一元二次方程(首项系数可以为负，三国时代，刘徽注《九章算术》(263年)。《九章算术》中取圆周率为3，刘徽提出「割圆术」，计算正192边形的面积，求得3.141的三位小数近似值。其后南北朝祖冲之(429-500)更把这结果向前推进，在《缀术》一书中，找到3.1415926的密率。

如果将《九章算术》的内容当作中国数学的雏型，那么自东汉到隋唐(即公元第二世纪到第十世纪)，可称为它的发展期，隋唐以后渐臻成熟。到十三世纪南宋及元初，才进入中国数学的黄金时代。

著作方面，唐朝《新唐书艺文志》中收录的《十部算经》(李淳风注)很 能够反应发展期的数学水平。《十部算经》除收集早期的《周髀》《九章》之外还包罗了

《海岛算经》(刘徽，263年)《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》(皆为第三、四世纪之作，但夏侯阳现传本则迭经增补，搜集的材料包含到第八世纪的有关内容)《五曹算术》、《五经算术》(《五曹》为官吏手卌，《五经》则倾向玄学，无甚内容)《辑古算经》(唐、王孝通，626年稍后定成)另外亦含第五世纪祖冲之所作《缀术》，惜已失传。十三世纪宋朝再刻《十部算经》时，便以《数术记遗》代之，成为现存的《算经十书》。

3．十二、三世纪的宋元数学

宋元两代，中国数学进入了黄金时期，尤其到了十三世纪成就更趋辉煌。不只相对于中国本身古来的数学得到空前的发展，放眼于当时阿拉伯、印度及欧洲各地的数学水平，也是处于领先的地位。

宋元黄金时期的数学家一般以南方的秦九韶、杨辉，北方的李治、朱世杰为代表，合称秦、李、杨、朱四大家。事实上，四家之前有北宋支持王安石变法的沈括(1031-95)。沈括晚年着有《梦溪笔谈》，讨论「隙积术」，开创了高阶等差级数的研究。又有楚衍(与沈括约同时代在司天监工作)的学生贾宪，作「增乘开方法」引进随乘随加的方法，开平方开立方法。由于随乘随加的方法暗含着二项式定理的系数分配，这种开方法马上可以推广到高次开方,为其后不久刘益，秦九韶作一般高次方程的数值解法铺路。在西方，高次方程的数值解法要延到十九世纪才由 Ruffini(1804)与Horner(1819)具体提出，西方数学惯称为Horner method(霍纳方法)。

值得注意，不管在代数方法或转化方法上，中国数学家在定量方面的努力都已接近饱和，必须转向去做些定性的工作。例如在代数方法上有了天元术、四元术，便须转个方向去考虑根与系数的定性关系，才能再往前推进，做出像十九世纪 Abel, Galois 的方程论那样的工作。而在转化方法上，有了个别关系也须要改做些定性的考虑，到定性方面去找寻有系统的转化关系，发展出像解析几何之类的工作。

但变量数学终究不曾出现在中国，道理还是社会条件不够，当时中国社会以天文历法所需的数学最为繁复。内插法是一种逼近，隐约有了变量数学成份。但变量数学得以发展的真正关键在于引入变化率。日月五星的运行虽也有变量，但运行的瞬间速度在当时还不必去考虑，不像在欧洲，力学已发展到须要找出运动规律的时候了。十三世纪前的中国数学在局部化方法上所作的贡献只限于三次函数的内插逼近及早先祖冲之的 Cavalieri 原理。

宋元以后，明代理学对科学技术与思想发展造成一定束缚。除程大位《算法统宗》继吴敬,徐心鲁等人将筹算改良，发展为珠算，便利四则计算之外，明朝两百年间，不仅没继承宋元数学而持续发展，甚至宋元著作散失，数学水平普遍下降。明末清初，西方传教士陆续来华之时，中国数学正处低潮时期，两种文化的交会结束了中国本土数学的发展。

第四讲章．印度与阿拉伯的数学

1．印度的数学

印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往来，印度数学和近东，特别是中国的数学便在互相融合，互相促进中前进。另外，印度数学的发展始终与天文学有密切的关系，数学作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。

约在三千七百年前，Harappa 文化已开始式微。等到约三千五百年前，亚利安人从中亚进入印度的恒河流域时，这支文化已经消失殆尽。

亚利安人发展了世袭的种姓制度，婆罗门（教士）与武士享有统治权。婆罗门掌管知识，并且不让平民有一丝一毫的教育；为此，他们反对写作，而婆罗门教圣诗吠陀(Veda)则以口述承传。亚利安人在印度头一千年的历史就因文献不足而不清不楚。在数学方面，我们只能从吠陀的经文中看出，他们和别的民族一样，也在天文方面花了一些心思。公元前六世纪，佛教兴起，屏弃了婆罗门教的闭锁性格，于是文学萌芽，历史也开始有了可靠的文献。

公元前326年，亚历山大大帝曾经征服了印度的西北部，使得希腊的天文学与三角学传到了印度。紧接着亚历山大大帝之后，孔雀王朝（Maurya，公元前320～185年）兴起，在其阿育王时代（公元前272～232年）势力达到顶峰，领土不但包括印度次大陆的大部分，而且远如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教为国教，每到一重要城市总要立下石柱。从数学的眼光来看，这些石柱让人感兴趣，因为在石柱上我们可以找到印度阿拉伯数字的原形。

从八世纪开始印度教兴起，同时回教势力也开始侵入，佛教在两者夹攻之下逐渐式微。到了公元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。这种宗教信仰的变迁，对印度的文化是有非常具大的影响的。印度的数学从此之后就停止不前。

十六世纪初，中亚的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀儿帝国。到了十九世纪，英国的势力完全取代了蒙兀儿，成为印度的主宰者。这一段时期，印度虽然有比较统一的局面，但数学方面仍然没有进展。因此十二世纪的 Bhaskara 可以说是印度传统数学的最后一人。直到二十世纪初，印度数学会成立（1907年），出版学会杂志（1909年），而且又产生了数学怪才Ramanujan（1887～1920年），印度的数学终于渐有起色，而投入了世界数学的发展洪流中。

然而印度的传统数学在算术及代数方面则有相当的成就；这些包括建立完整的十进制记数系统，引进负数的观念及计算，使代数半符号化，提供开方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。

拉普拉斯对十进位值制记数法的评价：“用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。”

2．阿拉伯数学

从九世纪开始，数学发展的中心转向阿拉伯和中亚细亚。自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。

从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世纪还充满活力。

三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发

展了三角学。他们引进了几种新的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有：阿尔‧巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜尔‧维法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿尔‧比鲁尼﹝Al-Beruni﹞等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁﹝Nasir ed-din﹞完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。

第五讲：数学的复兴 1．中世纪的欧洲数学

罗马人活跃于历史舞台上的时期大约从公元前七世纪至公元五世纪。他们在军事上和政治上曾取得极大成功，在文化方面也颇有建树，但他们的数学却很落后，只有一些粗浅的算术和近似的几何公式。著名的科学书籍有维特鲁维尼斯的《建筑十书》﹝公元前14年﹞。书中比较注重处理数学问题，使用了建筑物的平面体和立视图，可以看到画法几何的萌芽。此外，罗马人对历法改革也有一定的贡献。中世纪原指古代文化衰落（五世纪）到意大利文艺复兴（十五世纪）之间漫长的一千年。从科学史角度来看，在这段时期内，人类从希腊科学文明和罗马统治的高峰跌落，再沿着现代知识的斜坡挣扎向上。这一时期只出现少数几位热心学术的学者和教士：殉道的罗马公民博埃齐﹝Boethius﹞，英国的教士学者比德﹝Bede﹞和阿尔克温﹝Alcuin﹞，著名的法国学者、教士热尔拜尔﹝Gerbert﹞──他后来成了教皇西尔维斯特二世﹝Pope Sylvester II﹞。

在这样一种价值取向下，数学的最基本的思想、方法和观念等成分渐渐被吸纳进基督教体系中去，并成为构建基督教体系所必须的条件之一。这一点特别明显地体现在九世纪著名的经院哲学家和神学家萨阿迪亚·果昂(Saadia Gaon，892-942)的著作中。在他的系统的神学理论中已经曾现出十九世纪和二十世纪数学所特有的某些方法和思维过程。如萨阿迪亚在他的著作中曾

把上帝的存在作为假定，而上帝的唯一性被证明出来，并且以后所赋予上帝的一些性质通过抽象推理和《圣经》的象征手法有趣地结合而推导出来。在这里希腊人的方法与希伯来传统结合起来。这也引出了近现代数学中的“唯一性问题”。

这种思想经过几个世纪的酝酿，最终在十六、十七世纪达到其顶峰，让我门看一看法国数学家、哲学家笛卡儿带有强烈的唯意志论特征的一段话：“数学真理，如同其他一切受造之物一样，也都是由上帝所确立，并依赖于上帝。„„上帝能够做我们所理解的一切事情，我们不可以说上帝无法做我们所不理解的事情。因为，认为我们的想象力可以穷尽上帝力量的那种想法是？越而狂妄的。”所以，对于此时的欧洲学者来说，上帝就是一位至高无上的数学家，人类不可能指望像上帝那样清楚地明白上帝的意图，但人至少可以通过谦恭的态度和理性的思考来接近上帝的思想，就可以明白神创造的世界。近代数学的产生和进展就直接得益于这种宗教观念的提升和促进，由此为近代数学发展超越古希腊阶段提供了一个必要的形而上学基础。

十二世纪是数学史上的大翻译时期，是知识传播的世纪，由穆斯林保存下来的希腊科学和数学的经典著作，以及阿拉伯学者写的著作开始被大量翻译为拉丁文，并传入西欧。当时主要的传播地点是西班牙和西西里，著名的翻译家有巴思的英国修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫纳的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的罗伯特﹝Robert﹞等等。

十四世纪相对地是数学上的不毛之地，这一时期最大的数学家是法国的N‧奥雷斯姆﹝Oresme﹞，在他的著

作中，首次使用分数指数，还提出用坐标表示点的位置和温度的变化，出现了变量和函数的概念。他的工作影响到文艺复兴后包括笛卡尔在内的学者。

2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响

在古希腊哲学家毕达哥拉斯和柏拉图那里，数学是一门独立的、专门的学科，它被赋予了完美与和谐的性质。他们把数学孤立起来看待，认为数学是人们通往理念世界的阶梯，而当完美的数学与不完美的可感知世界产生矛盾时，现实是被校正的对象。柏拉图尤其认为在现象世界中物质阻碍了对数学理念的精确反映。柏拉图甚至憎恶“几何学”这个名词，他认为在几何学这门学科中存在着太多的使人联想起受做工作的名词，“这门学科所用的语言散发着奴隶的气息”，数学研究是一种崇高而且有哲理性的职业，但与应用有关的则是卑劣粗俗的[8]。

在文艺复兴时期，毕达哥拉斯和柏拉图所强调的自然是依照数学设计的信念广泛地为欧洲的知识分子所接受。

近代数学在这种完全崭新的文化氛围中迈开了步伐。由于技工与学者相互合作、逻辑思辨与实验科学携手大大刺激了数学中新的观点、新的理论和方法的产生，这时，数学一方面从实验的自然科学中吸取了的灵感，激发了众多新学科的创造，如对数、三角学的形成，微积分的产生与分析学的发展都是建立在自然科学的研究的基础上的。另一方面，数学的成果也日益广泛的被应用到其他自然科学的研究中去。实际上，从开普勒、笛卡尔、伽利略、牛顿到十八世纪的拉普拉斯，他们在一般方法上或具体研究中都是以数学家的身份去探索自然的。依靠数学的指导，建立定量化的规律，从而导出了极有价值的科学成果。

这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘

制在二维的画布上。

文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度─阿拉伯数码的使用使

算术运算日趋标准化。

符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达﹝Viete﹞完成的。他在前人工作的基础上，于1591年出版了

名著《分析方法入门》﹝In artem analyticam isagoge﹞，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正》﹝De aequationum recognitione et emendatione, 1615﹞中，改进了三、四次方程的解法，还对n = 2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。

3．三次、四次方程的求根公式的解决

代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作《大术》﹝Ars magna，1545﹞中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚﹝Tartaglia﹞。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里﹝Ferrari﹞发现，在《大术》中也有记载。稍后，邦贝利﹝Bombelli﹞在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。

4．三角学的历史

早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（1436～1476）．

近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论

第六讲：近代数学的兴起

在数学史上，十七世纪初到十九世纪20年代这段时间被称为近代数学时期。对数的产生、牛顿、莱布尼茨的微积分、帕斯卡等人的概率论等都是这一阶段的重要成果。

1．对数

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent，有代表之意）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。

2.解析几何的诞生

几何学及综合几何式的思考方式是希腊数学的传统。几何学几乎是数学的同义词，数量的研究也包含其中。这种趋势直到十七世纪上半叶才渐有改变；那时候代数学已较成熟，同时科学发展也逼使几何学寻求更有效的思考工具，更能量化的科学方法。在此双重刺激之下，解析几何学就诞生了。

在希腊人的观点中，圆锥曲线就是圆锥被平面割截的截痕，但若死守这种观点，圆锥曲线的性质就甚难推演。Apollonius 由圆锥截痕的定义导出圆锥曲线中一些几何量所具有的代数关系式，然后以这些关系式为基础再导出其它的性质。这些关系式，经稍微的变形，用现代的观点来看是这样的。

代数学本身尚未完全成熟也使解析几何的想法未能迅速推广开来。那时，负数的观念并不成熟，尤其是，几何的量不能与负数有关，所以许多可以统一处理的情形，都得分成好几个状况，分别处理，而且只有在第一象限才有图形。

3.微积分的产生与发展

微积分思想的萌芽可以追溯到古希腊时代。公元前5世纪，德谟克利特创立原子论，把物体看成由大量的不可分割的微小部份﹝称为原子﹞迭合而成，从而求得物体体积。公元前4世纪，欧多克索斯建立了确定面积和体积的新方法──穷竭法，从中可以清楚地看出无穷小分析的原理。阿基米得成功地把穷竭法、原子论思想和杠杆原理结合起来，求出拋物线弓形面积和回转锥线体的体积，他的种种方法都孕育了近代积分学的思想。

事实上，17世纪早期不少数学家在微积分学的问题上做了大量的工作，但只停留在某些具体问题的细节之中，他们缺乏对这门科学的普遍性和一般性的认识。微积分学的最终创立要归功于英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹。

4.概率论的产生

（1）．概率的起源——随机性游戏

作为一门经验科学的古典概率论最直接起源于一种相当独特的人类行为思想的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。在自古至今各国文献的记载中，有关赌博等机会性游戏的记载的文献是非常丰富的，赌博手册的存在、各种随机发生器的发明，各个时代和国家经常展开的反对赌博的斗争活动等都是早年机会性游戏流传的明证。

帕斯卡和费马正确解决了“点问题”的这一事件被伊夫斯）称为“数学史上的一个里程碑”。

（2）．概率论与统计学的结合

概率论产生于人类的一种特殊的活动——机会性的游戏，而培育它成长壮大的其他因素却丰富多彩。首先是一门与经济、政治和宗教信仰等有密切关系的关于数据的学问——统计学对概率论发展产生了重大的影响。

正是伯努利具体地指出了概率论可以走出赌桌旁而迈向更广阔的天地这一光辉前景。他的大数定律成为概率论从一系列人们视之为不怎么高尚的赌博问题转向在科学、道德、经济、政治等方面有价值和有意义的应用的一块塌脚石，从而吸引了欧拉、拉格郎日、达朗贝尔、孔多塞、拉普拉斯等一大批数学家投身于其中。

（3）．概率论与分析学等领域的结合

伯努利的工作也显示了逐渐发展的统计是概率论施展潜力的最重要的舞台。但是由于统计学所研究的许多现象比赌博中的输赢等现象要复杂得多，许多问题涉及到连续和无限的情形，这样主要以离散组合方法为主的古典概率论就显得不是很充分了。所幸的是十八世纪分析学的发展为概率论方法的扩展提供了及时的条件，于是分析的方法开始大规模地进入了概率论研究的领域。早期在这方面做出重要尝试的是与伯努利几乎同时对概率论做出重要贡献的另一位数学家棣莫弗（1667—1754）。

在数学分析与概率论的结合方面做出有益尝试的数学家们还有：伯努利家族众多科学成员中的一员丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）研究了由他的哥哥尼古拉.伯努利（Nikolaus）在1713年首先提出的著名的彼得堡（Petersburg）悖论。丹尼尔.伯努利在其工作中还明确地示范了怎样将微积分（60年前发明的）应用于概率的研究。欧拉（Leonard Euler，1707—

1783）分类整理了许多概率问题；拉格朗日（Joseph Lagrange，1736—1813）更是系统地把微积分应用于概率论，由此把概率论推进了一大步。

（4）．概率论与社会科学的结合

在十八世纪，除了当时非常有效的数学工具——数学分析，以及统计学和误差测量等方面与概率论的广泛结合之外，概率论发展的另一个重要特征就是它的应用范围大幅度地向社会学领域中扩展，这种倾向与当时的社会精神氛围有着极其密切的关系。在十八世纪，“理性”是贯穿始终的一个中心，这个词表达出了这个世纪的人们的希望和为之奋斗的一切东西。所谓理性一般是指正确方法的关键，它也指自然界的秩序，也表示逻辑上有效的论证，就像数学中的论证那样。所以，数学一直被作为秩序和理性的典范。而此时正是经典的自然科学领域结出辉煌硕果的时期，许多知识分子也希望建立一门像自然科学那样以数学的方法为基础的关于人和社会的科学。这一切与自笛卡尔以来人们所认为的数学具有普遍特征的观点是一脉相承的。

第七讲：近代数学的发展

十九世纪二十年代以来，数学发展的主要特征是空前的创造精神和高度的严格精神相结合，这个世纪的数学成果超过以往所有数学成果的总和，其中最典型的成就应当属分析学的严格化；射影几何的复兴及非欧几何的诞生；代数学中群论和非交换代数学的产生；以及公理化运动化的开端等。这些事件具有重大的意义，从某种程度来说它们改变了人类的思维方法，并且最终影响到人们对数学的本性的理解，这些事件也深深地影响了二十世纪数学的发展趋势，主要反映在纯粹数学方面。

1．几何学的发展

（1）射影几何学的复兴

19世纪，几何学领域的首先的一个突出的进展是关于射影几何学的研究。

射影几何学讨论平面或空间图形的射影性质。所谓射影性质就是在射影变换下保持不变的几何性质，如三点共线、三线共点等，这些性质如此众多，且各不相同，因此，为了使这繁杂的知识变得有条理，人们常采取建立在定理的推演方法的基础上的分类原则。按照这种分类原则可以区分出“综合”与“分析”两大类方法。综合法就是欧几里得公理化方法，它将学科建立在纯粹的几何基础之上，而与代数及数的连续概念无关，其中的定量都是从一组称为公理或公设的原始例题推导出来的。分析法则是建立在引入数值坐标的基础上，并且应用代数的技巧。这种方法给数学带来了深刻的变化，它将几何、分析和代数统一成为一个有机的体系。

（2）非欧几何的创立

19世纪几何学最重要的成就，应当首推30年代创立的非欧几何学。

非欧几何的历史，便开始于努力清除对欧几里得平行公理的怀疑。据说，在欧几里得以后果的两千多年的时间里，几乎难以发现一个没有试证过第五公设的大数学家。但是，两千多年来许多数学这在这方面的努力都失败了。这是因为：除了他们一直没有找到一个比平行公理更好的假设之外，在他们的每一个所谓“证明”中，都自觉不自觉、或明或暗地引进了一些新的假设，而每个新假设都与第五公设等价：即在某给定的公理的基础上加上第五公设可以推导出这一命题；反之；反之在此组公理基础上加上这个命题也可以推导出第五公设。所以，在本质上他们并没有证明第五公设，只是在整个公理体系中，把第五公设用等价命题来代替罢了。例如：公元4世纪的普洛克拉斯（Proclus）试图通过把平行于已知直线的线定义为和已知直线有给定固定距离所有点的轨迹的方法，来废除特殊的平行公理，但是他没有意识到，他只是把困难转移到另一个地方罢了，因为，必须证明这样的点的轨迹的确是一条直线，当然证明这一点是困难的。但如果承认这个命题是一个公理，那么容易证明：这个公理和平行公理是等价的。

到17、18世纪，许多数学家，如意大利耶稣会教士萨开里（Girolano Sacheri，1667-1733）、瑞士的兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）、法国的分析数学家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）和勒让德（Legendre，1752-1833）、匈牙利的W·波

尔约（WBolyai，1775-1813）等，为了试证平行公设，而改用反证法，即从第五公设不成立的情况着手，追穷它能否得出与已知定理相矛盾的结果。如果得不出，它又会产生怎样的事实。实际上，这样的思想方法，已经开辟了一条通向非欧几何的道路，并且得出了许多耐人寻味的事实。而这些事实正是从第五公设不成立这一假定下推导出来的，这恰恰就是非欧几何学中的定理。

罗巴切夫斯基（1793-1856）于1826年2月在喀山大学数理系的一次会议上提出了关于非欧几何的思想。1829年，他正式发表了题为《论几何学基础》的论文，以后，他又发表了题为《具有平行的完全理论的几何新基础》等多篇著作，论述他关于平行公设的研讨以及对新创立几何体系的探索。

到了19世纪末期，非欧几何逐渐被人们所接受，非欧几何的产生具有极为深远的意义，它把几何学从传统的模型中解放出来，“只有一种可能的几何”这个几千年来根深蒂固的信念动摇了，从而为创造许多不同体系的几何打开了大门。1873年，一位英国数学家把罗巴切夫斯基的影响比作由哥白尼的日心说所引起的科学革命。希尔伯特也称非欧几何是“这个世纪的最富有建设性和引人注目的成就”。

2.代数学的发展

（1）群论的诞生

群的思想起源于求解高次方程的根的问题。在18世纪末和20世纪初，代数学中的中心问题之一仍是代数方程的代数解法，这个问题的根本困难在于求一个未知数的n次代数方程的解法，可以用系数的加、减、乘、除和开方的有限次运算表示出根的公式，也称根式解法。

19世纪末期，群论几乎渗入到当时数学的各个领域中去，例如1872年，克莱因在他著名的“埃尔朗根纲领”中指出，变换群可用来对几何进行分类；F·克莱因和庞加莱在研究自守函数的过程中曾用到其它类型的无限群；1870年左右，S·李开始研究连续变换群的概念，并用它们阐明微分方程的解，将微分方程进行分类；在代数中，群作为一个综合的基本结构成为抽象代数在20世纪兴起的重要因素；此外，群论在近代物理学中也有重要的应用。

（2）非交换代数学的产生 1．代数结构

在19世纪早期，代数和几何有着相似的经历，人们把代数单纯地看作是符号化的算术，也就是说，在代数中，凡量都可以用字母表示，然后按照对数字的算术运算法则对这些字母进行计算，例如，这些运算法则中最基本的五条是：加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法在加法上的分配律。而随着伽罗瓦的群的概念的引入，19世纪中叶的代数在保持上述这种基础的同时，又把它大大地推广了。这时，在代数中还考察比数（自然数、整数、负数等）具有更普遍得多的性质的“数”——元素。比如，上述关于数的五条基本性质，也可以看作是其它完全不同的元素体系的性质，也就是说，存在有共同代数结构的公设，并且，逻辑上隐含于这些公设的任何定理，可被用于满足这五条基本性质的任何元素来解释。从这个观点上说，代数不再束缚于算术上，代数就成了纯形式的演绎研究。

2．向量

19世纪后期，复数成为研究平面向量的有效工具。但是，复数只能表示平面向量，而物理学中处理的量涉及的总是三维空间向量。困此，迫切需要一种能处理空间向量的数学理论。四元数的诞生自然引起了很大的反响，数学物理家们从四元数中找到了处理空间向量的数学理论，因为四元数中含有三维向量的标准研究式xi+yj+zk。但是，在哈密顿那里，向量只是四元数的部分，而不是作为独立的数学实体处理的。从四元数到向量需要迈出主要一步是把向量从四元数中独立出来。电磁理论的发明者，伟大的英国数学物理学家之一麦克斯韦（1831-1879）在区分出哈密顿的四元数的数量部分和向量部分的方向上迈出了第一步。其后，在19世纪80年代初期由数学物理学家吉布斯（1839-1903）和希维赛德（1850-1925）各自独立地开创了一个独立于四元数的新课题——三维向量分析。

3．矩阵

另一个不可交换的代数——矩阵理论是英国数学家凯莱创造的。他是在研究线性变换下的不变问题时，为简化记号引入矩阵概念的。凯莱定义了两个矩阵相等、两个矩阵的乘法、矩阵的加法。在所得到的矩阵代数中，可以证明：乘法不满足交换律。

总之，正象非欧几何的创立为新几何学的创立开辟了道路一样。四元数、超复数、向量、矩阵等新的代数体系的出现，也成为代数学上的一次革命。它们首先把数学家们从传统的观念中解放出来，并为新的代数学——现代抽象代数学的创立打开了大门。

3．分析学的发展

（1）微积分的严格化

自17世纪中叶微积分建立以后，分析学各个分支象雨后春笋般迅速发展起来，其内容的丰富，应用的广泛使人应接不暇。它的高速发展，使人们无暇顾及它的理论基础的严密性，因而也遭到了种种非难。到19世纪初，许多迫切的问题得到了基本解决。大批数学家又转向了微积分基础的研究工作。以极限理论为基础的微积分体系的建立是19世纪数学中最重要的成就之一。

微积分中，这种缺乏牢固的理论基础和任意使用发散级数的状况，被当时一些数学家认为是数学的耻辱。这些问题，虽然经过了整整一个半世纪的修正和改进，仍未得到完满的解决。但是人们已经从正反两方面积累了丰富的材料，为解决这些问题准备了条件。从19世纪20年代起，经过许多数学家的努力，到19世纪末，微积分的理论基础基本形成。在这方面做出突出贡献的主要有数学家波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯等。

集合论的建立

在分析学的重建运动中，德国数学家康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。

但是随着岁月的流逝，集合论日臻完善，并且以其巨大的生命力展现在人们面前。集合论的诞生被誉为是数学史上一件具有革命性意义的事件，英国哲学家罗素把康托尔的工作称为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的成就。”康托尔生前曾充满自信地说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人到头来都将搬起石头砸自己的脚„„。”历史的事实证实了这一点，康托尔和他它的集合论最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉，它已经深入到数学的每一个角落。正如大数学家希尔伯特所指出的那样“没有人能把我们从康托尔所创造的乐园里赶走！”

4.公理化运动

概括地说，公理观点可以叙述如下：在演绎系统中，为了证明一个定理，就必须证明这个定理是某些以前已经证明过的命题的必然的逻辑推论，而这些命题本身又必须用其它命题来证明，等等。这个过程不可能是无限的，因此，必须有少数不定义的术语和公认成立而不要求证明的命题（称为公理或公设），从这些公理出发，我们可以试图通过纯逻辑的推理来导出所有其它的定理。如果科学领域的事实，有这样的逻辑顺序，那么就说这个领域是按公理形式表示了。

（1）、算术的公理化

对于分析，几何等分支的基础问题的进一步探讨，使得数学家们关心起算术的基础。然而，直到19世纪末，算术中一些最基本的概念，如：什么是数？什么是0？什么是1？什么是自然数的运算等，却很少有人解释过。

（2）初等几何的公理化

自从欧几里得时代以来，几何学就成为公理化学科的典范，很多世纪，欧几里得体系是被集中研究的对象。但是在19世纪后期，数学家们才明白：如果一切初等几何都要从欧氏系统推演出来，那么欧氏公理必须加以修改和补充。

（3）其它数学对象的公理化

公理化的思想风靡于世，它日益渗透到每一个领域中去。例如，在19世纪初解代数方程而引进的群及域的概念，在当时都是十分具体的，如置换群。只有到19世纪后半叶，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻画它，群的公理由四条组成，即封闭性公理，两个元素相加（或相乘）仍对应唯一的元素；运算满足结合律；有零元及逆元素存在，等等。公理化的思想深深地影响着现代数学的发展。20世纪初的数学发展的趋势之一就是数学分支的公理化。例如1933年，苏联数学家A.H.柯尔莫戈洛夫在他的《概率论基础》一书中给出了一套严密的概念论公理体系。特别应当指出的是：公理化运动最大的成果之一是它已经创立了一门新学科——数理逻辑。

第八讲 现代数学概观

“现代数学”一词已为人们所常用，但现代数学时期却很难用一个确定的年代作为开始的时间，一般来讲，是从20世纪初开始的。现在，20世纪即将结束，它留给人们一笔丰富的数学财产。这个世纪数学发展速度之快、范围之广、成就之大、远远超出人们的预料，数学的发展在改变着人们对数学的认识。数学本身也在不断分化出更多的二级、三级，甚至更细小的学科和思想，而在不同的学科之间，几乎没有共同的语言。在这里我们所能给出的，仅仅是极为粗略的概述。

1．集合论悖论与数学基础的研究

康托的集合率与数学的关系从来没有顺利过。1900年左右，正当康托的思想逐渐被人接受时，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论里的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。人们认为，集合的概念结构的组成还没有达到十分令人满意的程序，只需对基本定义修改，一切事情都会好起来。

在有限集合中，推理有效的逻辑法则的一个特殊例子是排中律，布劳威尔反对把它应用于无限集中。支撑这个法则的假设是每一个数学陈述都可以判断是真或假，而不依赖于我们用于判断真值的方法。对布劳威尔来说，纯粹地假设的真值是一个错误。只有一个自明的构造通过有限步骤建立起来时，才可以说断定一个给定的数学陈述是真的。因为并不能预先保证能够找到这样的一个构造。所以我们就无权假设有一个陈述要么是真的，要么是假的。例如：布劳威尔问：“在π的小数表达式中有十个连续的数学形成0123456789的形式，这个陈述是真还是假？”因为这显然需要我们判定在π中有0123456789形式，或者证明没有这样的形式，但是因为π是一无穷小数，也就不存在作出这个决定的方法，所以人们就不能应用排中律说这个陈述是真或假的。另一方面，从直觉主义者的立场来说，断言 或是素数或是合数，而不必说二者之一成立。因为有一种方法，（如果不怕麻烦去应用它的话），也就是一个有效法则能够决定两者之一哪个是正确的。

抛弃排中律和抛弃以此为根据的非构造的存在性证明，对希尔伯特来说是过于激进的一步，以至于不能接受。他说：“禁止数学家用排中律，就象禁止天文学家用望远镜或拳击者用拳一样。”对他来说，布劳威尔不会赞同证明传统数学是相容的能够恢复数学的意义的主张。这样他写道：“用这种方式不会得到任何有数学价值的东西，没有被悖论制止的一个假的理论仍然是假的。就象一个没有被法庭禁止的犯罪行为仍然是犯罪一样。”

2.纯数学的发展

20世纪初，除了围绕惊心动魄的关于数学基础所展开的争论之外，由19世纪70年代以来发展起来的数学的抽象化和公理化的趋势一直受人重视，人们已经意识到抽象理论几乎具有囊括一切的本领。建立起这样的抽象理论成为许多数学家的奋斗目标，而这些人又影响到他们的弟子以及以后几代数学家，使得他们不但非常重视数学的公理化、严密性和抽象性，而且倾向于将这些特性永远看作数学的本质。在20世纪产生的众多的纯粹数学中，最具有代表性的应当属拓扑学、泛函分析和抽象代数学。这三门学科可以说是现代数学的三大理论支柱。20世纪，围绕着这三个领域产生了形形色色的数学分支，时至今日，人们

似乎形成了这样的一个观念，一个人不能阅读用抽象代数、拓扑和泛函分析的语言写成的书籍，就不能自认为真正掌握了现代数学知识，下面简略介绍这三门学科的历史。

（1）拓扑学

有关拓扑学的某些问题可以追溯到17世纪，1679年莱布尼兹发表《几何特性》一文，试图阐述几何图形的基本几何特点，采用特别的符号来表示它们，并对它们进行运算来产生新的性质。莱布尼兹把他的研究叫做位置分析或位置几何学，并另外宣称应建立一门能直接表示位置的真正几何的学问，这是拓扑学的先声。

1736年，欧拉解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。这个问题是，能否在散步中连续地经过如图（6-1的左图）所示的七座桥且每座桥只走一次。欧拉解决问题的方式具有拓扑意义，他简化了这个问题的表示法，用点代表陆地，用线段或弧代表桥，将问题改变成：能否一笔画出下图中的右图。

（2）泛函分析

泛函分析有两个源头。第一个源头是变分法。早在17世纪末18世纪初，约翰·伯努利关于最速降线的工作就可以看成是泛函数研究的开端。这个问题及后来提出的各种变分问题一般都可归结为求形如 或更复杂一些的积分的极值。这里函数 是在某个集合Y上变动。变分法研究以函数y为自变元的函数J(y)。把这里的y视为点，Y视为函数空间的观念是在很晚才形成的。泛函的抽象理论开始于意大利数学家沃尔泰拉（1860-1940）关于变分法的工作，他研究所谓“线的函数”时指出：每一个线的函数是一个实值函数F，它的值取决于定义在某个区间[a, b]上的函数y(x)的全体。全体y(x)被看作一个空间，每个y(x)看作空间中的一个点。对于y(x)的函数J(y)，沃尔泰拉曾引进连续、微商和微分的定义。法国数学家阿·达马首先称这种函数的函数J(y)为“泛函”，而阿·达马的学生莱维则给泛函的分析性质的研究冠上了泛函分析的名称。

（3）抽象代数学

抽象代数是20世纪初期的数学中最伟大的成果之一，它的产生可以追溯到19世纪。在19世纪，代数学中发生了几次革命性的变革最终促进了抽象代数学的产生，首先是由于阿贝尔和伽罗瓦等人的工作结束了代数学中以解方程为主的时代，并促使人们对于代数学所研究的对象采取一种更为抽象的形式，并且，他们的工作也是后来抽象群论的第一个来源，自19世纪以来，引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作还有许多，这些工作大致可以分属于群论、代数理论和线性代数这三个主要方面。到19世纪末期，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究，完成了来自上述三个方面工作的综合，至此可以说，代数学已发展成为抽象代数学。近代一些德国数学家对这一综合的工作起到主要作用，自十九世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始，在韦伯（1842-1913）的巨著《代数教程》的影响下，施泰尼茨（1871-1928）于1911年发表了重要论文《域的代数理论》，对抽象代数学的建立贡献很大。

（4）布尔巴基学派

随着三大理论支柱的建立，20世纪以来，数学越来越向着日益抽象的趋势发展，三十年代，对于推动这种趋势进一步发展的是尼古拉·布尔巴基的工作。

1939年，布尔巴基出版了一部书名朴实的长篇巨著——《数学原理》，全书分成许多卷，这本书马上引起了数学界极大关注。但是，关于书的作者人们却一无所知，1949年，有人在一篇有关布尔巴基教授的生平简介中提到，他从前是波尔达维亚皇家科学院院士，当时居住在法国的南锡。但是以后不久，大约在1953-1954年，他似乎又与南加哥大学数学研究所有了联系。

3.应用数学的发展

20世纪现代数学变得抽象化的同时，数学应用的范围也变得更加广泛了。数学不仅仅应用于天文、物理、力学等传统的领域，而且涉及到了人们以往认为的与数学的相互关系不大的生物、地理、化学等领域。今天，可以说几乎所有的科学领域都渗入了数学的概念和方法，而数学本身由于在这些学科上的应用也不断地丰富起来，数理统计学和生物数学的兴起和发展充分说

明了这一点。

与数理统计学的兴起和发展相互推动的是另一门应用学科——生物数学的兴起。以往生物学的研究工作大多停留在描述生命现象和定性研究的阶段，对数学的需求自然显得不太迫切，许多人对于“生物学的研究中究竟能用到多少数学知识？”这个问题持消极态度，但事实证明生物学的深入研究必然会遇到大量数学问题。生物界现象的复杂程度远远超过物理现象和化学现象。特别是在定量研究方面更加困难，因此，进行研究所使用数学工具必然多样化。如基因的地理分布、种群的年龄分布、森林病毒的蔓延等等。这些问题的研究都要涉及到种群大小的计算、估计和预测，这是概率论的基本内容。沃尔泰拉模型中用的微分方程、进化论和试验设计发展了数理统计学；遗传结构离不开抽象代数等等。这些都是数学与生物学相互结合的典型事例。到现在为止，生物数学已经有了生物统计学、生物微分方程、生物系统分析、生物控制、运筹、对策等分支。有人预言：“21世纪可能是生物数学的黄金时代。”

应用数学最迅猛的发展开始于四十年代。第二次世界大战期间反法西斯战争的需要，以及战后经济发展的需要等大大促进了该学科的发展。例如：

计算机的出现，使计算数学迅猛发展。一些由于计算量过大而搁置不用的应用方法，这时获得了新的实用价值。线性规划、动态规划、优选法等最优化理论迅速成长起来。应用数学有了电子计算机，如虎添翼，20世纪初期强调抽象理论的趋势至此有了新的变化。

4.六十年代以后的数学

20世纪60年代以后，数学理论更加抽象。这个时期，除了某些重大的传统科目，如集合论、代数、拓扑、泛函、分析、概率论、数论等等学科有许多重大的进展外，还有许多新兴的分支出现，其中，最引人注目是：非标准分析、模糊数学、突破理论。此外，由于电子计算机的广泛应用，使得数学发展的趋势又有了新变化。

（1）非标准分析

在牛顿—莱布尼兹时代，微积分的基础理论是不严格的；那时，牛顿、莱布尼兹的无穷小游移不定——有时被认为是0，有时被认为不是0，他们自己不能自圆其说，因此，遭到了很多的批评，直到19世纪，才由柯西、波尔查诺、魏尔斯特拉斯等人把微积分的理论建立在严格的极限理论基础上。从此，分析中的无穷小量和无穷大量作为数就再也不存在了，偶而提到，也只是“某变量趋于无穷大”之类的句子，只不过是习惯性的说法而已。但是，1960年秋，罗宾逊（Robinson，Abraham，1918-1974，生于德国人，犹太人，1962年去美国）在普林顿大学的一次报告中却指出，利用新的方法可以使分析学中久已废黜的“无穷小”、“无穷大”的概念重新纳于合法的地位。1961年在《荷兰科学院报告》上刊登了罗宾逊的题为“非标准分析”的文章，表明这一新分支已经形成。

（2）模糊数学

经典集合论已经成为现代数学的基础。在经典集合论中，当确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”，它只能表示出现实事物的“非此即彼”状态，然而在现实生活中，却有着大量的“亦此亦彼”的模糊现象，比如“高个子”、“年轻人”、“漂亮的人”等一些更复杂的情况，这样一类问题以经典集合论为基础的数学就不能处理。为了解决这类矛盾，1965年，美国加利福尼亚州立大学的扎德（Zadeh，L.A，1921-）发表了论文《模糊集合》，其中，他提出了一种崭新的数学思想。他引进了“隶属度”的概念。

此后，在电子计算机的配合下，形成了一个数学的新分支——模糊数学，并且很快应用到各个领域中去。（3）突变理论

如果说微积分的主要研究对象是连续变化的现象，那么突变理论的基本思想则是运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具描述客观世界各种形态、结构的突然性变化，如火山爆发、胚胎变异、神经错乱、市场崩溃等一系列不连续的变化现象。

但是，突变理论产生的时间毕竟很短，它的理论还远不够完善，对它也还存在着不同的意见和看法，因此，现在对它做出更准确的评价，似乎为时尚早。

（4）电子计算机对数学发展的影响

20世纪科学技术的卓越成就之一是电子计算机的产生。自从1944年第一台计算机问世以来，计算机已经深深地影响到整个人类的生活，包括数学在内，人们普遍认为，电子计算机的出现标志着一个新时代——信息时代的到来。

1．四色问题的解决

四色问题称四色猜想，1852年由伦敦大学的学生佛·格思里（Francis Guthrie）提出，当时他观察到：如果近邻区域着以不同的颜色，那么用四种颜色足够给任何画在平面上的地图着色。他由此提出疑问：是否能够从数学上对此加以证明。

2．几何学的新动向

自欧几里得时代以来，几何学一直是基础数学的一个主要支柱，由于本世纪中期的新数学运动的影响，几何学经历了几十年衰退，但是到了七十年代，数学中的几何学观念又开始复兴，这主要靠的是新理论工具的开发和计算机图像显示的威力，客观地说，几何学在数学上又在起着核心作用，就如同在古希腊时代一样。举例来说，在1986年的3名菲尔兹奖获得者中，几何学占了2名，这是为了奖励迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙·唐纳森（Simou Donaldson）在四维流形几何方面的贡献。

计算机绘图为把几何学技术推广到其它数学领域提供了新的有效手段。开始相互合作，最近在美国明尼苏达大学进行的几何学大型计算的研究项目就是一个例子。

3．非线性动力学

对非线性问题（如流体的紊流）的数学的分析只是在最近几年才能进行，这是因为新的解析法、巧妙的数值模拟和计算机图象显示，使这类问题的解决已成为可能。应用范围从机翼剖面的设计到等离体物理学，从油料回收到燃烧过程的研究等。