北师大版数学选修1-1教案：第3章-拓展资料：用辨证的观点学导数

第一篇：北师大版数学选修1-1教案：第3章-拓展资料：用辨证的观点学导数

拓展资料：用辨证的观点学导数

导数的重要性是人所共知的．它不仅仅应用于数学、物理、化学，而且在天文、地理、经济等科学领域中也有非常广泛而重要地应用；学好它是应该的也是必须的．但这个内容与我们前面学习的东西又有很大的区别，如何理解它呢？只要你能辨证的看问题也许就不难了．下面我们看几个例题：

例1 自由落体的瞬时速度问题

我们知道自由落体运动是一种变速运动，它的下落高度h12．如图，当物体gt（g为自由落体加速度，t为下落的时间）2从点A处自由下落时，由B到C的过程是变速的，但当h很小时，我们可以把它看成是匀速运动．若由B到C的时间为t，则此时的11g(tt)2gt2h212gtt．由于t很小，当t0速度为vtt2

时，点B与点C将无限接近，当趋于一点时，就得到了我们平时用的自由落体的瞬时速度公式vgt．

例2 交流电的瞬时电流强度问题

由物理知识我们知道，对于直流电，单位时间内流过导线截面的电量叫做电流强度．设t从t0变到t0t时，通过导线截面的电量为q，电流强度公式为：电流强度q． t

对于交流电，电量是随时间变化的．设电量q与时间t的关系为qq(t)，当t从t0变到t0t时，电量为qq(t0t)q(t0)，从而电流强度qq(t0t)q(t0)，tt显然，这只是在时间段t内的平均电流强度．当t很小，即t0时，t0tt0，此时，就得到了t0时的瞬时电流强度．

例3 非均匀细棒的密度问题

所谓细棒是指棒的横断面很小，且在任何部位的横断面面积都相等．如果棒的任何长度相等的两段质量都相等，就说棒是均匀的，否则，棒就是非均匀的．因此，非均匀细棒有的地方质量分布较密、有的地方质量分布较疏．对于均匀的细棒的密度可用公式：密度质量长度，来计算．

下面我们来探求非均匀细棒的密度．设棒的一端为A，棒上的任意一点为P，且PAx，PA段的质量记为pp(x)，当PA由x变到xx时，质量的改变量pp(xx)p(x)，则此时的密度p(xx)p(x)，显然，这是由x到xx的平

x均密度．当x很小，即x0时，xxx，此时，就得到了P处的密度．

可以看出：以上三例的处理方式很相近，无论是“当h很小时，我们可以把它看成是匀速运动”，还是“这只是在时间段t内的平均电流强度”、“这是由x到xx的平均密度”都是一个辨证的过程，在这个辨证的过程中，量变促使了质变．

第二篇：高中数学 3.3 计算导数教案 北师大选修11

3.3 计算导数

教学过程：

一、复习

1、导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的流程图。（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x) xxy（3）取极限，得导数y/＝f(x)lim

x0x（2）求平均变化率本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。（1）、y=x（2）、y=x（3）、y=x 问题1：yx1，yx2，yx3呢？

问题2：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？

二、新授

1、基本初等函数的求导公式：

⑴(kxb)k(k,b为常数)⑵(C)0(C为常数)⑶(x)1 ⑷(x)2x

32⑸(x)3x ⑹()2

231x1 x2⑺(x)12x1 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻(x)xxx（为常数）

⑼(a)alna(a0，a1)

11logae(a0，且a1)xxlna1xx)－sinx ⑾(e)e ⑿(lnx) ⒀(sinx)cosx ⒁(cosxx⑽(logax)从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。例

1、求下列函数导数。

（1）yx（2）y

4（3）y5xxxx

第三篇：高中数学 3.1.1 导数与函数的单调性(一) 教案 北师大选修2-2

3.1.1 导数与函数的单调性

教学过程： 【引 例】

1、确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

都是反映函数随自（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

变量的变化情况。（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

322、确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

（2）（多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x－6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x－6x+7的图象吗？

1、研究二次函数yx4x3的图象；（1）（2）（3）（4）（5）学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数yx的图象；（几何画板演示）

（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

∴y=x－9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 32.∴y=x－9x+24x的单调减区间是(2，4)322(2)解：y′=(3x－x)′=3－3x=－3(x－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.3∴y=3x－x的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.3∴y=3x－x的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是()32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【思考题】

32对于函数f(x)=2x－6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图？ 思考2、2x76x在区间（0，2）内有几个解？ 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

用心

第四篇：2014年人教A版选修4-5教案 二 用数学归纳法证明不等式

二 用数学归纳法证明不等式

教学要求：

了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：

能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：

理解经典不等式的证明思路.教学过程：

一、复习准备：

12221.求证：13352.求证：1n2n(n1),nN*.(2n1)(2n1)2(2n1)1112341n,nN*.n2

1二、讲授新课： 1.教学例题：

① 出示例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：试值n1,2,3,4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明

→ 要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….小结：试值→猜想→证明

11② 练习：已知数列an的各项为正数，Sn为前n项和，且Sn(an)，归纳出an的公式

2an并证明你的结论.解题要点：试值n=1,2,3,4，→ 猜想an → 数学归纳法证明 ③ 出示例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).要点：|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|

④ 出示例3：证明贝努利不等式.(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

22证明：（1）当n=2时，由x0得(1x)12xx12x，即不等式成立；

（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即有(1x)1kx：，则当n=k+1时，k(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当n=k+1时，原不等式也成立； 由（1）（2）知，贝努利不等式成立；

注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.当是实数,且或0时,有(1x)≥1x(x1)当是实数,且01时,有(1x)≤1x(x1)

2.练习：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn.解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=

b, c=bq(q＞0且q≠1).∴ an+cn=….qancnacn 当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()(n≥2且n∈N*).22ak1ck11k+1k+1k+1k+11(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)….当n=k+1时，244=1kkackacack+1(a+c)(a+c)＞()·()=().42223.小结：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：

已知nN,n2,证明： 1211n1n211.2n

第五篇：陕西省蓝田县高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性1教案北师大版选修1_1

4.1.1 导数与函数的单调性

（1）三维目标：

①知识与技能：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。

②过程与方法：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。③情感、态度与价值观：

通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。（2）教学重点

探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。（3）教学难点

利用导数研究函数单调性的步骤及方法。教学过程：【教学引入】

1、确定函数yx4x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）2都是反映函数随自

变量的变化情况。

（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

2、确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

（2）（多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x－6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx4x3的单调区间也不容易。【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x－6x+7的图象吗？

1、研究二次函数yx4x3的图象；（1）学生自己画图研究探索。2

323

22（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3）（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。（4）提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5）学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正； 注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）

（1）观察三次函数yx3的图象；（几何画板演示）（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。【新课讲解】

4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）

一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，则函数在该区间内 如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的增函数； 如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。''' 2 下面举例说明： 【例题讲解】

例

1、求证：yx31在(,0)上是增函数。（可选）由学生叙述过程老师板书：

即y'0，x20，y'(x31)'2x2，x(,0)，函数yx31在(,0)上是增函数。

注：我们知道yx31在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。学生归纳步骤：

1、求导；

2、判断导数符号；

3、下结论。

例

2、确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：

解：f′(x)=(2x－6x+7)′=6x－12x, 令6x－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例

3、判定函数y=e-x+1的单调区间.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求函数f(x)的导数f′(x).（3）令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间

【课堂练习】

1、函数f(x)=x-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)（B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1, +∞)

(33,)33，a的取值范围为()3x2

322、函数y=a(x-x)的减区间为 3(A)a>0(B)–11(D)0

2、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x+3x-12x+1是()

2(A)单调递增函数（B）单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定

小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.4