3.4.1 基本不等式的证明教学点评

第一篇：3.4.1 基本不等式的证明教学点评

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_评课

《3.4.1 基本不等式的证明》评课

南京师范大学附属中学 仇炳生

本节课的主要目标是探索并证明基本不等式

abab(a0,b0).在探2索基本不等式的过程中，执教老师依据教材给出的问题，改编为核查一个珠宝商是否违法的故事，创设了一个生动有趣的问题情景．在运用科学推理揭露不法珠宝商违法事实时，由寻找“判断珠宝商是否违法的依据”，提出两个问题：“如何计算珠宝的真实重量？”及“比较

ab（珠宝商提供的珠宝重量）与ab（珠2宝的真实重量）的大小？”．通过实例展示基本不等式探索过程的教学设计，既使探索过程中思维活动十分流畅，也表现出数学发展的趣味性．

在证明基本不等式的过程中，由于基本不等式的证明方法比较多且难度不大，执教老师放手让学生自我研究证明方法．从学生在黑板上的板书中，反映出学生的学习习惯比较好．除条件a0,b0在证法中没有交代以外，证明过程书写是比较规范的．必修教材中关于不等式证明的内容比较少，执教老师在学生证明的基础上，对比较法和分析法作简要的说明，是十分必要的．在教学中，教师指出分析法的基本思路是“执果索因”，即瞄准结论，寻找结论成立的（充分）条件，同时还通过分析法的书写模式，强化基本思路．谨防学生认为分析法就是“从结论倒推”的错误．比较法在学习函数的单调性时曾经接触过，比较法实际上也可以看作是分析法的特例，即要证AB，只要证AB0.（或者将对命题AB的证明，化归为对它的等价命题AB0的证明）．比较法研究不等关系的优越性在于，它有利于对未知不等关系的探索和证明．

形（几何图形）和数（数量关系）是中学数学研究的基本对象，它们是同一事物的两种不同的表现形式．形和数各具特点，又互相支撑．一般地，形——生动、形象、整体性好，数——严谨、精确、逻辑性强．形与数结合有利于开拓思

abab(a0,b0).启发学生探索基2ab本不等式的几何形式的关键在于，给定线段a，b，如何构造线段和ab．由

2维能力．基本不等式的代数形式为于学生初中数学内容中没有射影定理，对于一般学生探索基本不等式的几何形式有一定的难度．基本不等式的几何解释不是本节内容的重点，是否作为本节课的凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_评课

教学内容可视学生的具体情况确定．

在理解和运用基本不等式的阶段中，执教老师重视定理教学的常规方式，首先要求学生分析不等式的特征，不等式成立的条件以及对定理中关键词语的理解，然后再进行练习．这是很好的学习习惯，应该予以肯定．关于运用基本不等式求函数的最值问题，可以作为下节课的主要内容重点进行处理．

纵观本节课，教学设计合理，学生的参与度高．但在教学中，也有一些不足之处：对练习中学生的错误不仅及时指出，还应该及时给出正确的解答；对一些语病没能及时校正，如将“开方”说成“开根号”，将“

ab”说成“分式”等． 2

第二篇：4.1 比较法证明不等式

§4 不等式的证明

4．1 比较法证明不等式

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：选D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小关系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：选D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝2

411P＝>0，a＋a＋123a＋1＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，则()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：选B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，则＝<0，a＋1b＋1a＋1b＋1

11∴a＋1b＋1

an4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．与n的取值有关

an＋1an解析：选B.an＋1－an＝－ bn＋1＋1bn＋1

a＝，bn＋b＋1bn＋1

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．设x2，y73，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：选D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不确定

解析：选B.∵{an}为等比数列设公比为q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}为等差数列，设公差为d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是________． aa＋m

b＋mbma－b解析：>0，a＋maaa＋m

又a，b，m为正数．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，则________1.Bxx－3

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.xx－3

又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．设n∈N，n>1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．

logn＋1n＋2解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n lognn＋1

logn＋1n＋2＋logn＋1n2≤2

logn＋1n2＋2n2＝2

logn＋1n＋122<2＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正数，x、y∈R，且a＋b＝1.求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，证明：aabbcc≥(abc.3解析：因为f(x)＝

证明：＋＋＝abc3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在题中的地位相当(全对称性)，a－ba不妨设a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c从而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得证．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.abc3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋证明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

当a0；

当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.综上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第三篇：基本不等式的证明

重要不等式及其应用教案

教学目的

(1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式．

(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．

教学过程

一、引入新课

师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？

生：求差比较法，即

师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？

生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．

二、推导公式

1．奠基

师：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左边展开，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．

2．探索

师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

把以上三式叠加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(当且仅当a=b=c时取“=”号)．

以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有

④

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)．

④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．

3．再探索

师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，启示我们把②式变成

a2－ab＋b2≥ab，两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？

生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式叠加，并应用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(当且仅当a=b=c时取“=”号)．

师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究．

4．推论

师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式．

⑦

(当且仅当a=b时取“=”号)．

这就是课本中定理1的推论．

⑧

(当且仅当a=b=c时取“=”号)．这就是课本中定理2的推论．

当ai∈R+(i=1，2，„，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)

⑨

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)．

何平均数．⑨式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这是一个著名的平均数不等式定理．现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式，即⑦和⑧．

三、小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它们之间的关系可图示如下：

(2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②和⑥，在课本上是用比较法证明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦还可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数．

四个公式中，②、⑦是基础，最重要．它们还可以用几何法或三角法证明．

几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222则a＋b=c表示以斜边c为边的正方形的面积．而

+

如上左图所示，显然有

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(当且仅当sinA=1，A=45°，即 a=b时取“=”号)．

2三、应用公式练习

1．判断正误：下列问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正．

a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就对了．这时需令α是第一、三象限的角．]

改条件使a、b∈R+；②改变证法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件．只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立)．

2．填空：

(1)当a________时，an＋a－n≥________；

(3)当x________时，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子．公式可以顺用，也可以逆用．总之要灵活运用公式．(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值．因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值．(3)重要不等式还可以用于数值估计．如

表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半．

四、布置作业

略．

教案说明

1．知识容量问题

这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容．这是我教重点中学程度比较好的班级时的一份教案．实践证明是可行的，效果也比较好．对于普通班级则应另当别论．补充内容(一般式，几何、三角证法等)可以不讲，例题和练习也须压缩．但讲完两个定理及其推论，实现教学的基本要求仍是可以做到的．还应看到学生接受知识的能力也非一成不变的．同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有可能举一反

三、触类旁通，获取更多的知识．知识容量增加了，并未增加学生的负担．从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加了课堂练习的时间．反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领，内容讲得再少，学生也是难以接受的．由此可见，知识容量的多少，既与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系．我们应当尽可能采用最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果．

2．教学目的问题

近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果．在培养学生的能力方面，不仅要求学生能够运用知识，更重要的是通过自己的思考来获取知识．据此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个公式；二是培养学生用综合法进行推理的能力．当然，学生能力的形成和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的．它比掌握知识来得慢，它是长期潜移默化的教学结果．考虑到中学数学的基本知识，大量的是公式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果．

3．教材组织与教法选用问题

实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来．教材中对定理1和定理2的安排，可能是为了与前面讲的比较法和配方法相呼应．但这容易使人感到这两个定理之间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法．事实上，可以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n＞3，特别对n是奇数时，用比较法就困难了(因为这时难以配方与分解因式)．因此不具有一般性．而对综合法，学生在初中证几何题时已多次用过了(只是课本上没有提到这个名称)．现行课本中两个不等式定理及其推论，是著名的平均值不等式：

和它的等价形式当

n=2，3时的特殊情况(当n=2时，ai的取值有所变化)．在中学不讲一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的．由于普遍性总是寓于特殊性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础．同时，这两个特例之间应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性．这就是本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法．

这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式

a3＋b3≥a2b＋ab2，然后经迭代、叠加，推出不等式

a3＋b3＋c3≥3abc，这种方法具有一般性．事实上，引入一个一般的辅助不等式

an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、叠加，再应用数学归纳法就可以证出公式

正因为上述证法具有一般性，即揭示了证法的本质(共性)，就必然有利于递推与探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于

2ab，因此，凡能用配方法证明的问题，必能用基本不等式证明，反之亦真．可见配方法的重要作用．它的重要性应在上一节比较法中就予以强调．

当学生在教师的指导下和教师一起探索问题时，这个探索本身就是培养学生今后独立去获取知识的过程．

第四篇：基本不等式的证明

课题：基本不等式及其应用

一、教学目的(1)认知：使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和

abab(a、b∈R+，当且仅当a=b时取“=”号)，并能应用它们证明一些不等

2式．

(2)情感：通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．

二、教学重难点

重点：两个基本不等式的掌握；

难点：基本不等式的应用。

三、教材、学生分析

教材分析：两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种

方法，基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。

学生分析：学生在上新课之前都预习了本节内容，对上课内容有一定的理解。所以根据这一

情况多补充了一些内容，增加了课堂容量。

四、教学过程

（一）引入新课

客观世界中，有些不等式关系是永远成立的。例如，在周长相等时，圆的面积比正方形的面积大，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明，常常会归结为一些基本不等式。今天，我们学习两个最常用的基本不等式。

（二）推导公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左边展开，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，也就是基本不等式1，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？

学生回答：a=b，因为a=ba+b=2ab 2

2充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．

2．探索

公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式叠加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（当且仅当a=b=c时取“=”号)．

以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有

22a12a2ana1a2a2a3ana

1④

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)．

④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加．

3．练习

222求证：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接应用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么abR，在公式②中用a替换a，用替换b，立即得+到

22a））2ab 即ab2ab ∴abab⑤

2(当且仅当a=b时取“=”号)．

这就是课本中基本不等式2 我们把ab和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数。

25、公式小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式①、②、③、⑤．它们之间的关系可图示如下： 展开 迭代、叠加①

配方

② ③ 降换

次元

⑤

(2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②，在课本上是用比较法证明的．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数．

(3)四个公式中，②、⑤是基础，最重要．它们还可以用几何法证明．

+222几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，则a＋b=c表

示以斜边c为边的正方形的面积．而

2ab4ab4SABC 2

如上左图所示，显然有c421ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过． 公式

示：

abab也可以用几何法证明，它的几何意义是半径大于等于半弦，如下图所2

（三）例题

1、已知x，y∈R，证明：+xy2，并指出等号成立的条件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求证：ab8，并指出等号成立的条件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求证：xy≤+1 4

（其中一题作为练习）

（四）应用

下面我们来解决开始上课时所提到的：在周长相等时，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。

求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。

证明：设矩形的长和宽分别a，b(a，b为正数，且a≠b)，同样周长的正方形的边长为ab，2

'可计算得矩形的面积S=ab，正方形的面积S(ab2)，2

由基本不等式2，得abab0（因为a≠b等号不成立）。2

ab2)(ab)2，即S′>S.2又由不等式性质，得（（五）作业

练习册P10/6

第五篇：基本不等式与不等式基本证明

课时九 基本不等式与不等式基本证明

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。，求函数y＝x（1－2x）的最大值。，则f(x)x3x32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yR且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

。x(1x)等）

1．轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.abc例2

点评：做“1”的代换。

.3.逆向运用公式型

a,bR,ab1求证： a



b

2.例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式： 若

a,bR则 ab



ab2

.4．挖掘隐含条件证明不等式

111

a,bR,ab1求证：11.ab9 例4 已知

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.5．用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cR,求证：



bc

ca



2abc.点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理，如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab





ab2

2ab

ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a

b2ab的ab

变式应用。常用



ab2

(其中a,bR)来解决有关根式不等式的问题.