探索相似三角形的条件教学案例 湖北省水果湖第一中学 郭家爱

第一篇：探索相似三角形的条件教学案例 湖北省水果湖第一中学 郭家爱

《探索三角形相似的条件》的案例

湖北省水果湖第一中学

郭家爱

《探索三角形相似的条件》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）八年级下册第四章相似图形.本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，是对图形全等内容的进一步拓广和发展.本节课是在学生已有的生活经验、初步的数学活动经历及已经掌握的有关数学内容的基础上进行教学的.力图引导学生观察、分析数学现实中的相似现象，总结三角形相似的有关特征，并自觉地应用到现实之中，逐步加强逻辑推理的力度，为以后进一步学习几何证明打下基础.新课程标准强调：教师的有效教学应指向学生有意义的数学学习，有意义的数学学习又必须建立在学生的主观愿望和意识经验基础之上.我按此要求，本节课教学主要模式为问题式教学与探索性学习.从简单的问题引入，以三角形全等判定条件为情形，过渡到三角形相似的判定条件的探索.学生按教师所提出的问题进行思考，并在教师的启发下进行自主探索与合作交流.最后总结得出：两角对应相等的两个三角形相似的判定条件.通过练习，学会用此结论去解决简的实际问题.□教学实录：

师：同学们，我们在学习全等三角形的内容时知道，三角对应相等，三边对应相等的两个三角形全等.你们还记得三角形全等的判定条件吗？ 生1：知道.有角边角、边角边、边边边、角角边等判定方法.生2：（补充）如果是直角三角形还有“斜边、直角边”判定方法.师：以上两位同学回答的很全面.同学们上节课我们学习了相似三角形的定义，你们能把它口述出来吗？

生：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.[点评：情境导入的目的是设疑激趣.这里从学生已有的体验开始，从直观的和容易引起想象的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和相关联的情景之中.] 师：根据这个定义，判定两个三角形相似，要求三个角对应相等，三边对应成比例，这个过程显然较复杂.请同学们类比一下，我们能不能像判定两个三角形全等的条件那样，用较少的条件去判定两个三角形相似呢？若能，你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件呢？

生1：（用迟疑的口语）可能是有三角对应相等就满足了吧？ 生2：至少需要有三边对应成比例吧? „„

[点评：在这里，教师依据学生的心理特点，培养学生的问题意识，不把结论过早的告诉学生，引起学生去发现问题、提出问题、解决问题，做到多问多思，主动参与.] 师：刚才同学们不能作出肯定地回答是很正常的，因为这个内容我们还没学到.这也就是我们这节课所要探究的问题（板书：探索三角形相似的条件）.我们首先从角开始探索，请每位同学在准备好的一张纸上，画出一个△ABC，使得∠BAC=600，并与同伴交流一下，你们所画的三角形相似吗？

生：（通过观察自己和同学画的）不一定相似，因为我们之间画出的一个角对应相等的两个三角形形状明显不相同.师：那我们由此可得出一个什么样的结论？

生1：两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件.生2：我认为一个角对应相等的两个三角形不一定相似.[点评：这里降低了探索问题的难度，尽量让有不同意见的学生发表见解，这样可以避免不动脑筋被动听课的现象.] 师：通过刚才的操作和探索，我们发现：仅有一个角对应相等不能判定两个三角形相似.请同桌的两位同学分工，一人画△ABC，使∠A=300，∠B=700，另一人画△ABC，使∠A=300，∠B=700，然后比较你们画的两个三角形，∠C与∠C相等吗？ 生：相等.∵∠C=1800-300-700=800，∠C=1800-∠A-∠B=1800-300-700=800.师：请各小组成员合作一下，用刻度尺测量一下各线段的长度，并计算对应边的比

AB，ABACBC，的值.ACBC生：（在操作中发现）老师，我们度量的线段的长度的值是近似的，对应边的比值计算出来也是近似值.师：用刻度尺测量线段长度存在误差是正常的，所以你们小组计算出来的比值也只是近似的其他小组情况如何？ 生：我们的结果与前面小组的结果一样.[点评：这里，学生在合作学习交流过程中，通过相互表达与倾听，不仅使自己的想法、思路更好的表现出来，而且还可以了解他人对问题的不同理解，使学生的理解逐步加深.] 师：同学们，你们在计算对应边

ABACBC，的值后发现了什么？ ABACBC生：经过测量和计算，发现它们这些线段的比是近似相等的.师：通过刚才探究、合作交流的过程，你们能得出△ABC与△ABC相似吗？

生：能得出△ABC∽△ABC，这是因为它们满足三角对应相等，三边对应成比例的条件.师：这个探索过程得到的结果说明了什么问题？ 生：有两个角对应相等的两个三角形相似.师：上面的结论是否成立呢？还是按前面的分组：请一位同学再画一个△ABC使∠A=15，000∠B=95，另一位同学画△ABC，使∠A=15，∠B=95，画完后再互相比较一下.0生：（学生操作后）同上面的结论一样.[点评：这里通过动手操作来验证结论，比较直观和比较形象，既加深了学生对两角对应相等的两个三角相似的结论的理解和记忆，又培养了学生学习数学的兴趣，同时也使学生意识到数学规律的发现离不开验证这一过程.] 师：今天因时间关系，我们不能再继续操作下去，请你们课后把∠A与∠A、∠B与∠B 的度数再改变一下试一试.通过上面的反复操作，发现判定△ABC∽△ABC只需要有两个角对应相等即可.从此以后我们可以把这个结论作为判定两个三角形相似的一个条件了.结合图形可以写成如下的 推理过程(板书)：

∵∠A=∠A，∠B=∠B，∴△ABC∽△ABC.下面我们看一组题目，（出示投影，呈现课本P119例题）如图所示：D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC.（1）图中有哪些相等的角？

（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；（3）写出三组成比例的线段.生1：（学生思考后请三位学生板演）

（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.生2：（2）△ADE∽△ABC，理由是：

∵∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.∴△ADE∽△ABC.（两角对应相等的两个三角形相似）

生3：（3）∵△ADE∽△ABC，∴ADDEAE.（相似三角形的对应边成比例）ABBCAC[点评：这里教师把教科书作为学生数学学习的素材，引导学生主动的观察、猜测、推理、合作与交流，使学生有机会在对教科书内容的处理过程中获得发展，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.] 师：同学们回答的很好.请再想一想，在上面题目的条件下，ABAC吗？ ADAEBDCE吗？（以分组讨论形式进行）ADAEABAC生1：成立，理由是：（学生板演）ADAEADAE∵，ABAC∴AB·AE=AD·AC，ABAC.ADAEBDCE生2：也成立，理由是：（板演）ADAEABADACAEABAC∵，∴，ADAEADAEBDCE∴.ADAE∴[点评：这样安排既让学生在数学活动中体会证明的必要性，又让学生逐步学会证明，从理性上认识有关数学结论的正确性.] 师：这两位同学板演得非常漂亮.让我们再看一个题目（投影显示）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？

生：（探索后）相似.因为两个直角三角形都有一个角是900，还有一组锐角对应相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似.师：顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？

生：也相似.因为两个三角形的两个顶角相等，因此它们的两个底角也分别相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似.[点评：以上几个问题体现了对学生说理的教学，培养学生逻辑思维能力.] 师：请看下面的一道题（出示投影）: 如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，你可以计算出梯子的长度吗？

生：（思考后）可以，我们先把这个实际问题可以转化成数学问题来研究，这里实际就是研究△ABC∽△ADE，利用相似三角形的定义中体现的性质，就可以求出AB的长，也就是梯子的长.4 师：这位同学分析得非常透彻，引起了我们的丰富的想像力，给人以身临其境的感觉，这里真能得到△ABC与△ADE相似吗？ 生：能（请该生演示）.∵BC⊥AC DE⊥AC，∴∠ACB=∠AED=90.又∠A为公共角，∴△ABC∽△ADE（两角对应相等的两个三角形相似）.∴

0ABBC（相似三角形的对应边成比例）.ADDEAD5580.AD70又AB=AD+BD=AD+55，BC=80，DE=70，∴解之得，AD=385.∴AB=AD+55=440（cm）.∴梯子的长度为440cm.[点评：在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼.] 师：哇，板演的好规范啦！计算得也很正确.请同学们以掌声鼓励.现在让我们回顾一下本节课主要学习了哪些内容？

生：学习了探索三角形相似的条件的判定方法之一：两个角对应相等的两个三角形相似.师：通过这节课的学习，请同学们用一句话说出自己的最大收获.生1：我的收获是根据一定条件制作三角形的办法去探索三角形相似的条件.生2：我的收获是学会了用直观手段探索三角形相似的判定条件的方法.生3：我的收获是用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法去判定两个三角形相似.……

[点评：这里教师通过提问的方式小结本节知识，使学生悟出得到结论的过程，积累数学活动经验，使学生逐渐养成学习、总结的好习惯.] 师：今天这节课同学们的参与意识很强，能积极动口、动手、动脑，学习收获很大.希望你 5 们课后把今天的内容复习一下，从中吸取经验和方法，为下一节课进一步探索三角形相似的条件做好准备.课后反思：

1．根据数学新课标的要求，本节课内容不要求进行严格的推理论证.因此，我利用学生熟悉的“探索三角形全等的条件”的方法，通过类比的学习方法，在学生动手操作合作交流后，自主探索发现结论，鲜明的体现了知识发生、形成和发展过程.2．这节课的教学中，教师的角色由过去的那种课堂教学的主宰者转变为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，让学生充当数学学习的主人.本节课作了一个有益的尝试：从一个角开始探索，然后引导到两个角对应相等的三角形的探究.提出问题，创设情境，引起学生的兴趣，形成探究的动机，从事操作，验证假设、得出结论.3．从学生课堂上的反映来看，学生参与意识很强，回答问题踊跃，特别是数学成绩偏下的学生发言也很积极，很想表现自己，希望得到教师和同学们的认可.看来，如果平时经常多关心他们，多给他们成功的机会，调动他们的学习积极性，那么他们一定会愿意学数学的，并且也一定会学好数学的，从课后反馈情况看，发现有少数较差的学生，利用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法去解决简单的应用掌握得还有点困难.看来，教师的备课不仅着眼于如何教，还要着眼于引导学生如何学，努力寻找教师与学生的契合点，从而真正把教和学结合起来.

第二篇：《相似三角形的应用复习课教学案例与反思》 王玲玲

《相似三角形的应用复习课》案例与反思

一、背景分析

《平面几何中的动态问题》这节课是复习了相似三角形的应用后的一节延伸课，《相似三角形的应用复习课教学案例与反思》 王玲玲。“相似”，可以说是让学生又爱又恨的。爱，是因为它很重要——“不得不爱”；恨，是因为它的难度，特别是与其他知识（如与函数类）结合的综合题，更甚者出现动点问题等等，看着是——“像雾像雨又像风”。

复习课本身的弹性非常大，有“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的空间。而在这节复习课中，教师就很好地利用了复习课的广阔空间让学生对这又爱又恨的“相似”能有更深一层的了解。

下面就这节课的设计谈谈自己的一些体会。

二、教学片断

1.温故知新：

问题

一、如图：AE⊥AB 于点A，BF⊥AB于点 B，G为 AB上一点，问⊿ AEG 与 ⊿BFG相似吗？

生：不能，因为在这两个三角形中，只有∠A=∠B=Rt∠一个条件，条件不够。

师：那么需要增加什么条件，⊿AEG与⊿BFG才会相似？

生：增加∠E=∠F。

生：增加AE:BF=AG:BG或AE:BG=AG:BF。

生：增加EG⊥GF

引导学生要判定两个三角形相似，在已知一对角对应相等的条件下，要增加另一对应角相等或夹等角的两边对应成比例。

（这是相似三角形中非常常见的一个图形，而且整节课也是围绕着这个图形而展开，所以在此处体现了从“一般到特殊”的数学思想，让学生更深切地体会到了“EG⊥GF”这个条件的重要及作用所在）

师：若EG⊥GH交BF于点H，那么⊿AEG与⊿BGH一定相似吗？

生：⊿AEG与⊿BGH一定相似。

师：（运动点G）当点G的位置变化时，⊿AEG 与 ⊿BGH还相似吗？

生：只要满足EG⊥GH，⊿AEG与⊿BGH还相似，跟点G的位置没关系。

师：那么请大家写出⊿AEG与⊿BGH相似的理由。

（“由静到动”——体现了教师从基础到拔高的一个过程，更是在教学中渗透由静到动，再从由动到静入手去解决的数学方法。为后面的综合题打下基础。）

2.知识运用

问题

2、如图：正方形ABCD中，AB=4，E为边AD上的一个动点，EF⊥BE交边CD于点F。

（将原来的基础图形放置于正方形中。有了前面的铺垫，学生看此题时便有了“主心骨”，而不再是“像雾像雨又像风”。）

师：当点E在边AD上运动时（运动点E），请观察图中那些线段的长度在变化？

生：有AE、DE、DF、CF、BE、EF、BF的长度在变化。

师：也就是说这些线段都会随点E的变化而变化，是吗？

生：是的。

（打出第Ⅰ小题）

Ⅰ、设AE=X，DF=Y，求Y关于X的函数关系式（写出自变量X的取值范围）

生：由问题1知道本题的⊿AEB∽⊿DFE，可得AB:DE=AE:DF（板书，求出解析式）

师：（运动点E）当点E在边AD上运动，判断DF是否有最大值？

（打出第Ⅱ小题）。

Ⅱ、①判断DF是否有最大值，若有请求出最大值，否则说明理由。

②此时BF达到最大还是最小？求出这个最值。

（学生观察图形、讨论）

生：观察图形可知，当点E运动到边AD的中点时，DF的长度最大，BF达到最小。

师：那怎么才能求出这些最值呢？

生：利用第一小题得到的二次函数，再用顶点公式求。

师：请大家动手写出过程，求出这两个值。

（学生在练习本上求出DF的最大值和BF的最小值）

问题

3、如图：矩形OABC的边OA、OC在坐标系上，B（4，3），D为AB边上的一个动点，过点D的反比例

交边BC于点E，连接OD、DE。

师：（运动点D）观察图形，当点D在AB边上运动时，E点作怎么样的变化？

生：E点随着D点的变化而变化。

师：请大家讨论，E点和D点之间存在怎样的关系，⊿AOD和⊿DBE还相似吗？

（学生观察图形、讨论）

有说⊿AOD和⊿DBE相似的，也有说不相似的。最后有学生得出结论。

生：⊿AOD和⊿DBE不相似，因为OD和DE不一定垂直了。

（此处的设计又从特殊的垂直回到了一般，而相似需要垂直的这种基本图形也在无声无息中已深深地酪在了学生的脑海中了）

师：那么，这两个点之间存在什么关系呢？

生：它们始终在同一个反比例函数图像上。

Ⅰ、当D为边AB的中点时，求点E的坐标。

生：当D为边AB的中点时，可得D（2，3），所以可求出反比例函数，又因为点E的横坐标为4，可求出E（4，1.5）。

师：好，怎么才能求下面这个关系式呢？（展示出第Ⅱ小题）

Ⅱ、设AD的长为t，求四边形OCED的面积S关于t的函数关系式。

学生在解答本小题时，遇到了困难，思维受阻，讨论后学生提出了问题。

生：要求S关于t的函数关系式，应该用矩形的面积减去⊿AOD和⊿DBE的面积，但⊿DBE的面积很难用t表示出来。该怎么办？

大部分的学生茫然。继续讨论……

师：（教师提示）⊿DBE的面积要用t表示出来，则需要表示出哪些量？

继续讨论，最后，有学生分析后回答。

生：当AD的长为t，可得D（t，3），所以可求出反比例函数，又因为点E的横坐标为4，可求出E（4，），所以可得BE为（4－）。

说到这里，学生们恍然大悟。解答、板演……

Ⅲ、当DE恰好是⊿OAD的外接圆的切线时，求四边形OCDE的面积，教学反思《《相似三角形的应用复习课教学案例与反思》 王玲玲》。

（启动几何画板，运动点D）

学生观察图形，讨论……

（教师此处的设计可谓是整节课的高潮，当所有的人觉得问题3的设计似乎跟本节课的基础相似图形不太有关系、有些偏离轨道时一时锋回路转出现了第Ⅲ小题，使得整堂课看似“形散”而实质“神不散”。成了关键的点睛之笔）

生：因为∠DAO为直角，所以OD为⊿AOD外接圆的直径，当DE是⊿OAD的外接圆的切线时，可得OD⊥DE，所以有⊿AOD和⊿DBE相似，求出这时t的值，再代入第Ⅱ小题函数关系式就可以求了。

学生解答、板演……

最后老师进行课堂总结。

三、反思:

现代心理学认为：主体参与性是促进学生学习的原始性机制。只有让学生成为课堂教学活动的主体，才能使学生在教学活动中分享应有的权利，承担相应的义务。教学是一种动态的过程。只有把学生多种感官调动起来，协同操作，才能得到良好的学习效果。所以转变学生的学习方式是这次课程改革的一项重要内容，而学生的学习方式转变，必然引起教师教的方式转变。我在参与新课程实验中发现，有的教师对新课程的“教”感到茫然不知所措，甚至对教师必要的讲解产生怀疑。由原来的“灌”一下子到了整体的“放”，这也让更多的学生一时盲然。《数学课程标准》中对师生角色的定位是“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”，由此我们应该认识到在新课程中不仅需要教师引导，而且对教师引导提出了更高的要求。

1、促使学生从“重结果”到“重过程”

本节课教师主要从以下几个方面对学生进行引导：

“动眼”，利用多媒体和几何画板，让图形动起来，唤起学生看的兴趣，进而训练学生全面、细致观察的能力；

“动口”，教师注意创造学生发言的机会，遇到问题先交流，合作探讨，再回答问题，使学生会说，从而培养学生语言表达能力；

“动脑”，遇到问题教师不是直接给出结论，而是让学生先思考，再分析问题，再让学生来提出问题和回答问题，让学生形成良好的思维品质，培养思维能力；

“动手”，学生分析问题后，在动手解答问题，在解题的步骤和格式上培养学生良好的解题习惯。

“动耳”，教师通过总结学生的回答，并加以引导，归类，让学生掌握分析问题的思路和解题的思想方法。

如在问题2中的设计很明确，让学生在动点问题中体会函数的最值。而且前面的引导非常不错，让学生通过几何画板演示动态的过程让学生体会在这个过程中哪些量会变，然后出示第Ⅰ小题让学生顺理成章地用函数来解决这些变量之间的关系，做到了让学生主动参与探究过程的效果。

但在问题2中第Ⅱ题的引导上，教师做得明显很不足。而且有了第Ⅰ小题的铺垫，很有可能会有学生直接求y的最大值。这就很容易走入我们教学误区“重结果大于重过程”。所以在此处建议教师媒体演示E点运动，问学生：“E点从左往右运动时，线段DF的长度是怎么变化的？”学生会从动态图中看到DF先是越来越长，接着又越来越短。从而顺理成章地得出DF有最大值。这样不仅避免了上面的误区，由学生得出DF有最小值或最大值更有利于学生自主地去探索这个最值。而在第Ⅱ小题处，在学生回答出“当点E运动到边AD的中点时，DF的长度最大，BF达到最小。”时，教师不应问怎么求最值，而应先问：“为什么是点E运动到边AD的中点时呢？”其实这个学生回答得非常好，但有很多学生会不理解为何会是中点，包括这个学生他本人可能也不是真正地明白为何是中点，而只是从图中看出，主观上觉得是中点。所以教师在此处的追问就显得尤为重要。此时再引导学生其实就是当x取何值时y有最大值。所以适时的引导和追问，能使学生的思维过程暴露出来，从而实现从“重结果”到“重过程”。

2、促使学生从“思维受阻”到“思维畅通”

如果说引导学生“说过程”是重点，那么引导学生“想过程”则是关键。在遇到难题时学生会“冷”会无所适从，而有些教师此时就会拼命讲解，用自己的讲解代替了学生的思考。从而教师越来越热，学生越来越冷。形成了“冷”“热”两重天。

教师的引导，既体现在一堂课的整体设计上，也体现在一个个小环节的局部处理上。从这个意义上说，教师的课堂引导是非常重要的。它决定着一堂课的流向，它也决定学生课堂上活动的深浅。所以，一个优秀的教师，必将是一个善于引导的高手，他能带领学生在“预设”的程序上自然生成；他能在“无痕的指导”中，引领学生畅游数学的海洋欣赏其无限的风光。

如在问题3的第Ⅱ小题教师在此处虽然问题也问得有用，也有适当的引导，但问题问得有些突兀。问题的切口可以问得再小一点。如用一连串的追问来引导。“OCED是特殊的四边形吗？”“能直接求面积吗？”“你想用什么方法来求这个不规则图形的面积呢”“若用减法，那⊿AOD的面积知道了吗？”“⊿DBE的面积呢？”“要表示⊿DBE的面积关键是求哪个点的坐标呢？”这样由一连串的“教师问”和“学生答”就给学生指明了一个方向。学生有第Ⅰ小题的铺垫，用t表示E点坐标也就不难了。所以当学生“思维受阻”时，就需要我们教师在上课时应该做到的“适时”引导及“适度”提示，才能使学生“思维畅通”。

因此在教学的设计上，尤其是初三总复习课，设计中层次要更细一些，使得学生在课堂上更能发挥潜能；使得学生在课堂上更能掌握知识；使得学生在课堂上更能得到提高。而对于如何“适时”和“适度”进行引导这个课题就需要我们在今后的教学中很好地去研究和探索。

第三篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇__43_三角形边和角关系的探索

三角形边和角关系的探索

教材分析

初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量． 这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．

任务分析

这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．

教学目标

1.理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理． 2.能运用正、余弦定理解斜三角形．

3.理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．

教学设计

一、问题情景

1.A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？

2.如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）

问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？

二、建立模型

1.教师引导学生分析讨论

在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．

组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）

结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．

由此可得AC·sinC＝AB·sinB．

又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC的长度．

教师明晰：

（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得

（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理

.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（详细给出解答过程）

事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．

根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．

思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？ 2.组织学生讨论问题情景（2）

这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC的长．

组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）

教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）

如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．

∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：

余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？ 3.进一步的问题

勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？

三、解释应用 ［例 题］

1.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）

分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．

（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解． 2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）． 分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．

3.AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．

分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［练习］

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

＋h．，sin（α

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．

2.在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）

分析：∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，.但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°． 由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？

（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．

（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝解，如图40-11．

计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．

③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．

思考：若已知三角形的两角和一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是怎样的？

点 评

这篇案例设计，思路清晰，突出现实．首先通过恰当的问题情景阐述三角形边角关系产生的背景，使学生体会到了数学在解决实际问题中的作用．然后通过探究、推导活动，使学生体会到了数学知识的发现和发展的历程．例题与练习的配备由浅入深，注重了教学与自然界的关系．拓展延伸有深度，为提高学生的思维能力和创造力提供了良好平台．

总之，从现实出发建立正、余弦定理的模型，又在现实应用中升华有关正、余弦定理的理解，是这篇案例的突出特点．

第四篇：湖北省宜昌市点军区第一中学九年级语文上册 第21课《陈涉世家》教材说明与教学建议 新人教版

第21课《陈涉世家》教材说明与教学建议

《陈涉世家》教材说明

整体把握 本课节选自《史记·陈涉世家》的前一部分。陈涉，我国历史上第一次农民起义的领袖。《陈涉世家》是写陈涉的一篇传记，比较完整地叙述了陈涉起义的全部过程。本课所选内容，叙述了陈涉、吴广领导大泽乡起义的原因、经过和浩大的声势，表现了我国历史上第一次农民起义的伟大力量，赞颂了陈涉、吴广的反抗精神及历史功绩。本文按事件发展过程，分三部分。

第一部分（第1段）叙述陈涉年轻时的佣耕生活，表现了他胸怀大志，有反抗精神。开始，先交代陈胜、吴广的姓名、籍贯，然后重点介绍陈胜。“尝与人佣耕”，点明他雇农的身分。“辍耕之垄上，怅恨久之”，一个行动，一个神态及两句对话，表现陈涉年轻时，对压迫剥削的雇佣生活强烈不满，希望摆脱痛苦处境，有远大志向。这段叙述，暗示了陈涉起义是有思想基础的。

第二部分（第2段）写起义的筹划过程，表现了陈胜、吴广的斗争决心和政治远见。先交代征发贫民戍边的时间、人数和陈胜、吴广在队伍中的职务，然后叙述起义原因。“会天大雨”，“失期”，“法皆斩”，既点出了起义的直接原因，也说明了秦王朝刑法的残酷，逼得农民走投无路。在“亡”（逃跑）与“举大计”同样是死的情况下，在束手待毙与奋起反抗斗争之间，他们做出了“举大计”的抉择。这里的叙述，表现了他们斗争的决心和政治远见。

往下，作者运用对话，详写陈、吴二人对当时形势的分析和制定策略。“天下苦秦久矣”一句，概括了秦王朝对人民压迫、剥削程度之深，这是起义根本原因，也是可以利用的有利条件。陈涉提出利用封建统治集团内部的矛盾，即假借扶苏、项燕的名义，“为天下唱”，以顺应民心，树立起义队伍的威信。他确信，只要义旗一举，“宜多应者”。显示了他有勇有谋。最后，叙述了陈胜、吴广为了顺利发动起义，使用了问卜、念鬼、鱼腹藏书，篝火狐鸣等办法，制造舆论，鼓动人心，树立威信，让戍卒相信“大楚兴，陈胜王”的必然趋势。结果，在戍卒中很快得到反应。再次显示了陈、吴二人的斗争才智。

第三部分（第3段）写陈胜、吴广发动起义，胜利进军及建立政权的经过，昭示了农民起义的伟大力量和历史意义。

头一句话先写吴广有良好的群众基础。再写陈胜、吴广抓住时机，采用激将法来激发群众的反抗情绪，“并杀两尉”，扫除了起义障碍，为下面动员、组织起义作了准备。文章对并杀两尉的描写极为简练、生动，用“挺”、“起”、“夺”、“杀”、“佐”几个动词，生动的写出了一场激烈的格杀场面，表现了陈胜、吴广的机智勇敢和反抗斗争精神。

接着，写动员群众。陈、吴二人抓紧群众“激怒”之后的时机，“召令徒属”，进行宣传动员，号召起义。他们指出大家的处境，分析了利害分析，又指明了斗争方向（“不死即已，死即举大名”，也就是要为国而死），结果徒属皆“敬受命”，点燃了反抗斗争的怒火。往下，用简练的语句，交代了起义军的名义——树扶苏、项燕的旗号；标志——“袒右”；号称——“大楚”；誓师——“为坛而盟”、“祭以尉首”；组织领导——陈涉为将军，吴广为都尉。这样，一场轰轰烈烈的农民起义爆发了。

最后，写起义军在陈涉、吴广领导下胜利进军及迅速壮大的形势。起义军势如破竹，地方守令闻风而逃。终于，“陈涉乃立为王，号为张楚”，得到广大群众的拥护、响应和支持，1

证实了陈涉“宜多应者”的预见，显示了农民革命战争的伟大力量。围绕中心来选材、组材。文章围绕着秦末农民起义这一中心事件，详略得当地记叙了起义的发生和发展过程。作者首先简略地交代了主人公陈胜的身世和抱负，继而详写起义的原因、谋划情况、起义的经过及得取得的胜利。条理清楚，主次分明。

通过对话描写来刻画人物。全文共写了三次对话。第l段陈胜与同伴们的对话，表现了他远大的志向和反抗意识；第2段陈胜同吴广的对话，反映了他们善于斗争的智慧和才能；

第3段陈胜同戍卒的对话，表现了陈胜反抗阶级压迫的英雄气概。不仅如此，作者还善于根据人物不同的身分和处境，写出对话的语气。如若为佣耕，何富贵也？”与“等死，死国可乎？”两句，皆为疑问句，但语气表达方式同中有异，前句“也”相当于“啊”，表达的语气肯定意味强些，表现了“佣耕者”对陈胜的话根本不相信；后句“乎”表达的语气委婉些，含有征询的意味。从而生动地刻画小人物性格，使人物形象栩栩如生。

《陈涉世家》教学建议

一、反复朗读课文，对于学有余力的学生可以要求他们背诵其中部分段落。《史记》的语言相当规范，反复诵读有利于培养学生良好的文言语感。

二、由于课文较长，无论采取哪一种教学方式，都应当抓住重点，使学生能较好地理解这次起义的原因、舆论准备的情况和起义发动的经过，特别是要在理解陈涉说的几句话的含义的基础上，了解陈涉在历史发展进程中的作用。

三、疏通课文的目的在于使学生领悟文意，所以切忌繁琐讲解词句用法，不要搞机械翻译，更不宜使用语法术语，对文中所涉及的某些古汉语现象，不宜讲得过多，凡学生根据注释能疏通文义的就不要讲。

第五篇：湖北省宜昌市点军区第一中学九年级语文上册 第8课《致女儿的信》教材说明与教学建议 新人教版

《致女儿的信》 教材说明

一、整体把握

全文共25段，可分为三部分。

第一部分（第1～4段）：女儿提出问题及父亲对此的态度。

第二部分（第5～24段）：回忆从前祖母给“我”讲过的故事，得出爱情是什么的答案。第三部分（第25段）：告诉女儿该如何对待爱情。故事本身并不费解，耐人寻味的是故事背后的寓意。在西方的文化传统中，宇宙万物都是上帝创造的，上帝是无所不知、无所不能的。可是在这个童话里，为什么上帝没有创造，也不能理解人类的爱情？上帝恼怒于人类的自我创造，几次三番地要毁灭人间的爱情，为什么最终无可奈何又若有所思地离去？理解这些寓意的文眼，正在故事的开头和结尾。故事开头说，上帝创造世界时，“把一切生物分散安置在地上并且教会他们传宗接代，繁衍自己的子孙”；尾说，“万物生存、繁殖、传宗接代，但只有人才能够爱”，“如果不善待爱情，便不能提高到人类美这一高度，就是说它还仅仅是能够成为人、但尚未成为真正的人的一种生物罢了”。

这些议论点明了全文的主旨：真正的爱情远远高于生理需要，爱情中包含的“忠诚”、“心灵的追念”等人性的光辉，正是人之为人而不是动物的根本标志。故事中，上帝没有创造爱情，是因为他仅仅把人看做一般的生物；而爱情的无法毁灭和上帝的沉思离去，正说明了人将永远不会再沦为动物，将成为自己人性的宰，成为“大地上的上帝”。

故事中，上帝三次来到人间，在人的眼神里先后读到了三种东西：爱情、忠诚和心灵的追念。者把它们放在一起谈论，是别有深意的。人在年轻的时候，异性间很容易产生爱慕之心，但岁月和生命是对爱情的最大考验：只有能经得起时间砺磨的忠诚，能超越死亡的心灵追念，才配得上称为真正的爱情。上帝在人的目光中三次发现了“美和力量”——人间的挚爱，这正是“美和力量”的最高体现！

二、重点难点

1、构思独具匠心。

（1）前有暗示，后有点睛。故事开头说，上帝把“一切”生物安置在地上并教他们传宗接代、繁衍子孙；最后说，“万物生存、繁殖、传宗接代，但只有人才能够爱”，“如果不善待爱情，便不能提高到人类美这一高度，就是说它还仅仅是能够成为人、但尚未成为真正的人的一种生物罢了”，前后对比，凸显出人之区别于动物的关键。

（2）层层推进，起伏有致。故事以上帝三次视察人间为叙事框架（这也是民间传说和童话常用的叙事模式），对这三次视察的描写有必要的重复；又有变化和递进：从人们的目光里，上帝分别发现了“一种他所不理解的美和某种从未见过的力量”，“无与伦比的美和更大的力量”，“不可理解的美和那种同过去一样的力量”，故事最后再次强调爱“是人类永恒的美和力量”；上帝的态度由“勃然大怒”到“怒不可遏”，再到“久久地伫立凝视着。随后深沉地思索着离去了”。上帝态度的前后对比，意味着爱情的力量征服了上帝，他在“伫立凝视”中终于意识到人与其他生物的不同，意识到人必须主宰自己的精神和幸福。而他最后的离去，就是对人性力量的认可和屈服。连君临宇宙的上帝都无可奈何．正说明了“爱情，它高于上帝”，人“成了大地上的上帝”。

2、语言朴素，通俗易懂。

文章所阐释的是一个抽象的问题，作者运用故事的形式对此进行讲述，语言朴素；如话家常，一读就懂。

《致女儿的信》教学建议 初中生正值青春期，异性之间会产生微妙的感觉；文学作品和大众文化（影视、歌曲、杂志等）对爱情的渲染，更催化了他们对爱情的好奇与遐想，甚至有些学生已经初涉“爱河”。但“什么是爱情”，是需要人生的经历和“智慧”的积累，才能给自己一个答案的。教师可以借助这篇课文，引导学生借鉴他人的“生活的智慧”，好好思考与品味爱情的含义。教学中，教师可以多提供一些动人故事，少一些抽象的教条。