第8课时 完全平方公式（范文）

第一篇：第8课时 完全平方公式（范文）

课题：完全平方公式（1）总第8课时

教学目标：完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．视 学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力． 教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。教学难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。教学过程：

一、提出问题，学生自学：

1.问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 应该写 成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______.（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______.2.得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 3.分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。

推广：计算（a+b）2=_____ ___（a-b）2=_____ ___

二、得到公式，分析公式：

1.结论：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． 2.几何分析：图（1），可以看出 大正方形的边长是a+b，它是 由两个小正方形和两个矩形 组成，•所以大正方形的面积 等于这四个图形的面积之和．

三、运用公式直接运用： 1.应用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2（2）（y-）2（3）（-a-b）2（4）（b-a）2 2.简便计算：

（1）1022（2）992（3）50.012（4）49.92

四、附加练习：

1.计算：（1）(4xy)2（2）(3a2b4ab2c)2

（3）(5x）2= 10xy2y4

(4)(3ab)(3ab)(5)(x)2（6）(x)2 2.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？(1)x24x4(2)116a2（3）x21（4）x2xyy2（5）9x23xyy2

五、小结：

141x1x12

全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

第二篇：完全平方公式(第1课时)

完全平方公式（第1课时）

单位:安徽省金寨县斑竹园镇中心学校 姓名:许 磊

一、教学内容

上海科学技术出版社义务教育课程标准实验教科书 《数学》 七年级下册 2.3 完全平方公式

二、教学设计

<一>、教材分析

本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的。其地位和作用主要体现在以下几个方面：

1、整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面,乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。

2、乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养严密的逻辑推理能力的功能。

3、公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好的模式。

<二>、学生分析与教法

针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点及本节课实际、采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学。让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分发展。边启发边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则。教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围,遵循知识产生过程，从特殊——一般——特殊.将所学的知识用于实践。采用小组讨论大组竞赛等多种形式激发学生学习兴趣。

<三>、学习任务分析

“完全平方公式”的教学目的应是“熟练掌握“。为了使” 熟练掌握“，一方面要正确理解公式。让学生自己得出公式，是正确理解公式的措施之一；同时还要扫除正确理解的障碍，即消除一些容易混淆之处。另一方面，通过把公式运用到各种情况中去来达到熟练运用。对于易混淆之处，应提高新旧知识的可分辨性。通过变式对一些以前学过的，对现在公式容易产生混淆的内容：如积的乘方公式、平方差公式，进行分辨，从比较中加深对正面法则的理解。

<四>、评价方式

教师在教学中关注的是学生对待学习的态度是否积极；关注的是学生想了没有，参与了没有；关注的是学生能否从数学的角度思考问题，也就是关注过程，而不是结果。另外，在课堂教学中，给了学生更多的展示自己的机会，并且教师的鼓励与欣赏有助于学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。

<五>、教学目标

1、识记目标 ①熟记完全平方公式，②能运用完全平方公式进行简单的计算。

2、能力目标 经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。

3、情感目标 培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。

<六>、教学重点、难点

完全平方公式与平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据。因此，本节教学的重点与难点如下：本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。本节的难点是从广泛意义上理解完全平方公式中的字母的含义，判明要计算的代数式是哪两数的和、差的平方。总结出运用法则时的注意事项予以强化顺应。

<七>、教学准备

投影仪、课件

<八>、教学过程

教学步骤

<一>、创设情景探索公式

1、从计算和比较试验田的面积引出公式

。试验田的总面积有多种表示方式，通过对比这些表示方式使学生对此公式有一个直观的了解。

2、提出新任务，课本 P33 想一想 1。在过程中注意了解学生对多项式乘法的理解程。要求学生说明每一步的理由。

3、提高任务难度P33 想一想2。鼓励学生自己探索，鼓励学生算法的多样化。学生既可以按多项式乘法的法则计算，也可利用公式并鼓励其运用自己的语言加以描述。

4、师生共同总结

这两个公式叫做完全平方公式。教师活动

1、探索这个问题，通过小组交流比较得到

。体会完全平方公式的几何意义。

2、根据多项式乘法法则独立解决此问题，并用自己的语言说明每一步的理由，做到有理有据。让一名学生到黑板板演。

3、通过努力完成任务进一步熟悉了完全平方公式。仔细观察、比较，并用自己的语言描述个人的观察结果，在班内进行交流。

4、与在教师的指导下总结出完全平方公式。

投影课本P33引入问题。独立计算后与同伴交流。个别学习同伴交流投影完全平方公式

5、观察这两个公式，探讨这两个公式的特征(师生共同总结)(1)、算式：两数和或差的平方

(2)、积 ：两个数的平方和加上或减去这两数积的2倍

6、进一步提出问题，你能用自己的语言叙述这两个公式吗？

教师明晰，两数和或差的平方等于它们的平方和加上或者减去它们积的两倍。教师在学生理解的基础上结合公式的特点和语言叙述，给出记忆口诀，“头平方，尾平方，两倍的乘积中间放”。<二>、应用练习促进深化

1、理论之于实践，展示课本P34例 1由学生自行讲练，教师辅助。

2、放手让学生自己独立完成课本 P34 随堂练习1 借以检验所学。

3、又一轮更大的挑战，真实的测出对公式的理解程度及熟练 程度，培养举一反三，逆向思维

4、认真观察、思考后小组讨论，明确公式特征加深对公式表象的理解。各小组派一名代表阐述结论。

5、在活动中巩固了所学知识，达成了识记目标。①仔细观察公式特点，二要素、对比、变化、左边和右边、整体和局部；②尝试 用自己的语言进行描述、交流。

6、记忆与呈现交流比赛，加深对公式字母含义的理解，明确字母意义的广泛性。教学媒体

<三>、提炼小结完善结构

1、具体体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式。

2、自我检验，巩固反馈。考察个人的实际运用能力，并及时查漏补缺。

3、对比练习。通过观察、对比，找出它们的异同，提高警觉性，增强对公式特点的灵敏性。

4、随着探讨的步步深入，对公式的理解不断加深。充分发挥自身的主观能动小组讨论同伴交流

投 影 完全平方公式的语言叙述投影“ 比一比、赛一赛”问题分组比赛个别学习与同伴交流结合个别学习教师点评个别学习与同伴交流相结合同伴交流。<四>、布置作业延伸学习的数学品质。

教育学生学习要多思多想，力求学深学透。“通过本节课的学习，你在知识上有哪些收获？哪些能力得到了提高？” 引导学生自主总结，组织学生互相交流各自的收获与体会，成功与失败。明确以下几点:

1、完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称。

2、公式中的 a、b 可以是任意数或代数式。

3、公式的条件是两数和的平方或两数差的平方。

4、公式的结果是三项式。即这两数的平方和加上或减去这两数积的2倍。当两数同时，取“+”号；两数异号时取“—”号。学生活动

1、默忆 整理本节课笔记

2、独立完成课本 P36习题 1.13全部习题

3、阅读课本 P34“读一读”

4、自编一道最能代表个人水平的题目，向与你水平相当的同学发出挑战。

5、课外探索、选做计算：

6、预习下一节内容。使 思维变得流畅、变通更富有创造性。掌握公式的变形有利于今后的各种计算。条理本节内容，回顾做题经历，畅谈个人体会，互相交流借鉴。原本分散的知识更加系统化、结构化，初步形成知识网络。资源和教学方式

1、培养良好的学习习惯。

2、全体学生独立完成，巩固所学知识。

3、了解一些数学发展的历史，经历探索公式的过程，激发学习数学的兴趣。

4、利用已经学习过的内容探索新的公式。只限学有余力的学生，小组讨论个别学习

附：板书设计投影屏幕课题

2.3 完全平方公式

公式:

例题板演区 学生板演区

<九>、教学反思（建议）

1、本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而人为的主观裁断时间安排，其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们的应用公式的本领。因此，不但不可以省，而且还要充分挖掘，以使不同程度的学生都有事情做且乐此不疲，更加充分的参与其中。对于这一点，教师一定要转变观念。

2、在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异，有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系地看，有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力。教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行学法指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质。

3、对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”。对于公式中的字母取值范围，不必过分强调。实际上，这个范围限定的太小了，而对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提，却往往不被重视，结果造成几个类似公式的混淆，给正确解题设置了障碍。

4、教无定法，教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划。如：对于较好的班级则可以优先发展，采取居高临下的教学思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式，而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反。

第三篇：14.3.2.2第2课时 运用完全平方公式因式分解

第2课时

运用完全平方公式因式分解

教学目标

1．使学生理解用完全平方公式分解因式的原理。

2．使学生初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件，会用完全平方公式分解因式。重点难点

重点：让学生会用完全平方公式分解因式。

难点：让学生识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件。教学过程

一、引入新课

我们知道，因式分解是整式乘法的反过程。倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法；运用平方差公式法。现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们共学过三个乘法公式：

平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2。完全平方公式：(a±b)2= a2±2ab+ b2.这节课，我们就要讲用完全平方公式分解因式。

二、新课讲解

1．将完全平方公式倒写：

a2+2ab+ b2=(a+b)2，a2–2ab+ b2=(a–b)2。

便得到用完全平方公式分解因式的公式。

2．分析上面两个等式的左边，它们都有三项，其中两项符号为“+”是一个整式的平方，还有一项呢，符号可“+”可“–”，它是那两项幂的底的乘积两倍。凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方。将它写成平方形式，便实现了因式分解。

例如

x2 + 6x + 9 ↓↓↘

=(x)2+2(3)(x)+(3)=(x+3)2.4 x2 – 20x + 25 ↓↓↘

=(2x)2 – 2(2x)(5)+(5)2

=(2x+5)2.3．范例讲解

例4 把25x4+10x2+1分解因式。

[教学要点]按前面的分析，让学生先找两个平方项，写出这两个二次幂：25x4=(5x2)

2,1=12.再将另一项写成前述两个幂的底的积的二倍：10x2=2（•5x2）•1，原式便可以写成(5x2+1)2.可以问学生，如果题中第二项前面带“–”好呢？是否可用完全平方公式：仍可用完全平方公式，得出的是(5x2–1)的平方。

例5 把–x2–4y2+4xy分解因式。

[教学要点]让学生观察发现，题中三项式，两个平方项前面带有“–”号，因此不能直接应用完全平方公式。但当提出“–”号后，括号内却是一个完全平方。因此，本题解答可分两步进行： –x2–4y2+4xy

=–（x2–4xy+4y2）

（提公因式–1）

=–（x–2y）2（应用完全平方公式）

三、课堂练习（补充）1．把下列各式分解因式：

（1）x2+4x+4;

（2）16a2–8a+1;t2（3）1+t+；

（4）9m2–6m+1。

42．把下列各式分解因式：（1）4a2–4ab+b2;（2）a2b2+8abc+16c2;（3）(x+y)2+6(x+y)+9;m2mn2（4）–+n;1446（5）2(2a+b)2–12(2a+b)+9;124y2（6）xy–x–.5100

四、小结

这节课我们初步学习了用完全平方公式分解因式。它与用平方差 公式不同之处是：要求多项式有三项。其中两项是带正号的一个单项式（或多项式）的平方，而另一项则是两个幂的底数乘积的两倍。它的符号可“+”可“–”。

五、作业设计

1．把下列各式分解因式：（1）1–4x2y2;（2）1+4x2y2+4xy;（3）16(m+n)2–25(m–n)2;（4）16m2+25n2+40mn.2．下列等式成立不成立？如果不成立，应如何改正：（1）–x2=（–x）2;（2）9a2=(9a)2;（3）–4y2=(–2y)2;（4）–x2+2xy–y2=(–x–y)2.3．把下列各式分解因式：（1）14a–1–49a2;（2）–8xy–16x2–y2;（3）4m2–3(4m–3);（4）–x2–5y(5y–2x).4．在括号内填入适当的数或单项式：（1）9a2–（）+b2=(–b)2;（2）x4+4x2+（）=(x+)2;（3）p2–3p+（）=(p–)2;

第四篇：完全平方公式教案

人教新课标八年级上15.2完全平方公式表格式教案

一、复习旧知

探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．

答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．

二、探究新知

1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．

（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即

学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳

教师让学生利用多项式的乘法法则进行推理.教师让学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

这里是对前边进行的运算的复习，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图（a+b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2 3．归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍． 4.【例1】运用完全平方公式计算：

⑴ ； ⑵ 【点拨】展开后的式子有三项，能合并的要合并.5．利用完全平方公式计算：（1）（－x+2y）2；（2）（－x－y）2；（3）（x+y－z）2；

解析：（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再运用完全平方公式；（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；

（3）题利用加法结合律变形为［（x+y）－z］2，或［x+（y－z）］

2、［（x－z）+y］2，再用完全平方公式计算； 思考

⑴（a+b）2与（－a－b）2相等吗？为什么? ⑵（a－b）2与（b－a）2相等吗？为什么? ⑶（a－b）2与a2－b2相等吗？为什么? 6．添括号：∵4+5+2与4+(5+2)的值相等;4-5-2与4-(5+2)的值相等.所以可以写出下列两个等式:(1)4+5+2=4+(5+2)(2)4-5-2=4-(5+2)左边没括号,右边有括号,也就是添了括号,•同学们可不可以总结出添括号法则来呢? 添括号其实就是把去括号反过来。

教学程序及教学内容

学生分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特征。

部分学生板演，然后学生交流分析过程：此题需灵活运用完全平方公式。学生思考，教师点拨。

学生在做题时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生理解每一步的运算理由。.学生分组讨论,最后总结。

师生行为 的思想方法：特例—归纳—猜想—验证一用数学符号表示． 的设置是由浅入深，让 每个学生感到学有所成，感

受到学习数学的乐趣.整个过程贯穿完全平方公式的结构特征及由一般到特殊的思想的体验，亲身 经历了数学魅力所在.注意完全平方公式中容易出现的问题，让学生掌握。

第五篇：完全平方公式教案

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完全平方公式在代数、几何中的两点运用

完全平方公式是中学阶段运用较为广泛的一个公式.除了在一般计算过程中直接运用完全平方公式外，在一些代数、几何问题中，还会利用其进行解题，这也是各年中考中的一个必考知识点.另外，在公式的一些使用过程中，还结合了整体思考的数学思想，同时还对学生的逆向思维提出一定要求.主要体现在以下两个方面.一、利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值.有一类

例1 已知a2b21,ab分析：要求(ab)4，直接求

12，求(ab)4的值.a,的值有一定的困难，因而可利用整体思想，设法求出(ab)2，结合题目条件a2b21，只需求出ab值.解：把aba2abb2212两边同时平方，得

34又因为a2b21，所以2aba2abb422

21491634 即(ab)74

所以(ab).22例3 已知x3x10，求（1）x1x2；（2）x1x41x4.分析：观察所求代数式的特征，x21x2可由x1x平方后整理得到.因而解题的关2键在于利用题目条件x3x10求出代数式x的值.此处，再次利用了整体思考的数学思想.解：把x3x10两边同时除以x，得

x31x0，即x1x3.2把x21x3两边同时平方，得 1x1x2x2x9，即 x21x27

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再把x2421x27两边同时平方，得 1x2x2x1x21x449，即x441x14447.47.所以（1）x2（2）x7；

x

二、利用完全平方式判断三角形形状

例4 已知三角形的三边a,b,c满足a2b2c2abacbc0，请你判断这个三角形是什么三角形.分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形.结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明.解：由a2b2c2abacbc0两边同时乘以2，整理可得

a22abb22a22acc22b22bcc20

所以abacbc0

2因为ab≥0，ac≥0，bc≥0 222所以ab0，ac0，bc0 222所以ab,ac,bc 即 abc.所以这个三角形是等边三角形.例5 已知a,b,c是ABC的三边长，且a2bc2bac0，判断ABC222的形状.分析：与例4相类似，也是利用完全平方公式将条件进行变形，从而得出三角形三边的关系.解：由a2bc2bac0变形，得 222a22abb22b22bcc20

2所以abbc0

因为ab≥0，bc≥0 22www.xiexiebang.com

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所以ab0，bc0 22所以ab,bc 即 abc 所以ABC是等边三角形.www.xiexiebang.com