九年级数学上册第四章图形的相似2平行线分线段成例拓展了解平行线等分线段定理素材北师大版解析（范文大全）

第一篇：九年级数学上册第四章图形的相似2平行线分线段成例拓展了解平行线等分线段定理素材北师大版解析

平行线等分线段定理

一、知识点

1.掌握平行线等分线段定理及其推论.2.会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题.二、例题分析

第一阶梯

[例1]已知：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证：BF=CF.提示：

（1）由已知条件可得几个中点？有几条平行线？

（2）平行线等分线段定理及推论是如何叙述的？

（3）此题有几种方法证明？请比较一下其方法之间的联系？

参考答案：

证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC.∴E是AB的中点.（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）.又∵EF∥AC，交BC于F.∴F是BC的中点，即BF=FC.说明：

（1）在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点.（2）此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦.[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证：ED=EC.提示：

（1）对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？

（2）在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点.（3）请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？

参考答案：

证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC.∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点.∴F是DC的中点（经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰）.∵∠ADC=90°

∴∠DFE=90° ∴EF⊥DC于F 又F是DC中点

∴EF是DC的垂直平分线

∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.说明：

（1）命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形.再根据图形，写出已知和求证.（2）此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以.第二阶梯

[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点.求证：AP=PQ=QC.提示：

（1）图形中可以得到几条平行线？与结论有关的平行线分别在哪几个三角形中？被平行线所截线段的位置有何特殊关系？

（2）利用平行线和中点，可以得到三角形哪条边的中点？

（3）平行四边形在此题中的作用是什么？如果把平行四边形改成梯形，结论成立吗？若改成其它的特殊四边形呢？

参考答案：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点.∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形定平行四边形）

∴在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.∴P是AQ的中点 ∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.说明：

（1）此题两次利用了E、F是中点的条件.（2）在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.[例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF=BF.提示：

（1）E点是DC边的中点吗？图形中E是什么点？直观上，你觉得图形 完善吗？

（2）如何添加辅助线，使EF与某三角形的一边平行且E是其中一边的 中点？

（3）在三角形中，一般的有角平分线的条件，就可以构选什么图形？ 参考答案：

证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E

∴在△AEC与△MEC中

∴△AEC≌△MEC

∴AE=EM

∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF.∴点F是AB边的中点 ∴AF=BF.说明：

（1）一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用.所以延长AE与BC相交就势在必行了.（2）在三角形中，若有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线.（3）△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用.第三阶梯

[例1]已知：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.提示：

（1）梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？

（2）如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢

（3）此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试.参考答案：

证明：连结AE交DC于O ∵四边形ACED是平行四边形

∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.∵梯形ABCD

∴DC∥AB

在△EAB中，OF∥AB 又O是AE的中点.∴F是EB的中点 ∴EF=BF.说明：

（1）证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论.（2）此题可延长EC，在梯形ABCD内构造平行四边形或以AB、BE、AD的延长线为边构造梯形也可以得证.[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，点.求证：△ECD为等边三角形.提示：

（1）由条件可知，CE是哪个特殊三角形的什么线么？∠2的度数是多少？

（2）在梯形ABCD中，有AB边的中点E，如何添加辅线后，得到ED=EC？为什么？

E为AB的中

段？为什

（3）此题不用平行线等分线段定理，还有别的方法吗？试一试.参考答案：

证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DE于F.∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点

（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）

∵DC⊥BC ∴EF⊥DC

∴ED=EC（线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等）

∴△EDC为等腰三角形.∵AB=BC ∠B=60° ∴△ABC是等边三角形

∴∠ACB=60° 又E是AB边中点 ∴CE平分∠ACB

∴∠1=∠2=30° ∴∠DEF=30°

∴∠DEC=60° 又ED=EC

∴△DEC为等边三角形.说明：

（1）一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.（2）此题不要AB=BC的条件，保留其它条件构造全等三角形也可得证不访试一试.

第二篇：九年级《平行线等分线段定理》

第四课时平行线等分线段定理

教学目标

1.使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2.能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． 4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美 重点、难点

1．教学重点：平行线等分线段定理

2．教学难点：平行线等分线段定理 教学步骤

【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？

【引入新课】

1、由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？

2、带学生一起学习课本上的例4（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到如下定理）

定理

1、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例

有上面的定理可推广到一般形式： 定理

2、（平行线分线段成比例定理）两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。

ABDE1时，有1,即，当ABBC时，有DEEF,可得 在定理二中，当BCEF定理3（平行线分线段定理）两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等

由此，我们可以得到几个推论：

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

再引导学生观察下图，在，由此得出推论2．

中，，则可得到

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．

例

已知：如图，线段 ． 求作：线段的五等分点．

作法：①作射线 AC ．

②在射线上以任意长顺次截取AA1A1A2A2A3A3A4A4C任意长 ．

③连结CB ．

④过点A1,A2,A3,A4 分别作CB的平行线交AB于点 B1,B2,B3,B4

B1,B2,B3,B4就是所求的五等分点．

课堂练习：

课本62页练习课堂小结：

（l）平行线等分线段定理及推论．

（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

（4）应用定理任意等分一条线段． 布置作业

第三篇：《平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理》教学反思

反思本节课的教学，存在很多的问题，从以下几个方面谈一谈：

一、知识回顾环节

这部分的设计是让学生在要求下独立完成，教师只强调两个问题：

（1）若DE//BC，D是AB的中点，则E是AC的中点，而不能直接得出DE是中位线；

（2）在具体图形中找两个图形A字型和X字型，从而得出比例式。而在巡视各组学生写的情况后，又和学生一起把这两部分知识回顾了一下，既没有收到良好的效果，又浪费了很多的时间，这出是我平时存在的问题，以后就在这方面改进。

二、例题的处理

在数学问题中，做辅助线是学生感到头疼的问题，对有些问题，学生不知从何处入手，做什么样的辅助线，教师应在平时的课堂教学中结合实例给予适当的指点，这也是在这节课中设计例2的初衷，但在例2的处理上，我认为存在以下不足：

一是语言太罗嗦不简炼；

二是在教师点拨后应适时组织学生讨论，通过学习合作得出不同辅助线的做法，也从中体会到各种方法的优劣，为下面小结做平行线的方法打下基础，当时因为感到时间有点紧，再有平时总是侧重培养学生独立思考的能力，没有做到这点；

三是应该由学生最后结合此题小结做平行线的方法同时说明为什么不能过点D做平行线，此时教师也代劳了，尽管在教学中能及时启发、引导学生独立思考，积极探索，但还没有完全做到充分认识学生、理解学生，充分调动学生积极参与。

三、课堂评价

课堂评价不是指教师课堂教学的对错、好坏、优劣的评价，而是指教师对学生课堂学习状况的评价，是教师组织、引导、帮助学生自主学习的重要手段，在我的课堂教学中没有给予足够的重视，应在平时备课时做好充分的准备，什么问题需要什么样的评价，什么时候对什么问题进行评价，怎么样评价，通过评价达到什么样的目的。

总之，新课标的一个重要理念就是把培养学生的主体意识，主体能力及学科素养作为教学过程中始终不渝的追求目标，因此要求教师转变教育观念，提高专业素养，不断发展专业化水平，为学生的终身发展做出最大的贡献。

第四篇：初二数学平行线分线段成比例定理

初二数学

【教学进度】

几何第二册第五章 §5.2[教学内容]

平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]

一、主要知识点

1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析

1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比

，可以说成“上比下等于上比下” BCEFABDE

，可以说成“上比全等于上比全” ACDFBCEF

，可以说成“下比全等于下比全”等 ACDF

2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）基本图形

AE3AE3EG

3∴∴又∵

EC4AC7DC7

极 EG=3X，DC=7X（X>0），则

BD2221

4∴ DB=DC7xx DC3333

14x

BD14

∴

EG3x9

∵

例3

分析BC//FE例4 E，DB点评（1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可

例5 如图9，A,B,C,分别在△ABC的三边BC、AC、AB或其延长线上，且AA//BB//CC

111求证： AABBCC

分析所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，一般情况下，要将其转化为线段比的形式。

CCBCCC证明：∵CC//AA ∴∵CC//BB∴

AABABBCCCCBCACBCAC11 ∴1∴AABBBAABABAABB

点评 例6 EF//CD分析在△例7 BF⊥交BC求证：分析 可延长证明：∴△

① 求证ME=NF

② 当EF向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时，①的结论是否成立，请证明你的判断。

[练习与测试参考解答或提示]

1552

1．；2．18cm；3．,；4．9：4；5．9；6．10，18；7．9：1；8．2；9．6

235

10．提示，过D作DH//AC交BG于H点，则得结论。

BCECAGAE

，又AE=EC，BD=AB，即可GDDHBDDH

EFCEBEEG，同理，而EB=CE，CD=AD，

AFADCDCG

11．略证，由∠DCA=∠EBA=600，有CD//BE，则

则

EGEF，所以FG//AB 

CGAF

DEAE

12．略证，由DE//BC，有∠EDB=∠DBC，又∠ABC=∠DBC，所以∠EDB=∠ABD，则BE=DE，

BCAB

所以DEABDEBEAEABBCABABAB

1

13．①由AD//EF//BC，有EMBECFNF

ADABCD

AD，EM=NF6

②仍成立，证明同①。

第五篇：数学：一《平行线等分线段定理》教案1(新人教A版选修4-1)

平行线等分线段定理

教学设计示例

一、教学目标

1.使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2.能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

三、重点、难点

1．教学重点：平行线等分线段定理

2．教学难点：平行线等分线段定理

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？

为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．

引导学生观察下图，在梯形 中，，则可得到，由此得出推论 1．

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

再引导学生观察下图，在 中，，则可得到，由此得出推论2．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．

例 已知：如图，线段 ．

求作：线段 的五等分点．

作法：①作射线 ．

②在射线 上以任意长顺次截取 ．

③连结 ．

④过点 ．、、分别作 的平行线、、、，分别交 于点、、、．

、、、就是所求的五等分点．

（说明略，由学生口述即可）

【总结、扩展】

小结：

（l）平行线等分线段定理及推论．

（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．