第一篇：华师大版九年级数学下册教案 第29章 几何的回顾
第29章 几何的回顾 29.1 几何问题的处理方法 29.1.1 用推理方法研究三角形 29.1.2用推理方法研究四边形(1)29.1.3用推理方法研究四边形(2)29.1.4用推理方法研究四边形(3)29.1.5用推理方法研究四边形(4)29.2 反证法
29.2.1 证明的再认识(1)29.2.2 证明的再认识(2)
第29章 几何的回顾 29.1 几何问题的处理方法 29.1.1 用推理方法研究三角形
教学目标
知识技能目标
1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
过程性目标
在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学重点
1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
教学难点
在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
一、情境导入
请同学们按以下步骤画△ABC．
1．任意画线段BC；
2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．
二、探究归纳
1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
分析 要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”
说明
(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．
(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）
所以AB＝AC．（等角对等边）
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．
求证：等腰三角形的两个底角相等．
已知：△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角”）
推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）
所以∠B＝∠C．（等边对等角）
说明
(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；
(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）
在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．
1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．
已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．
求证：PD＝PE．
分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析 要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．
角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？
1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_______，结论是_______；
命题“内错角相等，两直线平行”的题设是_______，结论是_______．
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．
2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．
3．我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？
例题：
例1 如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．
求证：BE⊥AC．
分析 由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC．
例2 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．
分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE．
例3 写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假．
(1)全等三角形的面积相等；
(2)同角的余角相等；
(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
例4 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题．
已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a+b＝c．
求证：△ABC是直角三角形．
分析 首先构造一个直角三角形ABC，使得∠C′＝90°，B′C′＝a，C′A′＝b，然后可以证明△ABC≌△A′B′C′，从而可知△ABC是直角三角形．
222
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
例5 如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AE＝
求证：△EMC是直角三角形．
AD．
作业：
1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC．
3．给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？
29.1.2用推理方法研究四边形(1)
教学目标
知识技能目标
1.掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形；
2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
1.掌握证明的一般步骤；
2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题．
教学重点：知识技能目标
1、教学难点：过程性目标2
教学过程：
(一)情境导入
在第20章中，我们已学过平行四边形的性质与判定，回忆有哪些性质与判定，你能用逻辑推理的方法来证明它们吗？
(二)实践与探索1
根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？来证明知识回顾：要证明一个命题须分三步来完成：①画图；②结合图形写出已知、求证；③证明．
已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析 要证明四边行ABCD是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即只要证明另一组对边平行即可，因此可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等．
于是得：
平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边．
利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．
平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．
平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等．
已知： 如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证： AB＝CD，BC＝DA．
分析 要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等于是可得：
平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等．
同样，我们也可证明：
平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分．
例 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF． 求证：BF∥DE．
分析 要证BF∥DE，只要证四边形EBFD是平行四边形即可
变式应用：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE＝CF，那么 BF∥DE成立吗？
(四)小结与作业
1.学习习近平行四边形的性质与判定，可按边的关系，角的关系以及对角线的关系进行分类记忆；
2.在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特征，正确合理地使用平行四边形的性质与判定；
3.可以用有关平行四边形知识证明的问题，不要倒退到利用三角行的全等来证明．
作业：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点．求证：EF＝BC
29.1.3用推理方法研究四边形(2)
教学目标：
知识技能目标
1.掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩形；
2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点：知识技能目标1、2
教学难点：经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
(一)情境导入
教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状．
学生思考如下问题：
(1)无论∠1如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？
(2)随着∠1的变化，两条对角线长度有没有变化？
(3)当∠1为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形？这时两条对角线长度有没有关系？
(二)实践与探索1
我们知道矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：
定理矩形的四个角都是直角．
由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”．你会用推理的方法证明吗？
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求证：AC＝BD．
分析 由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边，因此要证AC＝BD，只要证△ABC≌△DCB．
那么要判定一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：
定理 有三个角是直角的四边形是矩形．
思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形．
定理 对角线相等的平行四边形是矩形．
上述两条定理是矩行的判定定理
(三)实践与探索2
例 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD =AB．
分析：要证CD =AB，可以延长CD到E，使DE = CD，此时只要证CE = AB．
本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形．
即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
以后把这条作为直角三角行的性质定理．
(四)小结与作业
1.矩形的性质：
(1)矩形具有平行四边形的一切性质；
(2)矩形的四个内角都是直角；
(3)矩形的对角线相等且互相平分．
2.矩形的判定：
(1)有三个角是直角的四边形是矩形；
(2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；
(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．
作业：1.已知：平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H．求证：EG＝HF．
2.如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
求证：EB＝ED．
29.1.4用推理方法研究四边形(3)
教学目标：
知识技能目标
1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；
2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点：知识技能目标1、2
教学难点：经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学过程：
(一)情境导入
教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B、C，立即改变平行四边形的形状． 学生思考如下问题：
(1)无论BC平行移到什么位置，四边形ABCD还是平行四边形吗？
(2)当BC移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？
(二)实践与探索1
我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．
根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：定理菱形的四条边都相等．
由问题(2)我们还知道
定理 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．会用推理的方法证明吗？已知：如图，四边形ABCD是菱形．分析 要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．
要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：
定理 四条边相等的四边形是菱形
思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．
分析 要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．
要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：
定理 四条边相等的四边形是菱形
思考 有哪些方法可以判断一个四边形是菱形？
(三)实践与探索2
例2 如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形?
例3 如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF是什么关系?
(四)小结与反思
1.菱形的性质：
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2.菱形的判定：
(1)四条边相等的四边形是菱形；
(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
29.1.5用推理方法研究四边形(4)
教学目标
知识技能目标
1.掌握正方形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是正方形；
2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学重点：知识技能目标1、2
教学难点：经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学过程：
(一)情境导入
1.展开活动的衣帽架（如图）．
图(1)的α在不断的地变化过程中．这个图形始终是怎样的图形？生答：菱形．老师继续问当α＝90°时，这个图形还是菱形吗？如上图(2)．有的生答：不是，是正方形．有的生答：是，还是菱形，是一个特殊的菱形．最后老师进行评判，并指出：当α＝90°时，这个四边形还是菱形．因为它是邻边相等的平行四边形．但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形．
2.展开一边固定对边活动的矩形．
将活动的矩形架的CD边左右移动时，问：图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在活动的过程中始终保持与AB平行）生答：矩形．当CD移动到C′D′位置，且AC′＝AB时，此时的图形还是矩形吗？这时生回答：是，是矩形，但它是特殊的矩形，也是正方形．
(二)实践与探索1
我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质．
定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形．于是可得：
定理 有一个角是直角的菱形是正方形．
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
(三)实践与探索2
例 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．
已知：如图27.3.7，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是正方形．
变式应用 如图，已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
(四)小结
1.正方形具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分；
2.正方形具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等；
3.正方形具有菱形的一切性质：四条边相等，对角线垂直；
4.有一个角是直角的菱形是正方形；
5.有一组邻边相等的矩形是正方形．
29.2 反证法
29.2.1 证明的再认识(1)
教学目标
知识技能目标
1．进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法；
2．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式；
3．能证明三角形内角和定理及推论．
过程性目标
通过三角形内角和定理及推论的证明，体会证明的必要性，注意证明的格式，知道每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．
教学重点
进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法
能证明三角形内角和定理及推论．
教学难点
掌握证明的书写格式
教学过程
(一)情境导入
1．任意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，求出该四边形的内角和的大小．你能说说理由吗？
2．下列图中的线段和线段的长度是否相等？用尺度量结果是否与你感觉一样？
(二)归纳总结
1．探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质．
2．逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理．
公理：(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；
(4)全等三角形的对应边、对应角相等．
定理：在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面．
(三)实践与探索
例1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度．
已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°．
分析 回忆以前将三个内角拼在一起，发现三角形的三个内角的和等于180°，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形ABC，延长AB到D，得平角ABD，过点B作BE∥AC，由平行线的性质把三个内角拼到点B处得：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度．
说明(1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；
(2)该定理的推理形式：因为 △ABC，所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）；
(3)该定理可以作为进一步推理的依据．利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于360°．（b）n边形的内角和等于（n-2）180°．
小结：(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的，实践为我们作出猜想提供了材料，推理证明为猜想的真实性提供保证；(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等；
(3)注意证明的格式，每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．
29.2.2 证明的再认识(2)
教学目标
知识技能目标
1．掌握推理证明的方法与步骤，培养言之有据的思维习惯；
2．用所学过的公理，定理，定义进行逻辑推理．
过程性目标
在推理过程中体会公理与定理，定理与定理之间的逻辑关系，熟练掌握证明的书写格式
教学重点
通过画图得出二次函数特点
教学难点
识图能力的培养
教学过程
(一)情境导入
我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度，同学们能否以这个定理为依据，来证明三角形的外角性质？哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质？
求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角．
求证：∠CBD＝∠A+∠C．
(二)探究归纳
我们已经学习了许多图形的性质，有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理，还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的，如：全等三角形的判定公理：边角边、角边角、边边边．除这些方法以外，同学们还有什么方法判断三角形全等？（角角边）我们一起来证明命题：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．
已知：△ABC和 △A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
(三)实践与探索
(四)交流反思
1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的，但仅仅通过观察和实验是不够的，必须要通过证明得到；
2.在推理过程中，不能只根据问题的某种相似性，生搬硬套，要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题．
第二篇：华师大版九年级数学下册学期备课
学期备课
教学理念
1、课堂是学生自主学习、合作学习的地方：课堂是师生情感与信息交流的地方；课堂是师生共同解决旧知产生新知的地方：课堂是学生个体表现，体验成功、自信、快乐的地方；课堂是学生感悟做人道理的地方。
2、教师是学生课堂学习过程的组织者、引导者；教师是学生智商、情商、道德商的培育者；教师是学生在课堂上个体表现，体验成功、自信、快乐机会的创造者；教师是课堂学习情境、问题情境的创设者；教师是自由、民主、平等、和谐气氛的营造者；教师是学生学习潜能、个人特长的开发者；教师是学生良好习惯、优良品德的培养者。
3、课堂是学生表现用的，不是老师表演用的，把课堂还给学生，让学生体验课堂、表现课堂、感悟课堂；凡是学生自由学习的时间，教师决不占用；凡是学生可以自己完成的事，教师决不替代；教师要面带微笑、满怀激情走进教室。
教学目标
知识目标：
1.“几何的回顾”一章，将在前五册合情推理与逻辑推理的基础上，进行简单的回顾与思考，解决空间与图形的许多问题所运用的基本方法，使学生再次加深认识证明的必要性，学会由公理出发，证明有关的定理，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生更好地养成言之有据的正确的思维习惯。
2.使学生认识抽样调查是了解总体情况的一种重要的数学方法，学会使用科学的抽样调查的方法，对总体的特征作出较为可靠的估计，用数学语言表述自己的见解。
3.了解人类所面临的人口、资源、环境和发展等重大问题，初步认识环境与人类活动的相互关系。
过程与方法
1.体现学生主动学习的过程，以学生发展为本，让学生亲身参与活动，进行探索与发现，以自己的体验获取知识与技能.2.体现我国数学教育的优良传统，实现基础性与现代性的统一.努力提高学生的创新精神和实践能力，克服繁难多旧的弊病.。
3.合情推理是发现、探索、归纳与猜想等等的重要手段；基于一些基本的公理的逻辑推理确认探索发现结果，进行数学说理的重要方法。
4.运用适当的方法和手段，表达自己学习的体会、看法和成果，并与别人交流。
情感态度价值观：
1.初步形成对反证法这一行之有效的数学思维方法，增加学生处理数学问题的能力。2.与学生一起通过媒体、调查与理论分析，利用收集到的样本数据，进行数据分析，学会决策一些较为简单的实际问题。
教材内容分析
本册内容共分四章：
1.“二次函数”一章，从实际问题情景着手，引入基本概念，引导学生自主探索变量关系及其规律，认识二次函数与其图象的一些基本性质，继续学会寻找所给问题中隐含着的关系，掌握基本的解决方法。其主要内容有两大部分，一部分是二次函数及其图象的基本性质，从简单的开始，通过学生的自主参与，逐渐认识这一常用函数的最为基本的性质。内容的另一部分是二次函数模型，最开始的从实际问题引入基本概念，探究函数的性质之后所提出的一些实际问题，以及最后一节的实践与探索，都是为了对这一函数模型有更为深刻的认识。通过一两个实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力。
2.“圆”的一章，在小学知识的基础上，依据图形的变换，认识圆是一个轴对称图形，也是一个中心对称图形，从而利用圆的对称性，运用逻辑推理的数学方法，探索圆的一些基本性质，并运用动态的方法，通过图形的运动，研究点、直线、圆的相互位置关系及其与距离的联系，了解有关圆的一些简单度量问题。
3.“几何的回顾”一章，将在前五册合情推理与逻辑推理的基础上，进行简单的回顾与思考，解决空间与图形的许多问题所运用的基本方法，使学生再次加深认识证明的必要性，学会由公理出发，证明有关的定理，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生更好地养成言之有据的正确的思维习惯。合情推理是我们发现、探索、归纳与猜想等等的重要手段；基于一些基本的公理的逻辑推理则是我们确认探索发现结果，进行数学说理的重要方法。该章同时引入反证法这一行之有效的数学思维方法，增加学生处理数学问题的能力。
4.“样本与总体”的一章，使学生认识抽样调查是了解总体情况的一种重要的数学方法，学会使用科学的抽样调查的方法，对总体的特征作出较为可靠的估计，用数学语言表述自己的见解。该章的最后借助调查作决策一节，与学生一起通过媒体、调查与理论分析，利用收集到的样本数据，进行数据分析，学会决策一些较为简单的实际问题。
5.本册所设置的三个课题学习，“硬币滚动中的数学”、“中点四边形”与“改进我们的课桌椅” 都是密切结合所学内容与生活实际的，涉及图形与统计的知识内容。目的在于让学生自己动手实践，思考分析，训练提高解决实际问题的能力。
课题“硬币滚动中的数学”是一个数学问题的探索与研究，让学生对于生活中所熟悉的圆形硬币，探究其在滚动中所隐含的数学规律，进一步提高学生的数学思维水平与解决问题的能力。
课题“中点四边形”涉及基本图形的性质与数式，用数量关系简洁地描述图形中所具有的规律，利用所学过的知识内容加以探索、推理与论证，进一步体验数形结合的数学思想方法。
课题“改进我们的课桌椅”涉及统计与概率的知识内容，让学生自己就熟悉的课桌椅与亲身体验进行调查，收集分析处理数据，提出自己的见解，作出决策，为改进课桌椅出谋划策。
教学设想
1、抓好常规地理课堂教学。认真备好每一节课，努力讲好每一节课；保障每节一练，做到全批全改。
2、认真学习新课标理论，领会新课标精髓，用科学的理论指导教学实践。
教材的主要特点
1.体系结构（1）根据义务教育阶段初中学生发展的特点、学习数学的心理规律及需要，采取“数与代数”、“空间与图形”与“统计与概率”三块内容交叉编排，螺旋上升的方式，由简单到复杂，由低层次的展开到高层次的综合，不断深化。
（2）数学内容的引入，采取从实际问题情景入手的方式，贴近学生的生活实际，选择具有现实背景的素材，建立数学模型，使学生通过问题解决的过程，获得数学概念，掌握解决问题的技能与方法。
（3）教材内容的呈现，努力创设学生自主探究的学习情境和机会，适当编排应用题、探索性和开放性的问题，发挥学生的主动性，给学生留有充分的时间与空间，自主探索实践，促进学生数学思维能力、创造能力的培养与提高，为学生的终身可持续发展奠定良好基础。
（4）教材内容的编写，把握课程标准，同时又具有弹性，编入一些选学内容，以适应较高程度学生的需要，使得不同水平的学生都得到发展。
（5）教材内容的叙述，适当介绍数学内容的背景知识与数学史料等，将背景材料与数学内容融为一体，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的文化价值。
（6）现代信息技术的应用在教材中占有适当的地位，有利于学生理解概念、自主探索、实践体验。
2.教材体例
（1）教材的正文中，根据教学内容的实际需要，适当设置有一些相应的栏目。如，观察、思考、实验、想一想、试一试、做一做等，给学生适当的思考空间，让学生自主探索，经历体验和感受，获得必要的知识.（2）结合教材各块内容，安排一些有关的阅读材料，涉及数学史料、数学家、实际生活、数学趣题、知识背景等等，扩大学生的知识面，增强学生对数学的兴趣与应用意识，进行爱国主义、人文精神的教育。
（3）控制习题总量，降低难度，增加探索、开放、实践类型的习题.按照不同要求，编制不同水平的练习题。按课时给出随堂的练习，每一节设置习题，每章的复习题设程度不一的A、B、C三组，以满足不同层次的学生发展的需要。
（4）增设了研究性课题学习，给学生更多的发展空间，让学生自己动手，提高解决实际问题的能力与合作交流的能力.（5）每一章的开始，设置有一幅表现该章主要内容的导图与导入语，以其激发学生的学习兴趣与求知欲望。
第三篇：【华师大版教材适用】九年级数学下册《【教案】 切线长》
华师大版九年级数学下册精品教案
切线长
教学目标：
1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。教学过程：
一、复习引入：
1．切线的判定定理和性质定理．
2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
二、合作探究
1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？
从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．
证明：
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
三、巩固练习
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点
（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。（2）若△PCD周长=10，则PA=____。
（3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____
3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E、D、F，且∠ACB=90°，AC=
3、BC=4，求⊙O的半径。
4、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=
6、BC=8，O为BC上一点，以O为圆心，OC为半径作圆与AB切于D点，求⊙O的半径。
5、如图，⊙O与△ADE各边所在直线都相切，切点分别为M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半径
6、如图，AB是⊙O的直径，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.求证：OE⊥OF
7、如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是切线，DC切⊙O于E，交AM于D，•交BN于C，设AD=x，BC=y．
（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值．
（3）求△COD的面积．
四、小结归纳
1．圆的切线长概念和定理
五、作业设计
第四篇：华师大七年级下册数学——应用题
1甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元．已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？
3甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？
4甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？ 5有两种药水，一种浓度为60％，另一种浓度为90％，现要配制浓度为70％的药水300克，问各种各需多少克？
6甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？
7一个两位数字，个位数字比十位数字大5，如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？
9某铁桥长1 000米，一列火车从桥上通过，从车头到桥到车尾离桥共用一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车车身的总长和速度．
10某牛奶加工厂现有100吨鲜牛奶准备加工后上市销售，该工厂的加工能力是，如果制成奶片每天可加工鲜奶10吨，如果制成酸奶每天可加工鲜奶30吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部加工完毕．该厂应安排几天制奶片，几天制酸奶，才能使任务在4天内正好完成？如果制成奶片销售每吨奶可获利2 000元，制成酸奶销售每吨奶可获利1 200元，那么该厂出售这些加工后的鲜牛奶共可获利多少元？某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表．
普通（元／间／天）豪华（元／间／天）
三人间150300 双人间140400 为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？学校书法兴趣小组准备到文具店购买、两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买 型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买 型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．
（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支 型毛笔和2支 型毛笔，共支付145元；若每人各买2支 型毛笔和1支 型毛笔，共支付129元．这家文具店的、两种类型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对 型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的 型毛笔的零售价）的 出售．现要购买 型毛笔 支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？
14我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3 500册图书，实际共捐赠了4 125册，其中初中学生捐赠了原计划的，高中学生捐赠了原计划的，问初中学生和高中学生各比原计划多捐赠了图书多少册？
15某农场有300名职工，耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各作物每公顷所需劳动力人数及投入的资金如下表： 作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金 水稻4人1万元 棉花8人1万元 蔬菜5人2万元 已知该农场计划投入资金67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
16某学校现有校舍面积20 000m，计划拆除部分旧校舍，改建新教学楼，使校舍面积增加30％，若建造新教学楼的面积为拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，新教学楼面积是多少？
17、打折前，买60件 商品和30件 商品用了1080元，买50件 商品和10件 商品用了840元，打折后，买50件 商品和50件 商品用了960元，比不打折少花多少钱？
18、甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？
19、某种口服液礼品盒有大盒、小盒两种包装，现在知道3大盒、4小盒共装了108瓶；2大盒、3小盒共装了76瓶，现在有一个人一共买了6大盒、6小盒，问他一共买了多少瓶？
3、张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元．已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？ 20、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
⑴求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
21、汽车在相距70km的甲、乙两地之间往返行驶，因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时48分钟，已知汽车在平地每小时行30km，上坡路每小时行20km，下坡路每小时行40km，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少？
22、某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金每辆220元，60座客车租金为每辆300元，试问：
⑴这批学生人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ ⑵若租用同一种车，要使每位学生都有座位，怎样租用更合算？
23、某旅社在黄金旅游期间为一旅游团体安排住宿，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住了4人，且空两间宿舍，求该团体有多少人和宿舍间数．
24、有甲、乙两种债券，年利率分别是10％与12％，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？
25、李明与王云分别从、两地相向而行，若两人同时出发，则经过80分钟两人相遇；若李明出发60分钟后王云再出发，则经过40分钟两人相遇，问李明与王云单独走完 全程各需多少小时？
26、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？
27、某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车或一国营出租公司中的一家鉴定月租车合同，个体车主的收费是3元/千米，国营出租公司的月租费为2000元，另外每行驶1千米收2元，试根据行驶的路程的多少讨论用哪个公司的车比较合算？
28、小王到新华书店帮同学们买书,售货员告诉他,如果花20元钱办理“会员卡”,将享受八折优惠.请问:
①在这次买书中小王买标价为多少元书的情况下办会员卡与不办会员卡花钱一样多?
②当小王买标价为200元书时,怎么做合算?能省多少钱?
③当小王买标价为60元书时,怎么做合算?能省多少钱?
第五篇：华师大版九年级上数学教学计划
九年级上数学教学计划
一、指导思想
初中数学是义务教育的一门主要学科。它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生活,生产和进一步学习的基础。对学生良好的个性品质和辩证唯物主义世界观的形成有积极的作用。
教师要努力为学生营造一个生动具体的学习情境；教学中要注意引导学生独立思考与合作交流；让学生去说去做，逐步培养学生解决问题的能力和初步的应用意识。
二、教学理念
数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
在教学活动中，教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者；要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；要重视现代教育技术在教学中的应用，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益
对数学学习的评价要关注对学生学习过程的评价；恰当评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握；重视对学生发现问题和解决问题能力的评价；评价结果以定性描述的方式呈现；更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。
三、学生情况分析。
本期任教九年级 一 班，有学生 36人。学生到九年级两极分化现象较严重，基础好的同学学习兴趣大，进取心强，学习自觉主动；而基础较差的同学学习兴趣不浓，上课爱走神，参与意识弱，不愿动脑筋，对自己缺乏信心；处于中等成绩的学生学习缺乏主动，需要不时鞭策、激励。九年级的学生处于一个认为自己已经长大了，有叛逆心理，自尊心强，初步展露自己个性的时期。
四、教材分析
第5册中，“二次根式”与“一元二次方程”属于数与代数领域。“二次根式” 原是第4册章数的开方的一节，现单独成为一章，其内容更为完整合适。
“一元二次方程”是原有内容，基本保留，略作修改，更为完善。属于空间与图形领域的有“图形的相似”与“解直角三角形”两章。
“图形的相似” 原为第4册，现后移，作为全等三角形的拓展，增加中位线一节，适当加强理性的数学逻辑推理成分，更好地实现合情推理与演绎推理的有机结合。
“解直角三角形”为原第4册解直角三角形一章的后两节，探索边角关系，解决一些较为简单的实际应用问题。
“随机事件的概率”一章，属于概率范畴。将原第5册的概率的含义与预测和第3册模拟实验的内容合为一章，基于概率的频率意义，引入随机事件的概率的分析意义和简单的预测公式。主题突出，线条鲜明，那样对于随机事件的概率的学习就更为集中。
第5册 各章课时安排
全书内容（含各章复习）与课时安排
第22章 “二次根式” 8课时 第23章 “一元二次方程” 14课时 第24章 “图形的相似” 14课时 第25章 “解直角三角形” 12课时 第26章 “随机事件的概率” 14课时 课题学习4课时
2016 9 1 2
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