余弦定理教材微观分析

第一篇：余弦定理教材微观分析

余弦定理教材微观分析

（一）教材地位和作用

余弦定理选自人教A版必修五第一章第一节“正弦定理与余弦定理”，主要包括正弦定理与余弦定理两个概念。本节内容是第2课时。教材知识结构主要研究余弦定理的推导及运用余弦定理解三角函数，从数学学习角度看属于命题课。余弦定理的学习建立在正弦定理、向量运算和勾股定理的基础上，是勾股定理的推广和正弦定理的补充，将三角形的边与角联系起来，实现边角关系的互化，是解三角形的一个重要方法，为后面应用正、余弦定理测量距离、解决有关三角形的计算问题、证明一些三角恒等式，判断三角形形状打下了一定的基础。

教材编排从全等三角形的判定方法出发，引出出问题：“如何计算出三角形第三边的长”。让学生通过已掌握的向量求模的方法化简得到余弦定理。再将勾股定理与余弦公式进行比较，得出判断三角形形状的方法。这样安排一是符合学生的认知规律，二是让学生经历了定理的产生与证明，加深了对向量运算的理解。

（二）核心内容和思想

本节课的核心内容是：余弦定理内容及其证明，余弦定理在解三角形中的应用。因为余弦定理是联系一般三角形中的边角关系的一个重要工具。从思想方法看，本节课蕴含着数形结合、类比思想、转化思想、方程思想，教会学生解决三角形问题的基本方法。

（三）教学重点和难点

余弦定理揭示了三角形中边和角的数量关系，是解三角形的一个重要工具，为今后判断三角形形状，证明与三角形有关的等式与不等式提供了重要依据，在几何中有着广泛应用。所以，教学重点就是余弦定理的内容和在三角形边角计算中的应用。

教学难点是余弦定理的发现和公式的推导。余弦定理的证明需要运用到向量的数量积或解析几何中的两点间距离公式，学生很难想到运用什么方法推出余弦定理。

（四）分析教学目标

知识与技能目标：能够说出余弦定理，能够运用余弦定理解决实际问题。过程与方法目标：在经历向量求模长的过程中探索余弦定理的内容。在运用余弦定理解决三角形问题中，体会数形结合、转化的思想方法。通过余弦定理和勾股定理的比较，体会类比的思想方法。

情感、态度、价值观目标：在余弦定理的证明和应用过程中，感受到数与形的辩证统一和数学的实用性。

（五）例题、习题的作用和编写意图

例3是已知三角形两边及其夹角，解三角形，考察学生对正、余弦定理的综合运用能力。但在运用正弦定理时，正弦值为正，对应的角可能是锐角，也可能是钝角，这就需要学生综合三角形的边和角的大小对应情况作出准确判断。例4是已知三角形三条边，解三角形。例题采用的是余弦定理加三角形的内角和这两个知识点。通过这两道题让学生思考运用正余弦公式求解三角形的利弊，归纳出解三角形的问题分为几类，分别应怎样求解。

第二篇：经济学家_微观教材_2014

教材中出现的主要经济学家

亚当·斯密：《国民财富的性质与原因研究》(《国富论》)，1776

阿尔弗雷德·马歇尔：《经济学原理》，1890

大卫·李嘉图：《赋税原理》

约翰·梅纳德·凯恩斯：《就业、利息和货币通论》，1936

弗农·史密斯：实验经济学的代表人物(2002诺奖得主)

威廉·斯坦利·杰文斯、卡尔·门格尔、里昂·瓦尔拉斯：边际效用学派的三个创始人 古诺 ：双头垄断模型，1838

斯威齐：弯折的需求曲线，1939

约翰·纳什：博弈论代表人物(1994诺奖得主）

罗纳德·科斯：《企业的性质》（1937），《社会成本问题》（1960）

丹尼尔·卡尼曼：行为经济学代表人物，（2002年诺奖得主）

乔治·亚瑟·阿克洛夫、迈克尔·斯宾塞、约瑟夫·斯蒂格利茨：信息经济学代表人物，（2001年诺奖得主）

乔治·亚瑟·阿克洛夫： 《柠檬市场：质量的不确定与市场机制》（1970）

约翰·冯·诺依曼：博弈论之父，代表作《博弈论与经济行为》(1944,与奥斯卡·摩根施特恩合著）

杜能：最早以边际原理分析地租、利润和工资

克拉克：首创边际生产力，提出生产三要素、边际生产力递减法则

M.O.洛伦兹：美国统计学家1907年提出了洛伦兹曲线

基尼：意大利经济学家，在洛伦兹曲线基础上定义了基尼系数。

庇古（Arthur Cecil Pigou），英国经济学家，福利经济学的代表人物，《福利经济学》（1920）帕累托：意大利经济学家，提出以帕累托最优来检验资源配置是否达到最优。

肯尼斯·约瑟夫·阿罗，美国经济学家，1972年诺奖得主，二战后新古典主义经济学的代表人物，对许多经济学家都有影响。他的主要理论是社会选择理论，即阿罗不可能性定理，他的研究领域还包括内生增长理论，信息经济学

阿玛蒂亚·森（Amartya Sen）：1998年诺奖得主，当代最杰出的经济学家和哲学家之一，关于社会选择、福利分配和贫困研究领域的突出贡献者；人类发展与可行能力视角的理论奠基人

第三篇：微观教材参考答案 第一二章

微观经济学

——复习思考题参考答案

第1章 导论

1.什么是稀缺性？如何理解稀缺的相对性和绝对性？

答：相对于人类的无穷欲望而言，“经济物品”以及生产这些物品的资源总是不足的，这就是稀缺性。稀缺性不是指物品或资源绝对数量的多少，而是相对于人类欲望的无限性而言，再多的物品和资源也是不足的，所以稀缺具有相对性。同时稀缺又具有绝对性，稀缺存在于人类社会的任何时候和任何社会，从时间维度来看，古希腊奴隶社会存在着稀缺，当今世界仍然存在普遍的稀缺；从空间维度来看，不仅非洲贫穷国家面临着显著的稀缺问题，生活水平高于非洲等发展中国家数十倍甚至上百倍的欧美等西方发达国家和地区也存在稀缺问题。

2.为什么要学习西方经济学？

略：此题可以按照课本回答，学生也可以有自己的观点和想法。

3.简述微观经济学与宏观经济学的区别与联系

答：微观经济学（microeconomics）是研究社会中单个经济单位（居民户、厂商、单个产品市场）的经济行为，研究相应的经济变量的单项数值如何决定，来说明价格机制如何解决社会资源配置问题的经济学说。宏观经济学以整个国民经济为研究对象，通过研究经济中各有关总量的决定及其变化，来说明资源如何才能得到充分利用。两者之间既存在着密切联系，又有着显著地区别。

（1）微观经济学与宏观经济学的区别

第一，研究对象不同。微观经济学的研究对象是单个经济单位，如家庭、厂商等。而宏观经济学的研究对象则是整个经济，研究整个经济的运行方式与规律，从总量上分析经济问题。

第二，解决的问题不同。微观经济学要解决的是资源配置问题，即生产什么、如何生产和为谁生产的问题，以实现个体效益的最大化。宏观经济学则把资源配置作为既定的前提，研究社会范围内的资源利用问题，以实现社会福利的最大化。

第三，研究方法不同。微观经济学的研究方法是个量分析，即研究经济变量的单项数值如何决定。而宏观经济学的研究方法则是总量分析，即对能够反映整个经济运行情况的经济变量的决定、变动及其相互关系进行分析。这些总量包括两类：一类是个量的总和，另一类是平均量。因此，宏观经济学又称为“总量经济学”。

第四，基本假设不同。微观经济学的基本假设是市场出清、完全理性、充分信息，认为“看不见的手”能自由调节实现资源配置的最优化。宏观经济学则假定市场机制是不完善的，政府有能力调节经济，通过“看得见的手”纠正市场机制的缺陷。

第五，中心理论和基本内容当然也不同。微观经济学的中心理论是价格理论，还包括消 费者行为理论、生产理论、分配理论、一般均衡理论和福利经济学等。宏观经济学的中心理论则是国民收入决定理论，还包括失业与通货膨胀理论、经济周期与经济增长理论、国际经济理论等。

（2）微观经济学与宏观经济学的联系

第一，目标相同。经济学的目的是要实现社会经济福利最大化。为达到这一目的，就要实现资源的优化配置与充分利用。它们从不同的角度分析社会经济问题，共同组成经济学的基本原理。

第二，都是研究供给与需求。宏观经济学与微观经济学都是通过需求曲线和供给曲线决定价格和产量，只是微观经济学研究的是个体经济活动参与者的行为与结果，宏观经济学研究的是社会总体的经济行为及其结果。

第三，微观经济学是宏观经济学的基础。宏观经济学分析总是以一定的微观经济分析为基础的。例如，就业理论和通货膨胀理论作为宏观经济学的重要组成部分，总是要涉及劳动的供给与需求和工资决定理论，以及商品价格决定理论。

第四，二者使用的分析方法大都相同。微观经济学和宏观经济学除了上面提到的个量分析和总量分析的区别之外，实际上使用的分析方法大致都是相同的。如二者都使用静态分析和动态分析方法，都使用理论分析和实证分析方法，都使用模型分析方法。

4.简述实证经济学与规范经济学的区别与联系

答：实证经济学（positive economics）只是要理解经济行为和经济系统的运作，而不对这种运作结果的好坏进行判断。它力图描述已经存在的经济现象，并解释它们是如何运作的。与此相对应，规范经济学（normative economics）关注的是经济行为的结果，并且讨论这种结果的好坏以及它能否变得更好。规范经济学包括对各种行为方式的判断和开出行为的处方。

实证经济学具有客观性，即实证命题有正确和错误之分，其检验标准是客观事实，与客观事实相符合者为真理，否则就是谬误。所以，西方经济学家把实证经济学定义为目的在于了解经济是如何运行的分析。规范经济学以一定的价值判断作为出发点，提出行为的标准，并研究如何才能符合这些标准。它力求回答：应该是什么（what ought to be）的问题。由于人们的立场、观点、信仰和伦理道德标准不同，对同一个经济事物，就会有截然不同的看法。因此，规范经济学不具有客观性，即规范命题没有正误之分，不同的经济学家会得出不同的结论。所以西方经济学家把规范经济学定义为对于政策行动的福利后果的分析。

实证经济学研究经济运行规律，不涉及评价问题；规范经济学则对经济运行进行评价。但是，很多规范的问题也包括了实证的问题。例如，要知道政府是否应该采取某种措施，首先必须知道政府是不是有采取这种措施的能力，其次要弄清楚采取这种措施后可能产生的结果。有些人指出，实证的、完全没有价值倾向的经济分析是不存在的。

第2章 供求均衡和价格决定

一、名词解释

需求：需求（demand）是指在某一特定时期内，在每一价格水平上，消费者愿意并且能够购买的一定数量的商品或劳务。构成有效需求必须具备两个条件：一是购买欲望，即愿意购买；二是购买能力，即能够购买。理解需求的含义需要同时注意两方面：一是价格，二是数量。在其他条件不变的情况下，一般对应不同的商品或劳务的价格，消费者的购买数量是不同的。

供给：供给（supply）是指在某一特定时期内，在每一价格水平上，生产者愿意并且能够提供的一定数量的商品或劳务。与需求的概念类似，供给也必须具备两个条件，一是供给的愿望，即愿意供给；二是供给的能力，既能够供给。理解供给的含义需要同时注意两方面：一是价格，二是数量。在其他条件不变的情况下，对应不同的商品或劳务的价格，生产者供给的数量不同。

需求函数： 表示一种商品的需求数量与影响该需求数量的价格之间相互关系的函数即需求函数。通常的表示形式为Qd = f(P)。

供给函数： 表示一种商品的供给数量与影响该供给数量的价格之间相互关系的函数即供给函数。通常的表示形式为Q s= f(P)

需求量变动：指在其他条件不变的情况下，由于商品本身价格变化，消费者对该商品的需求数量的变化。引起需求量变化的原因是商品自身价格的变化，图形上表现为沿着同一条需求曲线上下移动。

供给量变动：指在其他条件不变的情况下，由于商品本身价格变化，生产者对商品的供给量的变化。引起供给量变化的因素仅仅是商品本身的价格。在图形上，供给量的变化表现为沿着同一条供给曲线上下移动。

需求变动：需求变化一般定义为商品自身价格不变的条件下，由于其他因素的变化而引起的该商品需求数量的变动，即整体需求水平的变动。因此，需求变动也被称为需求水平的变动。图形上，需求的变化表现为需求曲线的位置移动。

供给变动：值商品自身价格不变的条件下，由于其他因素的变化而引起的该商品供给数量的变动，即整体供给水平的变动。因此，供给的变动也被称为供给水平的变动。图形上，供给的变动表现为供给曲线的位置移动。

均衡价格：市场需求和供给相等时的商品价格即均衡价格（equilibrium price），此时由于供求力量相等，均衡价格保持不变。

需求弹性：需求的价格弹性（price elasticity of demand），简称为需求弹性，表示在一定时期内，一种商品的需求量对于该商品价格变动的反应程度。确切地说，是指当商品价格变动百分之一时，所引起的该商品需求量变动的百分比。其大小用弹性系数来衡量，具体计算公式为：需求的价格弹性系数

供给弹性：供给的价格弹性（price elasticity of supply），简称为供给弹性，表示在一定时期内，一种商品的供给量对于该商品价格变动的反应程度。确切地说，是指当商品价格变动百分之一时，所引起的该商品供给量变动的百分比。其大小用弹性系数来衡量，具体计算公式为：供给的价格弹性系数供给量变动率，或者 esQQQP。

价格变动率PPPQ

蛛网模型：蛛网模型是一种用于市场动态分析的理论模型，主要用来考察生产周期较长的商品。这些商品的产出主要受上一周期产品价格的影响，蛛网模型的前提假定为供给存在时滞，而需求不存在时滞，即商品本期的产量取决于上一期的价格，而商品本期的需求量取

d决于本期的价格。因此有Qtsf(Pt1)，Qtf(Pt)。蛛网模型的数学表示形式如下：sdsQtdPt，QtPt1，QtQt。在几何上，β和γ值分别代表的是需求曲线

需求量变动率，或者edQQQP

价格变动率PPPQ。

和供给曲线斜率绝对值的倒数。β和γ不同代表需求曲线和供给曲线斜率的不同。根据β和γ值的相对大小，主网模型可以分为收敛型蛛网、发散型蛛网和封闭型蛛网。

需求的收入弹性：需求的收入弹性（income elasticity of demand）是指一定时期内，在其他条件不变的情况下，消费者对一种商品的需求量变化相对于消费者收入变化的反应程度。即当消费者收入变化百分之一时所引起的商品需求量变化的百分比。需求的收入弹性系Q数公式为：eM QMMQMMQ。

需求的交叉弹性：一种商品的需求量变动对相关商品价格变动的反应程度被称作需求的交叉弹性（cross elasticity of demand）。需求的交叉弹性系数的计算公式为：QXeXYPYQXPYQXPY。替代品之间的交叉价格弹性系数为正，并且数值越大，代表PYQX 5 两种商品之间的替代性越强互补品之间的交叉价格弹性系数为负，并且绝对值越大，代表两种商品之间的互补性越强。

二、选择题

1D 2D 3A 4D 5B 6D 7B 8D

三、问答题

1．运用供求理论和弹性理论分析“谷贱伤农”或“丰收悖论”

答：“丰收悖论”或“谷贱伤农”，即农作物丰收，农民的收入不增反降。丰收悖论的主要成因可以用供求理论和农产品的需求价格弹性特征来进行说明。丰收年份，供给曲线右移，均衡数量增加，均衡价格下降。同时大米、小麦等基本粮食作物都是生活必需品，缺乏需求弹性，粮食的需求曲线较为陡峭。在可以看出，丰收时虽然均衡数量有所增加，但是均衡价格下降幅度大于均衡数量的增加幅度，因此农民的收入不增反减。在歉收年份，供给曲线由左移，均衡数量减少，均衡价格上升。歉收时虽然均衡数量有所减少，但是均衡价格上升的幅度大于均衡数量的减少幅度，因此农民的收入不减反增。

2．运用供求理论分析石油输出国组织为什么要限制石油产量

答：自20实际70年代以来，石油输出国组织（OPEC）曾连续多次采取限制石油生产的措施。由于石油为各国的重要能源，其需求缺乏弹性，所以当石油输出国组织决定降低产量时，石油价格上涨的比例大于需求量下降的比例。从短期来看，会增加该组织成员国的收益，从长远来看，有利于世界石油市场的稳定。若组织不限产，石油总产量的增加，将会导致各成员国的收益不增反减。

四、计算题

ds 1.解：（1）将需求函数Q505P和供给函数为Q105P带入均衡条件QdQs，有：50 – 5P= –10 +5P

得：Pe = 6 将Pe = 6 带入需求函数和供给函数可得Qe= Qd = Qs = 20。（图略）（2）将新需求函数Qd1605P和原供给函数Qs105P带入均衡条件 6 Qd1Qs，有：60 – 5P = –10 +5P

得：Pe1 = 7 将Pe1 = 7 带入新需求函数和供给函数可得Qe1= Qd1 = Qs =25。（图略）

（3）将原需求函数Qd505P和新供给函数Qs255P带入均衡条件QdQs2，有：50 – 5P = –5 +5P

得：Pe2 = 5.5 将Pe2 = 5.5 带入原需求函数和新供给函数可得Qe2= Qd = Qs2 =22.5。（图略）

（4）由（1）和（2）可见，当消费者收入水平提高导致需求增加，即表现为需求曲线右移时，均衡价格提高了，均衡数量增加了。

由（1）和（3）可见，当技术水平提高导致供给增加，即表现为供给曲线右移时，均衡价格下降了，均衡数量增加了。

总之，一般规律为需求与均衡价格和均衡数量成同方向变动，供给与均衡价格成反方向变动，与均衡数量成同方向变化。

2.修正补充：原图中从a，d，e点向横轴引垂线，与横轴交于K点。（在横轴上加上K）

（1）根据求需求价格点弹性的几何方法，a、b、c点的弹性相等，都等于OJ/JF。（2）a点的需求弹性为eda =KG/OK，d点的需求弹性为edd = KH/OK，e点的ede =需求弹性为KI/OK，由于KG < KH < KI，所以 eda < edd < ede

3.解：根据需求函数P100Q可得反需求函数Q = 10000 – 200P + P2

需求价格弹性eddQPP.(2002P).（1）dPQQ当价格P1=60时，根据需求函数可得Q1 = 1600 当需求量Q2=900时，根据需求函数可得P2 = 70 将上述两组数据分别代入（1）式 得ed1(200260)ed2(200270)6060803 16001600707026044.67 9009003所以，当价格为60时，需求弹性为3，当需求量为900时，需求弹性约为4.67。

4.解：（1）根据需求函数Q102P可知，eddQPP2PP.(2).dPQQ102P5P（2）价格、需求价格弹性与收益的关系为当商品需求富有弹性时，降低价格可增加收益；当商品需求缺乏弹性时，提高价格可增加收益；当商品的需求弹性为1时，价格变化，7 收益不变。根据（1）中的结果可知：

当P>5 – P，即P > 2.5时，ed > 1;当P<5 –P，即P < 2.5时，ed <1。

同时根据需求函数Q102P，可知价格应该介于0和5之间，即0 < P < 5。所以，当2.5 < P < 5时，ed > 1，若想增加总收益，应该降低价格；当0 < P < 2.5时，ed < 1，若想增加总收益，应该提高价格。

5.解：结合收入需求函数M = 90Q2和收入弹性公式可得：

eMdQM190Q21..0.5 dMQ180QQ2因此，当收入为9000或者其他水平时，商品的需求收入弹性都为0.5。

6.解：（1）市场需求函数为个人需求函数的加总，即QD = 120000 – 20000P 市场供给函数为单个厂商需求函数的加总，即QS =20000P 市场均衡时QD =QS，即120000 – 20000P = 20000P 可得：P = 3，Qe = QD =QS = 60000（2）新的个人需求函数为 d’=14 – 2P

新的市场需求函数为QD’ = 140000 – 20000P

市场均衡时140000 – 20000P = 20000P

可得：P = 3.5，Qe = QD’ =QS = 70000（3）新的厂商供给函数为s’ = 40 + 20P

新的市场供给函数为QS’ = 40000+20000P

市场均衡时120000 – 20000P = 40000+20000P 可得：P = 2，Qe = QD =QS’ = 80000（4）每单位商品征收2美元的销售税，会导致供给曲线向左上方移动，新的厂商供给函数为 s = 20(P – 2)，即s = 20P – 40 则市场供给曲线为QS’ ’= 20000P – 40000 市场均衡时：120000 – 20000P = 20000P – 40000 可得：P = 4，Qe = QD = QS’ ’ = 40000 相比（1）中的结果，价格上升了4 – 3 = 1美元 均衡产销量减少了60000 – 40000 = 20000单位

消费者负担的税额为4 – 3 =1美元，生产者负担的税额为2 – 1 = 1美元 政府征收的总税额为 2*40000 = 80000美元

7.解：（1）当x产品销量为100单位，即需求量为100时，其价格为： Px = 1000 – 5×100= 500 当y产品的销量为250单位时，其价格为： Py = 1600-4×250 = 600 根据弹性公式ededxdQP.dPQdQxPx1500.1 dPxQx5100edydQyPy1600.0.6 dPyQy4250QxPy.PyQx（2）需求交叉弧弹性公式为exy其ΔQx = 75 – 100 = –25 Py’ = 1600 – 4× 300 = 400 ΔPy = 400 – 600 = –200 因此exyQxPy25600.0.75 PyQx200100（3）因为B公司产品y的需求弹性为0.6，即缺乏弹性，对于缺乏弹性的商品，因降价而导致销售量增加的比例小于价格下降的比例，销售收入会下降。因此，B公司若谋求销售收入最大化，采取降价策略是不合理的。

第四篇：余弦定理证明案例分析

余弦定理证明案例分析

秭归二中董建华

我今年教高一（3）、一（7）班两班数学，在证明余弦定理时，上午第二节在一（3）班上数学，在证明余弦定理时，我是这样上课的：

同学们，前一节课我们学习了正弦定理及其证，现在请同学们考虑这样一个问题，已知三角形的两边及夹角如何求夹角的对边。

即：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，求C。

请同学们思考后回答这个问题，同学们沉默了

三五分钟，开始相互讨论，并得出了如下解法：

过A作ADBC于D，是AD＝ACsinCBCsinC，CDACcosbcosc,在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc，用的是初中的知识，我们请同学们继续想，我们学了向量，能否用向量的知识加以证明呢？

表现出一片茫然，并开始画图分析，讨论终于得出

222ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC|

2cos(180B)BCb22abcosBa2，即。c2a2b22abcosc 这样一个余弦定理证明下来，同学们分析、观察、讨论用了近30分钟。我觉得这样上课太浪费时间，这么简单的问题，花这么多时间去讨论。

于是我在一（7）班一上课就开门见山的说：“前面我们学习了正弦定理及其证明，这节课我们主要分析余弦定理，即：，a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC ”

现在我们来证明c2a2b22abcosC ：

2证：ABACBCABAB=（ACBC）（AC

22AC2ACBCBCb22bacosca

2即：c2a2b22abcosc，同理可证其余两个，同学们听懂了没有，大家齐答听懂了。前后不过5 分钟左右的时间，我当时还感觉我讲得不错，反正只要学生听懂了就行。

结果一个星期后，有一个小测验，试卷上刚好有一题是用向量的方法证明余弦定理，成绩下来，一（3）班有41人做对了此题，一（7）班仅有7人做对了此题。两个平行班，一个老师教，方法不一样，效果却相差如此之大，我对此进行了案例反思。

反思案例：

1、定理的证明重在教师引导，放手让学生去发现、观察、分析得出结论，如采取注入式教师，虽老师一教学生能听懂，但毕竟不比自己亲手得出的东西印象深刻。

2、引导学生分析问题，表面上看浪费了许多时间，但教会了学生学习的方法，以后遇到许多类似的问题根本不需老师重复去教，学生自己会分析，所以从整体上节约了时间。

3、我在前一节课完全是以学生为主体，后一节课完全是以老师为主体，在课堂教学中，应将教师的主导作用将学生的主体作用表现出来，让教学效果达到更优化。

总之，通过两节课，效果的比较，使我认识到在课堂上要充分引导学生去分析、观察、发现、讨论、探究问题，让学生做课堂的演员，教师仅仅是节目的主持人，分工明确，一节课才是一节完整的课。

第五篇：余弦定理教学案例分析

高中数学教学中的“情境.问题.反思.应用”----“余弦定理”教学案例分析

作者：王兵 发布日期：2007-11-

1[摘要]：辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境.问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。“余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。

[关键词]：余弦定理；解三角形；数学情境

一、教学设计

1、教学背景

在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。

2、教材分析

“余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本 ?必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

3、设计思路

建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。

为此我们根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点；二是如何将向量关系转化成数量关系。④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。

二、教学过程

1、设置情境

自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。

2、提出问题

师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

能，在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长。

师：能用正弦定理求解吗？为什么？

不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。师：这个问题的实质是什么？

在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3、解决问题

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）可以先在直角三角形中试探一下。

直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）师：垂足 D一定在边BC上吗？

不一定，当角 C为钝角时，点D在BC的延长线上。（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）

在锐角三角形 ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC 又 BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2

=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2-2abcosC 同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

在钝角三角形 ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD＝-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2

=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2-2abcosC

同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

同理可证 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

师：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？

4、反思应用

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？

知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

师：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

解：由余弦定理，得

BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2-2AB.ACcosA

＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ ＝ 3.571

∴ BC≈1.89(m)

答：顶杆 BC约长1.89m。

师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？

不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。

师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？

已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。巩固练习：课本第 131页练习1⑵、2⑵、3⑵、4⑵

三、教学反思

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章 5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

“情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。