二元一次方程组应用教学案例

第一篇：二元一次方程组应用教学案例

重视知识的形成过程，突出学生的探索精神

——消元（2）二元一次方程组的应用

教学案例

李华

本节课来自于人教版七年级数学（下册）书，是学生在学会用代入消元法解二元一次方程组的基础上，探究如何用二元一次方程组解决实际问题。情景

师：解二元一次方程组的基本思路是什么 生：消元 ： 二元

一元

师：请回顾一下代入消元法解二元一次方程组的步骤。

2xy0 4x3y4生：变形、代入、消元、解方程、回代、结论 师：听民间故事，解数学问题 《康熙微服私访记》 请一名同学起来朗读，给予适当的评价。引例：康熙巧算牛马价格

康熙皇帝有一年微服私访，在集市上看见两个公差在欺负一个伙计，伙计求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您买1匹马、1头牛，是10两银子；那位大爷，您买2匹马，4头牛，是28两银子。可是一共只给了我们30两，我们可亏不起这么多啊！”

这时，身穿便服的康熙走到公差的面前说：“买卖公平，这是天经地义的事，该多少就多少，怎么能仗势欺人？”

甲公差见此人教训他们，大怒：“你知道一匹马，一头牛是什么价？”康熙冷笑道：“马每匹6两，牛每头4两！” 这时，随从亮出康熙的身份，两公差连忙跪下求饶。

同学们，康熙算对了吗？你们能算出一匹马和一头牛的价格吗？

师：在这个故事里，我们可以提炼出什么数学信息呢？ 生：1匹马、1头牛，是10两银子；买2匹马，4头牛，是28两银子。

师：那么我们能用什么样的办法验证出康熙是否算对了呢？四人一小组讨论完成。讨论结果展示：

生1：可以把康熙皇帝计算的回代到问题里验证一下。师：肯定学生的做法，表扬学生积极思考。生2：可以用一元一次方程来解，设元，列出方程。师：黑板板书，请其他同学给予评价。师：还有其他方法吗？

生3：可以用二元一次方程组来解，设两个未知数，列出方程组。师：黑板板书，要求学生来求解方程组，复习解方程组。师：对，同学们想到了可以用方程来解决实际问题。这两种方法你更喜欢哪一种？为什么？ 生：我更喜欢用二元一次方程组，因为这种方法比较容易列方程，等量关系明确。

生：我更喜欢用一元一次方程来解，计算比较简便。

师：同学们分析的都很有道理。两种方法各有特点，但用二元一次方程组容易找等量关系，解决实际问题有优势。思考：

任何新知识或者因为某种需要而产生，或者因为某种需要，要将原有知识进行延伸和发展。所以，任何新知识都有它的发生、形成和发展过程。

在引入二元一次方程组解实际问题之前，我先复习了一下代入消元法解方程组的步骤。列方程组首先要先会解方程组，“温故而知新”给学生做好铺垫，为本课的计算扫清障碍。

《康熙巧算牛马价格》这个情境增强了学生的进一步学习的兴趣，让学生各抒己见，积极参与，发挥主动意识，扩展了学生的思维。列二元一次方程组是建立在学生掌握了一元一次方程的基础之上的，由学生熟悉的引出未知的，新知识就这样很自然的生成了。在这个过程里，让学生比较了用一元一次方程和二元一次方程组各自的特点，目的在于让学生感知到列二元一次方程组解决实际问题是有优越性的。我们为什么要学习列二元一次方程组？那是因为用二元一次方程组容易找等量关系，解决实际问题是有优势的。新的知识就在这个铺垫的过程中很自然形成了，同学们感受到了二元的优越性，从接下来的教学中可以感受到学生认可了这个列二元一次方程组的新方法，并积极采用了这个新方法。

教学中，如果压缩掉这种过程，就知识教知识，硬生生的告诉学生列二元一次方程来解应用题，学生会只停留在自己熟悉的列一元一次方程的方法里不接受新的方法，这一点在以往的教学里是经常出现的问题。要让学生只其然，也知其所以然，得到新知识的过程不能是知识的简单积累，而是要使学生原有的知识得到扩充和改造。

在教学中，应该对教材进行教学法加工，给充分的时间让学生经历了再发现、再创造的过程后，教师要追问“你是怎么想的？”“你为什么这样想？”“你遇到的困难在哪儿？”“你从中悟出了什么？”等等及时帮助学生梳理、优化自己的思维。这样，有利于学生逐渐养成从直观到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂的思维习惯。

帮助学生有意识地运用数学思想方法解决生活中的实际问题，并使学生在知识形成过程教学和“问题解决”过程中领略数学思想方法的深刻内涵；加强反思，优化思维过程。……这样学生对学习就产生了浓厚的兴趣。这样坚持不懈地训练，学生的创造性思维能力就会进一步地激发出来。我们的教学实际上就是要注重学生知识的形成过程，突出学生的探索精神，以充分发挥学生的主体性。

第二篇：二元一次方程组教学案例（范文）

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二元一次方程组的解法教学案例案例

教学目标：

1.会用代入消元法解二元一次方程组。

2.经历探索代入法解二元一次方程组的过程，理解代入消元法的基本思想所体验的化归思想。

3.培养良好的数学思想，逐步渗透类比和化归的意识。教学重点：

用代入消元法解二元一次方程组。教学难点：

怎样用代入法解二元一次方程组，感受“消元”思想。教学方法：

采用“问题引入—探究解法—归纳反思”的教学方法。教学过程： 复习旧知、1.什么是二元一次方程？二元一次方程的解？

2.什么是二元一次方程组？及二元一次方程组的解？ 3.什么是移项？

（设计意图：为后面的学习打基础）探索新知

出示图片，如图，你能求出一个苹果和一个梨的质量分别是多少吗？

y克x克200克y克x克10克..若设一个苹果的质量为x一个梨的质量为y，你能列出二元一次方程组吗？ X+y=200

y=x+10 让学生合作交流，体会消元思想，得出解题方法。教师示范书写步骤，师生共同概括代入法求方程组的解的过程 代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）变（2）代（3）求（4）写。（设计意图：由浅入深的进行引导，便于学生理解消元思想）巩固提高

3a+2b=36

2m+n=5 2a-b=10

-4m+3n=35（学生上台板演，熟练技能）能力提升

1.5x5a+b-1-7y3a-b+3=7是二元一次方程，你能求出a,b的值吗？ 2.已知（a+2b-2)2+ 2a-3b+10 =0求a,b的值.（设计意图：巩固所学，并提高解方程组的能力）小结

代入法解二元一次方程组的一般步骤：

• 变：把方程组中系数比较简单的一个未知数 • 用含另一个 未知数的式子表示出来。

• 代：将变化的方程代入另一个方程使其转化成一元一次方程。

• 求：求出一元一次方程的解，再代回变化的方程求另一个未知数的值。• 写：写出方程组的解

技巧：

找系数简单的方程进行变形，把系数为1的 未知数用另一个未知数的式子来表示！教学反思

通过本节课的教学，学生积极交流，基本理解了消元的思想，在课件的帮助下，时间掌握的刚刚好，并能解二元一次方程组，只是在做题时学生容易马虎，没有对实际问题进行利用，整节课感觉单调一些，下次一个注意综合一下内容。

第三篇：5.3应用二元一次方程组教学反思

第五章 二元一次方程组

《3.应用二元一次方程组——鸡兔同笼》 教学反思

在2013年11月，我参加锦州市基教处举办的课堂教学改革“教学能手”的评比，参赛的课题是北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第五章第三节《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》。

本课主要是借助我国古代趣题“鸡兔同笼”这个题材，培养学生从多角度思考，运用多种方法解决问题的能力。遵照《新课程标准》中“在课程设置中强调学生是学习的主人，在学习过程中尽可能多的为学生提供探索和交流的空间，鼓励学生自主探索与合作交流的精神相关要求”，本节课我设计采用“预习——展示——反馈”的学习模式，在自主探索、小组合作的基础上，各组派代表上板展示学习成果，适当地组织学生点评，进行全班交流。这样就把课堂的话语权还给学生，把学生由学习的旁观者改为学习的参与者。

基于如上的理解与理念，本节课设计为五个教学环节：第一环节： 用“鸡兔同笼”的多种解法、比较这些解法的优点与不同引入课题，领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性，以及在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性；第二环节：用“以绳测井”的典型例题归纳列二元一次方程组解应用题的一般步骤；第三环节：通过两道习题反馈练习，在反馈中让学生巩固列二元一次方程组解应用题的技能，解决同类古算题；第四环节：谈感悟和收获，引导学生自己小结本节课的知识要点及数学思想方法，使知识系统化.使得学生掌握列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，亦可启发学生说出自己的心得体会及疑问，我汇总本节课的竞赛积分情况，进而鼓励学生在“学中赛”、“赛中学”，学有所获，体验参与与成功的快乐；第五环节：作业布置。

下面我对本节课的完成情况进行反思：

一、从学生的口头展示检测学生的预习情况

本节课中学生有四次口头展示。第一次是“鸡兔同笼”的不同解法，第二次是三种解法的比较，第三次是“以绳测井”例题的讲解，第四次是归纳二元一次方程组的解题步骤。六个小组针对不同的内容都进行了口头展示，随机发言与点评约有 25人次。

学生口头展示的优点是：讲解的学生在表达的音量，站姿，体态等方面自然，得体，大方，有一定的自信心，还能与同学们有眼神的交流。

讲解的学生表达清楚，流畅，简洁，能讲出问题的关键所在，如列方程组的关键是找出等量关系，可以看出学生解题的思路非常清晰，课前预习比较充分。能充分发挥小组合作的作用，学生的参与度较高。如第四组在讲解“以绳测井”的时候，六个人分别担任了不同的角色。有读题，有翻译，有用瓶绳演示，有分析等量关系，有板书解题步骤，有讲解不同解法，是本节课学生的一个亮点。

预习时在数学的思想方法，一题多解，不同解法之间的联系等方面还有待加强。

二、从学生的板答展示反馈学生的掌握情况

本节课中的板答展示一次机会，共有十二位同学上板。板答结果是12人，11人满分，只有1人审题出现了失误，列错了其中的一个方程。从中可以看到：学生基本掌握了二元一次方程组应用的解题思路，比较清晰、整齐，规范的完成了书写，但在列方程、解方程、步骤的规范程度书写的美观度等方面还有待提高。

三、从学生的展示反思教师的教学能力

本节课从学生的口头展示和学生的板答展示可以看到，“根据等量关系列二

元一次方程组解应用题”的教学重点突出，“读懂古算题”、“根据题意找出等量关系列出方程”的教学难点得以解决，找准了“找等量关系”的教学关键。问题的数量恰当，练习的难度适当，预设较为合理，尤其是我在关于列一元一次方程和列二元一次方程组这两种不同解法之间关系的分析与点拨精辟透彻，表达了我对数学思维的见解，是本节课的一个亮点。

本节课引入课题环节用时2分钟，学生口头展示，学生点评，我点拨用时 17分钟，学生的板答展示反馈及点评用时19 分钟，感悟和收获环节用时 7分钟，时间分配上有些前紧后松。在学生展示例题“以绳测井”时，有一种解法学生没有预习出来，这是我没有想到的，说明我对学情的预设不够准确。通过引导学生虽然也得出了新的解法，但我对新解法的等量关系的强调不到位，虽然也让学生进行了对子巩固小组交流，但因担心时间不够用，留给学生的时间不够充分。我在本节课的教学过程中没能达到天马行空，游刃有余的教学境界。

在今后的教学工作中，我将不断积累教学经验，丰富教育智慧。

第四篇：二元一次方程组的应用练习题

1.某城市为了缓解缺水状况,实施了一项饮水工程,就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来,把这个工程交给了甲乙两个施工队,工期50天甲乙两队合作了30天后,乙队因另有任务需要离开10天,于是甲队加快速度,每天多修了0.6千米,10天后乙队回来,为了保证工期,甲队速度不变,乙队也比原来多修0.4千米,结果如期完成.问甲乙两队原计划每天各修多少千米?

2.某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元；若经过粗加工后销售,每吨利润达到4500元；若经过精加工后销售,每吨利润达到7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,代公司家工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季节等条件限制,公司必须用15天德时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此,公司制定了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多对蔬菜进行精加工,没有来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天完成.你认为选择哪种方案获利最多?为什么?

3.某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮。如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM:AN=8:9，问通道的宽是多少？

4.一列快车长160米,一列慢车长170米,如果两车相向而行,从相遇到离开需5秒;如果两车同向而行,从快车追上慢车到完全离开慢车需要33秒,求快车和慢车的速度.5.北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台．从上海、北京将仪器运往重庆、武汉的费用如表所示：

有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉，重庆能得到所需的仪器，而且运费正好够用．

第五篇：二元一次方程组教学设计

3.3二元一次方程组（1课时）教学设计

【教学重点与难点】

教学重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的定义及解的意义，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解

教学难点：求二元一次方程的特殊解 【教学目标】

1.能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解

2.通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系

3通过对本课知识的探究与应用，提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力。

【教学过程】

一、创设情境 提出问题

（设计说明：从学生亲身体验中提出问题，引导学生思考，自然进入新课）问题： 星期天，我们8个人去合肥动物园玩，买门票花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元。他们到底去了几个成人、几个儿童呢？若设他们中有x个成人,y个儿童.由此你能得到怎样的方程? 先放开让学生说，接着提出下面的问题：

你得到的两个方程是一元一次方程吗?与一元一次方程比较有什么不同?如果让你给它起名字，你认为应该叫它什么合适?

二、探索新知 解决问题 1.二元一次方程的概念（设计说明：由实际问题引导学生开始对二元一次方程概念的探索。学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于学生对概念的理解）

学生给方程x＋y=8,5x＋3y=34命名之后，类比一元一次方程进一步讨论下面的问题：

问题1：请你写出几个二元一次方程，和同桌交流，判断写出的方程是否符合要求

问题2：请找出二元一次方程的特点

①含有两个未知数 ②含未知数项的次数是一次 ③是整式方程

问题3：二元一次方程的定义(类比一元一次方程的定义由学生归纳得出)含有两个未知数且含未知数项的最高次数都是1的方程叫二元一次方程 练一练：请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是?并说明理由

⑴2x＋5y=10 ⑵ 2x＋y＋z=1 ⑶⑹2x＋10xy =0

＋y=20（4）x2＋2x＋1=0 ⑸2a＋3b=5 解析：（2）中含有三个未知数，（3）中含有分式，（4）中 x2的次数是2，（5）中10xy的次数是2，所以，（2）、（3）、（4）、（6）都不是二元一次方程，(1)、(5)是二元一次方程

（教学说明：本环节设计的问题引导学生用类比法分析二元一次方程的特征，逐步得出二元一次方程的定义，并在应用中进一步巩固对定义的理解）

2.二元一次方程的解

（设计说明：用类比的方法学习二元一次方程解的意义，在求解的过程中体会二元一次方程解的不唯一性，在正确理解的基础上归纳出解决问题的一般方法）

问题1 ：满足方程x＋y=22且符合问题实际意义的x,y的值有哪些? 问题2：二元一次方程的解

结合问题1，类比一元一次方程解的意义归纳出二元一次方程的解的意义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.同时指出：

(1)一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解（本题中需要考虑x,y的实际意义），其中一个未知数（x或y）每取一个值，另一个未知数（x或y）就有惟一的值与它相对应．

(2)二元一次方程的每一个解是一对数值

（教学说明：用填表的方式学生容易找到x,y的值，然后结合表格数据得出二元一次方程解的意义，并进一步体会二元一次方程解的不唯一性）

3.二元一次方程组

方程X+Y=8和5X+3Y=34中,X的含义相同吗?Y呢?,x、y的含义分别相同.因而x,y必须同时满足方程X+Y=8和5X+3Y=34.把它们联立起来,得:

像这样，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.说明：方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起 练习已知x、y都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组? ①②

③④ 解析：①④是二元一次方程组，②中第一个方程是二元二次方程，③中的两个方程共含有3个未知数，所以②③不是二元一次方程组

4.二元一次方程组的解

问题1: 请找出同时满足方程X+Y=8和5X+3Y=34的x,y的值.指导学生找出x,y的值，并进一步说明这一组数值就是方程组的解 问题2：二元一次方程组的解

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解

三、巩固训练 熟练技能

（设计说明：通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对相关观念的理解，形成初步技能。）

（1）教材99页练习

（2）1.已知方程2Xm+2+3Y1-2n=17是一个二元一次方程,则 m=___,n=___.2.求二元一次方程2X+Y=10的所有正整数解.四、反思总结

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

问题1：本节课你学习了什么? 问题2：本节课你有哪些收获? 问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?（教学说明：通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习历程，梳理主要知识、方法，构建知识体系）

五、课堂小结

1.本课主要内容：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解

2.主要学习方法：类比法 类比一元一次方程的知识学习二元一次方程的有关概念，在与二元一次方程解的比较中理解二元一次方程组的解的意义.3.学习本课需要注意的几个问题

（1）二元一次方程必须同时符合三个条件 :①这个方程中有且只有两个未知数;②含求知数项的次数是1；

③对未知数来说，构成方程的代数式是整式。

（2）与一元一次方程相比，二元一次方程的解是成对出现的且有无数个解.六、布置作业

1．二元一次方程5a－11b=21（）

A．有且只有一解

B．有无数解

C．无解

D．有且只有两解

2．若│x－2│+（y+1）2=0，则y-x的值是（）

A．－1

B．－2

C．－3

D．0

3．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

①xy+2x－y=7；

②4x+1=x－y；

③ x+y=5； ④x=y；

⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y

⑦x+y+z=1

⑧y（y－1）=2y2－y2+x

A．1

B．2

C．3

D．4.在二元一次方程－ x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 5.已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．

6.当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．

7.已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？ 8.如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？

9．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（）

xy246

A．2yx2xy246B.2xy2xy216C.y2x2xy246 D.2yx24x3yk10.方程组的解与x与y的值相等，则k等于（）

2x3y5