第一篇：北京华罗庚学校各年级奥数补习教案1-数数与计数
数数与计数
（四）本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了。
这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。例1 用分别写有数字1和2的两张纸片，能够排出多少个不同的二位数？
解：用代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：
例2 用分别写有数字0，1，2的三张纸片
能排出多少个不同的二位数？
解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出4个二位数，它们是：
1作十位数字，0或2作个位数字：
2作十位数字，0或1作个位数字：
例3 用分别写有数字1，2，3的三张纸片能排出多少不同的三位数？
解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共有多少个。
共6个不同的三位数。
例4 小明左边抽屉里放有三张数字卡片
右边抽屉里也放有三张卡片。如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。然后再拿、再组数、再记、再放回„„这样一直做下去，问他一共可能组成多少个不同的二位数？ 解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9个不同的二位数。
例5 有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共握多少次手？假设这群人是：
①两个人，②三个人，③四个人
解：画图。用点“·”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。
①两个人：
两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。
②三个人：
三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。
③四个人：
四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。
例6 铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种？ 解：
如图所示，用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。
由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。
数一数，票价种数是：4+3+2+1=10种。
例7 小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a，b，c三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走法？
解：共有6种不同的走法，见下图。
第二篇：北京华罗庚学校二年级奥数补习教案8-数数与计数2
数数与计数
从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．
例1 数一数，下面图形中有多少个点？
解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．
点的总数是：
5+5+5+5=5×4．
方法2：从左至右一列一列地数，见下图．
点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．
因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：
5×4=4×5
从这个等式中，我们不难发现这样的事实：
两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．
这就是乘法交换律．
正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：
两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．
方法3：分成两块数，见右图．
前一块4行，每行3个点，共3×4个点．
后一块4行，每行2个点，共2×4个点．
两块的总点数=3×4+2×4．
因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：
3×4+2×4=5×4．
仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：
3+2=5
所以上面的等式可以写成：
3×4+2×4=（3+2）×4
也可以把这个等式调过头来写成：
（3+2）×4=3×4+2×4．
这就是乘法对加法的分配律．
如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：
（a+b）×c=a×c+b×c
分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．
进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：
计算（3-2）×4和3×4-2×4．
解：（3-2）×4=1×4=3×4-2×4=12-8=4．
两式的计算结果都是4，从而可知：
（3-2）×4=3×4-2×4
这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．
如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．
正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．
例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？
解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．
第一层 4×2个
第二层 4×2个
第三层 4×2个
三层小长方体的总个数（4×2）×3个．
方法2：从左至右一排一排地数，见下图．
第一排 2×3个
第二排 2×3个
第三排 2×3个
第四排 2×3个
四排小长方体的总个数为（2×3）×4．
若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．
因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．
这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．
或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．
如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．
巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．
从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．
例3 数一数，下图中有多少个点？
解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．
总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：
三角形点数=长方形点数÷因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而长方形点数=10×9=（1+9）×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2=45．
进一步把两种方法联系起来看：
方法1是老老实实地直接数数．
方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2．
这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．
再进一步，若脱离开图形（点群）的背景，纯粹从数的方面找规律，不难发现下述事实：
这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言来表述：
从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．或是写成下面的文字式：
和=（首项+末项）×项数÷2
这个文字式通常又叫做等差数列求和公式．
例4 数一数，下图中有多少个点？
解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：
总点数=2+3+4+5+6=20．
方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图一起拼成一个长方形点群如下图所示：
由图可见，有下列等式成立：
梯形点数=长方形点数÷2．
因为梯形点数=2+3+4+5+6 而长方形点数=8×5=（2+6）×代入上面的文字式，可得：
2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2
与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点数的较为简单的公式．
再进一步，若脱离开图形（点群）的背景纯粹从数的方面找找规律，不难发现下述事实：
这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它的首项是2，末项是6，公差是1，项数是5．这样这个等式的含义就可以用下面的语言来表述：
等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．
写成下面较简化的文字式：
和=（首项+末项）×项数÷2
这就是等差数列的求和公式．
例5 数一数，下图中有多少个小三角形？
解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．
小三角形总数=1+3+5+7=16个．
方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示．
显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所包含的小三角形个数的两倍，即下式成立．
大三角形中所含=平行四边形所含÷2
平行四边形所含=8×4=（1+7）×4（个）
大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式：
1+3+5+7＝（1+7）×4÷2
这样，我们就得到了一个公式：
小三角形个数=（第一层的数+最末层的数）×层数÷2
脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难发现下述事实：
等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末项是7，公差是2，项数是4．这样这个等式的含义也就可以用下面的语言来表述：
等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半．
写成较简单的文字式：
和=（首项+末项）×项数÷2． 这就是等差数列的求和公式
数数与计数习题
下列各题至少用两种方法数数与计数．
1．数一数，下图中有多少个点？
2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？
3．数一数，下图中有多少个小正方形？
4．数一数，下图中共有多少个小三角形？
数数与计数习题解答
1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得5×4=20．
方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：
（1+2+3+4）×2=20．
发现一个等式：
1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．
2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．
方法2：用拼补法，如图所示：
11×10÷2=55．
发现一个等式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．
3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．
方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．
（1+2+3+4）×2=20．
发现一个等式：
1+2+3+4=（1+4）×4÷2．
4：解：方法1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200．
方法2：分成两个三角形来数：
（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2
=200．
发现一个等式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =（1+19）×10 ÷2
第三篇：北京华罗庚学校三年级奥数补习教案1 和倍问题
第七讲 和倍问题
和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。例1 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
分析 设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：
解：乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
或 160-40=120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
这道应用题解答完了，怎样验算呢？
可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。
验算：120＋40=160（本）
120÷40=3（倍）。
例2 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？
分析 解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。
解：①甲、乙两班共有图书的本数是：
30＋120=150（本）
②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：
2＋1＝3（倍）
③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）
综合算式：
（30＋120）÷（2+1）=50（本）
50-30=20（本）
答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）
（120-20）+（30+20）＝150（本）。
例3 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
分析 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。
解：①女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）
②男生人数：200×3-40=560（人）
或 760-200=560（人）
答：男生有560人，女生有200人。
验算：560＋200=760（人）
（560+40）÷200=3（倍）。
例4 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
分析 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。
解：①梨树的棵数：
（552＋20-12）÷（1＋1＋2）
=560÷4=140（棵）
②桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）
③苹果树的棵数： 140-20=120（棵）
答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？
分析 上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。
解：①丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）
=549÷9
=61
②甲数是：61×2-2=120
③乙数是：61×2＋2=124
④丁数是：61×4=244
验算：120+124＋61+244=549
120＋2=122 124-2=122
61×2＝122 244÷2＝122 答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.和倍问题习题
1.小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人各有图书多少本？
2.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
3.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。
4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？
5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？
6.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？
1.①小明的本数：120÷（2＋1）=40（本）.②小强的本数：40×2=80（本）。
2.①杏树的棵数：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃树的棵数：80×3＋20=260（棵）。
3.①长方形的宽：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②长方形的长： 5×2=10（厘米）。
③长方形的面积：10×5=50（平方厘米）。
4.①甲、乙两水池共有水：
2600＋1200=3800（立方米）
②甲水池剩下的水：
3800÷（4+1）=760（立方米）
③甲水池流入乙水池中的水：
2600-760=1840（立方米）
④经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。
5.①甲、乙两桶油总重量：
470+190=660（千克）：
②当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：
660÷（2+1）=220（千克）：
③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。
6.①变化后的绳子总长 95-7＋8=96（米）.②第二条绳长： 96÷（1＋1+1）=32（米）。
③第一条绳长：32＋7=39（米）。
④第三条绳长：32-8=24（米）.习题答案
第四篇：北京华罗庚学校三年级奥数补习教案3 和差问题
和差问题
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
例：“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。
再例：“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。
“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。
例1 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
分析 这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？
（150-8）÷2=71（千克）
②第一筐重多少千克？
71＋8=79（千克）
或 150-71=79（千克）
解法2：①第一筐重多少千克？
（150+8）÷2＝79（千克）
②第二筐重多少千克？
79-8=71（千克）
或150-79=71（千克）
答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。
例2 今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
分析 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。
解：①爸爸的年龄：
[58＋（35-7）]÷2
=[58＋28]÷2
=86÷2
=43（岁）
②小强的年龄：
58-43＝15（岁）
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。例3 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？
分析 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：①语文和数学成绩之和是多少分？
94×2＝188（分）
②数学得多少分？
（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）
③ 语文得多少分？
（188-8）÷2=180÷2=90（分）
或 98-8=90（分）
答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.例4 甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？
分析 这样想：甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是两校人数差。
解：①乙校原有的学生：
（864-32×2-48）÷2＝376（人）
②甲校原有学生：
864-376=488（人）
答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。
小结：从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：
（和+差）÷2=较大数 较大数-差=较小数
或（和-差）÷2=较小数 较小数+差=较大数
也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。例5 在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。
9=5
分析 这样想：从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。
（45-5）÷ 2=20，20+5=25
可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。
例如：5+6+9=20可得到。
1+2+3+4-5-6+7+8-9=5
又如：5+7+8=20可得到。
1+2+3+4-5+6-7-8+9=5
又如：3+4+6+7=20可得到。
1+2-3-4+5-6-7+8+9=5 这道题你还有其他解法吗？试试看！
和差问题习题
1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？
2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？
3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？
4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？
5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？
6.三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？
7.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？
8.四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？
答案
1.桃树的棵树：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨树的棵树：150-85= 65（棵）
答：有桃树85棵，梨树65棵。
2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）
答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。
3.锡的重量：（500-100）÷2= 200（千克）铝的重量：500-200= 300（千克）
答：锡重量是300千克，铝的重量是200千克。
4.今年的产值：（96×2+10）÷2=101（万元）去年的产值：101-10=91（万元）
答：今年的产值是101万元，去年的产值是91万元。
5.乙校原有人数：
[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）
甲校原有人数：1245-600＝645（人）
答：甲校原有学生645人，乙校原有学生600人。
6.三个物体的总重量：31×3=93（千克）
甲物体的重量：（93-1）÷2=46（千克）
丙物体的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）
乙物体的重量： 93-46-15=32（千克）
答：甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克。
7.甲队原有人数：
（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）
乙队原有人数：1287-594= 693（人）
答：甲队原有1287人，乙队原有693人。
8.解（略），答：甲班比丙班人数多，多2名学生.
第五篇：北京华罗庚学校二年级奥数补习教案10-画图显示法
画图显示法
在有些数学题中，数量之间的关系不容易看出来;可是只要画个图就能显示清楚了.同学们要学会这种画图方法.例1 小明比小英小5岁，小方比小明大2岁.那么小英和小方差几岁?
解：先画个图看看：
①表示小明比小英小5岁，②表示小方比小明大2岁，由图可见，小英比小方大3岁.注意：画这个图时，由题意应以小明为基准.例2小初、小美、小英三个人分糖块.小美比小英多3块，小初比小美多2块.已知糖块总数是50块，那么每人各分到多少块?
解：依题意画图，可以先画小英，见下图中①，再画小美，它比小英多3块，见下图中②，接着再画小初，它又比小美多2块，见下图中③，至此，图已画完，下面借助此图进行分析推理.由图可见，小初比小英多3+2=5块，由图还可以看出，50-(3+5)=42(块)就是小英糖数的3倍，所以小英的一份是：
42÷3=14(块);
由此可求出小美的一份是14+3=17(块);
小初的一份是17+2=19(块).例3 小健到商店去买练习本，他的钱若买4本还剩2分;若买5本，就差1角.问小健有多少钱?
解：依题意画出下图：
由图易见一本的价钱是： 2+10=12(分)，所以小健有的钱是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 妈妈的年龄是小铃的3倍，两个人年龄加起来是40岁.问小铃和妈妈各多少岁? 解：依题画下图：
由上图可见，40岁是小铃年龄的3+1=4倍，所以小铃的年龄是：40÷4=10(岁);而妈妈的年龄则是：10×3=30(岁).例5 父亲今年40岁，小哲10岁.问几年以后父亲年龄是小哲年龄的2倍? 解：按题意画下图：
先画阴影部分，小哲(10岁)占1格，父亲(40岁)占4格，年龄差(40-10=30(岁))是3格，再画图表示二人年龄的增长，注意应从上往下画.不难得出当二人年龄各增加2格时，即20年后(父亲是6格，小哲是3格)父亲年龄是小哲年龄的2倍.画图显示法习题
1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2角5分，李明的钱少3角1分.如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书.问一本《趣味数学》多少钱?王强和李明各有多少钱?
2.大、小二数之和为10，之差为2，求大、小二数各多少?
3.小军、小方和小雄共有12本小人书，小军比小方多2本，小方比小雄多2本，问他们三人各几本?
4.今年弟弟8岁，哥哥14岁.问当两人的年龄和是30岁时，两人各几岁?
5.两个桶里共盛水30斤.如果把第一个桶里的水倒3斤给第二个桶里，两个桶里的水就一样多了.问每个桶里各有多少斤水?
6.玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的2倍时，称得重为5千克;把水加到原来的4倍时，再称一称重为9千克，问原来水有多少千克? 7.一筐鲜鱼，连筐共重56千克.先卖出鲜鱼的一半，再卖出剩下的一半，这时连筐还重17千克.原来这筐鲜鱼重多少千克? 8.小秋用一根绳子测量一口枯井的深.他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有15米;小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有1米.请问，这口枯井有多少米深?
画图显示法习题答案
1.解：画个图用实线段表示二人有的钱，虚线表示缺的钱.依题意，“两人钱合在一起，刚好买这本书”.就是说，如图所示，实线段(表示李明的钱)按图线可以向上移到短的虚线处(表示王强缺的钱)接起来刚好等书价.也就是说一本书的书价是：
2角5分+3角1分=5角6分.王强有3角1分，李明有2角5分.2.解：画线段图用长线段表示大数，用短线段表示小数，用差线段表示两数之差，见图：
由图显见，若在虚线处再加上一段“差线段”，那就显然得到了两条等长的长线段.这就表示，和加差等于两个大数，即(和+差)÷2=大数.反之，如果去掉那段“差线段”，则得到两条等长的短线段.这就表示，和减差等于两个小数，即(和-差)÷2=小数.注意，此题就叫“和差问题”，以上两式就叫和差问题公式.把题给的具体数值代入这两个公式，可得：
大数=(10+2)÷2=6，小数=(10-2)÷2=4.3.解：画线段图如下：
与上题类比，采用添加差线段的方法可得：
(12+2×3)÷3=6(本)(小军);
6-2=4(本)(小方);
4-2=2(本)(小雄);
同样也可采用去掉差线段的方法得：
(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);
2+2=4(本)(小方);
4+2=6(本)(小军).4.解：此题叫年龄问题，它的特点是年龄差保持不变.此题可归纳为和差问题：哥弟年龄之差为14-8=6(岁)，和为30岁，求哥弟各几岁?
(30+6)÷2=18(岁)(哥)
(30-6)÷2=12(岁)(弟).5.解：此题的实质也是和差问题.和为30斤，差：3×2=6(斤)，由和差问题公式得：
(30+6)÷2=18斤(大桶);
(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：画线段图如下：
由图可见，线段③-线段②=2倍小线段，即一条小线段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原来瓶中水重是2千克.7.解：画线段图如下：
由图可以看出总重减去最后剩下的(包括筐重和鱼)等于第一次和第二次卖出的鲜鱼总数.又知第一次卖出的是第二次卖出的2倍，即两次卖出的鲜鱼总数是第二次卖出的3倍，即得第二次卖出鱼的总量为(56-17)÷3=13千克.原来鲜鱼总数为13×4=52千克.8.解：画示意图如下：
小秋第二次把绳子对折量，井外留1米长的双股绳相当实际绳长2米，比第一次单股绳测时，井外少了15-2=13(米)，因为这段绳放到井里去了，所以得出井深为13米.
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