北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 几何中的计数问题(二)[样例5]

第一篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 几何中的计数问题(二)

几何中的计数问题

我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.一、数长方形

例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？

分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：

4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：

（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：

（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：

5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：

3+2+1=6.所以共有长方形：

（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.二、数正方形

例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）

分析 图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：

2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：

1×1=1（个）.所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；

边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；

边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：

4×4=16（个）；

边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；

边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；

边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；

所以，正方形的总数为：

1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：

5×5=25（个）；

边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；

边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；

边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；

边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所有正方形个数为：

1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例4 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：

6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：

5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有：

4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：

3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：

2×1=2（个）.所以，正方形总数为：

6×5+5×4+4×3+3×2+2×1

=30+20+12+6+2=70（个）.小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1

显然例4是结论的特殊情况.例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.分析 这个问题与前面数正方形的个数是不同的，因为正方形的边不是先画好的，而是要我们去确定的，所以如何确定正方形的边长及顶点，这是我们首先要思考的问题.很明显，我们能围成上图Ⅰ那样正向正方形14个，除此之外我们还能围出图Ⅱ那样斜向正方形4个，图Ⅲ那样斜向正方形2个.但我们不可能再围出比它们更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6个，总共可以围出正方形有：14+6=20（个）.我们把上述结果列表分析可知，对于n×n个顶点，可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）×（n-1）个顶点时的所有正方形的总数.三、数三角形

例6 如右图，数一数图中三角形的个数.分析 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：

W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：

W①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：

W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：

W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：

W④上=1（个）.所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：

W①下=1+2+3+4=10

W②上=1+2+3=6

W③上=1+2=3

W④上=1

所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：

W①下=1+2+3=6

W②下=1

W③下=0

W④下=0

则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）

所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：

20+7=27（个）.小结：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.例7 页图数一数图中有多少个三角形.解：参考例6所总结的规律把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类：

Ⅰ.尖朝上的三角形有五种：

（1）W①上=8+7+6+5+4=30

（2）W②上=7+6+5+4=22

（3）W③上=6+5+4=15

（4）W④上=5+4=9

（5）W⑤上=4

∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：

（1）W①下=3+4+5+6+7=25

（2）W②下=2+3+4+5=14

（3）W③下=1+2+3=6

（4）W④下=1

尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（个）.∴所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有

80+46=126（个）.四、数综合图形

前面我们已对较基本、简单的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形即综合图形的数法，我们仍需遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就一定能把图形数清楚了.例7 页图，数一数图中一共有多少个三角形.分析图中有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.首先要找出三角形的不同的种类？每种相同的三角形各有多少个？

解：根据图中三角形的形状和大小分为六类：

Ⅰ.与△ABE相同的三角形共有5个；

Ⅱ.与△ABP相同的三角形共有10个；

Ⅲ.与△ABF相同的三角形共有5个；

Ⅳ.与△AFP相同的三角形共有5个；

Ⅴ.与△ACD相同的三角形共有5个；

Ⅵ.与△AGD相同的三角形共有5个.所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5=35（个）.例8 图，数一数图中一共有多少个三角形？

分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：

第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：

①由一个三角形构成的有8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：

（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）.习题

1.下图中有多少个正方形？

2.下图中有多少个三角形？

3.下图中有多少个长方形？

4.下图（1）、（2）中各有多少个三角形？

5.下图中有多少个三角形？

6.下图中有多少个三角形？

7.下图中有多少个正方形？

8.下图中有多少个长方体？

习题答案

1.共有正方形54个.2.共有三角形128个.3.共有长方形133个.4.（1）共有三角形78个.（2）共有三角形61个.5.共有三角形45个.6.共有三角形36个.7.共有正方形24个.8.共有长方体540个.

第二篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第七讲 几何中的计数问题(一)

第七讲 几何中的计数问题

（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段

我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1 数一数下列图形中各有多少条线段.分析 要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.② 3＋2＋1＝6（条）.③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.二、数角

例2 数出右图中总共有多少个角.分析 在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：

4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.例3 数一数右图中总共有多少个角？

解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形

例4 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

分析 可以采用类似

例1数线段的两种方法来数，如图（2）：

第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：

△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：

△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：

△AEF、△AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：

△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：

△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：

△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）

② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.例5 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？

怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：

（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：

（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：

（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）

②在△ABC中共有三角形是：

（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.例6 如右图中，共有多少个角？

分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠

1、∠

2、∠

3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠

2、∠2与∠

3、∠3与∠

4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠

1、∠2与∠3；∠

2、∠3与∠4；∠

3、∠4与∠1；∠

4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.习题七

1.数一数下图中，各有多少条线段？

2.数一数下图中各有多少角？

3.数一数下图中，各有多少条线段？

4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？

习题答案

1.①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为：

4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：

5+4+3+2+1=15（条）.∴整个图（2）共有线段10+15=25（条）.③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：

4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：

3+2+1=6（条）.在线段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.2.①在∠AOB内有4条角分线，所以共有角：

5+4+3+2+1=15（个）；

②在∠AOB内有9条角分线，所以共有角：

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；

③周角内含有6个基本角，所以共有角：

6×（6-1）+1=31（个）.3.①（3+2+1）×7=42；

②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7

=21×4+10×7=84+70=154.4.①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5

=30+30=60（条）

有三角形：（4+3+2+1）×3=30（个）；

②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）

=15+10+3=28（条）

有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5

=15×2+5=35（个）.

第三篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第六讲 行程问题

第六讲 行程问题

（一）我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的基础上，主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动问题，也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题，下面，我们来具体看几个例子.例1 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？

分析 出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.解：30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小时）

答：3小时后两人相遇.例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：

路程＝速度和×时间.例2 一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？

分析 货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.解：①甲、乙两地之间的距离是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×＝510（千米）.②客车行完全程所需的时间是： 510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小时）.③客车到甲地时，货车离乙地的距离：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.例3 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.解：（10＋15）×1

4＝350（米）

答：乙车的车长为350米.我们也可以把例3称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基本关系仍然成立.例4 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

分析 甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.解：①AB间的距离是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.②两次相遇点的距离为

144—48－64

＝32（千米）.答：两次相遇点的距离为32千米.例5 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析 甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度.解：甲的速度为：

100÷（4－1＋4÷2）

＝10O÷5＝20（千米/小时）.乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）.答：甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时.例6 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

分析 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和.列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250—210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×25—250＝250（米），从而可求出错车时间.解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：

72000÷3600＝20（米/秒），某列车的速度为：

（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列车的车长为：

20×25-250＝500-250＝250（米），两列车的错车时间为：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：错车时间为10秒.例7 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.分析 甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千米/小时）

卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：

（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）.解：卡车的速度：

（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），丙车的速度：

（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），答：丙车的速度为每小时33千米.注：在本讲中出现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位，如5米/秒表示为每秒钟走5米.行程问题

（一）习题

1.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？

2.东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.4.甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时.他们二人在乙出后的4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？

6.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？

习题答案

1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小时）.2.解：①甲、乙的速度和45÷5＝9（千米/小时）.②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千米/小时）.③乙的速度：9—5＝4（千米/小时）.3.解：①A、B两地间的距离：

4×3—3＝9（千米）.②两次相遇点的距离：9－4－3＝2（千米）.4.解：①乙的速度为：

［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千米/小时）.②甲的速度为：10＋2＝12（千米/小时）.提示：甲比乙每小时快2千米，则（4＋1）小时快2×（4＋1）＝10（千米），因此，相当于乙走100—10＝90千米的路需（4×2＋1）＝9（小时）.5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.提示：在这个过程中，对方的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.6.解：①第三次相遇时两车的路程和为：

90＋90×2＋90×2＝450（千米）.②第三次相遇时，两车所用的时间：

450÷（40＋50）＝5（小时）.③距矿山的距离为：40×5—2×90＝20（千米）.

第四篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第三讲 定义新运算

第三讲 定义新运算

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3；

②这个运算“△”有交换律吗？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

④这个运算“△”有结合律吗？

⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5

2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步

39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次

17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

②求12※（3※4），（12※3）※4；

③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次

21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

b※a＝b×a－（b＋a）

＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）

所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

3※（5※x）＝3※（4x－5）

＝3（4x－5）－（3＋4x－5）

＝12x－15－（4x－2）

＝ 8x－ 13

那么 8x－13＝3

解出x＝2.③这个运算有交换律和结合律吗？

到

例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n

=5.又因为m、n均为自然数，所以解出： 的观察，找 规律：

①当m=1，n=2时：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k

所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3

=4*3

=1×4+2×3

=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三

计算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：

9.规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+„+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？

习题三解答

所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于

9.解：按照规定的运算：

x△10=x+（x+1）+（x+2）+„+（x+10-1）

=10x+（1+2+3+„+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.

第五篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 三角形的等积变形

S2=III+IV , S3=S△BDG.因为III＝IV 所以F为CD中点，有：S△BCF－S△BDF，又因为III＝IV，所以S△BGD＝S△BCG.即S3+S1，由已知I为II的2倍，所以BE＝2EC，所以