北京华罗庚学校二年级奥数补习教案10-画图显示法

第一篇：北京华罗庚学校二年级奥数补习教案10-画图显示法

画图显示法

在有些数学题中，数量之间的关系不容易看出来;可是只要画个图就能显示清楚了.同学们要学会这种画图方法.例1 小明比小英小5岁，小方比小明大2岁.那么小英和小方差几岁?

解：先画个图看看：

①表示小明比小英小5岁，②表示小方比小明大2岁，由图可见，小英比小方大3岁.注意：画这个图时，由题意应以小明为基准.例2小初、小美、小英三个人分糖块.小美比小英多3块，小初比小美多2块.已知糖块总数是50块，那么每人各分到多少块?

解：依题意画图，可以先画小英，见下图中①，再画小美，它比小英多3块，见下图中②，接着再画小初，它又比小美多2块，见下图中③，至此，图已画完，下面借助此图进行分析推理.由图可见，小初比小英多3+2=5块，由图还可以看出，50-(3+5)=42(块)就是小英糖数的3倍，所以小英的一份是：

42÷3=14(块);

由此可求出小美的一份是14+3=17(块);

小初的一份是17+2=19(块).例3 小健到商店去买练习本，他的钱若买4本还剩2分;若买5本，就差1角.问小健有多少钱?

解：依题意画出下图：

由图易见一本的价钱是： 2+10=12(分)，所以小健有的钱是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 妈妈的年龄是小铃的3倍，两个人年龄加起来是40岁.问小铃和妈妈各多少岁? 解：依题画下图：

由上图可见，40岁是小铃年龄的3+1=4倍，所以小铃的年龄是：40÷4=10(岁);而妈妈的年龄则是：10×3=30(岁).例5 父亲今年40岁，小哲10岁.问几年以后父亲年龄是小哲年龄的2倍? 解：按题意画下图：

先画阴影部分，小哲(10岁)占1格，父亲(40岁)占4格，年龄差(40-10=30(岁))是3格，再画图表示二人年龄的增长，注意应从上往下画.不难得出当二人年龄各增加2格时，即20年后(父亲是6格，小哲是3格)父亲年龄是小哲年龄的2倍.画图显示法习题

1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2角5分，李明的钱少3角1分.如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书.问一本《趣味数学》多少钱?王强和李明各有多少钱?

2.大、小二数之和为10，之差为2，求大、小二数各多少?

3.小军、小方和小雄共有12本小人书，小军比小方多2本，小方比小雄多2本，问他们三人各几本?

4.今年弟弟8岁，哥哥14岁.问当两人的年龄和是30岁时，两人各几岁?

5.两个桶里共盛水30斤.如果把第一个桶里的水倒3斤给第二个桶里，两个桶里的水就一样多了.问每个桶里各有多少斤水?

6.玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的2倍时，称得重为5千克;把水加到原来的4倍时，再称一称重为9千克，问原来水有多少千克? 7.一筐鲜鱼，连筐共重56千克.先卖出鲜鱼的一半，再卖出剩下的一半，这时连筐还重17千克.原来这筐鲜鱼重多少千克? 8.小秋用一根绳子测量一口枯井的深.他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有15米;小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有1米.请问，这口枯井有多少米深?

画图显示法习题答案

1.解：画个图用实线段表示二人有的钱，虚线表示缺的钱.依题意，“两人钱合在一起，刚好买这本书”.就是说，如图所示，实线段(表示李明的钱)按图线可以向上移到短的虚线处(表示王强缺的钱)接起来刚好等书价.也就是说一本书的书价是：

2角5分+3角1分=5角6分.王强有3角1分，李明有2角5分.2.解：画线段图用长线段表示大数，用短线段表示小数，用差线段表示两数之差，见图：

由图显见，若在虚线处再加上一段“差线段”，那就显然得到了两条等长的长线段.这就表示，和加差等于两个大数，即(和+差)÷2=大数.反之，如果去掉那段“差线段”，则得到两条等长的短线段.这就表示，和减差等于两个小数，即(和-差)÷2=小数.注意，此题就叫“和差问题”，以上两式就叫和差问题公式.把题给的具体数值代入这两个公式，可得：

大数=(10+2)÷2=6，小数=(10-2)÷2=4.3.解：画线段图如下：

与上题类比，采用添加差线段的方法可得：

(12+2×3)÷3=6(本)(小军);

6-2=4(本)(小方);

4-2=2(本)(小雄);

同样也可采用去掉差线段的方法得：

(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);

2+2=4(本)(小方);

4+2=6(本)(小军).4.解：此题叫年龄问题，它的特点是年龄差保持不变.此题可归纳为和差问题：哥弟年龄之差为14-8=6(岁)，和为30岁，求哥弟各几岁?

(30+6)÷2=18(岁)(哥)

(30-6)÷2=12(岁)(弟).5.解：此题的实质也是和差问题.和为30斤，差：3×2=6(斤)，由和差问题公式得：

(30+6)÷2=18斤(大桶);

(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：画线段图如下：

由图可见，线段③-线段②=2倍小线段，即一条小线段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原来瓶中水重是2千克.7.解：画线段图如下：

由图可以看出总重减去最后剩下的(包括筐重和鱼)等于第一次和第二次卖出的鲜鱼总数.又知第一次卖出的是第二次卖出的2倍，即两次卖出的鲜鱼总数是第二次卖出的3倍，即得第二次卖出鱼的总量为(56-17)÷3=13千克.原来鲜鱼总数为13×4=52千克.8.解：画示意图如下：

小秋第二次把绳子对折量，井外留1米长的双股绳相当实际绳长2米，比第一次单股绳测时，井外少了15-2=13(米)，因为这段绳放到井里去了，所以得出井深为13米.

第二篇：北京华罗庚学校二年级奥数补习教案7-仔细审题讲解

仔细审题

解数学题很关键的一步是审题.如果把题目看错了，或是把题意理解错了，那样解题肯定是得不出正确的答案来的.什么叫审题？扼要地讲，审题就是要弄清楚：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？

有一种类型的数学题叫“机智题”.在这一讲要通过解这种题体会如何审题.例1 ①树上有5只小鸟，飞起了1只，还剩几只？

②树上有5只小鸟，“叭”地一声，猎人用枪打下来1只，树上还剩几只？

解：①5-1=4（只），树上还剩4只小鸟.②对这一问，如果你还像上面那样算就错了.正确地算法应该是：5-1-4=0（只）

为什么呢？听到“叭”地一声响，其他4只会被吓飞的，这叫“隐含的条件”，在题目中虽没有明确地说出来，解题时却要考虑到.例2 要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？

解：能.最后一个苹果留在篮子里不拿出来，把它们一同送给一个孩子.这是因为“篮子里留下一个苹果和每个孩子分得一个苹果”这两个条件并不矛盾（见图12—3）.例3 两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一只野兔.拿回去后数一数一共有兔3只.为什么？

解：“两个父亲和两个儿子”实际上只是3个人：爷爷、爸爸和孩子.“爸爸”这个人既是父亲又是儿子.再数有几个爸爸几个儿子时，把他算了两次.这是数数与计数时必须注意的（见图12—4）.例4 一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人.说谎人句句谎话，说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探险，碰到了岛上的三个人A、B和C.互相交谈中，有这样一段对话：

A说：B和C两人都说谎；

B说：我没有说谎；

C说：B确实在说谎.小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？

解：这是并不难的一道逻辑推理问题.怎样解答这个问题呢？有的人一定会列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情况都判断出来，认为这样就可以得到答案了.人 说谎 说真话

A _____ _____

B _____ _____

C _____ _____

但是，如果你也真的这样做的话，你是无论如果得不出答案的，因为从这道题目所给出的条件中根本无法判断出某一个人是说谎还是说真话.你这样解题，说明你把解题的目标（未知数）改变了.请你再看一下，题目问的是什么？题目并没有问“谁说谎，谁说真话”？而是在问“几个人说谎，几个人说真话？”正确的答案是不难得到的：因为B和C两人说的话正好相反，所以一定有一个人说谎，另一个人说真话；由此又可知道，他们两人不可能都说谎，所以A必定说谎.于是可知3个人有2个人说谎，有一个人说真话.例5 如图12—5，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再加三根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形.解：请你先不要继续往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍组成四个同样大小的等边三角形？

通常，很多人在解这题时，往往自己给自己多加了一个限制条件：“在平面上组成等边三角形”.但是，仔细看看，原题并没有限制你在平面上解题.由于给自己多加了一个条件，他们的思想就会被限制在平面上解题，那就无论如何也解不出来.这也是把题意理解错了的一种情况.但是，如图12—6所示，只要把思维从平面扩大到立体空间，你就能轻而易举找到问题的答案.例6 一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起来，你能做到吗？（见图12—7）.解：先不要往下看，你先画画试试.你可能会画出类似于下面的各种各样的折线来，但你很快会发现，它们都不是符合题目要求的答案（见图12—8）.总结一下画过的折线的特点，显然这些线段都没有超出这9个点所决定的正方形.再仔细看看已知条件，问题里并没有这一条限制，画线段的时候没有不让你超出这个正方形.明白了这点，就不难得到正确的答案了（见图12—9）.回想一下开始的想法也是属于把题意理解错了的情况，但是这种错误是很不容易被自己发现的.只有在解题的过程中，通过对自己的失败的解法加以总结，再与题目中所给出的已知条件加以对照，才有可能发现自己“不自觉”的错误想法.仔细审题习题

1.①一个学生花2角钱买了2个练习本，花5角钱能买几个练习本？

②在上学的路上2个学生拾到了2角钱，问5个学生捡到多少钱？

2.桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了，而这堆糖只有3块.这是为什么？

3.天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后，两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线.请你猜猜看，天上共有几只雁？

4.小强带了5元钱上街，他到书店买了3本书，应付一元五角钱，可是售货员找给他五角钱，你说售货员一定错了吗？

5.一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？

6.大海中有一个小岛，小岛上住着的100名妇女中有一半人只戴一只耳环.余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一半人不戴耳环.问这100名妇女共戴有多少只耳环？

7.有一人一天读20页书，第三天因病没读，其他日子都按计划读了书.问第十二天他读了多少页书？

8.一家文具店卖某种文具，文具的价钱是：五个是2元，五十个是3元，而五百个、五千个、五万个都是3元.问五十万个是几元？

9.王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子，两位老师共有多少个孩子？

10.一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？ 11.图中12—10正方体形的纸盒六个面的正中都有一个洞口，旁边放着三根圆木棍，洞口的直径能容棍子通过去.请你将三根木棍从三个洞口穿到另外三个洞口，而且每根棍子穿好后就不再拔出来，你能做得到吗？

12.一家冷饮店规定，喝完汽水后，用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水.老师带着32个学生进店后，他只买了24瓶汽水.问每个学生能喝到一瓶汽水吗？

13.两条直线垂直相交，可以组成4个直角，如图12—11所示，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角呢？

14.图12—12有12个点.请你用一笔画出由五条线段连接成的折线，把12个点串起来.15.图12—13有16个点，请你用一笔画出由六条线段连接成的折线，把16个点串起来.仔细审题习题答案

1.解：①花5角钱买5个练习本.②无法回答.因为在路上捡钱是偶然的，人数多不一定能多捡到钱.这和多花钱就能多买练习本不是同样的问题.2.解：因为只有三个人：外祖母、母亲和女孩（人物关系见图12—14）.3.解：天上只有3只大雁（见图12—15）.4.解：不能说售货员找错了钱.很可能是小强买东西时给售货员的钱是2元一张的，所以售货员给小强找回五角钱，售货员找的钱是对的.5.解：60盏灯.60-0=0.关掉灯后灯还在大楼里.6.解： 100只耳环.因为50+50=100（只）.7.解：20页.“第三天因病没读书”并不影响第十二天仍按计划读书.8.解：“五十万个”是4元（一个字一元钱）.对这道题进行审题时，很可能被以往的经验和知识影响，把“五个”、“五十个”等作为数量词，为了得出价钱，总想

猜测后面的名词是什么，从而得出问的文具的价钱.实际上这家商店卖的是刻有“五”、“十”、“百”、“千”、“万”等字的字模.心理学上，把这种情况叫做“负迁移”规律干扰人们准确地审题.［注］：一个人掌握了某些知识后，当他用这些知识以某种智力活动方式去解决某一问题时，这个应用过程就是心理学上所说的“迁移”.迁移就是已经学得的东西在新情景中的应用.在审题中，也就是已有知识、经验对解题的影响.如果影响是积极的、起促进作用的，就叫“正迁移”；如果影响是消极的，起干扰作用的，就叫“负迁移”.9.解：可能是1个，也可能是2个.当王老师和李老师是一对夫妻时，只有一个孩子当王老师和李老师不是一家人时，共有2个孩子.10.解：可能是5个角，也可能是4个角，也可能是3个角.如图12—16所示：

11.解：能.见图12—17.如果只想把棍子穿两个对面的洞口，穿进一根棍子后，另两根棍子就会因为被挡住而无法再穿进去，仔细看题目，并没有要求小棍穿“对面”洞口的条件.只有把小棍穿过相邻的两个洞口，方可能解决问题.12.解：能够使每个学生都喝到一瓶汽水.因为用4个空瓶可换1瓶汽水，写成算式就是：

1瓶汽水=4个空瓶

因为 汽水=1瓶中的汽水+1个空瓶

得 1瓶中的汽水=3个空瓶

所以 24+24÷3=24+8=32汽水

上面的1汽水=3空瓶是较隐蔽的条件，审题时，只要细心寻找，并加以适当的演算是可以发现的.13.解：12个直角.把思维从平面扩大到空间，就能容易得到答案（见图12—18）.14.解：列出两种画法（如图12—19和图12—20所示）.15.解：见图12—21.

第三篇：北京华罗庚学校二年级奥数补习教案6-考虑所有可能情况

考虑所有可能情况

（一）有些数学题，要求把符合条件的算式或得数全部找出来；若漏掉一个，答案就不对.做这种题，特别强调有秩序的思考.例1 从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1角钱来，有多少种不同的拿法？

解：找出所有不同的搭配情况，共10种见下表.例2 5个茶杯的价钱分别是9角、8角、6角、4角和3角，3个茶盘的价钱分别是7角、5角和2角；如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？

解：采取“笨”办法进行搭配.先把各种不同价钱的茶杯都配上一个7角钱的茶盘，得出不同价钱的茶具如下：

将这些茶杯与5角钱的茶盘搭配，又可得出一些不同价钱的茶具，但要注意去掉那些与前面相同的价钱：

再将这些茶杯与2角钱的茶盘搭配，同时去掉那些与前面相同的价钱：

最后数一数，共有10种不同价钱的茶具.这些价钱是1元6角，1元5角，1元4角，1元3角，1元1角，1元，9角，8角，6角，5角.例3 将无法区分的7个苹果放在三个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放.问共有多少种不同的放法？

解：用数字代表盘子里的苹果数，用由3个数字组成的数组表示不同的放置方式.如（7，0，0）表示：一个盘子里放7个苹果，而另外两个盘子里都空着不放.各种可能的放置情况如下：

（7，0，0）

（6，1，0）

（5，2，0），（5，1，1）

（4，3，0），（4，2，1）

（3，3，1），（3，2，2）

数一数，共有8种不同的放法.例4 把一个整数表示成若干个小于它的自然数之和，通常叫做整数的分拆.问整数4有多少种不同的分拆方式？

解：分拆时，使自然数按由大到小的顺序出现.可以看出，共有4种不同的分拆方式：

4=3+1

4=2+2

4=2+1+1

4=1+1+1+1.例5 邮局门前共有5级台阶.若规定一步只能登上一级或两级，问上这个台阶共有多少种不同的上法？

解：如图10—1，同时用数组表示不同的上法.（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.见图10—2，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）

③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）

表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有四种上法.见图10—3，①（2，2，1），②（1，2，2），③（2，1，2）.表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法共有3种.因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法.考虑所有可能情况

（一）习题

1.现有5分币一枚，2分币三枚，1分币六枚，若从中取出6分钱，有多少种不同的取法？

2.从1个5分，4个2分，8个1分硬币中拿出8分钱，你能想出多少种不同的拿法？

3.把3个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少种不同的放法？

4.把4个苹果放到同样的2个抽屉里，有多少种不同的放法？

5.整数6有多少种不同的分拆方式？

6.用分别写着1，2，3的三张纸片，可以组成多少个不同的三位数？

7.一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数？

8.一个外国小朋友手中有4张3分邮票和3张5分邮票.请你帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？ 考虑所有可能情况

（一）习题答案

1.解：有5种不同的取法.（见下表）

2.解：有7种不同的拿法.（见下表）

3.解：有2种不同的放法.第1种放法：3个苹果全放在一个抽屉里，另一个抽屉空着不放；第2种放法：2个苹果放在一个抽屉里，1个苹果放在另一个抽屉里；注意：在每种放法中，必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2.4.解：有3种不同的放法.第1种放法：甲抽屉中放4个，乙抽屉中不放；

第2种放法：甲抽屉中放3个，乙抽屉中放1个；

第3种放法：甲、乙抽屉中各放2个苹果；

注意：这三种放法中，无论哪种放法，都必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2.5.解：6的不同分拆方式共有10种，它们是：

①拆成两个数之和：

6=5+1=4+2=3+3

②拆成三个数之和：

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2

③拆成四个数之和：

6=3+1+1+1=2+2+1+1

④拆成五个数之和：

6=2+1+1+1+1

⑤拆成六个数之和：

6=1+1+1+1+1+1.6.解：可以组成6个不同的三位数.下面是用选择填空法组数；见图10－5.7.解：列举出两枚硬币搭配的所有情况：

硬币 算式和钱数

1分、1分1+1=2（分）

1分、5分 1+5=6（分）

1分、10分 1+10=11（分）（即1角1分）

1分、50分 1+50=51（分）（即5角1分）

5分、5分 5+5=10（分）（即1角）

5分、10分 5+10=15（分）（即1角5分）

5分、50分 5+50=55（分）（即5角5分）

10分、10分 10+10=2O（分）（即2角）

10分、50分10+50=60（分）（即6角）

共有9种不同的钱数.8.解：把所有的情况都列举出来：4张3分邮票可组成4种邮资：

3分，6分，9分，12分.3张5分邮票可组成3种邮资：

5分，10分，15分.两种邮票搭配可组成12种邮资：

3+5=8（分）3+10=13（分）

3+15=18（分）6+5=11（分）

6+10=16（分）6+15=21（分）

9+5=14（分）9+10=19（分）

9+15=24（分）12+5=17（分）

12+10=22（分）12+15=27（分）

共可组成4+3+12=19种不同的邮资.

第四篇：北京华罗庚学校二年级奥数补习教案8-数数与计数2

数数与计数

从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．

例1 数一数，下面图形中有多少个点？

解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．

点的总数是：

5+5+5+5=5×4．

方法2：从左至右一列一列地数，见下图．

点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．

因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：

5×4=4×5

从这个等式中，我们不难发现这样的事实：

两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．

这就是乘法交换律．

正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变．

如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．

方法3：分成两块数，见右图．

前一块4行，每行3个点，共3×4个点．

后一块4行，每行2个点，共2×4个点．

两块的总点数=3×4+2×4．

因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：

3×4+2×4=5×4．

仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：

3+2=5

所以上面的等式可以写成：

3×4+2×4=（3+2）×4

也可以把这个等式调过头来写成：

（3+2）×4=3×4+2×4．

这就是乘法对加法的分配律．

如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：

（a+b）×c=a×c+b×c

分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．

进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：

计算（3-2）×4和3×4-2×4．

解：（3-2）×4=1×4=3×4-2×4=12-8=4．

两式的计算结果都是4，从而可知：

（3-2）×4=3×4-2×4

这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．

如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．

正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．

例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．

第一层 4×2个

第二层 4×2个

第三层 4×2个

三层小长方体的总个数（4×2）×3个．

方法2：从左至右一排一排地数，见下图．

第一排 2×3个

第二排 2×3个

第三排 2×3个

第四排 2×3个

四排小长方体的总个数为（2×3）×4．

若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．

因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．

这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．

或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．

如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．

巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．

从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．

例3 数一数，下图中有多少个点？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．

总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：

三角形点数=长方形点数÷因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而长方形点数=10×9=（1+9）×9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2=45．

进一步把两种方法联系起来看：

方法1是老老实实地直接数数．

方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2．

这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．

再进一步，若脱离开图形（点群）的背景，纯粹从数的方面找规律，不难发现下述事实：

这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言来表述：

从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．或是写成下面的文字式：

和=（首项+末项）×项数÷2

这个文字式通常又叫做等差数列求和公式．

例4 数一数，下图中有多少个点？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：

总点数=2+3+4+5+6=20．

方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图一起拼成一个长方形点群如下图所示：

由图可见，有下列等式成立：

梯形点数=长方形点数÷2．

因为梯形点数=2+3+4+5+6 而长方形点数=8×5=（2+6）×代入上面的文字式，可得：

2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2

与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点数的较为简单的公式．

再进一步，若脱离开图形（点群）的背景纯粹从数的方面找找规律，不难发现下述事实：

这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它的首项是2，末项是6，公差是1，项数是5．这样这个等式的含义就可以用下面的语言来表述：

等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．

写成下面较简化的文字式：

和=（首项+末项）×项数÷2

这就是等差数列的求和公式．

例5 数一数，下图中有多少个小三角形？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．

小三角形总数=1+3+5+7=16个．

方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示．

显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所包含的小三角形个数的两倍，即下式成立．

大三角形中所含=平行四边形所含÷2

平行四边形所含=8×4=（1+7）×4（个）

大三角形中所含=1+3+5+7=16

代入上述文字式：

1+3+5+7＝（1+7）×4÷2

这样，我们就得到了一个公式：

小三角形个数=（第一层的数+最末层的数）×层数÷2

脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难发现下述事实：

等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末项是7，公差是2，项数是4．这样这个等式的含义也就可以用下面的语言来表述：

等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半．

写成较简单的文字式：

和=（首项+末项）×项数÷2． 这就是等差数列的求和公式

数数与计数习题

下列各题至少用两种方法数数与计数．

1．数一数，下图中有多少个点？

2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？

3．数一数，下图中有多少个小正方形？

4．数一数，下图中共有多少个小三角形？

数数与计数习题解答

1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得5×4=20．

方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：

（1+2+3+4）×2=20．

发现一个等式：

1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．

2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．

方法2：用拼补法，如图所示：

11×10÷2=55．

发现一个等式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．

3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．

方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．

（1+2+3+4）×2=20．

发现一个等式：

1+2+3+4=（1+4）×4÷2．

4：解：方法1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200．

方法2：分成两个三角形来数：

（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2

=200．

发现一个等式：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =（1+19）×10 ÷2

第五篇：北京华罗庚学校三年级奥数补习教案3 和差问题

和差问题

和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

例：“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。

再例：“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。

“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

分析 这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）÷2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71＋8=79（千克）

或 150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）÷2＝79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2 今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

分析 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。

解：①爸爸的年龄：

[58＋（35-7）]÷2

=[58＋28]÷2

=86÷2

=43（岁）

②小强的年龄：

58-43＝15（岁）

答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。例3 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？

分析 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：①语文和数学成绩之和是多少分？

94×2＝188（分）

②数学得多少分？

（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）

③ 语文得多少分？

（188-8）÷2=180÷2=90（分）

或 98-8=90（分）

答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.例4 甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

分析 这样想：甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是两校人数差。

解：①乙校原有的学生：

（864-32×2-48）÷2＝376（人）

②甲校原有学生：

864-376=488（人）

答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

小结：从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：

（和+差）÷2=较大数 较大数-差=较小数

或（和-差）÷2=较小数 较小数+差=较大数

也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。例5 在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。

9=5

分析 这样想：从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。

（45-5）÷ 2=20，20+5=25

可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。

例如：5+6+9=20可得到。

1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

又如：5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-4+5-6-7+8+9=5 这道题你还有其他解法吗？试试看！

和差问题习题

1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？

2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？

3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？

4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？

5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？

6.三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？

7.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？

8.四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？

答案

1.桃树的棵树：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨树的棵树：150-85= 65（棵）

答：有桃树85棵，梨树65棵。

2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）

答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

3.锡的重量：（500-100）÷2= 200（千克）铝的重量：500-200= 300（千克）

答：锡重量是300千克，铝的重量是200千克。

4.今年的产值：（96×2+10）÷2=101（万元）去年的产值：101-10=91（万元）

答：今年的产值是101万元，去年的产值是91万元。

5.乙校原有人数：

[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）

甲校原有人数：1245-600＝645（人）

答：甲校原有学生645人，乙校原有学生600人。

6.三个物体的总重量：31×3=93（千克）

甲物体的重量：（93-1）÷2=46（千克）

丙物体的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）

乙物体的重量： 93-46-15=32（千克）

答：甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克。

7.甲队原有人数：

（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）

乙队原有人数：1287-594= 693（人）

答：甲队原有1287人，乙队原有693人。

8.解（略），答：甲班比丙班人数多，多2名学生.