一年级数学教案(教科书第12-13页)

第一篇：一年级数学教案(教科书第12-13页)

一年级数学教案（教科书第12-13页）

教学内容：教科书第12-13页，认识大于号、小于号和等号。

教学目标：1在“拔河”的情境中感受数量之间的大小及相等关系，能用一一对应的方法通过学具操作理解数量之间的关系；

2认识大于号、小于号和等号，并知道它们的含义，会用这三种符号表示数量之间的关系，能正确描述数的大小；

3参与观察、操作等实际活动，初步体验“数感”；

4培养对数学学习的亲切感，乐于参加数学活动，愿意提出数学问题。

教学重点：看图比出多少，并能够按要求画图。

教学难点：能够准确地使用“>”、“<”和“=”。

教学方法：谈话法、讨论法、学生动手操作法

教学用具：投影仪、投影片、小旗、绳子、小棒

教学过程：

一、创设情境，激学导思

小朋友们在幼儿园里玩过许多游戏吧，哪位小朋友玩过拔河的游戏，能说说这种游戏怎样玩吗？今天啊，有一个班的小朋友正在玩拔河游戏，他们想请咱们班的同学一起一起去看看，好吗？（教师板书题）

二、自主探索，探求规律

．学生观察图片，思考：

（１）你观察到了什么？你想说什么？你想问些什么？

鼓励学生交流自己的感受，如果学生在数人数时是两个两个地数的应该鼓励。

（２）为什么比赛还没有开始呢？

引导学生从两边的人数不一样来分析这个问题。

2．学生动手操作，教师指导：

我们可以用小棒来代表拔河的小朋友，怎样摆才能够让别人一下子就看出哪边拔河的人多？看着摆好的图片，说说你发现了什么？

教师把学生分成两组，一组10人，二组9人，让学生观察有什么问题。然后用小棒摆一摆，摆出两组的人数。

（板书：１．数一数

２．一个对一个）

现在两个小组的人数不一样多，不能进行比赛，要怎样才行呢？（学生讨论）

结果：将9人的一组又添上一人。

现在两边人数同样多，可以开始比赛了吧？

小结：两边人数同样多，可以简单地记作：10=10

两边人数不一样多，可以用“>”“<”表示：10>9或者9<10

请小朋友再观察，除了参加比赛的人，还有什么人？

学生仔细观察，发现除了比赛的人，还有啦啦队，并且人数也不一样多。把比较的结果写在本子上。

（板书：6>4

4<6）

三、概括总结，条理知识

这节你都学会了什么知识？最主要的是什么？

（学生试着总结自己的想法）

四、练习巩固，提高能力

１．〇〇〇〇〇

□□□□

□□□

△△△△

（）比（）多

（）和（）同样多

□〇□

□〇□

２．填上“>”、“<”或者“=”

〇3

8〇8

2〇7

4〇6

9〇10

3〇1

３．数一数，比一比

〇〇〇〇〇

□□□□

□□□

△△△△△

□>□

□<□

板书设计：

9<10

读作：9小于10

小于号

0>9

读作：10大于9

大于号

0=10

读作：10等于10

等号

第二篇：一年级上册数学教案第12课时 连加连减

第12课时 连加连减（2）

【教学内容】

教材第66页练习十四。【教学目标】

1.理解连加、连减算式表示的含义，掌握连加、连减的算理，能熟练地计算出10以内的连加、连减。

2.让学生在观察、比较的过程中提出问题、解决问题，培养学生初步的解决问题的能力和意识。

3.让学生在计算的活动中，养成认真读题、计算的习惯。【重点难点】

1.引导学生仔细观察算式中的数字和符号，减少审题中的“误读”现象。2.初步感知“连加算式中交换加数位置，和不变”的道理。

【教学准备】 课件

【情景导入】 1.口算。

2.看图列式并计算。

3.揭示课题：这节课我们来对连加连减的知识进行专项练习。（板书课题：连加、连减练习）【进行新课】 1.整理归纳。（1）复习连加。师：现在我们跟随蓝猫到停车场去看看。发生了什么事？（课件出示）

引导学生看图说图意。

生：有4辆小汽车，开来了3辆大货车，又开来了2辆面包车。一共有几辆车？

师：一共有几辆车怎么算？ 生：4+3+2。

师：4+3+2等于几呢？请同学们先自己探索，再和同桌互相说一说自己是怎样想的。

学生自己说出计算的方法：4辆小汽车加上开来的3辆大货车合起来是7辆车，再加上又开来的2辆面包车，就是现在一共有9辆车。

结合学生汇报，老师板书：

7引导学生说出不同的算法：3+2+4=9，2+3+4=9。

引导学生观察这些算式，发现这些都是连加的，都是从左到右计算的。（2）复习连减。①课件出示情景图。

②提出探究问题：有7只燕子，飞走了1只，又飞走了3只。还剩几只燕子？ ③两个同学一组列式并计算。④展示学生的算法。

⑤小结：从7里面减去先飞走的1只，还有6只燕子，再减去飞走的3只，就是现在剩下的3只燕子。

（3）复习连加连减的运算顺序。

引导学生观察上面连加连减的题归纳运算顺序：按什么顺序计算连加连减的题目呢？按从左到右的顺序进行计算。

师总结：今天我们学了连加连减，先算前两个数，再用前两个数的和或差与第三个数运算，也就是按从左往右的运算顺序运算。

2.练习指导。

（1）练习十四第2题。

①仔细观察第2题左边的图，说说图上画的是什么？用自己的语言叙述画面上的情境，想一想，这幅图该怎样列式？

为什么用加法呢？

②第2题右边的图用自己的话说一说，怎样列式？

（2）练习十四第4题。

①看左边的图，思考：8辆表示什么？（总数）说题意，停车场上原有8辆车，先开走了4辆，又开走了2辆，还剩几辆车？

该怎样列式？8-4-2=2 ②看右边的图，说说图上画的是什么？告诉我们什么条件？要求什么？该怎样列式？

10-3-1=6（3）练习十四第6题。

让学生先独立做，再说说思考过程。思考过程是：横行：9-2-3=4，最右方框里填4；竖行：9-1-3=5。最下方框里填5。

【课堂作业】

1.练习十四的第1、3、5题。2.看图列式。

3.算一算。

4.用1，3，10，6中的3个数分别写出一道加法算式和一道减法算式。

【答案】1.第1题：5 6 3 9 10 6 9 10 6 第3题：8 9 10 8 8 10 第5题：0 2 1 3 2 0 0 0 1 2.10-3-1=6 3+2+3=8 3.8 6 4 2 4.1+3+6=10 10-3-1=6（答案不唯一）【课堂小结】

提问：这节课你有什么收获？

小结：在进行连加、连减计算时，一定要认真审题，看清计算符号，弄清运算顺序。【课后作业】

完成《创优作业100分》本课时练习。

第12课时 连加连减（2）

4+3+2=9 7-1-3=3 3+4+2=9 8-4-2=2 10-3-1=6

1.2.算法多样化拉动不同思维。

我在教学连加问题时，学生就出现了几种不同的列式方法。如：对于“有4辆小汽车，开来了3辆大货车，又开来了2辆面包车，现在一共有几辆车?”的问题，一种是4+3+2＝9，另一种是3+2+4＝9，还有2+3+4＝9，对于学生的这些方法我都给予了肯定。在解决这道题时，我允许学生用不同的算式来解决问题，充分尊重了学生，提倡算法多样化，给学生更多展示自己思维的机会。

2.这节课学生都会计算了，我很高兴，但学生对连加连减问题的算理是否真正理解，是否学生都能有所提高，与前面所学知识能否联系起来学习，能不能把学到的数学知识真正用到生活中呢?这些问题都值得我进一步思考，只有不断反思才能真正提高。

第三篇：一年级第五六单元数学教案

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法 第五单元

教学目的：

1、结合具体情景，体会20以内的进位加法和退位减法的意义，2、能熟练口算20以内的加法和减法 3=积极参与合作学习，探究计算方法

５、体会计算方法的多样性，能获得一些初步的解决数学问题的方法 ６、能克服困难，获得成功体验，建立学好数学的信心 教学时间：15课时 第1课时

教学内容：82——84页例1——例2，85页课堂活动1 教学目的：

1、通过实践操作，探索进位加法的多种计算方法

2、感悟凑十法是一种比较简便的方法 ４、正确计算

教学 重难点：多种计算方法 教学过程：

一、出示情景图

１、2001年7月13日我国在体育方面有一件大事，谁知道？

这些小朋友正在刻苦锻炼，争取在2008年的奥运会上为国家争光，大家能不能提一些数学问题？２、引入课题9加几 ３、准备题

（1）卡片：10=5 10+7 10+8 10+3 10+4（3）83页填空 集体订正

二、新授

１、先出示3个娃娃，数数几个？再出示9个娃娃，数数几个？ 要吧3个娃娃和9个娃娃合起来，怎样列算式？ ２、谁会酸9+3 ３、学生用小棒代替娃娃，自己摆一摆，可以怎样计算？ 自己摆后小组交流，再全班交流 ４、引导看书，观察你和的方法一样？ ５、课堂活动85页1

（二）教学例2 １、处事例2图，学生说图的意思 怎样写算式？9+5 ２、学生自己说 计算的饿方法，在交流

三、课堂活动 １、86页1 ２、86页2，计算后观察，你发现了什麽？

五、小结

今天我们学习了什麽？ 课后记：

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

第2课时

教学内容：85——86页例3——例4，85页课堂活动2、3，87页——88页3、4、5 教学目的：

1、进一步探索9加几的计算方法

３、通过自制9加几的卡片，初步感悟有规律的排列 ４、进一步巩固交换加数的位置，和不便的规律 教学重难点：计算方法 教学过程：

一、谈话引入

小朋友们每天看动画片吗？什麽时候看呢？可要合理的安排时间，商店里的电视机真多，来，我们看看有多少台？

二、出示例3图 １、学生口述图的意思 ２、怎样列算式？ 7+9 ３、想：7+9怎样计算 ？ 小组交流后全班汇报

４、你决的那种方法好？为什么？ ５、教学例4 学生自己独立计算，６、观察这些算式，有什么相同和不同？

三、课堂练习１、86页3 计算后观察每一组算是，你发现了什么？ 得出：交换加数的位置，和不变 ２、87页4 ３、85爷2、3 课后记：

第三课时

教学内容：87——88页练习十5——9 教学目的：

1、进一步巩固9加几的计算方法 ３、熟练计算9加几 ４、联系生活应用 教学过程：

一、基本练习

１、看卡片，读算式，说得数 ２、87页5

二、指导练习１、出示87页6题图

（1）让学生弄清楚每种商品的价格（2）你可以提哪些数学问题

（3）你喜欢那两种玩具，买这两种玩具要多少钱？

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

２、多红旗 88页7 ３、游戏

森林里修了许多新房子，每种动物都有，请你帮小动物找自己的家

方法：出示标有14 13 11 12 17 18的楼房，小动物个那算式卡片找自己的家 ４、出示珠子图 猜，手里有多少颗？ 小组讨论 第4课时

教学内容：89页例1——例3，课堂活动1、2 教学目的：

1、学生在生活中找到8加几的方法 ３、会口算8加几，能较清楚的表达自己的口算方法

４、学生通过独立思考，合作交流探讨8加几的口算方法，感受8加几的不同计算方法 教学重难点：探索8加几的计算方法 教学过程：

一、游戏复习找10 的好朋友

二、情景引入

１、出示89页情景图，激发兴趣 看图，说图的意思 你能提哪些数学问题？ ２、出示例1图

学生说图的意思，并列算式 学生交流8+5的计算方法 看书讨论，你和谁的方法一样？ ３、学习4+8 出示例2图 观察图，列算式4+8 学生自己算，并且说方法（小组讨论）看书验证，你喜欢那种方法？

3、算一算 8+6= 8+8= 学生独立练习，口述方法

三、课堂活动 90页1，看图写算式

四、练习

１、91页1，看图列算式计算 ２、91页2，３、看卡片说得数 课后记

第5课时

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

教学内容：90页课堂活动2，91——93页3——9 教学目的：

1、进一步掌握8加几的计算方法

2、正确计算 教学过程

一、基本练习1、8+（）＝１０

８＋（）＋４＝（）２、摆一摆，填算式，９０页１ 小组合作，先独立摆，再检查 说说自己的方法

二、指导练习１、９１页３

２、８+（）＝１１

（）＋５＝１３ ６＋（）=14（）+8=16 学生独立完成，同桌摆小棒 ３、游戏、小猫钓鱼

出示小猫的头饰 9+2 8+7 3+8 5+10 7+4 9+5 鱼卡片11 15 14 观察，那只猫钓那条鱼 ４、92页6 ５、找朋友

出示8+6 7+8 13 8+3 8+5 6+8 3+8 15等 问：谁与谁是朋友？ ６、93页8 ７、思考题

学生表演后看书，怎样算？

第6课时

教学内容：94页例1、2 教学目的：

1、学生在生活情景中找到口算7加几的方法

2、会口算7加几，能较清楚表达自己的口算方法

3、学生独立思考，合作交流，进一步巩固凑十发这种简便算法 教学重难点：7加几的口算方法 教学过程：

一、复习１、游戏：找朋友 10 的好朋友 ２、你会填吗？

7+（）=10 6+（）+3=（）

二、新授

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

１、出示例1图

引导学生题问题，并且列算式 7+5 5+7 学生思考计算方法，小组交流

2、学习7+4 7+7 你会用刚才的方法计算吗？ 学生算后小组交流

观察：你发现了7+5 7+4 7+7的秘密吗？ 老师小结计算方法

三、巩固练习１、96页2 ２、自制7加几的卡片

３、把7加几的卡片有规律的排列 课后记：

第7课时

教学内容：95页例3、4 教学目标：

1、进一步巩固凑十法，能用凑十法学会6加几 ２、正确口述计算过程 教学过程

一、复习

6+（）=10 6+（）+2=（）

二、新授 １、教学例3 同桌的学生摆花

左边5朵，右边6朵，可以提什么问题？ 要求一共有多少朵，怎样列算是？ 5+6 6+5 怎样计算？学生独立思考后小组 交流 全班交流

2、学生自学例4 6+6 想怎样计算，自己小生说后交流

3、观察6+5 5+6 6+6 问：怎样计算又对又快？

三、练习１、95页1 ２、自制6加几的卡片

３、把6加几的卡片有规律的排列 ４、说7加几，6加几的算式

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

５、96页1 ６、96页3——6 课后记

第8课时

教学内容：11减几

教学目的：

1、初步学会用家减法的关系计算11减几，并会用多种方法计算11减几 培养抽象思维能力

教学过程：

一、9+（）=11 6+（）＝１１ ８+（）＝１１

７+（）=11

二、新授 １、例1 出示11只铅笔，问：要从11只铅笔里拿走5只，还剩几只？ 怎样列算是？11-5 怎样计算11-5？学生用小棒摆一摆，说一说，怎样计算11-5 小组交流后全班汇报 看书：你和谁的方法一样？

计算11-6学生自己小生说方法，填在书上后同桌交流 ２、教学例2 出示例2图

问：有几只鸭子？水里有几只？要求岸上有几只，怎样列算是？11-8 那要求水里有几只？增样列算式？11-3 小组讨论计算方法 全班交流

三、课堂活动

１、把11根小棒分成2堆，分一次说2个减法算式 ２、]101页1 ３、自制11减几的卡片 ４、把卡片有规律的排列 课后记

第9课时

教学内容：100页例3、4 练习十三2——9 教学目的：进一步感悟11减几的多种计算方法，正确计算 教学过程：

一、复习背得数是11的加法

2、（）+5=11（）+8=11（）+（）=11（）+9=11

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

二、新授 １、例3 出示图，你能写2个减法算式吗？ 学生自己写后交流

比较2个算式，你发现了什么？ 可以由9+2=11写2个减法算式 ２、例4 自己计算11-7 11-4 小组交流 全班交流

三、课堂活动 １、101页2 ２、101页3 ３、看图写算式，102页4 ４、游戏，102页5 ５、102页6、7 课后记：

第10 课时

教学内容：104页例1、2，课堂活动1，练习十四1、2 教学目的：

1、学生在生活中找到12减几的算法 2=教清楚的表达自己的口算方法

3、正确计算

教学重难点：计算方法 教学过程：

一、复习１、说得数是2 的加法算式 ２、填空

9+（）=12 8+（）=12（）+5=12（）+6=12

二、新授 １、出示例1 出示图，12人在车上，大站后，有4人下车，车上还有几人？ 怎样列算式？12-4 怎样计算12-4？

学生自己计算后小组交流，全班汇报 看书，你的方法和谁的一样？

根据14+8=12，你还可以计算那一个算式？ 学生填书 ２、例2 学生看算式摆小棒，边摆边说，填书，全班交流

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

三、课堂活动 １、106页1 ２、107页2 ３、自制12减几的卡片

课后记

第11课时

教学内容：104——105页例

3、例4，课堂活动2，练习十四1、3 教学目的：

1、进一步学会看图计算13减几

2、多种方法

教学重难点：13减几的口算方法 教学过程

一、复习

１、说得数是13的加法算式 ２、填空

（）+8=13 7+（）=13（）+9=13 6+（）=13（）+5=13

二、新授 １、例3 看图说图的意思后列算式 13-9 13-4 学生读；里计算后小组讨论 全班 交流 ２、例4 13-7 13-6 学生自己独立完成 全班交流

３、13减几的算式还有哪些？

三、课堂活动 １、106页1 ２、游戏，开锁，106页3 ３、自制卡片，并且有规律的排列 课后记

第12课时

教学内容：107烟叶——108页4——8

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

教学目的：

1、进一步熟练掌握12、13 减几的计算方法

2、熟练计算 教学过程：

一、基训

１、摆12、13 减几的卡片，同桌交流 ２、107页5 ３、夺红旗，108页6

二、练习指导 １、107页4 ２、108页7 ３、游戏，摘苹果，108页8 课后记

第13课时

教学内容：

14、15减几

教学目的：

1、能应用前面学过的方法列算是计算14、15减几

2、进一步感悟多种计算方法

3、发展学生思维

教学重难点：计算方法的多样性 教学过程

一、复习

１、说得数是14、15 的加法 ２、填空

9+（）=14（）+7=14 8+（）=15（）+6=15

二、新授

1、例1 出示例1图

问：树上原来有15只猴子，下来7只，还剩几只？怎样列算式 板书：15-7 小组讨论计算方法 全班交流

2、例2 14-8= 14-6= 学生独立计算后同桌交流 全班交流

3、例3 14-9 15-8 学生独立完成后全班交流

二、课堂活动

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

１、小组合作自制卡片 ２、有规律的 排列

四、课堂练习１、101页

作完后观察，上面加和下面减法有什么联系？ ２、111页2 ３、111页3、4 课后记

第14课时

教学内容：16、17、18减几，例1——3，课堂活动1、2 教学目的 ：

1、进一步运用多种方法计算16=17、18减几

2、能看情景图写算式

3、自制16、17、18减几的卡片 教学过程：

一、1、8+（）=16 8+（）=17 7+（）=16 9+（）=18 2、15-9=（）想：

二、新授 １、例1 出示例1图

问：有多少棵树？小红浇了9棵，剩下的小化浇。小化浇几棵？ 怎样列算式？ 16-9 怎样计算呢？独立思考后小组交流

如果小化浇7棵，剩下的小红浇。小红浇几棵？ 怎样列算式？14-7 学生说计算方法

2、学生自学例2、3 17-9 17-8 18-9 学后全班交流

三、课堂活动

１、自制16、17、18减几的卡片 ２、有规律的排列

四、作业 113页1、2 课后记

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

第15课时

教学内容：114页-115页3——8 教学目的：

1、通过游戏进一步熟练掌握退位减法的口算方法

2、熟练计算

3、在实践中应用 教学过程：

一、基训 1、17-8 16-9 学生 说计算过程

2、○○○○ ○○○ △△△ ？ ○○○○ ○○○ △△△

？ 15

二、指导练习１、口算114页3 ２、游戏：小蝌蚪找妈妈，114页4 ３、用8、917写四个算式 ４、115页6 ５、出示

公共汽车16名 小气车3名 小客车9名 学生看图提问题，并列算式 ６、发展练习115页8 小组讨论完成 课后记：

整理和复习

教学内容：116——117页1——4 教学目的：

1、通过亲身经历，探索，感悟20以内的加减法表的整理方法

2、观察发现加减法表达的一些规律

3、熟练掌握20以内的加减法

4、培养小组合作学习，体验成功感受 教学重难点：整理加减法表

教学过程：

一、10以内的加减法表小朋友已经整理；了，那么20以内的加减法表你会整理吗？揭示课题

二、整理

第五单元20以内进位加法第六单元退位减法

１、反小组尝试把 加法算式有规律的排列

２、学生填加法表，引导学生观察第1竖行的规律后学生再完成 ３、出示加法表 你发现了什么？ ４、全班交流 横看：每排得数相等 竖看：9加几，8加几 观察9+2 2+9…………..发现了什么？

５、学生当老师，指读算式 116页2 ６、用刚才方法整理减法表 ７、观察你发现了什么？

８、横看：11减几，12减几…………..竖看：几减9 几减8…………………..首尾看：11-9 11-2 你还知道什么？ 课后记：

第四篇：高等数学教案12

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3.余项rnssnun1un2.aqaaqaqaqn2n1: 例1.判断等比级数(几何级数)n0

(a0)的敛散性.aaq解:①q1时，sn，1qna，收敛，和为limsnaqn1qn0a.1q

-----高等数学教案-----

naaq②q1时，sn，1qlimsn，aq发散； nnn0nsn，③q1时，snna，limnn0aq发散.n④q1时，0 , n为偶数limsn不存在，sn，na , n为奇数n0aq发散.nn1例2判断级数ln是否收nn1

-----高等数学教案-----敛，若收敛求其和.解: sn(ln2ln1)(ln3ln2)

[ln(n1)lnn] ln(n1).P②.3225sn，所以原级数发散.由于limnsn11111(1)()23235111()22n12n111(1).22n1

-----高等数学教案-----

1sn，所以原级数收敛 由于limn24.收敛级数的性质: ①如果un收敛和为s，则kunn1n1也收敛，其和为ks；若un发散，n1则kun(k0)也发散.n1②如果un、vn均收敛，其和n1n1n1，分别为s、则(unvn)也收敛，其和为s.-----高等数学教案-----

③在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.④如果un收敛，则对这级数n1的项任意加括号后所成的级数(u1un)(un1un)

(un1un) 112k1k也收敛，且其和不变.如果一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散.如果一个正项级数发散，则加

-----高等数学教案-----括号后所成的级数一定发散.⑤级数收敛的必要条件: 若n1un0.un收敛，则limn例3证明调和级数 1111 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分

sns.和为sn，和为s，则limnim(s2nsn)ss0.一方面，ln另一方面，-----高等数学教案-----

111s2nsn n1n22n111 2n2n2n1，2(s2nsn)0，矛盾，故调所以limn和级数发散.1P②.由于调和级数发散，n1n1所以也发散.n13n14P225⑤.由于级数n是公比为

n124225

-----高等数学教案-----11q的几何级数，而q1，所2211以n收敛；由于级数n是公比n12n1311为q的几何级数，而q1，331所以n收敛.n1311由于n与n都收敛，所以n12n1311(nn)收敛.n123§12.2 常数项级数的审敛法

-----高等数学教案-----1.正项级数: un(un0).n12.正项级数un的部分和数列

n1sn单调增加.3.正项级数un收敛部分和

n1数列sn有界.4.比较审敛法: 设un、vn都

n1n1是正项级数，且unvn.①若vn收敛，则un收敛；

n1n1

②若un发散，则vn发散.n1n-----高等数学教案-----5.比较审敛法的推论: 设un、n1n1vn都是正项级数.n1

①若vn收敛，且存在自然数N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则un收敛.n1

②若un发散，且存在自然数n1N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则vn发散.n-----高等数学教案-----例1.判断p级数

1111ppp 23n的敛散性.解: ①当p1时，由于1np而1发散，所以n1n1n1np发散.②当p1时，对于级数

11112p3pnp 加括号后:

-----高等数学教案-----

1n，1111111(pp)(pppp)234567

它的各项均不大于级数

1111111(pp)(pppp224444

111p1p1 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数

-----高等数学教案-----1111111(pp)(pppp)2345671收敛，故正项级数p收敛.n1n1例2.判断级数lnn的敛散性.n121111解: 由于lnnlogn，而nn1n221发散，所以lnn发散.n121例3.判断级数lnn的敛散性.n13111解:由于lnnln3，而ln3n13n1nn1n1pln31，是p级数，所以ln3n1n1收敛，从而lnn收敛.n13-----高等数学教案-----例4.若正项级数an与bn均

n1n1收敛，则下列级数也收敛.①anbn；②(anbn)；③

2n1n1an.n1n证: ①由于an与bn均收敛，n1n1所以(anbn)收敛，而n1anbn2anbn，故anbn收敛.n1②由于

-----高等数学教案-----(anbn)an2anbnbn，而an、2n1n1bn与anbn均收敛，所以n12(anbn)收敛.n11③由于an与2均收敛，所n1n1n11an以(an2)收敛，而an22，n1nnnan故收敛.n1n例5.若an与bn均收敛，且n1n1ancnbn，求证:cn收敛.n-----高等数学教案-----

证:由于an与bn均收敛，所n1n1以(bnan)收敛.n1由于ancnbn，所以

n1bnancnan0，而(bnan)收敛，故(cnan)收敛，而an收敛，从n1n1而cn收敛.n16.比较审敛法的极限形式: 设n1un、vn均是正项级数，n1

-----高等数学教案-----

un0，且vn收敛，则①若limnn1vnun收敛.n1unl(0l)，则vn

②若limnn1vn与un同时收敛和同时发散.n1un，且vn发散，③若limnn1vn则un发散.n11例6.判断级数n的敛散

n1nn

-----高等数学教案-----性.1n1nn解:由于llim，而1n1n1nn1发散，所以n发散.n1nn1n1例7.判断级数ln的敛

n1n2n散性.1lnn1nn1解:由于llim2，而n12n11n1收敛.2收敛，所以lnn1n2nn2n

-----高等数学教案-----例8.判断级数(21)的敛散

nn1性.解: 由于

nn212ln2llimlimln2nn11n，1n而发散，所以(21)发散.n1n1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设un为正项级数，且n1

-----高等数学教案-----un1lim.nun

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.1例9.判断级数的敛散

n1(n1)!性.-----高等数学教案-----

1n!01解: 由于lim，n1(n1)!1所以收敛.n1(n1)!n!例10.判断级数n的敛散性.n110: 由于(n1)!n1n110limlim，所nn10n!n10n!以n发散.n110

-----高等数学教案-----解8.根值审敛法(柯西判别法): 设un为正项级数，且n1nu.limnn

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.2n1n例11.判断级数()的n13n1

-----高等数学教案-----敛散性.解: 由于

2n1nn(lim)n3n12n()3n1limnnn3n1，2n1n所以()收敛.n13n110.交错级数: u1u2u3u4，或

u1u2u3u4，其中u1，u2…都是正数.-----高等数学教案-----11.莱不尼兹定理: 如果交错级数(1)un满足条件: n1n1

①unun1；

imun0，②ln则(1)un收敛，其和su1，其余n1n1项的绝对值rnun1.例12.判断级数(1)n1n11的敛

n散性.解: 由于

-----高等数学教案-----11①，即unun1； nn110，即limu0

②lim，nnnnn11所以(1)收敛.n1n12.绝对收敛: 如果un收敛，n1则称un绝对收敛.n1例如，级数(1)n1n11绝对收

2n敛.13.条件收敛: 如果un收敛，n-----高等数学教案-----

而un发散，则称un条件收敛.n1n1例如，级数(1)n1n11条件收敛.nn114.如果任意项级数un的绝对值收敛，则un收敛.n11

证: 令Vn(unun)，21Wn(unun)，则unVn0，2unWn0.由于un收敛，所以Vn、Wnn1n1n-----高等数学教案-----均收敛，故(VnWn)un也收

n1n1敛.15.设un是任意项级数，n1un1nu，如果lim或limnnunn1，un发散，则un发散.n1n1n例13.判别级数(1)是n1n1否收敛，若收敛是条件收敛，还

n1是绝对收敛.-----高等数学教案-----解: 由于lim(1)n以(1)n1n1n1n0，所

n1n发散.n11n例14.判别级数nsin是否

5n12收敛，若收敛是条件收敛，还是绝对收敛.1n11n，解: 由于nsin而n

522n121(是公比为q1的几何级数)21n收敛，所以nsin收敛，故

5n1-----高等数学教案-----1nnsin绝对收敛.5n121例15.判别级数(1)ln(1)nn1是否收敛，若收敛是条件收敛，n还是绝对收敛.11解: 由于ln(1)ln(1)，而

n1n1limln(1)0，所以交错级数nn1n(1)ln(1)收敛.n1n由于

-----高等数学教案-----

1(1)ln(1)1 nlimlimnln(1)nn1nnn1nlimln(1)nn1，11n而 发散，所以(1)ln(1)发n1nn1n1n散，故(1)ln(1)条件收敛.n1n§12.3 幂级数

1.区间I上的函数项级数: u1(x)u2(x)un(x).-----高等数学教案-----对于xx0I，常数项级数

u1(x0)u2(x0)un(x0)

n1收敛，则称x0为un(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(xx0)的幂级数: n0an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)

2nan(xx0)

-----高等数学教案-----3.x的幂级数:

n0anx2nna0a1xa2xanx.4.阿贝尔定理: 如果anx当

nn0则当xx0xx0(x00)时收敛，时anx绝对收敛.反之，如果nn0n0anx当xx0时发散，则当nxx0时anx发散.nn0

5.阿贝尔定理的推论: 如果

-----高等数学教案-----n0anx不是仅在x0一点收敛，n也不是在整个数轴上收敛，则存在R0，使得

①当xR时，幂级数绝对收敛；

②当xR时，幂级数发散；

③当xR与xR时，幂级数可能收敛也可能发散.)为

称R为收敛半径，称(R , R)、收敛区间，收敛域是(R , R[R , R)、(R , R]或[R , R]这四

-----高等数学教案-----个区间之一(由xR处的收敛性决定).规定幂级数仅在x0处收敛时R0，幂级数对一切x都收敛时R.6.对于幂级数anx，如果

nn0an1lim，则 nan

-----高等数学教案-----

1 , 0且R , 0 ,0 , .

(1)x例1.求的收敛域.n1nn(1)n11解: 由于lim，所n1n(1)n1以R1.n1n

-----高等数学教案-----

(1)x1当x1时，()nnn1n1发散.(1)n1xn(1)n1当x1时，nnn1n1(1)n1xn条件收敛.因此，的收

nn1敛域为(1 , 1].n1例2.求2(3x)的收敛域.n01nnnn13解: 2(3x) 2x.n01nn01nn1n

-----高等数学教案-----

321(n1)lim3nn321nn1，1R.31当时，x3(1)nn1(3x) 绝对收敛.22n01nn01n1当时，x3n112(3x) 2收敛.n01nn01nn1因此，的收敛域为(3x)2n01n

-----高等数学教案-----11[ , ].33(1)n例3.求2(x3)的收敛n1nn域.解: 令x3t，则

(1)(1)nn2(x3) 2t.n1nn1n(1)nn对于，2tn1nn1(1)2(n1)lim1R1，.nn(1)2n

-----高等数学教案-----

nn(1)n1当t1时，2t2收n1nn1nn敛.(1)n(1)2t2绝当t1时，n1nn1nn(1)n对收敛.因此，2t的收敛

n1nn(1)n区间为[1 , 1]，故2(x3)n1n的收敛域为[2 , 4].2n11例4.求nx 的收敛域.n03nn

-----高等数学教案-----

1x2(n1)1n1213x解: lim.n1x2n13n321令x1，得3x3，收3敛半径为R3.发散.散.2n11当x3时，nx 3n03n02n11当x3时，nx 3发n03n02n11因此，nx 的收敛域为n03(3 , 3).

-----高等数学教案-----7.幂级数的运算: s(x)anxn0nn0n和(x)bnx的收敛半径分别为R和R，则

n0anxnnn0bnxnn0(anbn)xs(x)(x)的收敛半径为RminR , R.8.幂级数的性质:

①anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上连续.-----高等数学教案-----

②anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上可积，并有逐项积分公式

0s(x)dx0anxdxn0xxn0anxdx nn0xann1x(xIn0n1，ann1nx与anx的收敛半径相n0n0n1同.

-----高等数学教案-----③anx的和函数s(x)在其收nn0敛区间(R , R)内可导，并有逐项求导公式

nns(x)anx(anx)

n0n0 nanx(xR)，n1n1n1nanxn1与anx的收敛半径相

nn0同.n1例5.求x的和函数.n1n

-----高等数学教案-----

1n1R1.1解: lim，n1nn1n1当x1时，x(1)收nn1n1n敛.n11当x1时，x发散.因

n1nn1nn1此，x的收敛域为[1 , 1).n1nn1令s(x)x(1x1)，则 n1nnn11s(x)x(x)n1nn1n

-----高等数学教案-----x n1n11(1x1).1xs(x) x 0s(x)dxs(0)

x10dx0 1ln(1xx)(1x1).例6.求1xn1在其收敛n1n1 , 1)上的和函数.解1xn1x1xnx[ln(1x)] n1nn1n

-----高等数学教案-----

: 域[ xln(1x)x[1 , 1).例7.求(n1)x在其收敛域

nn1(1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)(n1)x，则

nn10s(x)dx0(n1)xdx

nn1xxx

n1n1x 1x(1x1).-----高等数学教案-----

2s(x)[ 0s(x)dx]

xx() 1x22xx2(1x)(1x1).2例8.求nx在其收敛域(1 , 1)nn1上的和函数.解: nxnxxx

nnnnn1n1n1nn1n(n1)xx

n1n1

-----高等数学教案-----

2xxx 2(1x)1xx

.(1 , 1)2(1x)2例9.求(n2)x在其收敛区

nn1间(1 , 1)上的和函数.解n1:

nn12(n2)x(n1)xx nnn12xx2(1x)x 1x

-----高等数学教案-----

3x2x2(1x)2

(1 , 1).§12.4 函数展开成幂级数

1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数

(x0)f2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)

2!f(x0)n(xx0)

n!称为f(x)的泰勒级数.(n)

如果泰勒级数收敛于f(x)，则

-----高等数学教案-----

第五篇：一年级数学教案

(二)能力训练点

1．通过观察插图，理解图意，提高观察能力。

2．通过计算加减混合运算，提高学生的计算能力。(三)德育渗透点

掌握加减混合运算顺序，促进学生思维的灵活性，提高学习兴趣。

教学重点

1．理解加减混合运算的含义。

2．掌握加减混合运算的运算顺序，正确地进行10以内加减混合运算。

教学难点

牢记前两个数计算结果，再和第三个数相加减。

教具、学具准备

教科书65页的金鱼图、鸽子图、口算卡。

教学步骤

一、铺垫孕伏

1．口算

2．口述

二、探究新知

1．教科书65页左上方金鱼图。

(1)引导学生观察理解图意：

①同学们先互相说说这两幅金鱼图表示什么意思？

②[引导]鱼缸有几条黑金鱼？几条红金鱼？一共有几条金鱼？怎样列式？

4＋3=(板书)然后再从鱼缸里捞出几条鱼金？(2条)还剩几条？

(2)指名把图意完整地叙述一遍。

(3)该怎样列式？

4＋3－2=(板书)

(4)出示课题。这个算式里有加法还有减法，这就叫加减混合运算。今天我们就来学习加减混合运算。

加减混合(板书)

(5)理解运算顺序。

①这种加减混合运算式题，该怎样计算呢？先算什么？(引导看第一幅图，鱼缸里有几条黑金鱼，几条红金鱼，一共有多少条金鱼？)

因此要先算4＋3并连线，写7．再算什么？(引导学生看第二幅图，从7条里捞出2条)因此要再算7－2，最后得5．

②指名完整地叙述计算过程。

2．教学65页右上方鸽子图。

(1)理解图意

①原来有几只鸽子？飞走了几只？又飞来了几只鸽子，现在有几只鸽子？

②学生之间互相讨论说说图的意思。

③列式

4－1＋2=

(2)引导计算。

①这道题有加法又有减法，是加减混合运算。根据学生的回答在4－1下面连线，并写上□再把□＋2连线，最后得□，写上=，□

②把算式填写完整。

3．观察比较，总结算法。

在计算加减混合运算时，加法在前，要先算加法，减法在前要先算减法，然后再和第三个数相加减。

4．课堂练习

65页“做一做”。

[提示](1)这道题加法在前，先算什么？再算什么？把□填完整。

(2)这道题是减法在前，应先算什么？再算什么？把□填完整。

三、巩固发展

1．练习十三第1题。理解图意并列式计算。订正结果。

2．练习十三第2题。学生独立完成，指名说出计算过程。

3．练习十三第3题。指导书写。要求认真规范。

四、全课小结

通过今天的学习，你学会了什么？(学会了加减混合运算。知道了加法在前先算加法，减法在前，先算减法。)

五、布置作业

3．在○里填上数，使每一条线上三个数相加得10

六、板书设计

注：安排的实践活动，主要有以下两种形式。

1、在知识的形成过程中让学生参与实践活动。借助直观的具体、形象的事物，学生在动手操作的基础上理解数学概念形成的过程，建立数学概念，并认识数学知识与生活实际的关系。

2、在知识的应用过程中，让学生参与实践活动。本册安排的三个实践活动，分别在“100以内数的认识和加、减法”、“认识图形(一)”和“20以内的进位加法”三个单元后。

三个实践活动是:(1)数学乐园、(2)活动园地、(3)我们的校园。