概率论与数理统计 第一章

第一篇：概率论与数理统计 第一章

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第一章 概率论的基本概念

【基本要求】

1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本运算；

2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性；

3、理解古典概率的定义，了解概率的定义

4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算；

5、理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算；

6、理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。

【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的计算及事件的独立性

【本章难点】判别事件概率的类型；注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别；条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用

【学时分配】16学时 【授课内容】 引言

1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）：

在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a，b的矩形，其面积必为ab等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出 辽宁石油化工大学

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现“反面”，事先不能作出确定的判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出一种偶然性。

概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。其研究对象为：随机现象

研究内容为：随机现象的统计规律性。2.随机现象的统计规律性：

以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%，这正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖，总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发现其内部隐藏着的规律。

§1.1 随机试验

下面具一些试验的例子：

E1：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情况。

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。辽宁石油化工大学

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E5：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数

E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。

上面举出了七个试验的例子，它们有着共同的特点。例如，试验E1有两种可能的结果，出现H 或者出现T，但在抛掷之前不能确定出现H还是出现T，这个试验可以在相同的条件下重复地进行。又如试验E6，我们知道灯泡的寿命（以小时计）t0，但在测试之前不能确定它的寿命有多长。这一试验也可以在相同的条件下重复进行。概括起来，这些试验具有以下的特点：

① 可以在相同的条件下重复进行；

② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ③ 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

在概率中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写的字母‘E’表示。本书中以后提到的试验都是指随机试验。

我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。

§1.2 样本空间.随机事件

（一）样本空间

由随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即．．E的每个结果，称为样本点。

下面写出§1.1中试验Ek(k1,2,,7)的样本空间Sk： ｛H，T｝ S1：｛HHH，HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT｝ S2：｛0, 1, 2, 3｝ S3：｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝ S4： 辽宁石油化工大学

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S5:{0,1,2,3,} ｛t|t0｝ S6：｛(x,y)|T0xyT1｝，这里x表示最低温度，y表示最高温度。并设这一地区的温度S7：不会小于T0也不会大于T1.注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描述法。

②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也可以是无限个。

③在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如，在E2和E3中同时将一枚硬币连抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样。

（二）随机事件

我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。用字母A，B，C等表示。显然它是由部分样本点构成的。

如在上面试验E2中，若我们关心出现一次正面的情况，满足这一条件的样本点组成S2的一个子集A={HTT，THT，TTH}，那么A称为试验E2的一个随机试验。

下面了解以下几个概念：

1．事件发生：在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。2．基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。例如，试验E1有两个基本事件{H}和{T}；E2有8个基本事件。

3．必然事件：样本空间S所包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。辽宁石油化工大学

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4．不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件。注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。

有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算。

（三）、事件间的关系 1.事件的包含：

当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，记为AB或BA。

即AB{若A,则B}，用文（Venn）图表示为： 反之，BA若B不发生，则必然A也不会发生。

显然，对任意事件A有：⑴AA；⑵A；⑶若AB，BC，则AC。2.事件的相等：

若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A＝B，即A与B有相同的样本点。显然有A＝BAB且BA

3.事件的互斥（互不相容）：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记为AB＝。

显然有：⑴基本事件是互斥的；⑵与任意事件互斥。辽宁石油化工大学

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（四）、事件的运算（和、差、积、逆运算）1.事件的和（并）：

两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与 事件B的并（或和），记为AB（或A＋B）。

即AB＝｛ω/ωA或ωB｝

显然有：⑴AAA；⑵AAB，BAB；

⑶若AB，则ABB。特别地，A,AA。

2.事件的积（交）：

两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（或交）。记为AB（或AB）

即AB/A且B。显然有：⑴ABA，ABB；

⑵若AB，则AB＝A，特别地A＝A； ⑶若A与B互斥，则AB＝，特别地A＝。

注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。

Ak1k1nnkA1A2An/A1或A2或或An} A1A2An/A1或A2或或An A1A2An/A1且A2且...且An} A1A2An/A1且A2且且An Ak1kAAk1kk3.事件的差：

事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。即AB{A而B}。辽宁石油化工大学

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显然有：⑴不要求AB，才有AB，若AB，则A-B；

⑵若A与B互斥，则A－B＝A，B－A＝B；

A－BA－AB且A－ABA－B）⑶A－B＝A－AB（证明：利用；

⑷A(BC)ABC（左边为A的子事件，而右边不是）。

4.事件的逆（对立事件）：

若事件A与事件B满足AB＝且AB＝，则称B为A的逆，记为B＝A。即A/A，} 显然有：⑴AA＝，AA＝

⑵A－B＝AB（证明：A－B＝A－AB＝A（－B）＝AB）

注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。

例如，在抛硬币的试验中，设A={出现正面}，B={出现反面}，则A与B互斥且A与B互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设A={出现1点}，B={出现2点}，则A与B互斥，但A与B不是对立事件。

(五)、事件的运算性质（规律）

由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。1.交换律：ABBA，AB＝BA 2.结合律：A(BC)(AB)C,A(BC)(AB)C

3.分配律：A(BC)(AB)(AC),ABC)(AB)(AC)4.德莫根（对偶）定律：①AiAi（和的逆＝逆的积）

i1i1nn 7 辽宁石油化工大学

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②AiAi（积的逆＝逆的和）

i1i1nn(六)、举例

例1：设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

①三个事件中至少一个发生 ABC

②没有一个事件发生 ABCABC（由对偶律）③恰有一个事件发生 ABCABCABC ④至多有两个事件发生（考虑其对立事件）

(ABCABCABC)(ABCABCABC)(ABC)ABCABC ⑤至少有两个事件发生 ABCABCABCABCABBCCA

§1.3 频率与概率

随机事件在一次试验中，可能发生也可能不发生，具有偶然性。但是，人们从实践中认识到，在相同的条件下，进行大量的重复试验中，试验的结果具有某中内在的规律性，即随机事件发生的可能性大小是可以比较的，是可以用一个数字进行度量的。例如，在投掷一枚均匀的骰子试验中，事件A‘掷出偶数点’，B‘掷出2点’，显然事件A比事件B发生可能性要大。

对于一个随机试验，我们不仅要知道它可能出现哪些结果，更重要的是研究各种结果发生的可能性的大小，从而揭示其内在的规律性。为此，首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。

（一）频率

(1)定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值

nA为事件A发生的频率，记为fn(A)。n8 辽宁石油化工大学

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(2)频率的性质：

⑴非负性：对任意A，有1fn(A)0

⑵规范性：fn(S)1

⑶可加性：若A1,A2,,Ak是两两不相容的事件，则

fn(A1A2Ak)fn(A1)fn(A2)fn(Ak).(3)频率的稳定性：

在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。

通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件A出现的可能性越大，一般来讲，其频率fn(A)也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。

（二）概率

(1)定义：设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：

1.非负性：对任意A，P(A)0 2.规范性：P(S)1

3.可列可加性（完全可加性）：设A1，A2，„，是两两互不相容的事件，即对于 ij,AiAj,i,j1,2,，则有P(Ai)＝P(Ai)

i1i1(2)概率的性质 ①P()0

证明：......，9 辽宁石油化工大学

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由公理1，P()P()P()，P()为非负实数，P()0

②有限可加性：若A1，A2，„，A.n两两互不相容，即AiAj(ij)，则有P(Ai)＝P(Ai)

i1nni1证明：因为Ai＝Ai...，利用公理一有

i1i1nnP(Ai)P(Ai)P(A1)P(An)P()P(Ai)

i1i1i1nnn③对任意事件A，有P(A)1P(A)

证明：因为AA,AA,所以P(A)P(A)P(AA)P()1 ④P(AB)P(A)P(AB)。特别，若BA，则P(A-B)＝P(A)P(B)。证明：因为A＝(AB)AB且(AB)AB＝

所以P(A)＝P((AB)AB)P(AB)P(AB)，即证。推论：（单调性）若BA,则P(B)P(A)。

＝P(AB)0 证明：P(A)P(B)⑤加法公式：对任意的事件A、B有：P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

特别，若A与B互斥，则有P(AB)P(A)P(B)

证明：因为ABA(BAB)且A（B－AB）＝

所以P(AB)P(A)P(B-AB)＝P(A)P(B)-P(AB)（因为ABB）

例:从数字1、2、„、9中有放回地取出n个数字，求取出这些数字的乘积能被10整除的概率？

解：“符号化” 令A={取出的数字中含5}，B={取出的数字中含偶数}，3n5n4n则 P(AB)1P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)=1nnn

999课后作业：

1、仔细阅读P1-12； 辽宁石油化工大学

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2、作业：P29 2, 4，5，6，7，8；

3、预习P12-2

4§1.4 等可能概型（古典概型）

古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验)1.古典概型：一个随机试验若满足：

①样本空间中只有有限个样本点（有限性）②样本点的发生是等可能的（等可能性）

则称该随机试验为等可能概型。它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。等可能概型的一些概念具有直观容易理解的特点，有着广泛的应用。2.古典概率的计算公式：

设古典型随机试验的样本空间S{e1,e2,...,en}，若事件A中含有

k(kn)个样本点，则称k为A发生的概率，记为 nP(A)kA包含的基本事件数。nS中基本事件的总数3.古典概率的性质：

⑴非负性：对任意A，P(A)0 ⑵规范性：P()1 辽宁石油化工大学

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⑶可加性：若A和B互斥，则P(AB)P(A）＋P(B)⑷P()0 ⑸P(A)1P(A)

例1：从标号为1，2，„,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:‘抽中2号’，B:‘抽中奇数号’，C:‘抽中的号数不小于7’。

解：令i表示“抽中i号”，i1,2,10，则{1,2,3,...10}，所以

P(A)154,P(B),P(C) 101010例2：从6双不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一双配对的概率；⑵至少有两只鞋子配成一双的概率。

解：⑴分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一

12211只，则⑴中所含样本点数为C6C2C5C2C2 412211所以所求概率P＝C6C2C5C2C2/C12＝33⑵设B表示‘至少有两只鞋子配成一双’，则：

4.1111P(B)1P(B)1－C64.C2C2C2C2/C12＝

1717412112，或＝[C6＝ C5C2C2C6]/C123333122【注】：不能把有利事件数取为C6从而出现重复事件。这是因为，若鞋子标有号码1，2，„，C2C10，216时，C6可能取中第i号鞋，此时C10可能取中j号一双，此时成为两双的配对为(i,j)；但也2存在配对(j,i)，(i,j)与(j,i)是一种，出现了重复事件，即多出了C6个事件。

例3：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的容量不限）

解：设A={每个盒子至多有一只球}

nN(N1)(Nn1)ANn

p(A)NnN例4：设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概12 辽宁石油化工大学

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率是多少？

解：设A={其中恰有k件次品} DNDknk

P(A)Nn上式即所谓超几何分布的概率公式。

例5：将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生，问（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？

解：（1）设A={ 每一个班级各分配到一名优秀生}

3!12!3!CCC25p(A)4!4!4!0.2747

15!91CCC5!5!5!***（2）设B={ 3名优秀生分配在同一班级}

312!3CCC6p(B)2!5!5!0.0659

15!91CCC5!5!5!***5例6：某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的。

（反证法）假设接待站的接待时间是没有规定的。A={12次接待都是在周二和周四进行的}

212p(A)120.0000003 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上是几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小（只有千万分之三）的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假定的正确性。从而推断接待站不是每天都接待来访者。即认为其接待时间是有规定的。辽宁石油化工大学

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§1.5条件概率

设A、B为任意两个事件，假设事件B已发生，前面我们已经研究了P（B），而在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率，为区别起见，我们把这种情况下的概率记为P(A/B)，称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率。

例1：考虑有两个孩子的家庭：{(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)} 43B：‘家中至少有一个女孩’，则P（B）＝

4212P(AB)而P(AB) 所以P(A/B)4

323P(B)4A：‘家中至少有一个男孩’，则P（A）＝这就有了：

（一）、条件概率

1、定义：设A，B是两个随机事件，且P(B)0，称P(A/B)P(AB)/P(B)为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。

注：①P(B)0时，条件概率无意义。（即条件不能是不可能事件）

②P(A/)P(A)/P()P(A)。（即P(A)是特殊的条件概率）

2、条件概率亦是概率，具有概率的某些性质：

①P(/B)0

②P(A/B)1P(A/B)

③P(A1A2/B)P(A1/B)P(A2/B)P(A1A2/B)

例2：设10件产品中有3件次品，现进行无放回地从中取出两件，求在第一次取到次品的条件下，第二次取到的也是出次品的概率。

解：（符号化）令Ai表示‘第i次取到次品’，i=1,2则要求的概率为

3232P(A2/A1)P(A1A2)/P(A1)()()/

10910914 辽宁石油化工大学

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（二）、乘法公式

由条件概率的定义：P(A/B)P(AB)/P(B)P(AB)P(B)P(A/B)(P(B)0)

P(B/A)P(AB)/P(A)P(AB)P(A)P(B/A)

(P(A)0)

定理1（乘法公式）：一般地，对任意n个事件A1,...,An，若P(A1...An)＞0，则 P(A1...An)＝P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1...An1)（＊）

证明：因为A1A2...AnA1...An1...A1A2A1

由概率的性质4的推论（单调性）有：P(A1)P(A1A2)...P(A1A2...An1)0 又由条件概率的定义有：（＊）式右＝P(A1)P(A1A2)/P(A1)P(A1A2A3)...P(A1A2...An)/P(A1A2...An1)

P(A1A2)P(A1A2...An)左

例3：设袋子中有r只红球，t只白球，从中任取一球，观察颜色后放回，并加进同颜色的a个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去，求：①第一、二次取到红球，第三、四次取到白球的概率

解：令Bi＝{第i次取到白球}；Rj＝{第j次取到红球} 则P(R1R2B3B4)P(R1)P(R2R1)P(B3R1R2)P(B4R1R2B3)rratta trtratr2atr3a①注意这个答案只与白球及红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关，这个模型曾被Polya用来作为描述传染病的数学模型。这是很一般的摸球模型，特别取a0，则是有放回摸球，取a1，则是不放回摸球。

例4：袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。

解：设B＝{第二次取到白球},则要求P（B）辽宁石油化工大学

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令A＝{第一次取到白球}，则A＝{第一次取到黑球} AA,BBB(AA)BABA且BABA

P(B)P(BABA)P(BA)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)

aa1baa

abab1abab1ab（依次类推，第n次摸到白球与第一次摸到白球的概率相等，这就是抓阄的科学性）

（三）、全概率公式和贝叶斯公式（Bayes）

定义：完备事件组：设A1,A2,..,An是S的一组事件，若AiS，且AiAj(ij)，i1n则称A1,A2,..,An为S的一个完备事件组或一个分割。显然，任一事件A与A就是一个完全事件组。

定理（全概率公式）：设A1,A2,..,An是S的一个完备事件组，且P(Ai)0（i=1,2,„,n）则对任一事件B有 P(B)P(Ai)P(B/Ai)

i1n证明：由BBSB(Ai)AiB且(AiB)(AjB)(AiAj)B,ij

i1i1nnAiB)P(AiB)P(Ai)P(BAi)由有限可加性及乘法公式有P(B)P(i1i1i1nnn例5：某工厂有三个车间生产同一产品，第一车间的次品率为0.05，第二车间的次品率为0.03，第三车间的次品率为0.01，各车间的产品数量分别为2500，2000，1500件，出厂时，三车间的产品完全混合，现从中任取一产品，求该产品是次品的概率。解：设B＝{取到次品}，Ai＝{取到第i个车间的产品}，i＝1,2，3 则有A1A2A3S，且A1A2，A1A3，A2A3 利用全概率公式得

P(B)P(Ai)P(BAi)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)

i1316 2500200015005%3%1%3.3% 600060006000辽宁石油化工大学

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定理 贝叶斯公式（Bayes）（逆全概率公式）：设A1,A2,..,An是S的一个完备事件组，且P(Ai)0（i=1,2,„,n）。若对任一事件B，P(B)>0，则有：P(Aj/B)P(Aj)P(B/Aj)P(A)P(B/A)iii1n j=1,2，„，n 证明：由条件概率公式P(AjB)P(AjB)P(B)P(Aj)P(BAj)P(A)P(BA)iii1nj1,2.,n

例6：某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2。现机器发生了故障，问应从哪个元件开始检查？ 解：设D‘发生故障’；A‘元件是A类’；B‘元件是B类’；C‘元件是C类’ 则 P(D)P(A)P(D/A)P(B)P(D/B)P(C)P(D/C)

0.10.70.40.10.50.20.21

所以P(A/D)=P(AD)P(D)=7/21；P(B/D)=4/21；P(C/D)=10/21，故应从C元件开始检查。

例7：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？

解：设A={产品合格} B={机器调整得良好} 已知 P(A)0.9,P(A)0.3,P(B)0.75P(B)0.25 BB由贝叶斯公式

P(A)P(B)BP(B)AP(A)P(B)P(A)P(B)BB0.90.750.90.90.750.30.25 辽宁石油化工大学

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这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率是0.9，概率0.75是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率。而在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后在重新加以修正的概率（即0.9）叫做后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。

例7：医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%；仅发热的病人患“非典”的概率为3%；仅干咳的病人患“非典”的概率为1%；无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率为0.01%；现对某疫区25000人进行检查，其中既发热又干咳的病人为250人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，试求：

(1)该疫区中某人患“非典”的概率；

(2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率。

A{既发热又干咳的病人}，B{仅发热的病人}，}，D{无明显症状的人}解：(1)设 C{仅干咳的病人则易知A，B，C，D构成了一完备事件组，由全概率公式得：

P(E)P(A)P(E/A)P(B)P(E/B)P(C)P(E/C)P(D)P(E/D)***5%3%1%0.01%0.00***0002500025000

E={确诊患了“非典”}

(2)由贝叶斯公式知：

5003%P(B)P(E/B)25000P(B/E)0.37665P(E)0.001593

全概率公式和Bayes公式是概率论中的两个重要公式，有着广泛的应用。若把事件Ai理解为‘原因’，而把B理解为‘结果’，则P(B/Ai)是原因Ai引起结果B出现的可能性，P(Ai)是各种原因出现的可能性。全概率公式表明综合引起结果的各种原因，导致结果出现的可能性的大小；而Bayes公式则反映了当结果出现时，它是由原因Ai引起的可能性的大小，故常用于可靠性问题。18 辽宁石油化工大学

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如：可靠性寿命检验、可靠性维护、可靠性设计等。课后作业：

1、仔细阅读P12-25；

2、作业：P32 26, 27, 28, 29, 34；

3、预习P25-28

§1.6 独立性

一般来说，P(A/B)P(A),P(B)0)这表明事件B的发生提供了一些信息影响了事件A发生的概率。但是有些情况下，P（A/B）＝P（A），从这可以想象得到这必定是事件B的发生对A的发生不产生任何影响，或不提供任何信息，也即：事件A与B是‘无关’的。从概率上讲，这就是事件A、B相互独立。

1.定义：若两事件A，B满足P(AB)P(A)P(B)，则称A与B相互独立。注：①定义中，当P(B)0或P(B)1时，仍然适用，即,与任何事件相互独立；

②事件的独立与事件的互不相容是两个不同的概念：前者是相对于概率的概念，但可以同时发生；而后者只是说两个事件不能同时发生，与概率无关。

例1：投掷两枚均匀的骰子一次，求出现双6点的概率。辽宁石油化工大学

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解：设 A‘第一枚骰子出现6’；B‘第二枚骰子出现6’ 则P(AB)P(A)P(B)111 6636我们知道，对于分别掷两颗骰子，其出现6点相互之间能有什么影响呢？不用计算也能肯定它们是相互独立的。在概率论的实际应用中，人们常常利用这种直觉来肯定事件的相互独立性，从而使问题和计算都得到简化，但并不是所有的问题都是那么容易判断的，看下面一个例子：

例2：一家中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的，令A={家中男、女孩都有}，B={家中至多有一女孩} ①考虑三个孩子的家庭：

(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b),(g,b,b),(g,b,g),(g,g,b),(b,g,g),(g,g,g)，则P(AB)3/864P(A)P(B)A、B相互独立。88②考虑两孩子的家庭：

(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)，则P(AB)2/4，P(A)2/4，P(B)3/4，P(AB)P(A)P(B)A、B不相互独立。

定理1：若P（B）＞0，则A、B相互独立P（A/B）＝P（A）。结论：若A、B独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立。例3：甲、乙二人同时向同一目标射击一次，甲击中率为0.8，乙击中率为0.6，求在一次射击中，目标被击中的概率。

解：设A＝{甲击中}，B＝{乙击中}，C＝{目标被击中}，则C＝AB P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.80.60.80.60.92

或P(C)1P(C)1P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)1(10.8)(10.6)0.92

思考：若P（A）＞0，P（B）＞0，且P(A/B)P(A/B)1,则A、B相互独立。辽宁石油化工大学

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2.多个事件的独立

定义1：对于三个事件A、B、C，若下列四个等式同时成立

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则称A、B、C相互独立。

注：①对于两个以上的事件时，事件的两两独立不能推出总起来相互独立。

反例1：有四张同样大小的卡片，上面标有数字，从中任抽一张，每张被抽到的概率相同。分析：令Ai＝{抽到卡片上有数字i}, i=1,2,3，则： P（Ai）＝2/4＝1/2，即P（A1）＝P（A2）＝P（A3）

而P（A1A2）＝1/4＝P（A1）P（A2）；P（A1A3）＝1/4＝P（A1）P（A3）； P（A2A3）＝1/4＝P（A2）P（A3）

可见Ai两两之间是独立的，但是总起来看P(A1A2A3)1/4P(A1)P(A2)P(A3)1/8 并不相互独立。

②对于两个以上的事件时，总起来相互独立也不能推出事件的两两独立。

反例2：八张同样大小的卡片，任抽一张。分析：P(Ai)4/81/2,i1,2,3.P(A1A2A2)1/8P(A1)P(A2)P(A3)但P(A1A2)3/8P(A1)P(A2)

因此对多个事件的独立性要求比较严格。

定义2：对任意n个事件，A1,A2,..,An，若： P(AiAj)P(Ai)P(Aj),1ijn

P(AiAjAk)P(Ai)P(Aj)P(Ak),1ijkn

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

P(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)（共2nn1个式子）均匀成立，则称A1,A2,..,An相互独立。

例4：用步枪射击飞机，设每支步枪命中率均为0.004，求：①现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；②若想以0.99的概率击中飞机，需要多少支步枪同时射击？ 解：①Ai‘第i支击中’,则要求P(A1A2...An)而P(A1A2...An)1P(A1A2...An)1P(A1A2...An)

1P(A1)P(A2)...P(An)＝1－0.9962500.63 ②由10.996n0.99n1150

五、独立性在系统可靠性中的应用

元件的可靠性：对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性。系统的可靠性：对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性。

例5：设构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1且各元件能否正常工作是相互独立的，求下面附加通路系统的可靠性：

解：每条通路正常工作，当且仅当通路上各元件 正常工作，其可靠性为

RcP(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)rn，即每条通路发生故障的概率为1rn； 由于系统是由两条通路并联而成，则两通路同时发生故障的概率为(1rn)2，所以上述系统的可靠性为Rs1(1rn)2rn(2rn)Rc(2Rc)Rc2Rc，2Rc1RsRc

故附加通路能使系统的可靠性增加。辽宁石油化工大学

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课后作业：

1、仔细阅读P25-28；

2、作业：P32 30, 31, 32, 33；

3、预习P34-44 23

第二篇：概率论与数理统计

《概率论与数理统计》公共基础课教学实践

1012502-31 汤建波

概率与数理统计在现实的牛产和生活中有着广泛的应用，因此，《概率论与数理统计》作为公共课是很多专业所必修的。但是，由于这门课的学习方法与《微积分》《线性代数》等其他课程有着极大的差异，很多学生在学习过程中感到难以把握概念与理论，在遇到问题时不知如何人手。因此，笔者在总结这几年教学实践的基础上，提出以下思考。

一、适度引入案例。形成生动教学及启发性教学

概率论源于博弈，是赌博中的很多问题催生了概率论这门数学学科。在开课伊始，教师就适度引入触发概率论的一些问题，如“De．mere”问题，“分赌金问题”等等，使学生在故事中不仅得到r课本里所没有的历史知识，而且无形中可以提高学习兴趣，消弭一部分同学的畏难情绪。另外，再在随后的教学过程中引入“彩票中奖问题”“蒙特卡罗法求订法”“保险付赔问题”等等，引导学生了解、探索这门学科在现实中的应用，使学乍实现由知识向能力的转化，从而增强学，F利用概率统计解决实际问题的“欲望”，促使他们更好地认识现实世界。

概念是概率课程中最基本的内容，对概念的理解程度直接影响学生对这门课程的学习与掌握程度。在教学中，应尽量从实际问题入手，先提出问题，接着在问题的分析和解决中抽象出概念，让学生清楚概念的来龙去脉，而不是硬性给出定义，让学生死记硬背。例如，在讲述“事件”这个定义时，引入“卫瞿嫦娥二号将于2010年10月1日发射”这一现实中的“事件”在概率论中应该是“实验”，而其结果“发射成功”才能算是概率论所定义的“事件”，这样，在区别现实的“事件”与概率论所研究的“事件”基础上，学生加深了对“事件”这一定义的理解。在阐明相互独立和互不相容之间的区别有P(A)>0，P(B)>0时，A、B相瓦独屯与互不相容是不能同时成立的，直观上可以这样解释：相互独立意味这

4、B其中一方发生与否并不影响另一方的发生，而互不相容意味着A、B只要其中一方发生了，另一方就一定不发生，所以这两个关系不能同时存在。从公式上解释是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，则P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率为0，如，如果A=西，则A与B既相互独立又互不相容，因为此时P(AB)=P(A)P(B)=0。综上所述，相互独立与互不相容并没有必然的联系。

而在区别“不相关”与“相互独立”的区别时，可以通过举例得知J]|f、y不相关不一定就独立，因为X、l，之间有可能存在其他的函数关系，但是存在函数关系的随机变量是否就不独立了呢？答案是未必，例子如下：

考察随机变量X、l，和Z：假定x与l，独立月．都服从参数为P的(0—1)分布，令z为x与y的函数：

可以得到当P=1／2时，Z与X相互独立。转载于 无忧论文网 http://www.xiexiebang.com

通过这些举例，避免了学生将“独立”和“互不相容”等同起来，又说明了“独立”与“函数关系”之间的联系。

二、课堂教学中注重数学思想的教育。培养学生建模能力

概率统计中的很多问题都可以归结为同一类问题，数学模型就是这类事物共同本质的抽象。“数学建模”是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学模型在概率统计中的应用随处可见，模型化方法贯穿本课程全过程，因此，在教学过程中应该注意培养学生抽象出问题的本质以建立起一般的数学模型的能力。

如“将n只球随机地放入Ⅳ(N大于等于n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率”与“班级同学生日各不相同”具有相同的数学模型。另外，还有古典概型、贝努利概型、正态分布等等这些都是生产生活中抽象出来的，在很多问题中都可以归结为以上的模型。如以下两个

：

例1，设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

例2，保险公司在一天内承保了5000张相同年龄、为期1年的寿险保单，每人一份。在合同有效期内若投保人死亡，则公司赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0．0015，且各个投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率。

以上两个例子虽然不同，但都可以归结为伯努利概型，利用二项分布解决。对这类模型，不应简单地给出它的结果，而应注秀模型的建立、模型的应用范围以及如何把实际问题转化为有关的数学模型去解决。

三、适度引入多媒体教学及数据处理软件。促进课堂教学手段多样化

在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，“一支粉笔、一块黑板，以讲授为主”的传统教学方法显然已经跟不上现代化的教学要求，不利于培养学生的综合素质和创新能力。因此，有必要借助于现代化媒体技术和统计软件，制作内容、图形、声音、图像等结合起来的多媒体课件。～方面，采用多媒体教学手段进行辅助教学，能够将教师从很多重复性的劳动中解脱出来，教师可以将更多的精力和时间投入到如何分析和解释问题，以提高课堂效率，与学生有效地进行课堂交流。另一方面，用图形动画和模拟实验等多媒体作为辅助教学手段，便于学生对概念、图形等的理解。如投币试验、高尔顿板钉实验等小动画在不占用太多课堂时间的同时，又增添了课堂的趣味性。又如在利用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就能将抽象的定理化为形象的直观认识，达到一定的教学效果。在处理概率统计问题中，教师也会面对大量的数据，另外，集数学计算、处理与分析为一身的数据处理软件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在计算一些冗长数据时可以简化计算，降低理论难度。而且，在教师的演示过程中，能让学生初步了解如何应用计算机及软件，将所学的知识用于解决生产生活中的实际问题，从而激发他们学习概率知识的热情，提高他们利用计算机解决问题的能力。

最后，在教学过程中，教师应该考虑到各个专业的学生今后学习与发展的需要，在满足教学大纲的要求下，选择与其专业关系紧密的知识点进行重点讲授。同时，在讲授过程中，本着以人为本的教学理念，注意多种方法灵活应用，建立积极的互动教学模式，尽量避免教师在课堂上满堂灌、填鸭式地教学，充分调动学生学习的主动性，挖掘学生的学习潜能，最大限度地发挥和发展学生的聪明才智，使学生能理解概率统计这一学科领域思想方法的精髓。

论文参考文献：

[1]盛骤，谢式千。潘承毅．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜启源．数学模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐钟济．蒙特卡罗方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985：171—188．

[4] 郝晓斌，董西广．数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J]．经济研究导刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐荣聪，游华．(概率论与数理统计)课程案例教学法[J]．宁德师专学报(自然科学版)，2008(2)：145—147．

第三篇：概率论与数理统计

概率论与数理统计，运筹学，计算数学，统计学，还有新增的应用数学，每个学校情况不太一样，每个导师研究的方向也不太一样。看你报的哪个学校了~~ 赞同

数学的方向还是比较多的，比如金融，计算机，理科的方向 赞同

参看08年该校硕士招生简章中的专业目录及参考书目，先做到心里有数 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生简章都是在上一年的研究生招生录取工作结束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 现在不要急 先按照08的看 一般两三年之内不会有什么变化 即使有 也是在原有基础上 增加或改动一两本参考书的版本 不会有实质性的变动 而且 你如果现在就开始准备考研复习那就算比较早的了 一般从暑假开始复习就可以的 所以这个时期是基础段复习可把精力主要放在英语上 强化英语考研词汇是非常必要的 至于专业课 可以先按08的指定参考书初步复习等新的招生简章出来 再进行有针对性地复习不用担心万一改动了我会不会白白看了 以一个过来人的经验 知识储备的越多越好 名校的试题往往不局限于指定参考书的范围（楼主既然这么问了，这要好好慢慢的回答）

建议楼主考清华的经济学研究生，清华的工科类要强于北大（个人意见）；2，清华现在要考考A版的数学对你的有点好处，但影响不大，复试对你有利。3，清华的专业课考的难都因人而异，初试复试考一样的专业课,包括金融学（含国际金融、证券投资、投资市场、保险精算等，本专业所招人数最多）、国际经贸（研究生阶段叫做世界经济）、西方经济学、财政学、政治经济学专业;报考时可以随意报考自己喜欢的专业，录取时先全院统一录取（按分数高低），再按分数与志愿选择；专业课考的不是很难；（建议楼主去看下金融学基础，复旦大学出版社简称白皮书，或许对你有帮助）4，清华经济就业形势就目前环境下就业非常棒，中国才处于开始阶段，每年毕业生到各大银行、金融机构、保险机构、证券公司、财政货币机关、国家机关及高校任职，待遇非常之高！

网站，你可以试试去这里看看。在页面中部的对话框输入学校或专业就可以任意查。在这里，你还可以查到任意学校的招生简章，复习指导，网上报名及其它重要信息。全国各校公布分数线的时间也在这里最早发布。你可以试试，相信不会让你失望。。

因你是转专业，再给你一点个人建议吧

一、慎重选择：不要轻易下决定

不断地学习不同领域的知识，是所有有求知欲的人们的美好愿望，然而，这同样会成为朝三暮四的借口。

其实，很多考研人本来就存有逃避现实社会的压力，而选择继续呆在学校的心理;而在跨专业考研的人中，更有许多人根本就没有好好学过原来的专业，甚至从没认真考虑过是否自己适合它，只为了逃避，才选个看起来容易的专业去考。

如果是这样，请先停下来想想自己到底想要什么再说。因为一颗对待生活从不认真的心，是不会因为换了个专业就能有起色的。

如果不是这样，那么，也请三思。就因为一直认真，这次更要谨慎。

首先，考研复习将是艰巨的历程。隔行如隔山——这句古谚将贯穿之后的整个求学过程。自己原来的专业，再不济也学了三四年，耳濡目染，基础知识一定比没学过的扎实，细节也许没钻研，但大的格局和概念、思维方式是存在于脑海中的，即使是每次考前一个月的突击，突击了四年，也不是没有用的。这就是本专业对于外专业的一大优势。反过来，即是跨专业者相对于本专业者的劣势。

复习的时候，要花更多的时间在专业课上，使得基础课很容易就被搁置了，而任何一科的掉队，都会影响整个复习过程的心态和考试结果。

其次，备考中可能出现意想不到的困难。

不熟悉专业试题的答题惯例，会莫名其妙丢掉不该丢的分。而且，笔试通过了，复试中存在的不确定性因素，使跨专业者总是难以拥有“尽在掌握”的自信，而它确实也是难以“尽在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面对基本功扎实的同学们，还是面对有一定要求和标准的导师，还是面对也许让自己一时找不到坐标点的新求学生涯——如何给自己定位，如何重拾自信，如何建立对新专业的“新感情”，如何规划以后的职业和人生，这都是需要付出比别人更多心力去克服的问题。所以，是否要转变方向，换一个专业，需要尖锐严格地审视自身，而不是盲目跟风，可以考虑以下几点：

是否真正热爱将要为之付出心血的新专业?

长远来看，这个新领域是否有自己的天赋和性格发挥的空间?

是否可以肯定学习三年之后真能丰富完善自己的知识结构，而不是剃头担子两头塌?最后也是最基本最当前的问题：基础课是否有自身优势?没有优势怎么拨得出更多的时间给专业课的复习?

二、审时度势：了解自己，踏实去做

经过了自我的拷问，还坚定地要跨专业考研的朋友——相信你一定是个头脑清醒、梦想坚定的人。

在此，我们不得不再次强调跨专业考研的理由和标准：第一，热爱;第二，基于对自身才智和优势短处进行全面评估而做出的决定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以举个例子。一个在学校并非不认真对待自己学业的考研人，在经过四年的学习之后，发现仍然不喜欢自己所学的数学专业，而爱好文史哲。如果基础课英语政治还不错，那么他就具备了考虑跨专业考研的最低要求。那么，接下来怎么确定专业呢?首先，看爱好。对新闻传播、考古、文学皆有兴趣，怎么办?一个一个排除。对于新闻，多搜集资料，看作为一个新闻工作者需要什么样的素质，比如，敏锐的新闻感、强烈的争取和参与意识、健康的身体。直面自己的优缺点，如果有敏锐的新闻感，却没有强烈的争取和参与意识，甚至都无法面对需要长时间的工作强度，那么放弃。对于考古，作同样评估;另外，如果这时你的父母亲反对你的考古梦想，请把他们的忧虑考虑进去，一意孤行并不可取，要考虑到家庭的实际情况;并且，父母也是了解你的人，他们对你的性格、天分其实很了解。那么如果你认为父母意见的可接受性大过你对于考古的热忱，考古这一项，也被划去。最后剩下文学，如果经过一系列评估，觉得可行，那么它之下还有很多专业细分，是中国文学还是世界、比较文学，是古代文学还是现当代文学?要根据自己平时看书的偏好、积累的多少、考试试题能否应付等等内在和外在的因素来决定。这些将和下一部分联系起来谈。

这只是一个例子，跨专业的方向转变五花八门，几页纸不可能描述详尽，我们只能通过这个例子，了解一下需要考虑和平衡的各方面因素。

当然，请牢记，内心的热爱和对自己学习能力的自信在选择中最为重要。有了这两点，相

信你的选择会是对你而言最好的选择。这将是一个美丽的决定，决定之后，一定有云开见日的感觉。方向确定了，就朝着那儿毫不回头地走吧。

三、报考准备：眼观六路，耳听八方

让我们直接进入主题。

第一，细分专业和学校，确定报考目标。一定要看自己喜欢哪个城市，既然想借助这次的考研改变现状开始一段新的求学历程，一直想去哪个(或哪些)城市念书就不要将就。圈出大致范围，再找到那里学校的招生简章、专业招生表——网上查找或动用一切关系。特别要注意的是，你有意向的专业是否拒绝跨专业考生。在进行认真细致的对比之下确定两到三个你想去的名校和你喜欢的专业。这一步可以和前面确定城市同时进行，每个人情况不同，自行制定每一步适合自己的计划是必要的，而且能从中得到极大的充实感，总之，它让我们感到：一切都在自己的控制之下。

然后，尽可能地多找一些这几个可选学校可选专业的历年试题，仔细研究，看看哪一类的试题自己更有把握。这一步至关重要，这一步不可省略也不可推后，它将直接影响到以后的考试发挥。经过这一步，学校和细分专业几乎都能定下来了。

这一阶段什么时候进行呢?越早越好。我们不提倡把战线拉得太长，真正有效的复习从4月到次年1月足矣;然而跨专业不同，需要“酝酿”。可以不用过早开始真正的复习，但至少要比别人早两个月到半年开始寻找学校、涉猎与新专业相关的期刊、书籍、寻找对于新专业的亲近感和对于新学校新未来的向往感——这是真正复习开始的前站，用这段时间弥补跨专业的不足，在真正的战役打响时，我们将更加坚定更有信心。

第二，专业课教材到位。前面把工作真正做到细致，4月份到5月份一定要定下最终要考的学校和专业。定下之后，就要相信自己的判断，不要犹疑，快去买专业课教材!按照学校列出的书目买全专业课教材，还要找出一两个能帮上忙师兄师姐、找同学、找亲戚，甚至找网友去打听没有列出的那些。

这里有两个问题：买书和找师兄师姐——自己能买到的书，尽量自己去买，有学校可以邮购，有书店可以搜寻，再不行，去图书馆系统或网上找出这本书的出版社，找到出版社电话，打电话、汇款去邮购。不要一开始就事事麻烦别人，自己能解决的自己找渠道解决。后面有更重要的事去麻烦他们。实在不行了，去找师兄师姐，最重要的是问题要明确。随便说：“我要考你们学校某专业，请帮助我”是没用的。要明确说出你的具体问题，要考哪些书，重点看哪些泛读看哪些，打听到哪里能买到自己却没办法，请他们帮忙——听到这么明确的问题，人人都会乐意帮忙。6月底之前，主要的专业课教材一定要到位。

第三，复习时要注意的问题。

首先，基础课不能偏废。前面说了，基础课要有一定把握，才可能跨专业考研，否则到关键时刻就会感到分身乏术。在主攻专业课时，基础课一天都不能停。可以用早晨、吃午饭前、吃晚饭前以及睡觉前的时间去复习英语：阅读、单词、听力，一个都不能少。如果每天坚持，就是这些边边角角的时间都足够英语的复习准备。政治也一样，最好报一个秋季班，几个月上下来，有老师领着复习，比自己摸索更有效率，大致的知识脉络也会清晰起来了。请相信自己，从初中就开始学的这门课，不会差到哪里去，但也要在心里培养对它的兴趣，一讨厌它、搁置一段日子，一切都晚了;反过来，每天花两个小时，只要坚持，就会既轻松又有成就感。

跨专业考生往往把一腔热情放在专业课上，有意无意地就偏废了基础课，等发觉时间紧迫的时候，回头一看基础课落下一大截，这会大大影响后面冲刺和考试的信心。

其次，专业课复习。11月份报名之前一定要把专业书踏踏实实至少细读一遍。这一遍不要欺骗自己，质量至上，一定要全部弄通弄懂。这样在后面的两个月才会更有底。

笔记一定要做。当11月报名时间来临时，你会发现越来越多的人们讨论起复习进度。那时候本专业考生和别的跨专业考生所做的准备和进度会让你大惊失色——有那么多人准备得那么好!本来就对不熟悉的专业容易产生的“心虚”这个时候会更加强烈，那么回过头总结一下自己的成果，只有实实在在密密麻麻的几本笔记会成为自己的强心剂，数数看，几本笔记，七八万字是少不了的。加上政治英语，你会为自己所做的上10万字的笔记而惊讶的。这是积聚信心、抬头挺胸的重要来源。

四、全力复习：坚持到底，毫不畏惧

首先，研究历年试题，自己划重点。历年试题非常非常重要，报名之前即11月初，一定要把学校相关专业的历年试题弄到手。这需要积极调动网络资源，自己能下载的下载，能买到的去买，最后一招：求助师兄师姐。这时提出的请求也一样要尽可能明确。有一个女生，考某大学某专业，通过同学的同学的姐姐，找到一位师姐，打电话给她：“我知道你们学校图书馆五楼的阅览室有历年试题的专柜，可以借出来复印。请帮忙复印某年到某年某专业的„„”该师姐大惊：“我都不知道有这样一个地方，你怎么知道的?”这个女生慢慢说来，怎么从网上找到该学校专栏讨论、怎么了解到的，师姐大开眼界，兴趣高涨，帮她把相关专业能找到的试题全都复印一通寄去。

接下来就是更仔细地研究试题。只需要一个晚上时间，把历年试题全都摆在桌面，总结规律和重点难点，老师出题的习惯等等。借此可以划出下一步复习的重点(甚至是考试的重点)，不再一律通读，而是有头脑的、有目标的复习。不要怕系内老师改朝换代，再改也有一脉相承的科研风格，掌握了大体，以不变应万变。

划完重点，一股“运筹帷幄”的气势油然而生，趁着这股气势，投入到更深入的复习中去，一定事半功倍。

其次，为考试做准备，掌握专业答题习惯。在剩下的两个月当中，一定要找点时间去学校的自己要考的专业宿舍混混，目的是了解专业答题有什么惯例、有什么特殊要求和需要注意的地方。随便哪个学校都行，自己方便找的、正规的大学就可以;当然，方便的话，最佳选择就是所考学校研一同专业学生宿舍，这样就不仅了解试题情况，还可以挖掘更多这两个月应该注意的问题。

考试的时候，和复习中所强调的一样——一定要自信。要相信自己经过了周密的计划、万全的准备。拿到试卷的时候，要像热爱专业书籍一样热爱它们，冷静的头脑，热情的心灵，一定战无不胜。

最后，就是复试了。关于导师是否要找，各有各的说法，能找到最好，没找过的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其实接到复试通知书的时候，一般都没有更多时间去扩展知识面了，这些是最初就应该做的。这时候跨专业考生常常担心自己的基础不够，再次心虚。那么与其瞎抓一把，不如把以前看过的书拿出来再翻一遍，总有用得上的，做生不如做熟。对于某些领域的熟悉或精通，比泛泛而谈更能显出自己的特色。用真诚的微笑和哪怕是使劲鼓才能鼓起的信心和勇气，去直面导师。好歹经过这一年的学习，我们也算复合型人才了，怕什么!

说到这里，整个过程看起来完了——其实没有!拿到录取通知书的时候，是一个开始。

进入研究生阶段的学习，是一个更自主、更专业的学习过程，跨专业学生一踏入这片天地，肯定会受到冲击。不熟悉的领域，老师觉得应该是常识自己却闻所未闻的知识，难以找到的新生活定位„„这些都要有心理准备。建议在5月到8月这段天堂般的生活中也不要忘记看看与专业相关的书籍(并非专业课本)，继续打基础，进入研究生生活根本没有时间给你去打基础。

总之，对于勇敢的考研人，继续用韧性和信心，在开学前调养好身心，并不放弃不断学习的好习惯，为进入一个新的求学生涯做好准备，都是必要的。相信这样贯穿始终的准备，一定会迎来新的局面，实现挑战人生充实自己的梦想。对生活认真，生活也会认真地回报你。要相信，要坚持。

第四篇：概率论与数理统计

概率论与数理统计

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

考试要求

1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．

3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．

3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为

5．会求随机变量函数的分布．

三、多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求

1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．

4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会

运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．

2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考试要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)．

六、数理统计的基本概念

考试内容

总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩分布分布分布 分位数 正态总体的常用抽样分布

考试要求

1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性质，了解上侧 分位数的概念并会查表计算．

3．了解正态总体的常用抽样分布．

七、参数估计

考试内容

点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．

2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．

3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．

4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验

考试内容

显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

考试要求

1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．

2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．

数学大纲和去年相比变化之处

从拿到大纲的情况来说，今年的大纲和往年是没有什么变化，这一点和我前面所预测的是基本上一致的。当然大纲没有变化，对大家也有一个好处，也就是大家可以按照原先的计划，按步就班的走，不用考虑有一些计划

调整等等这样一类的东西。

2011年考试的难度是有一个怎样的趋势

至于难度，咱们要说2011年的难度，可以看一下这几年的难度水平。数一2008，2009年的难度水平基本上是一致的，2010年的考试难度有一定的上升，我认为2011年难度水平应该有所下降。大纲没有变，而考研是一个选拔性的考试，要求有一定的稳定性。所以，数一的同学，2011年的考试试题难度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。对数二和数三来说，水平应该和往年基本上是一致的。

2011年的考察重点会在哪个方面

由于今年考研大纲没有变化，我们可以根据考试的一些要求，还有历年考试真题的情况，咱们可以看一下历

年考试的重难点。

咱们看高等数学部分，高等数学部分第一部分函数、极限连续这一块，重点要求掌握两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换，这样一些东西，还有一些极限存在性问题，间断点的类型，这些东西在历年的考察中都比较高，而我上课的时候一直给大家强调，考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对

数三的同学，这儿可能出大题。

第二部分是一元函数微分学，这块大家主要处理这几个关系，连续性，可导性和可微性的关系，掌握各种函数的求导方法。比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。

一元函数微分学涉及面非常广，题型比较多，而且这一部分还有一个比较重点的内容，就是出证明题。咱们知道中值定理是历年经常考的一个考点，所用的主要方式就是构造辅助函数的方法进行证明。当然，这里还包含

一部分等式和不等式的证明，零点问题，以及极值和凹凸性。

多元函数微分学，这一块内容实际上也是按照一元函数微分学的形式进行考察的，比如咱们求偏导数，先固定一个变量，给另一个变量求导数，归根到底还是考察一元函数微分学。对多元函数微分学，大家还有一个内容

要掌握，连续性、偏导性和可微性，特别是抽象函数求二阶导数和二阶混合偏导这一类的题。

当然，还有一个问题，多元函数微分学的应用，主要牵扯两方面，一个是条件极值，一个是最值问题。这两

块。

积分学包含两块，也就是一元函数积分学和多元函数积分学，对于一元函数积分学一个是不定积分和定积分的计算，对不定积分一定要非常熟练掌握基本运算，对于定积分除了掌握用不定积分计算的方式，还要注意用定

积分的性质，比如定积分的奇偶性，周期性，单调性等等。

还有一块，定积分应用，主要考察面积问题，体积问题，或者说这块和微积分的结合等等。对于数一的同学来说，咱们还牵扯到一块，三重积分，曲线和曲面积分这两块，对于三重积分来说，大家主要掌握一些基本的，比如对球体、锥体、圆柱的积分，对于曲线和曲面积分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二类曲线积分转化成二重积分，利用高斯公式把曲面积分转化成三重积分进行运算，这里有一个比较常考的知识点，曲

线积分与路径无关，这个要作为一个主要的知识点进行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有两个重点，一个是一元线性微分方程，第二个是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程，对第一部分，大家掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说，大家要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征

方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。

对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方

程是相似的，学习的时候要注意这一点。

第五个，级数问题，主要针对数一和数三，有两个重点，一个是常数项级数的性质，包括敛散性。

第二块，牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一

个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。

关于线性代数这一块，有这样几个重点的内容，一个是逆矩阵和矩阵的秩。第二个，向量的线性相关性和向量的线性表示。向量组合的相关性，这一块极有可能考的类似于计算的证明题。比如让咱们证明几个向量线性无关。第三块是方程组的解的讨论，其中还包括有待定参数的解的讨论，这块的问题，往年也考得比较多。

第四块特征值和特征向量的性质，以及矩阵的对角化。

第五块，正定二次型的判断。大家在学线代的时候，还要注意一个方向，就是线性代数各个章节的连贯性是比较强的，我们在复习总结的时候，特别是后期，对于这一块内容要自己有一个总结，然后还可以看一看比如咱

们的复习全书或者复习指南这之类的书，在脑海中对线性参数的知识点要形成一个知识性框架。

概率统计这块（数二不考），概率统计要注重这几块内容，一个是概率的性质与概率的公式，这一块要求咱们非常熟练的掌握，比方说加法公式，减法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，这块要非常熟悉的掌握。

还有一部分，古典概率和几何概率，这块大家掌握中等难度的题就可以了。

第二块，一维随机变量函数的分布，这个要重点掌握连续性变量的这一块。这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。

第三块，多维随机变量的联合分布和边缘分布还有条件分布，多维随机变量的独立性，这块是考试的重点，当然也是一个难点。这块还有一个问题要求大家掌握的，随机变量的和函数和最值函数的分布。

第四块，随机变量的数字特征，这块很重要，要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独性考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。

第五块，参数估计这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的同学，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。数一的同学，咱们特别强调一点，考这个矩估计

或者最大似然估计，极有可能结合无偏性或者有效性进行考察。

第五篇：概率论与数理统计实验报告

概率论与数理统计

实验报告

题目1：n个人中至少有两人生日相同的概率是多少？通过计算机模拟此结果。

问题分析：n编程：

n=input('请输入总人数n=');a=365^n;m=n-1;b=1;

for i=0:1:m

b=b*(365-i);end

f=1-b/a 个人生日的组合为a=n365，n个人中没有生日相同的组合为

b=365*364*......*(365-n+1),则n个人中至少有两个人生日相同的概率为1-b/a。

输出结果：（令n=50）

结果分析：当人数为50人时，输出结果为0.9704，此即说明50人中至少有两人生日相同的概率为0.9704。

题目2：设x~N(μ,σ2)，（1）当μ=1.5，σ=0.5时，求p｛1.8

问题分析：（1）、（2）题直接调用相应函数即可，（3）题需要调用绘图的相关函数。编程：

x1=[1.8,2.9];x2=-2.5;

x3=[0.1,3.3];

p1=cdf('Normal',x1,1.5,0.5);p2=cdf('Normal',x2,1.5,0.5);p3=cdf('Normal',x3,1.5,0.5);f1=p1(2)-p1(1)f2=1-p2

f3=1-p3(2)+p3(1)%2(1)x=icdf('Normal',0.95,0,1)

%2(2)

x=[-4:0.05:10];

y1=pdf('Normal',x,1,0.5);y2=pdf('Normal',x,2,0.5);y3=pdf('Normal',x,3,0.5);y4=pdf('Normal',x,4,0.5);

plot(x,y1,'K-',x,y2,'K--',x,y3,'*',x,y4,'+')输出结果：

f1 = 0.2717 f2 = 1.0000 f3 = 0.0027 x = 1.6449（右图为概率密度函数图像）

题目3：已知每百份报纸全部卖出可获利14元，卖不出去将赔8元，设报纸的需求量 的分布律为

试确定报纸的最佳购进量。（要求使用计算机模拟）

问题分析：由题意知卖出百份可赚14元而卖不出的一百份会赔8元，所以购进整百份报纸比较划算。设X（k）为购进k百张报纸后赚得的钱，分别计算E（X（k））（k=0,1,2,3,4,5），由此得到当k=3时，E（X（k））最大，故最佳购进量为300。下面用计算机模拟该过程。

编程：

T=[];

for k=0:5;s=0;

for n=1:3000;x=rand(1,1);if x<=0.05;y=0;

elseif x<=0.15;y=1;

elseif x<=0.4;y=2;

elseif x<=0.75;y=3;

elseif x<=0.9;y=4;

else x<1;y=5;

end;

if k>y;

w=22*y-8*k;

else;

w=14*k;

end s=s+w;end

t=s/3000;T=[T,t];end T

输出结果：T =0 12.8193 23.6807 28.7120 27.3780 20.3167 结果分析：本题利用利用计算机模拟购进量不同时利润的不同,得到3000次随机试验利润的样本均值，最终是购进300份报纸时获利期望最大为28.8440元，故最佳购进量是300张。

题目4：就不同的自由度画出t分布的概率密度曲线。

编程:(在命令窗口中输入n=20)x=[-4:0.00005:4];y1=pdf('T',x,1);y2=pdf('T',x,2);y3=pdf('T',x,5);y4=pdf('T',x,10);

n=input('自由度n=');y5=pdf('T',x,n);

plot(x,y1,'K-',x,y2,'Y--',x,y3,'R:',x,y4,'-.',x,y5,'m')输出结果：（如下图）

题目5：:设某工件长度X服从正态分布（a，16），今抽取9件测量其长度，的数据如下（单位：mm）：142 138 150 165 148 132 135 160.求参数在（147.333-x,147.333+x）的置信度(平均值为147.333 n=9）

编程：（在命令窗口中输入x=0.05）

x=input('x=')a=3*x/4

specs=[-a,a]

pp=normspec(specs,0,1)

输出结果：

x=0.05 pp = 0.0299

结果分析：参数在（147.333-0.05,147.333+0.05）区间犯错误的概率为0.0299，即参数在此区间的置信度为1-0.0299=0.9801。

题目6：为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm的标准金属棒进行了六次重复测量，结果如下（单位：mm）

30.1 29.9 29.8 30.3 30.2 29.6

若仪器无系统偏差，即μ=30,求σ2的置信度为0.95的置信区间。

编程：

x=[30.1,29.9,29.8,30.3,30.2,29.6];u=30;

for i=1:6;

b=[x-u].^2;end

c=b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+b(5)+b(6);f1=chi2inv(0.025,6);f2=chi2inv(0.975,6);c1=c/f1 c2=c/f2

输出结果：

c1 =0.2829 c2 =0.0242 结果分析：在犯错误的概率不超过

0.05的前提下，（0.0242,0.2829）。

该参数的置信区间为