第一篇：抽屉原理习题精选
抽屉原理习题精选（含答案）
1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？
3．有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜。试证明：一定有两个运动员积分相同。
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？
7．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了多少堆？
9．从1，3，5，„„，99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。
10．某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。
11．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有多少人得分相同？
12．2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同?
13．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有多少人植树的株数相同？
答案：
1．将红、黄、蓝三种颜色看作三个抽屉，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出4个球。3×（2-1）+1=4
2．将14种点数看作是14个抽屉，最少要抽取29张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。14×（3-1）+1=29（扑克牌中的点数说明：A--K分别为1—13点，大小王点数相同，共14种点数。）
3．证明：A、B、C、D四类书，根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种，分别是：A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD
因为有11名学生到老师家借书，而只有10种借书情况，将这十种借书情况看作是十个抽屉，因此必有两个学生所借的书的类型相同。11÷10=1......1 1+1=2
4．证明，所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛。即每个人要参加49场比赛，这样如果假设没有运动员积分相同，因为没有全胜，则运动员的积分就有48胜、47胜„„2胜、1胜、0胜共49个积分情况，而50名运动员需要有50个不同的积分结果，这里“49个积分情况”与“需要50个积分结果”出现了矛盾，所以假设“没有运动员积分相同”是错误的，因此一定有两个运动员积分相同。
5．方法同第3题，拿球的种类组合可以有以下六种：足球、排球、篮球、足排、足篮、排篮，这六种组合看作六个抽屉，至少有9名同学所拿的球种类是一致的。50÷6=8.....2
8+1=9
6．则参赛男生46人。
7．至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8．至少把这些水果分成了5堆。
分四种情况： 9．至少选出51个数，其中必有两个数的和是100。
10．46乘客带苹果。
11．提示：分值从0～100，共101种可能的分值，10101÷（0＋1＋2＋„„＋100）＝2„„1，则至少有3人得分相同。
12．至少有335个人游览的地方完全相同。
13．则至少有5人植树的株数相同。
第四讲：最不利原则
一、最不利原则
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出（）个红球、（）个黄球和（）个蓝球，此时三种颜色的球都是（）个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出（）个球。
通过上面分析，列式为：
例2一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
分析与解：从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。通过上面分析，列式为：
例3在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
分析与解：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。这41张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。
热身操
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？ 3.口袋里有三种颜色的筷子各10根。问：
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？ 4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？ 第六讲：抽屉原理
抽屉原理
抽屉原理又叫狄里克雷原理，是指：把n+1个元素，任意放入n个抽屉，则其中必有一个抽屉里至少有2个元素.抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
例1：把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2枝笔，这是为什么？ 我们从最不利的原则去考虑：
答：如果我们先让每个笔筒里放（）枝笔，最多放（）枝。剩下的（）枝还要放进其中的一个笔筒。所以不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进（）枝笔。
练习：7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
答：如果一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进（）只鸽子，还剩下（）只鸽子。所以，无论怎么飞，至少有（）只鸽子要飞进同一个笼子里。
例2：把5本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。这是为什么？ 例3：把7本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？ 例4：把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？ 做一做：8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍。为什么？ 计算方法：至少数＝商数+1 练习：
1、某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？
2、一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子
3、礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同？
4、体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个。问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？
5、口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？
6、幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？
7、图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两本不同类的图书，至少有多少个同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同？
8、要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。问：至少有几个盒子中放球的数目相同？
9、把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
10、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？
HER新思路教育11111111、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？
12、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？
13、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
14、在任意的10人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等？
15、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?
16、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？
17、某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这380个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
18、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？
19、任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，这是为什么？
20、从任意3个整数中，一定可以找到两个。使得它们的和是一个偶数，这是为什么？
21、从任意的5个整数中，一定可以找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，这是为什么？ HER新思路教育
22、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52，这是为什么？
23、在100米的路段上栽树，至少要栽多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？（两端各栽一棵）
24、从1~10这10个数中，任取多少个数，才能保证这些数中一定能找到两个数，使其中的一个数是另一个数的倍数？
25、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？
26、有尺寸、规格相同的6种颜色的袜子各20只，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子？ HER新思路教育
27、把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋有至少分得一块饼干，那么不管怎么分，一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同，这是为什么？
28、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书，其中才一定有两人所借的图书种类相同？
29、（1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102.HER新思路教育（2）从1到100的所有奇数中，任取27个不同的数，其中必有两个数的和等于102，请说明理由。
抽屉原理练习题
1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。
2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。| 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ |解题关键：利用抽屉原理２。| 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5 由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。
6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。| 解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）
7、证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。
解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。
8.某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果
解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。
9.一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。
10.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
解析：考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。
11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.证明:把前25个自然数分成下面6组: 1;① 2,3;② 4,5,6;③ 7,8,9,10;④ 11,12,13,14,15,16;⑤ 17,18,19,20,21,22,23, ⑥
因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？
解析：根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。
13．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？ 【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。
15．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
17．六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。
18．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。
81÷10=8……1（个）。
根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。
19．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？
分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况。将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7×（5-1）＋1＝29（名）。
20.在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。
解：1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。
21.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。
分析：解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。
解：以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。
22.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8.解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4。把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。
反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是1/4，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。
23． 班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 ,根据原理1，书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.24． 在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。解：把这条小路分成每段1米长，共100段,每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果 ,于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树.25． 有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜.试证明：一定有两个运动员积分相同
证明：设每胜一局得一分,由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能 ,以这49种可能得分的情况为49个抽屉 ,现有50名运动员得分则一定有两名运动员得分相同.26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用抽屉原理2。
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：
第二篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学设计 芙蓉中心小学 简淑梅 【教学内容】：
人教版《义务教育课程标准实验教科书●数学》六年级（下册）第四单元数学广角“抽屉原理”第70、71页的内容。【教材分析】：
这是一类与“存在性”有关的问题，教材通过几个直观例子，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，从而抽象出“抽屉原理”的一般规律。并利用这一规律对一些简单的实际问题加以“模型化”。即：只需要确定实际生活中某个物体（或某个人、或种现象）的存在就可以了。【学情分析】：
抽屉原理是学生从未接触过的新知识，很难理解抽屉原理的真正含义，尤其是对平均分就能保证“至少”的情况难以理解。
年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。
思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。【教学目标】：
1．知识与能力目标：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
2．过程与方法目标：
经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．情感、态度与价值观目标：
通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。【教学重点】：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。【教学难点】：
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教学准备】：
多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。【教学过程】：
一、课前游戏，激趣引新。
上课伊始，老师高举3张卡片。（高兴状）
（1）老师这有3张漂亮的卡片，我想把它们送给在坐的三位同学，想要吗？
（2）在送之前，我想请同学们猜一猜，这三张卡片会到男生手上还是会到女生手上？（学生思考后回答：可能送给了3名女生、可能送给了3名男生、也有可能送给了2名男生和1名女生、还有可能送给了2名女生和1名男生。）
（3）同学们列出的这四种情况是这个活动中可能存在的现象，你能从这四种可能存在的现象中找到一种确定现象吗？（学生思考后回答：得到卡片的三个同学当中，至少会有两个同学的性别相同。）
（4）老师背对着学生把卡片抛出验证学生的说法。
（5）如果老师再抛几次还会有这种现象出现吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，也就是我们今天这节课要研究的学习内容，想不想研究啊？
〖设计意图〗：在知识探究之前通过送卡片的游戏，从之前学过的“可能性”导入到今天的学习内容。一方面是使教师和学生进行自然的沟通交流；二是要激发学生的兴趣，引起探究的愿望；三是要让学生明白这种“确定现象”与“可能性”之间的联系，为接下来的探究埋下伏笔。
二、操作探究，发现规律。
1．动手摆摆，感性认识。
把4枝铅笔放进3个文具盒中。
（1）小组合作摆一摆、记一记、说一说，把可能出现的情况都列举出来。
（2）提问：不管怎么放，一定会出现哪种情况？讨论后引导学生得出：不管怎样放，总有一个文具盒里至少放了2只铅笔。
〖设计意图〗：抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个杯子中
至少放进2根小棒”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的杯子，理解“总有一个杯子”以及“至少2根”。
2．提出问题，优化摆法。
（1）如果把 5支铅笔放进4个文具盒里呢？结果是否一样？怎样解释这一现象？（学生自由摆放，并解释些种现象存在的确定性。）
（2）老师指着一名摆得非常快的同学问：怎么你比别人摆得更快呢？你是否有最简洁、最快速的方法，快快说出来和同学一起分享好吗？
（3）学生汇报了自己的方法后，教师围绕假设法（平均分的方法），组织学生展开讨论：为什么每个杯子里都要放1根小棒呢？
（4）在讨论的基础上，师生小结：假如每个杯子放入一根小棒，剩下的一根还要放进一个杯子里，无论放在哪个杯子里，一定能找到一个杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能将小棒尽可能地分散，保证“至少”的情况。
〖设计意图〗：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。
3．步步逼近，理性认识。
（1）师：把6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔吗？为什么？
把7支铅笔放进6个文具盒里呢？
把8枝笔放进7个盒子里呢？
把20枝笔放进19个盒子里呢？
……
（2）符合这种结果的情况你能一一说完吗？你会用一句归纳这些情况吗？
（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）
〖设计意图〗：通过这个连续的过程发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维，从而达到理性认识“抽屉原理”。
4．数量积累，发现方法。
7只鸽子要飞进5个鸽舍里，无论怎么飞，至少会有两子鸽子飞进同一个鸽舍。为什么？
（1）如果要用一个算式表示，你会吗？
（2）算式中告诉我们经过第一次平均分配后，还余下了2只鸽子，这两只鸽子会怎么飞呢？（有可能两只飞进了同一个鸽舍里，也有可能飞进了不同的鸽舍里。）
（3）不管怎么飞，一定会出现哪种情况？
（4）讨论：刚才是铅笔数比文具盒数多1枝的情况，现在鸽子数比鸽舍要多2只，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”？
（4）如果是“8只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下3只鸽子。）
（5）“9只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下4只鸽子。）
根据学生的回答，用算式表示以上各题，并板书。
〖设计意图〗：从余数1到余数2、3、4……，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。并发现余下的鸽子数只要小于鸽舍数，就一定有“至少有两子鸽子飞进同一个鸽舍”的现象发生。
5．构建模型，解释原理。
（1）观察黑板上的算式，你有了什么新的发现？（只要鸽子数比盒鸽舍数多，且小于鸽舍数的两倍，至少有2只鸽子飞进了同一个鸽舍里。）
（2）刚才我们研究的这些现象就是著名的“抽屉原理”，（教师板书课题：抽屉原理）我们将小棒、鸽子看做物体，杯子、鸽舍看做抽屉。
（3）课件出示：“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
（4）请你用“抽屉原理”解释我们的课前游戏，为什么不管老师怎么送，得到卡片的同学一定有两个同学的性别是一样的？其中什么相当于“物体”？什么相当于“抽屉”？
〖设计意图〗：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理。研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去，所以请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着，并让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。
三、循序渐进，总结规律。
（1）出示71页的例2：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？
A、该如何解决这个问题呢？
B、如何用一个式子表示呢？
C、你又发现了什么？
教师根据学生的回答，继续板书算式。
（2）如果一共有7本书呢？9本书呢？
（3）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？
教师师让学生充分讨论后得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”（教师板书。）
〖设计意图〗：对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上，引导学生抓住假设法最核心的思路---“有余数除法”，学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。从而得出“某个抽屉书的至少数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，从而使学生从本质上理解了“抽屉原理”。四．运用原理，解决问题。
1、基本类型，说说做做。
（1）8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
（2）张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
2、深化练习，拓展提升。
（1）有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，如果请五位同学每人任意抽1张，同种花色的至少有几张？为什么？
如果9个人每一个人抽一张呢？
（2）某街道办事处统计人口显示，本街道辖区内当年共有 370名婴儿出生。统计员断定：“至少有2名婴儿是在同一天出生的。”这是为什么？ 至少有多少名婴儿是在同一个月出生的？为什么？
〖设计意图〗：让学生运用所学知识去分析、解决生活实际问题，不仅是学生掌握知识的继续拓展与延伸，还是他们成功解决问题后获取愉悦心情的重要途经；不同题型、不同难度的练习不仅能进一步调动学生学习的积极性，还能满足不同的孩子学到不同的数学，并体会抽屉原理的形式是多种多样的。
五、全课小结，课外延伸。
（1）说一说：今天这节课，我们又学习了什么新知识？你还有什么困惑？
（2）用今天学到的知识向你的家长解释下列现象：
从1、2、3……100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢？
〖设计意图〗：既让学生说数学知识的收获，也引导学生谈情感上的感受，同时培养他们的质疑能力，使三维目标落到实处；把课堂知识延伸到课外，与家长一起分析思考，主要是想拓展学生思维，达到“家校牵手，共话数学”的教学目的。
板书设计。
抽屉原理
物体数 抽屉数 至少数 =商＋1
（铅笔数）（盒子数）
2
3
÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1
〖设计意图〗：这样的板书设计是在教学过程中动态生成的，按讲思路来安排的，力求简洁精练。这样设计便于学生对本课知识的理解与记忆，突出了的教学重点，使板书真正起到画龙点睛的作用。
第三篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学反思
严田小学彭性良
《课程标准》指出：数学必须注意从学生的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会数学就在身边，对数学产生浓厚的兴趣和亲近感。也就是创设丰富的学习氛围，激发学生的学习兴趣。通过让学生放苹果的环节，激发学生的学习兴趣，引出本节课学习的内容。通过3个苹果放入2个抽屉的各种情况的猜测，进一步感知抽屉原理。认识抽屉原理不同的表述方式：①至少有一个抽屉的苹果有2个或2个以上；②至少有一个抽屉的苹果不止一个。
充分利用学生的生活经验，对可能出现的结果进行猜测，然后放手让学生自主思考，采用自己的方法进行“证明”，接着再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“假设法”等方法进行比较，教师进一步比较优化，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理。最后出示练习，让学生灵活应用所学知识，解决生活中的实际问题，使学生所学知识得到进一步的拓展。
这种“创设情境——建立模型——解释应用”是新课程倡导的课堂教学模式，让学生经历建模的过程，促进学生对数学原理的理解，进一步培养学生良好的数学思维能力。
第四篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学设计
教材分析：现行小学教材人教版在十一册编入这一原理，旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也就是初步接触第一原理），会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，让孩子建立数学模型，发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
学情分析：使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学过程
一、游戏引入
3个人坐两个座位，3人都要坐下，一定有一个座位上至少坐了2个人。
这其中蕴含了有趣的数学原理，这节课我们一起学习研究。
二、新知探究
1、把4枝铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进（）枝铅笔先猜一猜，再动手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法记录（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么发现？
不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。总有是什么意思？至少是什么意思
2、思考
有没有一种方法不用摆放就可以知道至少数是多少呢？
1、3人坐2个位子，总有一个座位上至少坐了2个人2、4枝铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒中至少放了2枝铅笔5枝铅笔放进4个文具盒中，6枝铅笔放进5个文具盒中。99支铅笔放进98个文具盒中。是否都有一个文具盒中
至少放进2枝铅笔呢？ 这是为什么？可以用算式表达吗？
4、如果是5枝铅笔放到3个文具盒里，总有一个文具盒至少放进几枝铅笔？把7枝笔放进2个文具盒里呢? 8枝笔放进2个文具盒呢? 9枝笔放进3个文具盒呢？至少数=上+余数吗？
三、小试牛刀 1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里?
2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有几张是同花色的？
四、数学小知识
数学小知识：抽屉原理的由来最先发现这些规律的人是谁呢？最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做
“抽屉原理”。
五、智慧城堡
1、把13只小兔子关在5个笼子里，至少有多少只兔子要关在同一个笼子里?
2、咱们班共59人，至少有几人是同一属相？
3、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，镖镖都中，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
4、六年级四个班的学生去春游，自由活时有6个同学在一起，可以肯定。为什么？
六、小结
这节课你有什么收获？
七、作业：课后练习
第五篇：抽屉原理
4分割图形构造“抽屉”与“苹果”
在一个几何图形内, 有一些已知点, 可以根据问题的要求, 将几何图形进行分割, 用这些分割成的图形作抽屉, 从而对已知点进行分类, 再集中对某个抽屉或某几个抽屉进行讨论, 使问题得到解决.命题4在正方体的8个顶点处分别放上8个不同的正整数, 如果它们的和等于55, 那么, 一定能找到某个侧面正方形, 其相对顶点所放的数都是奇数.证明
首先, 由8个正整数的和为奇数知, 当中必有奇数个奇数；其次,为奇数的至少有3个, 否则, 假设最多有一个奇数, 便有551246810121457，矛盾!
现以正方体的侧面对角线为棱组成两个三棱锥, D – A1 BC , B1 – ACD1如图1, 3个奇数归入2个三棱锥, 必有2 个奇数属于同一个三棱锥。这两个归入奇数的顶点必是某一侧面正方形的相对顶点。
此命题中的抽屉原理的应用属于“苹果”(元素)、“抽屉”都未直接给出的类型, 需要从几何上去构造两个“抽屉”。并运用奇偶分析法找出3 个“苹果”。
在不超过60的正整数中任取9个数，证明：这9个数中一定有两个数（a和b）的比值满足2a3 3b
2例3 任意给定12 个不同的自然数,证明其中必有两个数的和或差是20 的倍数.证明 将自然数按照除以20 所得的余数分类,得0、l、2、„„、19,共20 类.任意给定的12 个不同的自然数,若有两个数在同一类(即两个数除以20的余数相同),那么它们的差是20 的倍数,结论成立。任意给定的12 个不同的自然数中,每两个数都不在同一类,也就是按上面分的20 类中每一类只多有一个已知数(也可以没有).此时,我们把自然数按被20 除的余数。0、l、2、3、„„、19 分成11类: {I,19},{2,18},{3,17},„,{9,11},{10},{0} 每一类当做1 个抽屉,己知的12 个自然数必有两个在同一个抽屉中,它们的和是20 的倍数
一般地任取2个不同的自然数，必有两个数的和或差是n的倍数.2证明 设所给的自然数为am（m=1、2、……、2），有am=ngm+rm，2nnnrm0、1、2、......、 2则2个自然数的余数，分属1种情况，看做1个抽屉，必有两个数222ai，aj属于同一个抽屉，即rirj。nnn.(1)当rirj时,ai-aj是n的倍数;(2)当ri-rj时, aiaj是n的倍数·
综合(l)、(2)可知,该命题成立
例7 试证:从1,2,3,„,10 这10 个自然数中,任取6个数,则必能找到两个数,其中一个数是另一个数的倍数.分析
6个数,需设计5 个抽屉,把前10个自然数放在5 个抽屉里,且能使每个抽屉中的数具有倍数关系,因此得出如下分类方法:{1,7},}2,6 },{3,9},{4,8},}5,10 }.解 将前10 个自然数分成以下5 组:}l,7},}2,6},{3,9},}4,8},{5,10}.把这5 组看做5 个抽屉.任取6 个数则必有两个数出自同一抽屉里,其中大数是小数的倍数.若题目变为从1,2,3,„,20,这20 个自然数中,任取1 个数,则必能找到两个数,其中一个数是另一个数的倍数.则应这样设计抽屉:{l,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},}{3},{15},{17},{19}.把这10 组看做10抽屉.任取11个数,则必有两个数出自同一抽屉里,只能是前5 个抽屉,其中大数是小数的倍数.一般地,设1a1a2...an12n，则有1ijn1，故aiaj。
证明 设ai2ibi，ai0，2不能整除b（因为1,2,3，…,2nii=1,2,3,„,n+1,其中bi<2n，中恰有n个不同的奇数,故在b1,….,bn+1中至少有两个相同,设bi=bj,1ijn1,故aiaj。
.这是数论中的一个定理,1935 年由爱尔特希(erdos)提出,莱梅证明的例6 给定九个不同的实数a1,a2,...,a9,证明: 至少存在两个实数ai,ajai , aj(ij), 满足: 0naiaj1aiaj21。
ytan，k=1,2,…,9,由在k,单调递增, 22223,分成8个小区间:,，8222证明
设ak= tank-当aiaj时，ij。将33,…,根据抽屉原理, 在,,,至少存在两个角i,j使得8482220ij8，则有: 0tanijtan8，0tanitanj1tanitanj21, 即有0aiaj1aiaj
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D
C A
B D1 A1 B1
D
C A
B D1 C1 A1
B1
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