抽屉原理的应用与推广

第一篇：抽屉原理的应用与推广

目 录

1引言..................................................................................................................................................1 2抽屉原理的形式.......................................................................................................................1 3抽屉原理在高等数学中的应用.....................................................................................3

3.1数论问题中的应用.....................................................................................................................3 3.2高等代数中的应用.....................................................................................................................6 3.3集合论中的应用.........................................................................................................................8 3.4不等式中的应用.........................................................................................................................9

4抽屉原理的推广.....................................................................................................................10

4.1抽屉原理在无限集上的推广..................................................................................................11 4.2抽屉原理的推广定理-Ramsey定理...................................................................................12 5抽屉原理在实际生活中的应用...................................................................................15 参考文献.........................................................................................................................................17 致谢.....................................................................................................................................................18

i

抽屉原理的应用与推广

Xxxxxx系本xxxxx班 xxxxxx

指导教师： xxxxxxx

摘要： 本文简述了抽屉原理普遍使用的简单形式、各种推广形式，着重简述其在数论和高等数学及无限集中的应用，及在生活中的应用，可以巧妙地解决一些复杂问题，并根据抽屉原理的不足之处引入抽屉原理的推广定理Ramsey定理。

关键词： 抽屉原理，有限集，无限集，Ramsey定理。

The Drawer of the principle of promotion

Li xxxxxxxxxxx Class xxxx, Mathematics Department

Tutor: xxxxxxxxxx Abstract: This paper introduces the widespread use of simple forms and all kinds of extended forms of the drawer principle, focusing on the application of The drawer principle in the number theory, higher mathematics and infinite seta, and also the real life.It can solve ably some complicated problems, and according to the principle of drawer the shortcomings of the principle of introducing the drawer theorem Ramsey theorem.Key words: the drawer principle, finite set, infinite sets, Ramey theorem.ii 1引言

抽屉原理又称鸽巢原理、鞋箱原理或重叠原理，是一个十分简单又十分重要的原理。它是由德国著名数学家狄利克雷首先发现的，因此也叫狄利克雷原理。抽屉原理简单易懂，主要用于证明某些存在性或必然性的问题，不仅在数论、组合论以及集合论等领域中有着广泛应用，在高等数学中的应用进行了梳理，将抽屉原理的解题思路拓展到高等数学的其他领域，有助于更好的理解抽屉原理，并举例阐述了抽屉原理在现实生活中的应用，以及根据抽屉原理的不足引出的Ramsey定理及其推广。

2抽屉原理的形式

什么是抽屉原理？举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理。或者假定一群鸽子飞回巢中，如果鸽子的数目比鸽巢多，那么一定至少有一个鸽笼有粮食或两只以上的鸽子，这也是鸽巢原理这一名称的得来。

抽屉原理简单直观，很容易理解。而这个看似简单的原理在高等数学中有着很大的用处，对于数论、高等数学、集合论以及无限集中的复杂问题，可以利用抽屉原理巧妙的解答出来。

下面首先从抽屉原理的形式入手，然后研究它在高等数学中的应用。

我们最常用的抽屉原理只是抽屉原理的简单形式，就是将n1个元素或者更多的元素放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉里放有两个或两个以上的元素。

除了这种普遍的形式外，抽屉原理还有其他形式的推广、原理及形式。

推广1 若将n(r1)1个物品放入n个盒子中，则至少有一个盒子中有r个物品。

推广2 设m1,m2,mn是n个整数，而且

m1m2mnr1,则

nm1,m2,mn中至少有一个数不小于r.推广3 若将m个物品放入n个盒子中，则至少有一个盒子中有不少于[个物品。其中，[mm]是不少于的最小整数。nnm]n原理1 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m1个或多于m1个的物体。

原理2 把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

原理3 把(mn1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m1)个物体。

原理4 设M,N是两个有限集合，对于任意从M到N的函数f，D必有i个元素a1,a2,,ai,i[M/N],使得f(d1)f(d2)f(di).原理5 设M为无限集，N为有限集，对于任意有M到N的函数f，用NM表示f的值域，则NM的各个元素的原象的集合中，必有一个是无限集。

原理6 设M是不可数集，N是有限集或可数集，对于任意从M到N的函数f，用NM表示f的值域，则NM的各个元素的原象的集合中，必有一个是不可数集。

原理7 设M、N同是不可数(或可数)集,K[M][N],对于任意从M到N的函数f,M中必有两个元素m1,m2,使f(m1)f(m2).原理8 设m1,m2,,mn都是正整数，如果把m1m2mnn1个物品放入n个盒子，那么或者第1个盒子至少包含m1个物品，或者第2个盒子至少包含m2个物品，„„，或者第n个盒子至少包含mn个物品。

形式1 n/m1个元素分为n个集合中，那么至少有一个集合中存在m1个元素。

形式2 n个元素分为k个集合中，几种必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k].形式3 m1m2mnn1元素分为n个集合，那么必有一个i(1in),在第i个集合中元素的个数bimi.形式4 设有无穷多个元素按任一确定的方式分成有限个集合，那么至少有一个集合含有无穷多个元素。

3抽屉原理在高等数学中的应用

以上的几种形式就是我们解题时常用到的抽屉原理的表示形式，接下来，在了解了抽屉原理的基本形式以及多位学者所发展的推广形式的基础上，我们通过一些比较典型的实例来说明抽屉原理在高等数学中的数论、集合论、高等数学、不等式这四个方面的应用。3.1数论问题中的应用

狄利克雷定理 为无理数，则对任意的正整数n，存在整数p、q(qn)，满足qp1.（狄利克雷是经典的数论问题）。而抽屉原理的应用是：如果有nn1个正整数a1,a2,,an1被n除，则必有两个(设为aj、ai)对模n同余，即aiaj(modn)，因此，n｜(aiaj).例1 证明 任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数。

分析与证明 任一整数被3除余数只可能是0,1,2.若给定的五个整数被3除所得的余数中0,1,2都出现，那么余数分别为0,1,2的三个数的的和一定能被3整除，如果余数中至多出现，0,1,2,中的两个，那么由抽屉原理，其中必有一个余数至少出现三次，而这余数相同的三个数的和一定能被3整除。

因此在任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数。

例2(中国剩余定理)令m和n为两个互素的正整数，并令a和b为整数，且0am1以及0bn1,则存在一个正整数x，使得x除以m的余数是a,并且x除以n的余数为b.即x可以写成xpma的同时又可以写成xqnb的形式，这里p和q是整数。

分析与证明 为了证明这个结论考虑n个整数a,ma,2ma,,(n1)ma, 这些整数中的每一个除以m都余a，设其中的两个除以n有相同的余数r，令这两个数为ima和jma,其中0ijn1, 因此,存在两整数qi和qj,使得imaqinr及jmaqinr，这两个方程相减可得(ji)m(qjqi)n.于是n是(ji)m的一个因子，由于n和m没有除1之外的公因子，因此n是ji的因子，然而，0ijn1意味着0jin1，也就是说n不可能是ji的因子，该矛盾产生于我们的假设：n个整数a,ma,2ma,(n1)ma中有两个除以n会有相同的余数。因此这n个数中的每一个数除以n都有不同的余数，根据抽屉原理，n个数0,1,,n1中的每一个作为余数都要出现，特别地，数b也是如此。令p为整数，满足0pn1，且使数xpma除以n余数为b，则对于某个适当的q，有xqnb.因此，xpma且xqnb，从而x具有所要求的性质。

例3 求证 在有40个不同的正整数所组成的等差数列中,至少有一项不能表示成2k3l(k、lN)的形式。

证明 假设存在一个各项不同且均能表示成2k3l(k、lN)的形式的40项等差数列。

设这个等差数列为a,ad,,a39d，其中，a、dN.设a39d2p3q,m[log2(a39d)],n[log3(a39d)],其中,[x]表示不超过实数x的最大整数。则pm,qn.接下来研究这个数列中最大的14项a26d,a27d,,a39d.首先证明 a26d,a27d,,a39d中至多有一个不能表示成2m3l或2k3n(k、lN)的形式。

若a26d,a27d,,a39d中的某一个ahd(h26,27,,39)不能表示成2m3l或2k3n(k、lN)的形式,由假设知一定存在非负整数b、c,使得ahd2b2c.由m、n的定义可知bm,cn.又因为ahd2b2c不能表示成2m3l或2k3n的形式,所以bm1,cn1.若bm2,则 ahd2b2c2m23n1

1m1n23 43112log2(a39d)3log3(a39d) 4311 (a39d)(a39d)

437 (a39d)

127273d

a1212 a26d

与ahda26d,a27d,,a39d矛盾。

若cn2,则 ahd2b2c2m13n2

1m1n23 2911 2log2(a39d)3log3(a39d)

2911 (a39d)(a39d)

2911 (a39d)

1811429d

a1818  a26d

与ahda26d,a27d,a39d矛盾。

因此,只有bm1,cn1.故ahd(h26,27,,39)中至多有一个不能表示成2m3l或2k3n(k、lN)的形式。所以,ahd(h26,27,,39)中至少有13个能表示成2m3l或2k3n(k、lN)的形式。

由抽屉原理知，至少有七个能表示成2m3l或2k3n(k、lN)中的同一种形式。（1）有七个能表示成2m3l的形式。

设2m3l1,2m3l2,,2m3l7，其中，l1l2l7.则3l1,3l2,,3l7是某个公差为d的14项等差数列中的七项, 所以,13d3l73l1.显然,l75l2,l1l21.故13d3l73l1(3531)3l213(3l23l1)13d矛盾。(2)有七个能表示成2k3n的形式。

设2k13n,2k23n,,2k73n,其中,k1k2k7.则2k1,2k1,,2k7是某个公差为d的14项等差数列中的七项。而13d2k72k1(2521)2k213(2k22k1)13d,矛盾。综上,假设不成立.故原题得证。3.2高等代数中的应用

例4 已知齐次线性方程组

a11x1a12x2a12nx2n0axaxax021122222n2n 

an1x1an2x2an2nx2n0其中aij1,0,1i1,2,nj,,1,2,n,证,2明存在不全为零的整数x1,x2,,x2n适合

xi2n(j1,2,,2n)证明

0x1x2O0

令A(aij)n2n，X，0nx2n则该齐次线性方程组可写成AX0 x1x设集合S={X2:xjn,j1,2,2n} x2n2nax1jjj12n:XS} ax2jj

D={AXj12nanjxjj1映射f:XAX是一个满射.显然S=(2n1)2n,因为a1j{-1，0，1}，所以对每个XS，它的2n个分量适合

SDaj12nijxjax1i1ax2i2a2in2n x

x1x2xn≤2n2（i=1,2,,n）因此D(4n21)n又

(2n1)2n(4n24n1)n(4n21)n

根据抽屉原理 映射形式设A和B是两个有限集，如果A>B那么对从A到B的任何满映射f，至少存在a1,a2,使f(a1)f(a2).S中至少存在两个不同的元

xj1xi1xxi2j2X,X ij

xi2nxj2n使f(xi)f(xj),即AXiAXj,A(XiXj)0.1xi1xj1xx2i2j2，则令2nxi2nxj2n12即是我们所要求的，1,2,2n是2n不全为零的整数，且满足akxikxjkxikxjk2n(k1,2,,2n).例5 设A为n阶方阵，证明存在1in，使秩(Ai)=秩(Ai1)=秩(Ai2)

,　2,　　,n这n+1个数之一。证明 因为n阶方阵的秩只能是0,1令EA0,A,A2,,An,An1, E的个数多于秩的个数，由抽屉原理可知，存在k,l满足

1k

秩(Akm)=秩(Akm1).其中m为非负整数，故命题的结论成立.秩(Ai)=秩(Ai1)=秩(Ai2)=„.3.3集合论中的应用

从集合论的原理来讨论抽屉原理,主要应用集合论的映射来阐述抽屉原理,有在倍数问题、几何问题、涂色问题、经济问题等方面的应用，本文主要介绍倍数问题和经济问题。

例6（倍数问题的应用）自1至100这一百个自然数中，如果任取51个数，那么其中至少有两个数，使一个数是另一个数的倍数。

证明 我们知道形如p2n（p为自然数，n1,2,）的数之间有倍数关系，对任何一个偶数，经反复提取因数2，最后总能表示为：奇数乘以2n的形式，因此设A{1至100中的51个自然数} B{B1,B3,,B99} 其中：B1{1,2,4,8,16,32,64}{1,121,122,,128}

B3{3,6,12,24,48,96}{3,321,322,323,324,325}

B5{5,10,20,40,80}{5,521,522,523,524}

B7{7,14,28,56}{7,721,722,723}

„„„

B97{97}

B99{99}

51P2,∴对任意f:AB有ai,ajA且ij.50使f(ai)f(aj)B,即至少存在两个元素同时对应到B中某个Bi中，这两个数必有倍数关系，证毕。

例7（经济问题的应用）十七家公司中的每一家公司都要与其余十六家公司洽谈业务，在他们洽谈中所讨论的问题仅三个，而任何两家公司洽谈中所讨论的是同一个问题，证明有三家公司洽谈时所讨论的是同一个问题。

证明 设A为某一公司向其十六公司洽谈业务，则m16，B为洽谈时所讨论的问题，则m3 p()6 ∴每一家公司与其余十六家洽谈业务时至少对六家讨论的3是某一个问题，若这六家中至少有两家也讨论这一个问题，则原题得证。若六家中没有任何两家讨论这个问题，那么他们之间只能讨论另外两个问题，又p()3 ∴这六家中至少有三家在讨论相同的问题，证毕。

23.4不等式中的应用

例8 若实数x,y,z满足xyz1，求证:x2y2z232(xyyzzx).证明 由于x2y2z21,所以x2、y2、z2中必存在2个同时不大于1,或者同时

11不小于1,不妨设为x2、y2,则有21210

xyx2y2z232(xyyzzx)xy2 1111212121210xyyx22所以x2y2z232(xyyzzx).例9 已知x,y,zR,求证:

xxyyz32.yzzx2 证明 根据抽屉原理可知:

xyz中至少有两个同时不大于，xyyzzxxy，这样就得到xyyzyxy1 yz(xy)(yz)2常数22，或者不小于常数，于是,不妨设为22x2y2x0,变形,得xy2yz2xy 由柯西不等式,易得(xy)(yz)xyyz,于是,有 xy(xy)(yz)xyxyyzx xz即1x2xyyyz12x1 ①

xz2.zzxz(11)(zx)zzx再根据柯西不等式,便得1x由①+②,得2xy ②

yyzzzxxz13

xz22故xxyyz32.yzzx24抽屉原理的推广

抽屉原理有很多推广，但一般都只局限于有限集范围。下面将用函数的观点叙述抽屉原理，进而在可数集和不可数集上推广它。即:设D,R是两个有限集合,对于任意从D到R的函数f,D必有i个元素d1,d2,,di,i[D/R]使得f(d1)fd2f(di).同时对于一些更加复杂的有关存在性的组合问题,抽屉原理显得无能为力,这是我们就需要运用抽屉原理的推广定理Ramsey定理来解决问题。因此我们通过一些比较典型的实例和定理来说明抽屉原理在无限集中的推广和抽屉原理的推广定理Ramsey定理。4.1抽屉原理在无限集上的推广

例10 证明 存在长度趋于零的区间列而它的每个区间都是不可数的。解决这个问题,一般可先任意造一个长度趋于零的区间列,不妨用{[an,bn]}表示这个区间列,又由于区间0,1是不可数的,从而可以通过在[an,bn]与[0,1]之间建立一个双射,使问题得到解决。

(x1,1],显然[0,1]11,根据原证明 取0,1的中点x1,设1[0,x1],1中必有一个是不可数的,不妨设其为1,而1理6，1与11.2再取1的中点x2,同上证法,又可得到不可数的区间2,而2如此继续下去,可得不可数的区间n,而n1.2210(n).显然n21,2,,n,就是所要找的区间列。

例11 有一棋手,赛前要训练77天,他计划在训练期间,每天至少赛一场,总共要赛132场.试证明无论怎样安排,总有连续的一些天共赛21场。

证明 用ai表示从第一天起,到第i天为止共赛的次数,显然数列a1,a2,,a77(A)是严格单调增加的,且a77132.当数列(A)中,有的数加21后,恰等于数列中的另一个数时,则问题得证。当数列(A)中,任何数加21后,都不等于数列中的数时,数列

a121,a221,,a7721(B)

也是严格单调增加的,且数列(B)中的数均不同于数列(A)中的数,而a7721153.把函数关系f看做是“数列(A)与数列(B)中的每个元素都唯一对应一个数”

},根据抽由此,可以确认“D集”是(A)数列(B)数列;“R集”是{1,2,3,,153屉原理i[D/R][154/153]2,“D集”中必有两个元素对应同一个数,由于(A)与(B)都是严格单调增加的数列,这两个元素不可能在一个数列中.即这两个元素分别在(A)与(B)这两个数列中.不妨设此二元素分别为ai和aj21,即aiaj21.(显然ij)aiaj21,即从第j天以后(不包括第j天)到第i天为止(包括第i天)共赛了21场。4.2抽屉原理的推广定理-Ramsey定理

Ramsey(1903-1930)是英国数理逻辑学家,他把抽屉原理加以推广，得出广义抽屉原理，也称为Ramsey定理。

Ramsey定理 设p,q是正整数，p,q2,则存在最小正整数R(p,q),使得当用红蓝两色涂Kn的边，则或存在一个蓝色的Kp,或存在一个红色nRp,q时，的Kp.Ramsey定理可以视为抽屉原理的推广，1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人.” 在1958年6-7月号美国《数学月刊》同样也登载着这样一个有趣的问题“任何六个人的聚会，总会有3人互相认识或3人互相不认识.”这就是著名的Ramsey问题。

这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思.但如果懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的： 我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人.不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D.如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人.不管哪种情况，本题的结论都是成立的。或者我们可以用染色的方法。以6个顶点分别代表6个人，如果两人相识，则在相应的两点间连一条红边，否则在相应的两点间连一蓝边。

命题1 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三角形或蓝色三角形。

证明：首先，把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点.由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段。

设如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色；如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色。

由抽屉原理可知这五条线段中至少有三条是同色的。不妨设AB、AC、AD为红色。若BC或CD为红色，则结论显然成立。

若BC和CD均为蓝色，则若BD为红色，则一定有三个人相互认识；若BD为蓝色，则一定有三个人互相不认识。

上述的Ramsey问题等价于下面的命题1.命题1 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三角形或蓝色三角形。

命题1运用抽屉原理可以很容易很简便地对其进行证明.现将命题1推广成下面的命题2.命题2 对六个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，都至少有两个同色三角形。

由于命题2是要证明至少存在两个同色三角形的问题，而抽屉原理一般只局限在证明至少存在一个或必然存在一个的问题，所以对于上述命题抽屉原理就显得无能为力，这时需要运用Ramsey定理来解决问题。

证明 设v1,v2,v3,v4,v5,v6是K6的六个顶点，由上面的命题1可知，对K6任意进行红、蓝两边着色都有一个同色三角形，不妨设△v1v2v3是红色三角形.以下分各种情况来讨论

(1)若v1v4,v1v5,v1v6均为蓝边，如图1所示，则若v4,v5,v6之间有一蓝边，不妨设为v4v5，则三角形△v1v4v5为蓝色三角形；否则，△v4v5v6为红色三角形。

图1 图2

(2)若v1v4,v1v5,v1v6中有一条红边，不妨设v1v4为红边，此时若边v2v4,v3v4中有一条红边，不妨设v3v4是红边，则△v1v3v4是一红色三角形，见图2.以下就v2v4,v3v4均为蓝边的情况对与v4相关联的边的颜色进行讨论。(ⅰ)若v4v5,v4v6中有一蓝边，不妨设v4v5为蓝边，如图3，此时，若v2v5,v3v5均为红边，则△v2v3v5是红色三角形；否则，△v2v4v5或△v3v4v5是蓝色三角形。

(ⅱ)若v4v5,v4v6均为红边，见图4，此时，若v1,v5,v6之间有一条红边，不妨设v1v5为红边，则△v1v4v5为红色三角形；否则，△v1v5v6为蓝色三角形。

图3 图4

由以上对各种情况的讨论知，对K6的任意红、蓝两边着色均有两个同色三角形。

从以上例子可知，抽屉原理在应用上有不足之处，之上只是个特例，至于在别的领域中的不足之处还需我们进一步的探索。

5抽屉原理在实际生活中的应用

抽屉原理不仅在高等数学中具有广泛应用，在我们的实际生活中，也能处处发现抽屉原理的影子.如招生录取、赛程安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。

其实早在中国古代的春秋战国时期就有了运用抽屉原理的例子，那就是《晏子春秋》中的“二桃杀三士”的典故，将两个桃子赏赐给三名勇士，在这里可以将桃子看作抽屉，三个人作为元素放进抽屉，则根据抽屉原理，一定有一个抽屉要放入两个或两个以上的元素，回到问题情境中就是一定要有两个人吃一个桃子，导致这三名勇士最后自相残杀而亡，这就是著名的“二桃杀三士”。

后来宋朝时期费衮在他的《梁谿漫志》中就曾运用抽屉原理来驳斥但是流行的“算命”一说，费衮指出算命是把一个人出生的年、月、日、时作为依据，把这些作为“抽屉”，则不同的抽屉有12×360×60＝259200个。把所有的人作为“物品”，则进入同一抽屉的人有成千上万个，因此“生时同者必不为少矣”.既然“八字”相同，“又何贵贱贫富之不同也?这是大基数的社会现象，常给人感觉世事很奇巧，碰到同生日、同名的人，这也是抽屉原理在生活中的应用。而生活中也有常见的抽屉原理的应用之处，如“抢凳子”游戏，一群人抢凳子，凳子数比人少，必然淘汰一些人,又或者是13个人中总有2人是同一个月份出生，52张扑克牌中取出5张总有2张花色相同，在100米长的小路上种101棵小树，不管怎么种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米等等。

下面我们再来看几个例子。

例12 20名运动员进行乒乓球比赛,每两名运动员都要比赛一场,每场比赛五局三胜(采取11分制).全部比赛结束后所有格局比赛最高得分为15:13.那么至少有多少局的比分是相同的? 解 20名运动员，每两名运动员都要比赛一场，根据乘法原理，一共赛了190（20192）场(因为甲同乙比赛与乙同甲比赛只能算同一场,所以要除以2).因为每场比赛至少三局,所以一共至少比赛570(1903)局。

根据题目条件,乒乓球比赛的可能比分为

(11:0).(11:1).(11:2).…(11:9).(12:10).(13:11).(14:12).(15:13)共计14种.把这14种情况看作14个抽屉。

因为570＞1440.所以至少有41局的比分是相同的。

例13 49名学生回答3个问题,每个问题的得分是0,1,…,7,证明:存在两个学生A,B对于每个问题,A的得分不少于B的得分。

证明 设A,B在三个题目的得分为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3), 即证:aibi(i1.2.3).若存在两位同学在一二题的得分相同,则结论成立:否则,将一二题得分用数对(x,y)表示,所有得分点情况如图5所示，图5

将四条折线以及一个正方形区域作为五个抽屉.49个得分点中位于正方形ABCD中的点最多只有16个,所以在折线L1,L2,L3,L4至少有49-16=33个得分点,则由抽屉原理,必有一条折线上至少有9个得分点,即至少有9个同学在第一二题的得分上满足aibi,再由抽屉原理,这9个同学中必有两个同学在第3题的等分相同,即命题得证。

6结束语

抽屉原理的应用领域十分广泛，涉及到高等数学的多个学科，并且在生活中也有广泛的应用，可以巧妙的用于解决一些复杂问题，本文主要梳理总结了它在数论、高等代数及无限集中的应用，其不足之处也由Ramsey定理进行了补充，使其能够更好的应用与问题解决当中。参考文献

[1] 孙淑玲,许胤龙.组合数学引论编[M].合肥：中国科学技术大学出版社,1999.[2] 屠义生.抽屉原理在无限集上的推广及使用[J].数学通报,1988,(5):27-29.[3] 濮安山.高等代数中抽屉原理的应用[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2001,17(06):20-23.[4] 朱莉莉.从集合论的原理来讨论抽屉原理[J].贵州商业高等专科学校学报,1994,(2): 35-36+34.[5] 王坤.浅谈抽屉原理及其简单应用[J].科技信息,2011,(18):520-521.[6] 吕松涛.抽屉原理在数学解题中的应用[J].商丘职业技术学院学报,2010,9(02): 15-16+22.[7] 安振平.抽屉原理在数学解题中的应用[J].咸阳师范学院基础教育课程研究中心,2010,49(1):59-60.[8] 王连笑.用抽屉原理解数论问题[J].天津市实验中学,2011,(6):5-10.[9] 朱欢.抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用.高等函授学报（自然科学版）,2010,23(6): 75-77.[10] 徐建辉.例谈如何构造“抽屉”[J].沙洋师范高等专科学校,2005,(5):90-91.致谢

在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢。指导老师严谨治学的态度使我受益匪浅.在论文写作的这段时间里,他时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,最后才能使得我顺利完成论文。同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友。

第二篇：抽屉原理及其应用

抽屉原理及其应用

张 志 修

摘要：抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。运用抽屉原理，制造抽屉是运用原则的一大关键。首先要确定分类对象（即“物体”），再从分类对象中找出分类规则（即“抽屉”）．根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。一般来说，“抽屉”的个数应比“物体”的个数少，最后运用抽屉原理。

关键词：代数 几何 染色 存在性

引言

抽屉原理最早是由德国数学家狄利克雷发现的，因此也叫狄利克雷重叠原则。抽屉原理是一条重要的理论。运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。

抽屉原理的内容

第一抽屉原理：

原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的nkk1，这不可能。

原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m1个或多于m1个的物体。

[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉

至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。.原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述 第二抽屉原理：

把mn﹣1个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有mn﹣1个物体。

[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

一、应用抽屉原理解决代数问题

抽屉原理在公务员考试中的数字运算部分时有出现。抽屉原理是用最朴素的思想解决组合数学问题，它易于接受，在数学问题中有重要的作用。

1、整除问题常用剩余类作为抽屉。把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用0，„，2，1，m﹣1表示。

例1：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。

证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：

0，1，2

①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中

(即抽屉中分别为含有余数为0，1，2，的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1到5中取3,4,5)，其和34512 必能被3整除。

②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数。

③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除。

2、还有的以集合造抽屉

例2：从1、2、3、4„„、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？

分析与解答：在这12个自然数中，差是7的自然数有以下5对：12,5 11,4 10,3 9,2 8,1。另外，还有2个不能配对的数是6 7。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为12,5 11,4 10,3

9,2 8,1 6 7，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7。

二、应用抽屉原理解决几何问题

利用分割图形的方法构造抽屉

本方法主要用于解决点在几何图形中的位置分布和性质问题,通常我们把一个几何图形分割成几部分,然后把每一部分当做一个“抽屉”,每个抽屉里放入相应的元素。

例3：已知边长1为的等边三角形内有5个点，则至少有两个点

距离不大于1/2。

证明：用两边中点的连线将边长为1的等边三角形分成 四个边长为1/2的等边三角形，若规定边DE、EF、FD上的 点属于三角形DEF，则三角形ABC内的所有点被分为 4个全等的小等边三角形，由抽屉原理，三角形内的任意5个点至少有2个点属于同一小等边三角形，由“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”知这两个点距离不大于1/2。

抽屉原理与中学数学的关系，常用抽屉原理的最值的思路解中学数学题。

例4:用柯西不等式及二元均值不等式证明了如下三角不等式： 在△ABC中，有sin2Asin2Bsin2C.证明：由抽屉原理知sinA,sinB,sinC中必有两个不大于或不小于3294，不妨设sinA33,sinB22或sinA33,sinB22则[sin2A(323)][sin2B()2]0,故 2243sin2Asin2Bsin2Asin2B

34于是

43sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin2C

344cos(AB)cos(AB)23]sin2C =[32413(1cosC)21cos2C 34219(cosC)2 3249 4

三、应用抽屉原理解决染色问题

染色问题是数学中的重要内容之一，也是深受广大师生喜爱的的题目类型之一。染色问题是借用图论的思想心提高解决问题的能力，所涉及的各科数学知识都不是很难，但染色法解数学问题技巧性非常强，而且解题的途径都比较独特，难度往往在于寻求解决问题的关键所在或最佳方法．

平面染色问题为点染色或线染色问题。通常是根据各个物体所存在的状态,将它们的状态看作抽屉原理中的“抽屉”和“元素”,从而来解决问题的。

（1）点染色问题

例5：将平面上每点都任意地染上黑白两色之一。求证:一定存在一个边长为1或3的正三角形,它的三个顶点同色。

证明：在这个平面上作一个边长为1的正三角形。如果A、B、C这三点同色，则结论成立，故不妨设A和B异色。以线段AB为底边,作一个腰长为2的等腰ABD。由于点A和B异色,故无论D为何色,总有一腰的两个端点异色。不妨设点A和D异色。设AD的中点为E,则AE=ED=1。不妨设点A和E为白色,点D为黑色。

以AE为一边,在直线AD两侧各作一个等边三角形:AEF与AEG。若点F和G中有一个是白点,则导致一个边长为1的等边三角形的三个顶点都是白点；否则,边长为3的等边DFG的三个顶点同为黑点。

（2）边染色问题

例6：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？

解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。

四、应用抽屉原理解决实际问题

在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。

例7：黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根才能保证达到要求？

解：这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三种颜色的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2双不同颜色的筷子，可以分两步进行。第一步先确保取出的筷子中

有1双同色的；第二步再从余下的筷子中取出若干根保证第二双筷子同色。首先，要确保取出的筷子中至少有1双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作3个抽屉，把筷子当作苹果，根据抽屉原则，只需取出4根筷子即可。其次，再考虑从余下的20根筷子中取多少根筷子才能确保又有1双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黄色。这样，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黄色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黄色的，能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配对，从而保证有2双筷子颜色不同，总之，在最不利的情况下，只要取出4711根筷子，就能保证达到目的。

例8：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

分析与解答：共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n﹣1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n﹣2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、„、n﹣2，还是后一种状态1、2、3、„、n-1，握手次数都只有n﹣1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。运用抽屉原理，制造抽屉是运用原则的一大关键。首先要确定分类对象（即“物体”），再从分类对象中找出分类规则（即“抽屉”）．根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。一般来说，“抽屉”的个数应比“物体”的个数少，最后运用抽屉原理。解决问题，抽屉原理是一个利器。我们在解题的过程中可以迅速代入，更多要思考怎样用抽屉原理让问题清晰化，简单化。通过学习，使我的逻辑思维能力得到了提高，扩展了我的知识面，掌握了“抽屉原理”的基本内容，懂得把所学知识运用到生活中去，运用“抽屉原理”解决生活中的许许多多以前不明白的现象。

参考文献：

[1] 殷志平、张德勤著《数学解题转化策略举要》

《中学教学教与学》1996.1 第19页 [2] 宿晓阳著《用抽屉原理巧证一个三角不等式》

《中学数学月刊》2010.6 第45页

[3] 其他参考：http:// http://baike.baidu.com/view/8899.htm http://wenku.baidu.com/view/4527ed3710661ed9ad51f30e.html http://wenku.baidu.com/view/158dd2***92ef78c.html http:///free/20101221/84545509713564.html http://wenku.baidu.com/view/4272e8f9941ea76e58fa0489.html 8

第三篇：抽屉原理的应用及其推广优秀毕业论文

数学与计算机科学学院毕业论文

抽屉原理的应用及其推广

数学与计算机科学学院

数学与应用数学

指导老师： 王美能

摘要：抽屉原理也叫鸽巢原理，是研究如何将元素分类的一个原理，也是组合数学里最简单、最基本的原理。本文简述了抽屉原理普遍使用的简单形式，重点介绍了抽屉原理在我们数学竞赛，通过由浅到深，由简单到复杂，循序渐进的了解抽屉原理。同时，通过对抽屉原理的学习，我们可以发现在我们日常生活中很多地方都有抽屉原理的应用。通过本文的介绍，相信大家对抽屉原理会有一个更为全面的认识。

关键词：抽屉原理、狄利克雷原理、数学竞赛、拉姆塞定理

Abstract：This paper describes the simple form of the widespread use of drawer principle,focuses on the drawer principle in mathematics our primary school mathematics,advanced mathematics,form shallow to deep,form simple to complex,step by step to understand the principle of drawer.At the same time,the drawer principle of learning,we can find applications in our daily life,there are a lot of places of drawer principle,such as computer divination,schedule,resource allocation and so on.Keywords: Drawer principle,de Lickley principle,Mathematics competition,Ramsry’s theorem 引言

抽屉原理又称鸽巢原理、鞋箱原理或重叠原理，是一个十分简单又十分重要的原理.它是由德国著名数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet 1805-1855)首先发现的，因此也叫作狄利克雷原理。

抽屉原理简单易懂，主要用于证明某些存在性或至少类的问题，在生活中抽屉原理的应用非常广泛，解决了生活中一些模糊不清的问题，方便了人们的生活。

本文归纳了抽屉原理在小学数学竞赛、中学数学竞赛中的一些简单应用，由浅入深将抽屉原理推广到更高的领域，并举例阐述了抽屉原理在现实生活中的应用。抽屉原理的定义

第一抽屉原理

原理1：把多于n个的物体放在n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是 n，而不是题设1)，故不可能。的nk(k≥ 原理2：把多于mn（m乘于n）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m1的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。

原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

第二抽屉原理

（m1）（mn1）把个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有个物体（例如，将3×5-114个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-12）。

证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。抽屉原理在数学竞赛以及实际生活中的应用

数学竞赛是以开发智力为根本目的、以问题解决为基本形式、以竞赛数学为主要内容。最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育，这种教育的性质是：较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代数学的普及教育。

数学竞赛与体育竞赛相类似，它是青少年的一种智力竞赛，所以苏联人首创了“数学奥林匹克”这个名词。在类似的以基础科学为竞赛内容的智力竞赛中，数学竞赛历史最悠久，参赛国最多，影

数学与计算机科学学院毕业论文

响也最大。

数学竞赛活动也是由浅入深逐步发展的。几乎每个国家的数学竞赛活动都是先由一些著名数学家出面提倡组织，试题的命题在背景的深刻度和构题的艺术性上也有较高的要求，较为突出的有四条：内容的科学性、结构的新颖性、功能的选拔性、解法的灵活性。数学竞赛命题的基本途径主要有：高等初等化，历史名题的再生，成题改编，模型法。抽屉原理由于它自身的特点，简单并且思维方法在解题过程中可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用，所以抽屉原理经常是命题人出题方向及思路。

3.1 抽屉原理在小学数学竞赛中的应用

其实在抽屉原理在小学数学中已经有雏形了，在人教版六年级下册中的“数学广角”中，就已经出现了一些抽屉原理的简单应用。当时就有很多教师反应教学存在一定的困难性，不仅如此，学生也普遍觉得难以理解，学习起来也很困难！在数学问题中，经常碰到有关“存在性”的问题。如某地区医院一月共接生32名婴儿，那么一定存在两名婴儿，他们是在同一天出生的。在解决这类问题中，只需要确定某个人（或某件物），也不需要严格说明通过什么方式把这个存在的人（或物）找出来。这就是我们小学初次接触的比较简单的“抽屉原理”，即把多于n个的物体放在n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。在教学过程中，教学者普遍认为在这类问题上很难向学生讲清其中的来龙去脉，所以在理解算法的基础上，采用“总有„„至少„„”的语言叙述出来，以加固理解，采用这种教学方法，学生相对来说容易理解一些。

下面我们将问题建立两类模型来解决：

模型一 求至少的问题

这类问题的特点是：已知“抽屉”的个数，求某个“抽屉”里至少能装多少的问题。

例1 在任意的49个人中，至少有几个人的属相相同？

解：因为共有12个生肖，将12个生肖看成12个“抽屉”，问题就转换成寻求一个“抽屉”里至少能“装”多少人。我们可以先算出平均每个“抽屉”“装”多少个人：491241，多出来的1个人总会随机的进入到某个“抽屉”中，所以总有一个抽屉里有四个人，也就是总有一种生肖属相里至少有4个人。即：至少有4个人的属相相同。

例2平面上有六个点A、B、C、D、E、F，其中不存在三个点在同一条直线上的情况，每两点之间都用红线或蓝线连接。试说明：不管如何连接，至少存在有一个三角形是三条边的颜色都相同。

解：从六个点当中任取一点，设为A，在用它连接其余五点的五条线段中，至少有3条同色（把红、蓝两色作为两个“抽屉”，5221,213）。假设其中的AB、AC、AD为红色线段（如

下图所示）。

BCAD

这时，在三条线段BC、BD、CD中，若有一条为红色，则得到一个三边为红色的三角形；（如下图所示）

BCAD

若没有一条为红色，则BC、BD、CD都是蓝色，也得到一个三边都是的三角形⊿BCD。（如下图所示）

BCA

所以不管怎样连接，至少有一个三边同色的三角形。

对于求至少性的这类问题，我们首先确定有多少个抽屉，然后可以把物体平均分给这几个抽屉，剩余的物体再平均分一次，最后就可以确定一个抽屉至少有几个物体。解这类问题的原理是把多于mn（m乘于n）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m1的物体。

模型二 作“最坏”的打算

理论依据：把多于n个的物体放在n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。即：一定有一个“抽屉”里至少有两个元素。

例3 有红、黄、绿三种颜色的手套各6双，装在一个黑色的布袋里，从袋子里任意取出手套来，为确保至少有2双手套不同颜色，则至少要取出的手套只数是？

分析：“为确保至少有”，考虑最坏的情况，首先取出了一种颜色的全部6双手套和其他两种颜色的手套各一只，再任意取出一只，必然得到2双不同颜色的手套。因此至少要取出262115只。

例4 有120名职工投票从甲、乙、丙三人中选举一人为劳模，每人只能投一次，且只能选一个人，得票最多的人当选。统计票数的过程发现，在前81张票中，甲得21票，乙得25票，丙得35票。在余下的选票中，丙至少再得几张选票就一定能当选？

分析：此题是问丙至少再得几张选票就一定能当选，由题干中可以看出共有三位候选人，甲得21票，乙得25票，丙得35票，要使至少再得到几张选票丙一定能当选，那么还是首先应该考虑到，丙竞选中遇到的最不利的情况，丙遇到的最不利的情况其实就是来看，谁对丙当选的竞争最大，从开始的选票中，可以看到甲的选票比较少，对丙当选的威胁较小，可以排除；而乙得到的选票与丙是最接近的，对丙的当选最有威胁。120名职工投票，已有的81张票中，得票最少的是甲21张，只考虑乙丙即可。120－21＝99，若丙最后当选，至少得50张票，所以丙至少再得50－35＝15张票。

综上所述，抽屉原理在小学数学中主要是上述两方面的应用，实质上就是抽屉原理的两种常用形式。在教学中，可以归类进行学习，建立两种模型，学生熟练掌握，进而能简单应用。为孩子后续学习和理解打下坚实的基础。

3.2 抽屉原理在中学数学竞赛中的应用

在小学数学中我们已经学习了“抽屉原理”的雏形，在初中数学中我们主要学习的是抽屉原理

D 数学与计算机科学学院毕业论文 的基本形式和如何使用抽屉原理，并通过实例了解抽屉原理中的一些构造方法，以及抽屉原理在中学数学竞赛题中的应用。

抽屉原理的基本形式：

（1）把n1个元素分为n个集合，那么必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。

（2）把nm1个元素分成n个集合，那么必有一组中含有m1个或m1个以上元素。

（3）把n个元素分成k个集合，那么必有一个集合中元素的个数，也必有一个集合中元

k素的个数。

k（4）把q1q2合中元素的个数qi。

（5）把无穷多个元素分成为有限个集合，那么必有一个集合含有无穷多个元素。抽屉原理的基本构造：

利用抽屉原理解题的过程中首先要注意指明什么是元素，什么是抽屉，元素进入抽屉的规则是什么，以及在同一个盒子中，所有元素具有的性质。构造抽屉是用抽屉原理解题的关键。有的题目运用一次抽屉原理就能解决，有的则需要反复多次。

下面我们通过一些具体的例题来介绍抽屉原理的应用：

例5 求证：从任意给定的2010个自然数a1,a22010的倍数。

nnqnn1个元素分为n个集合，那么必有一个i(1in)，在第i个集

a2010，中可以找到若干数，使得它们的和是，…，2009，即被2010除的余数分类制造抽屉，将下列数： 证明 以0,1S1a1,S2a1a2,S3a1a2a3,…,S2010a1a2a3…a2010作为抽屉中的元素。

若上述2010个数中有一个是2010的倍数，则问题得证；

否则，根据抽屉原理，至少存在两个数Sm,Sn（它们的差仍为a1,a2,a3,…,a2010中若干数的和），它们被2010除的余数相同，则它们的差是SmSn，即a1,a2,,a2010中若干数的和能被2010整除，命题得证。

此例是抽屉原理中常见的题型“存在至少”性问题，解决此类问题的关键就是抽屉的中元素的选择。

例6 在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的

面积不超过 1。（1963年北京竞赛题）8

分析与解答：如图，四等分正方形，得到A1，A2，A3，A4四个矩形。在正方形内任意放入九个点，则至少有一个矩形Ai内存

在13个或3个以上的点，设三点为A、B、C，具体考察Ai（如图所示），过A、B、C三点4分别作矩形长边的平行线，过A点的平行线交BC于A'点，A点到矩形长边的距离为h(0h则△ABC的面积

SABCSAAC+SAAB91)，41111111h1h 224248 说明：把正方形分成四个区域，可以得出“至少有一个区域内有3个点”的结论，这就为确定三角形面积的取值范围打下了基础。本题构造“抽屉”的办法不是唯一的，还可以将正方形等分成边长为1的四个小正方形等。但是如将正方形等分成四个全等的小三角形却是不可行的。所以适当2地构造“抽屉”，正是应用抽屉原则解决问题的关键所在。

此例是通过分割图形构造抽屉，在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，在对其中需要用到的抽屉进行讨论，使问题得到解决。

例7 在1,4,7,10,13，100中任选出20个数，其中至少有不同的两组数，其和都等于104，试证明之。（美国普特南）

证明 给定的数共有34个，其相邻两数的差均为3，我们把这些数分成如下18个不想交的集合

1,52,4,100,7,97，49,55，并且把他们看做是18个抽屉。从已知的34个数中任选20个数，即使把前两个抽屉中的数1和52都取出来，则剩下的18个数在后面的16个抽屉中至少有不同的两个抽屉中的数全被取出来，这两个抽屉中的数互不相同，每个抽屉中的两个数的和都是104.此例是根据某两个数之和为104来构造抽屉。一般的，与整数集有关的存在性问题也可以根据不同的需要利用整数间的倍数关系，同余关系来适当分组而构造抽屉。

例8 设实数xi[0,1),i0,1,2，n，则其中必有两个数xk,xl，满足

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xkxl证 把[0,1)分成n个小区间：

1.n112[0,),[,),nnn它们两两不相交。现有n+1个点x0,x1,区间，从而有 ,[n1,1).n,xn在[0,1)中，则至少有两点设为xk和xl属于同一小

1.nxkxl 在例8中，如记xkk[k],k0,1,2，n,是任意的无理数，则0xk1，由例8有

1.（不妨设k>l）n(k[k])(l[l]) 如记akl,b[k][l],a,b都是整数可得b1.ana 只要n充分大，我们可用有理数比较精确的逼近一个无理数.抽屉原理还有其他表现形式：

把kn(n1)1个元素任意分成kn类，则至少有k1类的元素个数一样多.2 逆向抽屉原则不难用反证法给予证明.如果至少有k类的元素一样多，那么元素个数最少的方法是k类0个元素，k类1个元素，k类2个元素，„„，k类n1个元素，这样最少需要

k[012(n1)] kn(n1)kn(n1)1.22出现矛盾.以上证明方法对于证明元素个数多于抽屉个数的问题时有普遍意义.平均量重叠原则 把一个量S任意分成n份，则其中至少有一份不大于少于

S，也至少有一份不nS.n 不等式重叠原则 若a,b,c,dR,且acbd，则ab,cd至少有一个成立.面积重叠原则 在平面上有n个面积分别是A1,A2,一搬到某一面积为A的固定图形上去，（1）如果A1A2（2）如果A1A2 ,An的图形，把这n个图形按任何方式一

AnA,则至少有两个图形有公共点； AnA，则固定图形中至少有一个点未被盖住.总而言之，抽屉原理的应用比较灵活，在竞赛辅导中教给学生一些简单的思想方法有助于培养学生的构造的解题思想，可以使学生的思维能力得到一定的提升，不仅有助于现阶段的学习，也可以为将来的高等数学学习带来一定的帮助。3.3 总结应用抽屉原理解题的步骤

在应用抽屉原理进行解题的过程中，我们把解题步骤分成三步：

第一步：分析题意，分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是把什么看作“东西”，什么看作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。这是关键，这一步就是如何设计抽屉，根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉原理铺平道路。

第三步：运用抽屉原理，观察题设条件，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

在今后的学习中，我们可以根据抽屉原理的这三步来解决问题，这样既可以节约我们的解题时间，也可以为我们解决这一类题型指明了一个方向。3.4 抽屉原理在生活中的应用

抽屉原理不仅在小学数学、中学数学、高等数学中具有广泛应用，在我们的实际生活中，也能处处发现原理的影子。如电脑算命、赛程安排、资源分配等等，都不难看到抽屉原理的作用。

在当今信息化、电子化的社会中，我们经常在网络世界中经常看到“电脑算命”。所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句像中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生年、月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里，取出所谓命运的句子。其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。

如果以70年计算，按出生年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×251100，我们把

×5110021400，根据原理，存在21526个以上的人，尽它作为“抽屉”数。由于1.1亿21526管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！

其实早在中国古代的春秋战国时期就有了运用抽屉原理的例子，那就是《晏子春秋》中的“二桃杀三士”的典故，将两个桃子赏赐给三名勇士，在这里可以将桃子看作抽屉，三个人作为元素放进抽屉，则根据抽屉原理，一定有一个抽屉要放入两个或两个以上的元素，回到问题情境中就是一定要有两个人吃一个桃子，导致这三名勇士最后自相残杀而亡，这就是著名的“二桃杀三士”。

在实际生活中，运用抽屉原理的事情还有很多很多。比如我们在安排一场比赛时，该如何安排才能做到最公平。

假设：你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行10场比赛.则各队每两场比赛中间至少隔多少场才最公平呢？

下面是随便安排的一个赛程: 记5支球队为A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中, 随手填上1,2,„，10, 就得到一个赛程, 即第1场A对B, 第2场B对C,„, 第10场C对E.表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, E有利, 对D则不公平.答案是n12.2

证明

因m2,当n2m时n1，所以分两种情况讨论.22m1,当n2m1时8

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1，2，，（2m1）（m1）（1）当n2m为偶数时，这2m支球队为0，.顺次安排场比赛需要2（m1）支球队参赛，由抽屉原理，必然有重复出现的球队，由单循环赛知，重复出现的球队中一定存在某球队.其两场比赛中间相隔的场次数最多为m2.（m1）（2)当n2m1为奇数时，这2m1支球队为0,1,2,,2m.顺次安排场比赛需要2（m1）支球队参赛，由抽屉原理，必然有重复出现的球队，其两场比赛中间相隔的场次数最多为m1.因此，当n支球队比赛时，若安排的赛程使各队每两场比赛中间至少相隔2场，则该2赛程称为完美赛程.抽屉原理的应用非常广泛，除了以上介绍的几个例子之外，在计算机，警方处理指纹或者是头发上也有一定的应用，由于涉及到一些专业问题，在此就不再详细介绍。

n14 抽屉原理的推广

抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有许多重要的作用。许多有关存在性的证明题都可以用抽屉原理来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有一道关于抽屉原理推广的应用题：“证明在任意6个人的集会上，或者3个人以前彼此认识，或者有三个人以前彼此不相识。” 这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

这个问题看起来，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的。我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便着一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉原理里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。如果B、C、D三个互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。

由于这个试题的形式新颖，解法巧妙，很快在全世界广泛流传，使不少人知道了这一原理。六个人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单的问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容——拉姆塞定理。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。总结

抽屉原理在我们小学、初中、高中课本上虽然没有明确的学习与定义，但是他的价值是非常高的。它虽然只是一个小原理，但是在数学竞赛中确是必不可少的，它的数学思想和技巧是我们值得深刻了解和探索的。在我们学习抽屉原理的过程中，我们会觉得他只有几个原则，只要记住就会解题。但是我们忽略他所蕴含的数学思想，只有掌握了这种思想和把握了这种解题技巧，那么我们的数学素养就会有所提高。所以学好抽屉原理对我们有很大的帮助，从上面可以看出抽屉原理的应用 非常广泛，他可以解决许多抽象的问题，可以方便我们的学习与生活。谢辞

本论文是在王美能老师的指导下完成的，在论文的写作过程中王老师表现出对学生极大地信任，多次不断的鼓励我，如此一定会在论文写作过程中受益匪浅。在论文指导过程中，王老师始终营造一种平等交流的学术氛围，在他的关心和支持下，我终于能顺利完成毕业论文设计，在此请允许我向王老师表示衷心的感谢。当然还有许多其他的老师、同学，在我的的成长过程中提供了许多宝贵的意见和建议，使我总能在迷茫的时候找到一种“柳暗花明又一村”的感觉，在此，我对他们表示感谢。除此之外，我还要感谢和我一起奋斗的室友、同学。毕业之际，感谢有你们一路的陪伴，为论文，为毕业，为工作，感谢你们每一位对我的帮助，感谢你们给我带来的快乐与感动。

最后也让我在这特殊的时刻，感谢我的父母，没有他们辛勤的付出也就没有我的今天，在这一刻，让我将最崇高的敬意献给你们！

本文参考了大量的文献资料，在此，请允许我向各学术界的前辈们致敬！他们严谨的治学态度值得刚毕业的我学习。

论文写作是写作的过程，更是一次知识的大运用、大综合，感谢毕业论文写作给我带来的启迪。

参考文献

[1]陈景林,阎满富.组合数学与图论[M].北京：中国铁道出版社,2000.04 [2]朱欢.抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用[J].高等函授报，2010.12 [3]邓毅.浅谈抽屉原理在小学数学中的应用[J].新课程•小学.2013.5 [4]严士健.抽屉原则及其它的一些应用[J].数学通报,1999.06 [5]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].北京:高等教育出版社，2004.10 [6]呂松涛.抽屉原理在数学解题中的应用[J].商丘职业技术学院学报，2012.2 [7]宁靓.初中奥林匹克数学解题与命题的思想方法和技巧[J].广州大学学位论文,2006

第四篇：抽屉原理及其简单应用

抽屉原理及其应用

摘 要: 本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理,介绍了抽屉原理及其常见形式，并结合实例探讨了这一原理在高等数学和初等数论中的应用。关键词: 组合数学；抽屉原理；抽屉构造

1．引言

抽屉原理也叫鸽笼原理, 它是德国数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet)首先提出来的, 因此也称作狄利克雷原理.它是数学中一个基本的原理，在数论和组合论中有着广泛的应用。在数学的学习研究中，我们也可以把它看作是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。

2．抽屉原理的基本形式与构造

2.1基本形式

陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式: 原理Ⅰ 把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素。

原理Ⅱ 把m个元素任意放到n(mn)个集合里，则至少有一个集合里至少有k个元素，其中

m , 当n能整除m时,nkm　　1　, 当n不能整除m时.n原理Ⅲ 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素。

2.2基本构造

利用抽屉原理解题过程中首先要注意指明什么是元素，什么是抽屉，元素进入抽屉的规则是什么，以及在同一个盒子中，所有元素具有的性质。构造抽屉是用抽屉原理解题的关键。有的题目运用一次抽屉原理就能解决，有的则需反复用多次；有些问题明显能用抽屉原理解决，但对于较复杂的问题则需经过一番剖析转化才能用抽屉原理解决。3.利用抽屉原理解题的常用方法

3.1利用划分数组构造抽屉

例1 在前12个自然数中任取七个数，那么, 一定存在两个数, 其中的一个数是另一个数的整数倍。

分析：若能把前12个自然数划分成六个集合, 即构成六个抽屉，使每个抽屉内的数或只有一个, 或任意的两个数, 其中的一个是另一个的整数倍，这样, 就可以由抽屉原理来推出结论。现在的问题是如何对这12个自然数：1，2 ,„,12 进行分组, 注意到一个自然数, 它要么是奇数, 要么是偶数。若是偶数, 我们总能把它表达为奇数与2k（k1,2,3...）的乘积的形式，这样, 如果允许上述乘积中的因子2k的指数K可以等于零, 则每一个自然数都可表达成“ 奇数2k”（k1,2,3...）的形式, 于是, 把1，2，3„,12个自然数用上述表达式进行表达, 并把式中“奇数” 部分相同的自然数作为一组, 构成一个抽屉。

证明： 把前12个自然数划分为如下六个抽屉：

A1={120,121,122,123} A2={320,321,322} A3={520,521} A4={720} A5={920} A6={1120} 显然, 上述六个抽屉内的任意两个抽屉无公共元素, 且A1+A2+...+A6={1,2,3,...,12}.于是，由抽屉原理得，对于前12个自然数不论以何种方式从其中取出七个数，必定存在两个数同在上述六个抽屉的某一个抽屉内。设x、y是这两个数，因为A4、A5、A6都是单元素集，因此，x、y不可能同在这三个抽屉中的任何一个抽屉内。可见，x、y必同在A1、A2、A3的三个抽屉中的某一个之内，这样x和y两个数中，较大的数必是较小数的整数倍。例2 学校组织1993名学生参观天安门，人民大会堂和历史博物馆，规定每人必须去一处，最多去两处参观。那么至少有多少学生参观的地方完全相同？

分析：我们可以把某学生参观某处记作“1”，没有去参观记作“0”。并用有序数组{a，b，c}表示学生去参观天安门、人民大会堂和历史博物馆的不同情况。因为规定每人必须去一处，最多去两处，所以参观的方式，只有下列六种可能：

{1、1、0} {1、0、1} {0、1、1} {1、0、0} {0、1、0} {0、0、1} 把这六种情况作为六个抽屉，根据抽屉原理，在1993名学生中，至少有（1993）+1=333人参观的地方相同。63.2利用余数构造抽屉

把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0],[1],[2],„,[m1]表示。在研究与整除有关的问题时，常常用剩余类作为抽屉。

例3 对于任意的五个自然数，证明其中必有3 个数的和能被3 整除。

证明：任何数除以3 所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]

1、若这五个自然数除以3 后所得余数分别分布在这3 个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2 的数)，我们从这三个抽屉中各取1 个(如1到5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3 整除。

2、若这5 个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3 个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3 个自然数之和是3 的倍数。

3、若这5 个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3 个自然数之和能被3 整除。

3.3利用等分区间构造抽屉

所谓等分区间简单的说即是：如果在长度为1的区间内有多于n个的点，可考虑把区间n等分成n个子区间，这样由抽屉原理可知，一定有两点落在同一子

1区间，它们之间的距离不大于这种构造法常用于处理一些不等式的证明。

n例4 已知11个数x1,x2,,x11,全满足0xi1　,i＝1,　2　　,11,证明必有两个xi,xj(ij)满足xixj1.101.由抽屉原理，10证明：如图1，将实数轴上介于0与1那段(连同端点)等分为10小段(这10个小段也就是10个等分区间，即10个抽屉)，每一小段长为

1111个点(数)中至少有+1=2个点落在同一条小线段上，这两点相应的数之差

10的绝对值 1.100

图1 对于给定了一定的长度或区间并要证明不等式的问题，我们常常采用等分区间的构造方法来构造抽屉，正如上面的例子，在等分区间的基础上我们便很方便的构造了抽屉，从而寻找到了证明不等式的一种非常特殊而又简易的方法，与通常的不等式的证明方法(构造函数法，移位相减法)相比，等分区间构造抽屉更简易，更容易被人接受。

3.4利用几何元素构造抽屉

在涉及到一个几何图形内有若干点时，常常是把图形巧妙地分割成适当的部分，然后用分割所得的小图形作抽屉。这种分割一般符合一个“分划”的定义，即抽屉间的元素既互不重复，也无遗漏；但有时根据解题需要，分割也可使得抽屉之间含有公共元素。

例5 如果直径为5的圆内有10个点，求证其中有某两点的距离小于2。分析：把圆等分成9个扇形而构造出9个抽屉，是最先考虑到的，但显然是不行的（虽然有两个点在某一扇形内，但不能确认它们之间的距离小于2）。转而考虑先用一个与已知圆同心，半径为1 的不包含边界的小圆作为一个抽屉，然后把圆环部分等分成八个部分，如图二所示，这样就构成了9个抽屉。

证明：先将圆分成八个全等的扇形，再在中间作一个直径d=1.8的圆(如图2)，这就把已知的圆分成了9个区域(抽屉).由抽屉原理，圆内的10个点(球)，必有两点落在同一区域内，只须证明每个区域中的两点的距离都小于2.显然，小圆内任两点间的距离小于2，又曲边扇形ABCD中，AB2，AD2，CD2，而任两点距离最大者AC，有

AC =OA2OC22OAOCcos45

=2.520.922.50.92=3.88<2.图2

3.5利用状态制构造抽屉

例6 设有六点，任意三点不共线，四点不共面，如果把这六个点两两用直线联系起来，并把这些直线涂以红色或者蓝色.求证：不论如何涂色，总可以找到三点，做成以它们为顶点的三角形，而这三角形三边涂有相同的颜色。

分析：设已知六点为A1,A2,A3,A4,A5,A6,由于任三点不共线，所以任三点均可作为某三角形的三个顶点。

证明：从六个点中任取一点A1，将A1与其余五点相连得到五条线段，线段如下所示： A1A2,A1A3,A1A4,A1A5,A1A6,这五条线段只有两种颜色即红色或者蓝色，由抽屉原理知，至少有三条涂有同一种颜色。颜色为抽屉，线段为元素，不妨设A1A2,A1A3,A1A4,涂有红色，这时我们考察△A2A3A4

(1)若△A2A3A4中有一条红色边，如A2A3，则△A1A2A3为三边同红的三角形；

(2)若△A2A3A4中无一条红色边，则△A2A3A4就是三边均为蓝色的三角形。4.抽屉原理的应用

4.1抽屉原理在高等数学中的应用

高等数学中一些问题抽象，复杂，解答比较困难，如果一些问题巧妙地运用抽屉原理会收到很好的效果，下列举例介绍抽屉原理在高等数学中的巧妙应用。

例7 设A为n阶方阵，证明：存在1in，使秩(Ai)=秩(Ai1)=秩(Ai2)

证明：因为n阶方阵的秩只能是0,1　,　2,　　,n这n+1个一，由抽屉原理可知，存在k,l满EA0,A,A2,,An,An1,E的个数多于秩的个数，足1k

秩(Ak)= 秩(Al), 但

秩(Ak)秩(Ak1)„秩(Al), 所以

秩(Ak)=秩(Ak1), 利用此式与秩的性质得

秩(ABC)秩(AB)+秩(BC)-秩(B), 这里的A,B,C是任意三个可乘矩阵，用数学归纳法可证

秩(Akm)=秩(Akm1).其中m为非负整数，故命题的结论成立。

4.2抽屉原理在初等数论中的应用

例8(中国剩余定理)令m和n为两个互素的正整数，并令a和b为整数，且0am1以及0bn1，则存在一个正整数x，使得x 除以m 的余数是a，并且x 除以n 的余数为b，即x可以写成xpma的同时又可以写成xqnb的形式，这里p 和q 是整数。

(n1)ma，证明: 为了证明这个结论考虑n 个整数a，ma，2ma，„，这些整数中的每一个除以m都余a.设其中的两个除以n 有相同的余数r． 令这两个数为ima 和jma，其中存在两整数qi和qj，使得imaqinr及jmaqjnr，0ijn1.因此，这两个方程相减可得(ji)m(qjqi)n.于是n是(ji)m的一个因子． 由于n和m没有除1 之外的公因子，因此n是ji的因子． 然而，0ijn1意味着，0jin1,也就是说n 不可能是ji的因子． 该矛盾产生于我们的假设: n个整数a，ma,2ma,...,(n1)ma中有两个除以n会有相同的余数。

因此这n个数中的每一个数除以n 都有不同的余数。

根据抽屉原理，n个数0，1，„，n1 中的每一个作为余数都要出现，特别地，数b也是如此。令p 为整数，满足0pn1，且使数xpma 除以n余数为b． 则对于某个适当的q，有xqnb．

因此，xpma且xqnb，从而x具有所要求的性质。

5.结束语

本文对抽屉原理的常见形式及其应用结合实例做了一些探讨，为数学解题提供了一种简便的方法．应用抽屉原理解题的难点在于如何恰当的构造抽屉，而制造抽屉的办法是灵活多变的, 不能生搬硬套某个模式, 需要灵活运用。

参考文献

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The Principle And Application Of The Drawer

Liu Xiaoli Abstract: this article emphatically from the drawer methods of constructing this drawer principle, and introduces the drawer principle and common form, and combined with the discusses the principle in the higher mathematics elementary theory and the application.Keywords: combinatorial mathematics;drawer principle;theory of drawer structure

第五篇：抽屉原理

《抽屉原理》教学设计 芙蓉中心小学 简淑梅 【教学内容】：

人教版《义务教育课程标准实验教科书●数学》六年级（下册）第四单元数学广角“抽屉原理”第70、71页的内容。【教材分析】：

这是一类与“存在性”有关的问题，教材通过几个直观例子，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，从而抽象出“抽屉原理”的一般规律。并利用这一规律对一些简单的实际问题加以“模型化”。即：只需要确定实际生活中某个物体（或某个人、或种现象）的存在就可以了。【学情分析】：

抽屉原理是学生从未接触过的新知识，很难理解抽屉原理的真正含义，尤其是对平均分就能保证“至少”的情况难以理解。

年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。

思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。【教学目标】：

1．知识与能力目标：

经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。

2．过程与方法目标：

经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3．情感、态度与价值观目标：

通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。【教学重点】：

经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。【教学难点】：

理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教学准备】：

多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。【教学过程】：

一、课前游戏，激趣引新。

上课伊始，老师高举3张卡片。（高兴状）

（1）老师这有3张漂亮的卡片，我想把它们送给在坐的三位同学，想要吗？

（2）在送之前，我想请同学们猜一猜，这三张卡片会到男生手上还是会到女生手上？（学生思考后回答：可能送给了3名女生、可能送给了3名男生、也有可能送给了2名男生和1名女生、还有可能送给了2名女生和1名男生。）

（3）同学们列出的这四种情况是这个活动中可能存在的现象，你能从这四种可能存在的现象中找到一种确定现象吗？（学生思考后回答：得到卡片的三个同学当中，至少会有两个同学的性别相同。）

（4）老师背对着学生把卡片抛出验证学生的说法。

（5）如果老师再抛几次还会有这种现象出现吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，也就是我们今天这节课要研究的学习内容，想不想研究啊？

〖设计意图〗：在知识探究之前通过送卡片的游戏，从之前学过的“可能性”导入到今天的学习内容。一方面是使教师和学生进行自然的沟通交流；二是要激发学生的兴趣，引起探究的愿望；三是要让学生明白这种“确定现象”与“可能性”之间的联系，为接下来的探究埋下伏笔。

二、操作探究，发现规律。

1．动手摆摆，感性认识。

把4枝铅笔放进3个文具盒中。

（1）小组合作摆一摆、记一记、说一说，把可能出现的情况都列举出来。

（2）提问：不管怎么放，一定会出现哪种情况？讨论后引导学生得出：不管怎样放，总有一个文具盒里至少放了2只铅笔。

〖设计意图〗：抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个杯子中

至少放进2根小棒”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的杯子，理解“总有一个杯子”以及“至少2根”。

2．提出问题，优化摆法。

（1）如果把 5支铅笔放进4个文具盒里呢？结果是否一样？怎样解释这一现象？（学生自由摆放，并解释些种现象存在的确定性。）

（2）老师指着一名摆得非常快的同学问：怎么你比别人摆得更快呢？你是否有最简洁、最快速的方法，快快说出来和同学一起分享好吗？

（3）学生汇报了自己的方法后，教师围绕假设法（平均分的方法），组织学生展开讨论：为什么每个杯子里都要放1根小棒呢？

（4）在讨论的基础上，师生小结：假如每个杯子放入一根小棒，剩下的一根还要放进一个杯子里，无论放在哪个杯子里，一定能找到一个杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能将小棒尽可能地分散，保证“至少”的情况。

〖设计意图〗：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。

3．步步逼近，理性认识。

（1）师：把6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔吗？为什么？

把7支铅笔放进6个文具盒里呢？

把8枝笔放进7个盒子里呢？

把20枝笔放进19个盒子里呢？

……

（2）符合这种结果的情况你能一一说完吗？你会用一句归纳这些情况吗？

（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）

〖设计意图〗：通过这个连续的过程发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维，从而达到理性认识“抽屉原理”。

4．数量积累，发现方法。

7只鸽子要飞进5个鸽舍里，无论怎么飞，至少会有两子鸽子飞进同一个鸽舍。为什么？

（1）如果要用一个算式表示，你会吗？

（2）算式中告诉我们经过第一次平均分配后，还余下了2只鸽子，这两只鸽子会怎么飞呢？（有可能两只飞进了同一个鸽舍里，也有可能飞进了不同的鸽舍里。）

（3）不管怎么飞，一定会出现哪种情况？

（4）讨论：刚才是铅笔数比文具盒数多1枝的情况，现在鸽子数比鸽舍要多2只，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”？

（4）如果是“8只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下3只鸽子。）

（5）“9只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下4只鸽子。）

根据学生的回答，用算式表示以上各题，并板书。

〖设计意图〗：从余数1到余数2、3、4……，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。并发现余下的鸽子数只要小于鸽舍数，就一定有“至少有两子鸽子飞进同一个鸽舍”的现象发生。

5．构建模型，解释原理。

（1）观察黑板上的算式，你有了什么新的发现？（只要鸽子数比盒鸽舍数多，且小于鸽舍数的两倍，至少有2只鸽子飞进了同一个鸽舍里。）

（2）刚才我们研究的这些现象就是著名的“抽屉原理”，（教师板书课题：抽屉原理）我们将小棒、鸽子看做物体，杯子、鸽舍看做抽屉。

（3）课件出示：“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

（4）请你用“抽屉原理”解释我们的课前游戏，为什么不管老师怎么送，得到卡片的同学一定有两个同学的性别是一样的？其中什么相当于“物体”？什么相当于“抽屉”？

〖设计意图〗：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理。研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去，所以请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着，并让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。

三、循序渐进，总结规律。

（1）出示71页的例2：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？

A、该如何解决这个问题呢？

B、如何用一个式子表示呢？

C、你又发现了什么？

教师根据学生的回答，继续板书算式。

（2）如果一共有7本书呢？9本书呢？

（3）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？

教师师让学生充分讨论后得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”（教师板书。）

〖设计意图〗：对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上，引导学生抓住假设法最核心的思路---“有余数除法”，学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。从而得出“某个抽屉书的至少数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，从而使学生从本质上理解了“抽屉原理”。四．运用原理，解决问题。

1、基本类型，说说做做。

（1）8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

（2）张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

2、深化练习，拓展提升。

（1）有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，如果请五位同学每人任意抽1张，同种花色的至少有几张？为什么？

如果9个人每一个人抽一张呢？

（2）某街道办事处统计人口显示，本街道辖区内当年共有 370名婴儿出生。统计员断定：“至少有2名婴儿是在同一天出生的。”这是为什么？ 至少有多少名婴儿是在同一个月出生的？为什么？

〖设计意图〗：让学生运用所学知识去分析、解决生活实际问题，不仅是学生掌握知识的继续拓展与延伸，还是他们成功解决问题后获取愉悦心情的重要途经；不同题型、不同难度的练习不仅能进一步调动学生学习的积极性，还能满足不同的孩子学到不同的数学，并体会抽屉原理的形式是多种多样的。

五、全课小结，课外延伸。

（1）说一说：今天这节课，我们又学习了什么新知识？你还有什么困惑？

（2）用今天学到的知识向你的家长解释下列现象：

从1、2、3……100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢？

〖设计意图〗：既让学生说数学知识的收获，也引导学生谈情感上的感受，同时培养他们的质疑能力，使三维目标落到实处；把课堂知识延伸到课外，与家长一起分析思考，主要是想拓展学生思维，达到“家校牵手，共话数学”的教学目的。

板书设计。

抽屉原理

物体数 抽屉数 至少数 =商＋1

（铅笔数）（盒子数）

2

3

÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1

〖设计意图〗：这样的板书设计是在教学过程中动态生成的，按讲思路来安排的，力求简洁精练。这样设计便于学生对本课知识的理解与记忆，突出了的教学重点，使板书真正起到画龙点睛的作用。